工程力学之专题物系的平衡、桁架实例及分析
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结构力学(I)-02-1 结构静力分析篇4(桁架)@@9
4m
15kN 4m
15kN 4m
15kN
F
FNGF
15kN
ME = 0 MF = 0
FNGF = -20 kN FNGE = 25 kN
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16 / 53
第二章 静定结构受力分析
有些杆件利用其特殊位置可方便计算
L形结点 结点平面汇交力系中，
除某一杆件外，其它所
结点 单杆
有待求内力的杆件均共 线时，则此杆件称为该 结点的结点单杆。
FN1
FN2 FN
Fy=0 f(FN2 , FN )=0 Fx=0 g(FN2 , FN )=0
38 / 53
FAy
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第二章 静定结构受力分析
FP
FP
E b
3
FP
1 2 4
FP D
FP
FP
FP
C
弦杆 斜杆
F F
M
y
x
C
0
0
0
f ( FN 2 , FN ) 0
FN1
FN 2
y
FN 2 FN 0
竖杆
利用对称性取结点D 先求斜杆b，再利用结点E
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F F
0 0
FN 4
FN 3
39 / 53
y
第二章 静定结构受力分析
练习求FN1、 FN2 、 FN3
FP
1
FP
2h
对称轴?
3
2
4a
为了使计算简捷应注意： 1）选择一个合适的出发点； 2）选择一个合适的隔离体； 3）选择一个合适的平衡方程。
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工程力学-静力学专题-桁架·重心
三、组合图形的静矩和形心
静矩
S x S xi Ai yi S y S yi Ai xi
形心
x S y Ai xi
A
Ai
y Sx Ai yi
A
Ai
c x
四、半圆形截面的形心:
y
R
o
x
x0
y Sx 4R A 3
五、极惯性矩·惯性矩·惯性积
y
I x
y 2dA
A
材料确定时，提高梁承载能力的主要途径：
☻提高截面的弯曲截面系数；
☻降低梁的最大弯矩。
1、选择合理截面
2、合理布置载荷及支座
十四、组合变形的概念
构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基 本形式的变形，且几种变形所对应的应力（和变形） 属于同一数量级，则构件的变形称为组合变形。
❖组合变形的分析方法
线弹性小变形范围内，采用叠加原理
1、横向力与轴向力共同作用
F2
z
x F1
强度条件
l
y
t max
FN A
M z max Wz
t
c max
FN A
- M z max Wz
c
2、偏心拉伸（压缩） 受力特点：外力作用线平行（但不重合）于杆轴。
F Mez
z
F e (yF,zF)
y Mey
强度条件
t max
FN A
My Wy
这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心可
由下式求出。
xC
Pi xi Pi
,
yC
Pi yi Pi
,
zC
Pi zi Pi
2、负面积法
若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物
第2章2 静定结构受力分析-桁架
2. 3
桁架受力分析
F G H 4m 40kN FAx =0 A 60kN C FAy =80kN 40kN 60kN D 60kN 3m×4=12m （a） E 80kN
图2-10 例题2-1图
-100kN
B FBy =100kN
FNFC C 60kN FNCD
40kN (c)
所示， 结点C：隔离体如图2-10(c) 所示，列 ∑ Fx = 0 FN CD − 60 kN = 0, 得FN CD = 60 kN 再列
-100kN
80kN (h）
所示， 结点E：隔离体如图2-10(h)所示，列
