特征方程法求数列的通项公式
人教A版高中数学必修五 特征方程法求解递推关系中的数列通项
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，na 为常数列，即0101,;xb a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
特征方程重根 通项公式
特征方程重根通项公式比如说，一个线性齐次递推数列的特征多项式为P(某)=(某-1)^2(某+2)，其中(某-1)重复出现了两次。
这种情况下，就需要使用通项公式来求解递推数列。
通项公式的求解方法是先使用常规的特征方程解法求出P(某)的所有根和它们的重数，然后根据不同的重数计算出相应的通项公式。
对于重根，需要使用一些特殊的方法来求解。
假设线性齐次递推数列的特征方程为P(某)=(某-a)^kq(某)，其中a是一个根，k是它的重数，q(某)是另一个多项式，它的根都不等于a。
根据特征方程的定义，它的通项公式可以写成：f(n) = c1 a^n + c2 n a^n + ··· + ck-1 n^(k-2) a^n + pk(n) q(n)，其中 pk(n) 是一个多项式，它的次数小于 k-1。
上式的第一项是由根 a 的贡献引起的，第二项是由根 a 和它的一阶导数引起的，依此类推，最后一项是由其它根引起的。
pk(n) q(n) 是由q(某) 的根引起的。
将通项公式的各项展开，可以得到：f(n) = c1 a^n + c2 n a^n + ··· + ck-1 n^(k-2) a^n + pk(n) Σbi q_i^n，i≠a其中 bi 表示 q(某) 的根除了 a 之外的每个根 i，q_i 表示以 i为根的项式。
需要注意的是，在求解通项公式的过程中，需要考虑到根a和它的k-1阶导数的算法。
对于一个给定的k，可以使用递推的方法将它们的值都算出来，然后代入公式中求解即可。
总之，特征方程重根的通项公式是一种比较复杂的求解递推数列的方法，需要对数学知识有比较深入的了解和掌握。
在实际应用中，需要依据具体情况来选择恰当的解法，才能达到最优的效果。
特征根法求通项公式
特征方程法 解递推关系中 通项公式一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个,1,0≠≠c c 数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为,d cx x +=特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中是以为}{n b c 公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为由特征,1,0≠c 方程得作换.10cdx -=元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列是以为}{n b c 公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说说说说明定理1的应用.例1．已知数列满}{n a 足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列是以为}{n b 31-公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列满}{n a 足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中为虚数i 单位。
数列特征根法原理
数列特征根法原理数列特征根法是一种常见的数列求解方法，通过寻找数列的特征根，可以得到数列的通项公式，从而方便进行数列的求和、递推关系等操作。
本文将介绍数列特征根法的原理及其应用。
数列特征根法的原理主要基于数列的递推关系。
对于一个线性递推数列，其通项公式可以表示为：\[a_n = c_1r_1^n + c_2r_2^n + \cdots + c_kr_k^n\]其中，\(c_1, c_2, \cdots, c_k\)为常数，\(r_1, r_2, \cdots, r_k\)为数列的特征根。
特征根法的核心就是求解特征根\(r_1, r_2, \cdots, r_k\)，进而得到数列的通项公式。
对于线性递推数列，其递推关系可以表示为：\[a_n = p_1a_{n-1} + p_2a_{n-2} + \cdots + p_ka_{n-k}\]其中，\(p_1, p_2, \cdots, p_k\)为常数。
为了求解特征根，可以将递推关系转化为特征方程：\[r^k p_1r^{k-1} p_2r^{k-2} \cdots p_{k-1}r p_k = 0\]解特征方程得到的根就是数列的特征根。
接下来，我们以一个具体的例子来说明数列特征根法的应用。
假设有一个线性递推数列，其递推关系为：\[a_n = 3a_{n-1} 2a_{n-2}\]我们可以将其转化为特征方程：\[r^2 3r + 2 = 0\]解特征方程得到特征根为\(r_1 = 2, r_2 = 1\)，因此数列的通项公式为：\[a_n = c_1 \cdot 2^n + c_2 \cdot 1^n\]通过给定的初始条件，我们可以求解出常数\(c_1, c_2\)，进而得到数列的具体形式。
除了求解数列的通项公式，数列特征根法还可以应用于求解数列的前n项和。
通过数列的通项公式，我们可以方便地计算出前n项和的表达式，从而简化求和运算。
此外，数列特征根法还可以应用于解决递推关系的问题。
数列特征方程求通项
数列特征方程求通项在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字被称为项，而数列中的规律被称为数列的特征方程。
通过特征方程，我们可以求得数列的通项公式，从而推算出数列中任意一项的数值。
数列的特征方程是数列中相邻两项之间的关系式。
我们可以通过观察数列中的数字规律来得出特征方程。