FN EB − 75 kN = 0, 得FN EB = 75 kN
∑F
x
=0
校核
∑F
y
= 80 kN − 80 kN = 0
平衡条件满足，计算正确。 平衡条件满足，计算正确。
2. 3
桁架受力分析
F -90kN 50kN 40kN FAx =0 A 60kN C FAy =80kN 40kN 60kN D 60kN 3m×4=12m 75kN E 80kN G -90kN H 0 25kN -125kN 4m 80kN 75kN B FBy =100kN -100kN
∑F
y
=0
FN FC − 40 kN = 0,
得FN FC = 40 kN
2. 3
桁架受力分析
F -90kN 50kN 40kN FAx =0 A 60kN C FAy =80kN 40kN 60kN D 60kN 3m×4=12m
FNFG （a）
G
H 4m
-100kN
E 80kN
B FBy =100kN
结构力学——静定桁架
静定桁架的稳定性分析方法
静定桁架的稳定性分析原理
静定桁架的稳定性分析方法： 能量法、力法、位移法等
静定桁架的定义和分类
静定桁架的稳定性提高静定桁架稳定性的措施
增加桁架的刚度：通过增加桁架的截面尺寸、材料强度等方法提高桁架的刚度，从而提高桁架的 稳定性。
静定桁架的杆 件受力可以分 为轴向力、剪 力和弯矩三种， 其中轴向力和 剪力是主要的
受力形式。
静定桁架的受 力特性还与桁 架的支座条件 有关，不同的 支座条件会影 响桁架的受力 分布和变形情
况。
03
静定桁架的组成与分类
静定桁架的基本组成
桁架：由杆件组成的结构，用于 承受荷载
荷载：施加在桁架上的力，包括 集中荷载和分布荷载
优化桁架制造工艺：通过优化桁架的制造工艺，提高桁架 的质量和生产效率
优化桁架安装工艺：通过优化桁架的安装工艺，提高桁架 的安装质量和效率
THNK YOU
汇报人：XX
静定桁架的应力计算方法： 截面法、图乘法、矩阵位移 法等
矩阵位移法：利用矩阵位移 法计算桁架的位移和内力，
适用于复杂桁架结构
静定桁架的变形计算
变形计算的基本原理：利用静定桁架的平衡条件求解 变形计算的方法：图乘法、解析法、有限元法等 变形计算的应用：预测桁架的变形情况，优化桁架设计 变形计算的注意事项：考虑桁架的材质、截面尺寸、载荷等因素的影响
静定桁架的内力分布规律
桁架的内力主要由轴力和剪力组成
轴力沿桁架的轴线方向分布，剪力沿桁架的横截面方向分布
桁架的内力分布与桁架的杆件布置、荷载分布等因素有关
通过静定桁架的内力分析，可以确定桁架各杆件的内力大小和方向，为桁架的设计和优 化提供依据
内力分析中的注意事项
工程力学平面桁架问题课件PPT
本节只讨论平面简单桁架内力的计算。
15
注意
工 １、一般要求所有杆件的内力时，采用节点法；只需要 程 求桁架中某一根或某几根杆件的内力时，采用截面法。 力 学 ２、两种方法一般都是先要取整体为研究对象，根据平
面力系平衡 方程求出支座约束反力。 下面通过例子说明两种方法的应用。
16
例一
工 程 力 学
FBy
C
31
例三 已知P1，P2，P3, 尺寸如图。求1，2，3杆所受力。
工
程 力
若再求４,５杆受力
FAy
FBy
学 取节点Ｄ考虑
Fx 0 F5 Fy 0 F4
32
零杆：
工 程 力 学
所谓“零杆”，即是内力为零的杆。 当荷载改变后，“零杆”可以变为非零杆。因此，为 了保证结构的几何形状在任何荷载作用下都不会改变， 零杆不能从桁架中除去。
工 程 力 学
A
B
如果两支承点是简支的，很容易证明此桁架是静定的。
13
关于平面理想桁架的基本假设
组成桁架的杆件的轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架。 只需要求桁架中某一根或某几根杆件的内力时，采用截面法。
关 所于谓平“零面杆理”，想即桁是架内的(力1基为本)零假各的设杆杆。 在端点用光滑铰链相连接，连接点称为节点
已知：静止的桁架如图所示，AD=DE=EH=HB=a。
已请知指P出1图，中P2桁，架P内3,力(尺2为寸零)如的图杆杆。件的？ 自重相对载荷可以忽略不计
一节点上有三根杆件，如果节点上无外力的作用，其中两根共线，则另一杆为零杆.
工 (2) 杆的自重相对载荷可以忽略不计
(3) 载荷及支座反力均作用在节点上。 否则,称之为空间桁架。
力法计算桁架例题
用力法计算桁架例题在工程力学中，桁架是一种由杆件组成的结构，常用于建筑和桥梁等工程中。
力法是一种经典的计算桁架结构的方法，通过平衡力和力矩来求解杆件上的应力。
本文将会通过一个例题来演示如何使用力法计算桁架结构的应力。
问题描述：假设有一个由杆件组成的桁架结构，如下图所示：A||5kN|----C----|| | |2m 2m 2m| | |B----D----|||E已知杆件AB和BC上有力F1，杆件CD和DE上有力F2，杆件BE上有力F3，且F1 = 10kN，F2 = 20kN，F3 = 15kN。
通过力法计算：1.杆件上的内力大小和方向。
2.结构的稳定性。
解决方案：首先，我们需要给结构中的每个节点编号，并为每个杆件标记力的初始方向。
我们为每个节点选取坐标系，如下图所示：A||5kN↓----C----↑| | |↓ ↓ ↑B----D----↑||E接下来，我们根据平衡条件和力矩平衡条件，在每个节点上建立力的平衡方程。
对节点A应用平衡条件，我们可以得到以下方程：∑F_x = 0: -F_BC + F_BE = 0∑F_y = 0: -5kN + F_AB + F_AC = 0对节点B应用平衡条件，我们可以得到以下方程：∑F_x = 0: -F_AB - F_BE = 0∑F_y = 0: F_BC - F_BD = 0对节点C应用平衡条件，我们可以得到以下方程：∑F_x = 0: F_BC - F_CD = 0∑F_y = 0: -F_AC + F_CD = 0对节点D应用平衡条件，我们可以得到以下方程：∑F_x = 0: F_CD - F_DE = 0∑F_y = 0: F_BD - F_DC = 0对节点E应用平衡条件，我们可以得到以下方程：∑F_x = 0: -F_BE = 0∑F_y = 0: F_DE = 0然后，我们根据杆件上的受力情况，可以列出每个杆件上的应力方程。
根据杆件的定义，我们可以根据受力方向写出杆件的应力为正或者负。
第4章 桁架静力分析与摩擦平衡问题——【理论力学课件】
桁架静力分析与摩擦平衡问题
基 础 部 分 —— 静 力 学
第4章 桁架静力分析与摩擦平衡问题
2015年10月9日
1
桁架静力分析与摩擦平衡问题
主要内容：
§4-1 §4-2 §4-3
平面静定桁架的静力分析 考虑摩擦的平衡问题 本章讨论与小结
2
桁架静力分析与摩擦平衡问题
§4-1 平面静定桁架的静力分析
D
30kN
2m
2m
y
FCE
FCA C
B FB
x
FCD
FDF = 20 kN , FDB = 20 kN , FED = 28.28kN
（3）校核计算结果
20
桁架静力分析与摩擦平衡问题
E 20
F
-14.14
0
14.14 20 -28.28
A 10
10
20 B
C
D
单位：kN
注意：z 对杆件内力的性质（拉力或压力）须十分重视； z 每次取节点时，其内力未知的杆数不多于2； z 桁架中内力等于零的杆——零力杆或零杆。
FAC = 10 kN （拉力） 19
桁架静力分析与摩擦平衡问题
取节点A： FAE = −14.14kN （压力）
E
F
2m
FAC = 10 kN （拉力）
取节点C：
∑Fx = 0, FCD − FCA = 0
A C
FAy
2m
∑Fy = 0
FCD = 10 kN （拉力） FCE = 0
同理得： FED =14.14kN, FEF = −20 kN
C
E
G
A
H
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基 础 部 分 —— 静 力 学
第4章 桁架静力分析与摩擦平衡问题
2015年10月9日
1
桁架静力分析与摩擦平衡问题
主要内容：
§4-1 §4-2 §4-3
平面静定桁架的静力分析 考虑摩擦的平衡问题 本章讨论与小结
2
桁架静力分析与摩擦平衡问题
§4-1 平面静定桁架的静力分析
D
30kN
2m
2m
y
FCE
FCA C
B FB
x
FCD
FDF = 20 kN , FDB = 20 kN , FED = 28.28kN
（3）校核计算结果
20
桁架静力分析与摩擦平衡问题
E 20
F
-14.14
0
14.14 20 -28.28
A 10
10
20 B
C
D
单位：kN
注意：z 对杆件内力的性质（拉力或压力）须十分重视； z 每次取节点时，其内力未知的杆数不多于2； z 桁架中内力等于零的杆——零力杆或零杆。
FAC = 10 kN （拉力） 19
桁架静力分析与摩擦平衡问题
取节点A： FAE = −14.14kN （压力）
E
F
2m
FAC = 10 kN （拉力）
取节点C：
∑Fx = 0, FCD − FCA = 0
A C
FAy
2m
∑Fy = 0
FCD = 10 kN （拉力） FCE = 0
同理得： FED =14.14kN, FEF = −20 kN
C
E
G
A
H
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
工程力学第二章(力系的平衡)
{
平衡方程其他形式： 平衡方程其他形式：