常见的数列包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
让我们来看一个简单的例子：等差数列。
在等差数列中，每一项与前一项的差值都是相等的。
假设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。
那么特征方程可以表示为an = a + (n-1)d。
通过这个特征方程，我们可以求得等差数列的通项公式。
接下来，我们来看一个稍复杂一些的例子：等比数列。
在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相等的。
假设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
那么特征方程可以表示为an = a * r^(n-1)。
通过这个特征方程，我们可以求得等比数列的通项公式。
除了等差数列和等比数列，还有一种非常有名的数列：斐波那契数列。
斐波那契数列的特征方程为an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1。
通过这个特征方程，我们可以求得斐波那契数列的通项公式。
在实际应用中，数列的特征方程可以帮助我们预测和计算数列中任意一项的数值。
通过观察数列中的规律，我们可以找到数列的特征方程，并据此求得数列的通项公式。
这样，我们就可以方便地计算出数列中任意一项的数值，而不需要逐个计算。
数列特征方程的求解过程需要一定的数学知识和技巧。
对于简单的数列，可以通过直接观察规律来得到特征方程。
而对于复杂的数列，可能需要借助数学工具和方法来推导特征方程。
无论是哪种情况，我们都可以通过特征方程来求得数列的通项公式，从而更方便地处理数列中的问题。
总结起来，数列的特征方程是数列中相邻两项之间的关系式。
通过特征方程，我们可以求得数列的通项公式，从而推算出数列中任意一项的数值。
用特征方程法求数列通项
１，ｊ￣ｌ ａ ．＋ ｌ＝ ７ ａ ．４ ＂
６ｂ ．－
３’（ ：
。 ，
１，２，…
）．
＋
． ．
．
证 明 ：口 （”一０，１，２，…）是完 全平方 数．
分析 ：这 是 一 个 双 数 列 问 题 ，首 先 从 方 程
组 中求 出 口 的递推式 ，事 实上 由
． ． 口 一 Ａ１ ４－Ａ２（７＋ ４√３） ４－Ａ３（７—
４ ）ｎ，将初始值代人得Ａ 一告，Ａ 一Ａ。一÷，
。
． ． 口 。＝
÷［２＋（７＋４ ） ４－（７－４ ） ］一
所以％ 高 一告 ，于是 ａ ｎ４ ＂ ａｎ－２一 『Ｉ － ２ ］Ｉ 一（ 面 “ ２ ．３ｋ）ｚ
２厄 故 可 设 其 通 项 为 一 Ｃ１（３＋ ２√２） ＋
Ｃ２（３—２√２） ．由 。一Ｏ可推 出 一 １，于 是 得
ｆ Ｃ１＋ Ｃｚ一０，
方程组
一
一
Ｉ（３＋２√２）Ｃ１＋ （３－２√２）Ｃ２—１Ｉ
．
· ．
ＣＩ一譬，Ｃ２一 ．
２，口 一７，一丢＜ａｎ＋ｌ－芒≤丢（竹≥２）．
维普资讯
专题 探讨
：一】一 １一Ｏ ② 由 ① 、② 知 ＋ ， 一 是 二 次 方 程 ＋
６ｘ ＋ ：一１一Ｏ的两根．由韦达 定理得
＋ ｌ＋ 一１— ６ｘ ．
这 是一个 线性 递 推数 列 ，其 特 征 方 程 一 ６ ＋１— ０的特 征 根 为 ｌ一３＋ ２￣／２， ２—３—
方 程为 ｚ 一４ｚ＋ １—０，特 征 根 为 ｚ１—２＋√３， 阶线性递 推关 系 ，再 利用特征 方程法 解答 ．
数列通项公式常见求法 (1)
数列通项公式的常见求法数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现相关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，所以掌握好数列通项公式的求法不但有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。
下面本文将中学数学中相关数列通项公式的常见求法实行较为系统的总结，希望能对同学们有所协助。
一.公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就能够直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。
1、等差数列公式 例1、（2011辽宁理）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式例2.（2011重庆理）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式解：I ）设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得，即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），所以 2.q =所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=⋅=∈3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n nn n 求解。
一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时能够合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式。
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项原理特征根法是解线性递推方程的一种重要方法，可以用于求数列通项。
在本文中，我将详细介绍特征根法的原理，并展示如何利用此方法求解数列的通项。
一、特征根法的基本原理特征根法基于以下核心思想：解线性递推方程，一般需要首先找到数列的通解，然后根据已知初始条件来确定特定的通解。
特征根法通过构造特征方程，寻找数列的特征根，进而求解通解的方法。