Σ Fx = 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MC（F）= 0
A
B
x
A、B 连线不垂直于x 轴 连线不垂直于x
（两矩式） 两矩式）
{
C B A C
（三矩式） 三矩式）
A、B、C三点不 在同一条直线上
l FC C B F
∑F x
y
∑M ( F) = 0,
A
F cos 45 ⋅l − F ⋅ 2l = 0 C
y FAy AF
Ax
l C FC
l x
45
B F
3、解平衡方程，可得 解平衡方程，
FC = 2 F cos 45 = 28.28 kN
FAx = − FC ⋅ cos 45 = −2 F = −20 kN
平面任意力系平衡方程讨论： 平面任意系平衡方程讨论：
{
x
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO= 0
请思考：x , y 的选择是否有一定任意性？ 请思考： 的选择是否有一定任意性？
x y y x
y
例4 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连 支架的横梁AB与斜杆 彼此以铰链 与斜杆DC彼此以铰链C
FBC cos 60 − G − Fcos 30 = 0
FBC = 74.5 kN
联立求解得 FAB = −5.45 kN
约束力F 为负值， 约束力FAB为负值，说明该力实际指向与 图上假定指向相反，即杆AB实际上受 实际上受拉 图上假定指向相反，即杆AB实际上受拉力。
解析法的符号法则： 解析法的符号法则：
平面任意力系平衡的充分必要条件： 平面任意力系平衡的充分必要条件：
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可以首先取杆DEF为研究对象。因 为杆DEF在E处受光滑接触面约束， 所以杆DEF在E处所受约束反力方 向可以确定下来。杆DEF的受力情 况如右边二图所示。
RD
XD YD
F NE
F NE
其后，可以分别以ADB和AEC为研究对象进行分析。关 于二者构建平面一般力系，联合起来，得到6个相互独 立的平衡方程；8个未知量（实际只有6个未知量）。
解：①研究起重机 由mF 0
YG 2 Q 1 P 5 0
YG
50510 2
50(kN)
② 再研究梁CD 由mC 0
YD 6 YG' 1 0
YD
50 6
8.33(
kN)
③
再
研
究
整
体
mA 0,YB 3 YD 12 P10 Q6 0 YB 100(kN) Y 0,YA YB YD Q P 0 YA 48.33(kN)
例2：求图示结构中A、D、 E三处的约束反力
XD YD
XE YE
杆DEF的受力图。因为无法预 先确定D、E处的受力方向，
M
所以不能利用“力偶只能被 力偶平衡”的结论。所以不 宜先取DEF为研究对象
首先取整体为研究对象，利 用“力偶只能被力偶”平衡 可以确定固定铰支座B处的 约束反力的方向。
YA YA
例4：图中物体重 1200N，杆件自重及滑 轮摩擦不计，求支座A、 B处的约束反力及杆BC 的内力
例5：各杆自重不计，F ＝40kN，求ABC在A、B、 C三处所受的力。
提示：先分析杆DEF，此时，杆CD和BE均可以视 为二力杆。
平面一般力系平衡条件应用(三) -------桁架
建筑用塔吊
吊臂的杆与节点
YD XB
B
YB
以ADB为研究对象
由MAF 0
X D a X B 2a 0
1 XB 2 XD F
由 X 0
XD XA XB 0
X A XB XD F
由Y 0
YD YA YB 0
YA YB YD F
[例4] 已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重 求：A ,B和D点的反力（看出未知数多余三个，不能先整 体求出，要拆开）
X 0 S5 S2' 0 代入S2' S2后 解得 S5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
Y 0 , P S3' 0
解得S '3 10 kN, 恰与S3相等,计算准确无误。
X 0 S4 cos300 S1'cos300 0 Y 0 S3 S1'sin300 S4sin300 0
mA F 2 NB 4 0
YXAA10000 (N ) NB 1000 (N )
S1
A
30°
S2
YA
S3
S2
B
S4
F
再，取铰A为研究对象，进 行受力分析，并假设受力， 得平衡方程：
X S1 cos 30 S2 0
Y S1 sin 30 YA 0
最后，取铰B为研究对象， 进行受力分析，并假设受 力，得平衡方程：
XB 0 4YB 2P 0 2P 4NA 0
X B 0, NA YB 5 kN
取A节点为研究对象，进行受力分析，并假设受力，得
平衡方程：
X 0 S2 S1 cos 300 0
Y 0
N A S1 sin 300 0
解得
S1 S2
10kN 8.66kN
(" " 表示杆1受压) (" "表示杆2受拉)
代入S1' S1 解得: S3 10 kN, S4 10 kN
X 0 S5 S2' 0 代入S2' S2后 解得 S5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
Y 0 , P S3' 0
解得S '3 10 kN, 恰与S3相等,计算准确无误。
二、截面法 I
I
[例] 已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆的内力。 解：①研究整体求支反力
③外力作用在节点上。
力学中的桁架模型 ( 基本三角形)
三角形有稳定性
(b) (a)
工程力学中常见的桁架简化计算模型
方法一：节点法
例：已知桁架结构及尺寸如图所示， P=10kN，求各杆内力？ 解：首先取整体为研究对象，进行受力分析，并假 设受力，得平衡方程：
X 0, mA(F) 0, mB(F) 0,
❖ 平面的情况
❖ 如果取二力杆为研究对象，最多能够得到1个相互独立的平衡方程； 关于这个对象，能够求解1个未知量。
❖ 如果关于研究对象构建的是平面汇交力系，最多能够得到2个相互独 立的平衡方程；关于这个对象，能够求解2个未知量。
❖ 如果关于研究对象构建的是平面力偶系，最多能够得到1个相互独立 的平衡方程；关于这个对象，能够求解1个未知量。
例2：a=12m,h=10m,F=50kN,求杆8、9、10的内力。
例3：已知平面悬臂桁架如图，求1、2、3的内力。
三、特殊杆件的内力判断 ① 两杆节点无载荷、且两杆不在 一条直线上时，该两杆是零杆。
② 三杆节点无载荷、其中两杆在 一条直线上，另一杆必为零杆
S1 S2 0
③ 四杆节点无载荷、其中两两在
aa
A
D
F
E
F
XB B YB a
XC aYC C
解：以整体为研究对象
YB 2a 0 YB 0
YC YB F 0 YC F XC X B 0 (求不出XB)
aa
A
D
F
E
F
XB B YB a
XC aYC C
(四个未知数)
XA A
YA XD D
YD XB B
YB
(五个未知数)
X’A A Y’A
X 0 XA 0
MB 0
Y 3a P 2a P a 0
YA P
② 选截面 I-I ，取左半部研究
A'
由mA 0 S 4h YA a 0
Y 0 YA S5sin P0
S5 0
X 0
S6 S5 cos S4 X A 0
S6
Pa h
S4
Pa h
说明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力
取C节点为研究对象，进行受力分析，并假设受力，得 平衡方程：
X 0 S4 cos 300 S1 'cos 300 0
Y 0 S3 S1 'sin 300 S4 sin 300 0
代入S1' S1 解得: S3 10 kN, S4 10 kN
取D节点为研究对象，进行受力分析，并假设受力，得 平衡方程：
一条直线上，同一直线上两杆
内力等值、同性。
S1 S2
S3 S4
且S1 S2
例4：已知平面桁架如图， 求1、2、3的内力。
例5：已知平面桁架尺寸及荷载如图， 求BH、CD、GD的内力。
例6：已知平面桁架尺寸及荷载如图， 求1、2、3的内力。
A
YD D
B YB
M YE
YE
YD
SC
次取杆ADB为对象，因为铰B处约束反力只有铅垂分量，所 以铰A、D处约束反力也只有铅垂分量。 杆ADB、DEF、AEC受力情况如图所示。
例3：求图示结构中杆 AB在A、B、D三处所受 的力
直接取整体为研究对象，构造的是平 面一般力系，但却有四个未知量。这 是整体的受力图。
E
N’E
XC
C YC
(四个未知数)
X’DD Y’D
F
E
NE
F (三个未知数)
以DEF为研究对象
X’DD
E
Y’D
NE
B
F 由 mE F 0 YD a F a 0
F
由 M B F 0 X D a F 2a 0
aa
A
D
F
E
F
XB B
C
YB a XC aYC
A XA
YDA XD
先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力, 与所设方向相反。
1
A
30° 2
2m
D
3 B
5
4
2m
例1：F=200N，求各杆的
C 内力。
F
1
XA
A
30° 2
D
5 3
B4
YA F
首先取整体为研究对象， 进行受力分析，并假设受 C 力，得平衡方程：
NC
X XA 0 Y YA F NB 0
❖ 如果关于研究对象构建的是空间一般力系，最多能够得到6个相互独 立的平衡方程；关于这个对象，能够求解6个未知量。
F
q
例1：图中非连续多跨梁受均
布荷载q和集中力F作用，
C A
E F=2qa，求A、C、E三个支座
B
a
a
D
a
1.5a
处的约束反力。
A XA
YA
A XA
YA
F
C XD D B
NC
YD
在这个问题中，研究对 象可以取外伸梁AD、简 支梁DE以及整体。从受 力图中可以看到，关于 三个研究对象所构建的
均为平面一般力系，但
F
q
未知量的数目分别为5
C
B
D
NC
个、4个和3个。由此可 E 知，在这个问题中，不
宜首先研究外伸梁AD或 NE 者整体。
q
YD
D
E
XD
NE
可以考虑1)先研究DE，在此基础上再取 AD为研究对象或者取整体为研究对象；2) 取DE和AD为研究对象，或者取DE和整体 为研究对象，联立求解。