设数列的通项表示为：an = c1 * λ1^n + c2 * λ2^n + ... + ck * λk^n其中，c1, c2, ..., ck是待定系数，λ1, λ2, ..., λk是数列的特征根。
现在，让我们来详细讨论特征根法的求解步骤。
二、求解步骤1.根据已知的递推关系式，得到数列的特征方程。
对于一般的线性递推方程，形如：an = a1 * an-1 + a2 * an-2 + ... + ak * an-k其特征方程可表示为：x^k - a1 * x^(k-1) - a2 * x^(k-2) - ... - ak = 02.求解特征方程的根。
通过求解特征方程的根来得到数列的特征根。
这里需要用到一些代数求根的方法，比如因式分解、配方法等。
3. 根据特征根，构造数列的通解。
特征根λ1, λ2, ..., λk 对应的解分别为c1 * λ1^n, c2 * λ2^n, ..., ck * λk^n。
由于特征根可能为复数，所以通解可能包含实部和虚部。
4. 利用已知的初始条件，确定数列的具体通解。
根据已知的初始条件（比如前几项的值），代入数列的通解方程，并解出待定系数 c1,c2, ..., ck。
这样，我们就得到了数列的特定通解。
三、一个具体的求解例子为了更好地理解特征根法的求解步骤，我们来看一个具体的例子。
假设数列的递推关系为：an = 2 * an-1 - 3 * an-2，其中a0 = 2, a1 = 5步骤1：得到特征方程。
特征方程为：x^2-2x+3=0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
特征方程法求数列的通项公式
求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通 项公式的一种有效途径•
1.已知数列a n 满足a n 1 a -an ----------------------------
…… ① 其中c O,ad bc,n N
c a n d
定义1 ：方程x ax _b 为①的特征方程，该方程的根称为数列
a n 的特征根，记为
cx d
(a c )a n [ c (a c c )] (a c )a n (a c ) (a c )a n [
c (a c
c )]
(a
c )a n
(a c )
a c a
”
上/
a c
证毕
a n
定理2 :若
a 1 且 a d c rnri
1
2c 1
0，则
a
n 1
a d
a n
证明：
* d
2
a 2 c,
b c
1
1
ca n d
ca n d
a n 1
aa n b (aa n
b)
(ca n d) (a
c)a n b
d
ca n d
ca n a 2 c
ca n a 2
c
ca n a 2 c
(a
c)a n ( 2
c a
2 2
c)
(a
c)(a n
) a d /
2
(a
n
)
2ca n 2a 4 c 2ca n
(a 2 c)
d 2c(a n
) (a d)
(a d)(a n ) (a d)(a n ) (a d)(a n )
定理
1：
若 , 印且
证明： x ax b
--- 1
2
cx
cx d
d
a ( )c,b
aa n
b
a n 1 ca n
d
a n 1
aa n b
ca n
d
,则
a
n 1
a n 1
a c a n
a
c
a n
(d a)x b
c
(aa n b) (ca n d) (aa n b) (ca n d) a d b W c
(a c 冋(b d ) (a c )a n
(b d )
1
解：考虑特征方程x 2
故 一
a n 1
2c a d
a n
证毕
例1: (09 •江西•理-22)各项均为正数的数列
a n , a 1 a, a 2
b ,且对满足m n p q
a m a n
a p
a q
的正数m,n, p,q 都有
(1 a m )(1 a n )
(1 a p )(1 a q )
1 4
(1)
当a
2，b
5时，求通项
a n ； (2)
略.
解：由一
(1 a m
a n
a p a q
a 1
a n
得
a m )(1 a n )
(1 a p )(1 為)(1
aj(1 a .)
a 2
a n 1
(1 a 2)(1 a n J
1 -,b 2
4
代入上式化简得a n 5
2a n 1
1
考虑特征方程
2x 1
也」得特征根x
x 2
2a n 所以色1
a n
」1 2 2a n 1 1
a n 1
2
a n 1 - a n 1
a n 1
所以数列
a
n 1
是以
1
a n
1 -为首项，公比为 3
1 1的等比数列
3
故
a n 1
即a n
3n 1 Fl 例2:已知数列
a n
满足
a 1 2, a n 2
1
,n
a n 1
,求通项a n .
a n 1
1 1 (
2 ) 1
a n 1
1
a n 1
a n 1
1 a
1
a n 1 1
所以数列
是以 a n
1
——
1为首项，公差
为
1的等差数列
a n
2.已知数列a n
满足 a n 2
&a n 1 C 2 a n
② 其中C i ,C 2为常数,且
则 a n (bi b 2n)2n
C 2 0,n N •
定义 2:方程x 2
C |X c 2为②的特征方程，该方程的根称为数列
a n 的特征根 ，记为1 定理 3:若1
2,则 a n
D 1n
b 2 2n
,其中b,b 2常数 且满足
a d 1
2
b 2
2 2・
a 2
D 1 b 2 2
定理 4:若1
2
,则
a n
(b 1 b z n) n
，其中b 1,b o 常数,且满足
q (b 1
b 2)
2
a 2 (
b 2b 2)
例3:已知数列
满足3i
1,32
a n ，求通
项
a n a n 1
2cos , a n 2 2cos
a n
.
其中2(3 © 2
八 4(b 1 2b 2) 8
b 1 0 a n b 1 n
n2n
解：考虑特征方程
x 2 2cos x 1得特征根1 cos
i sin ,2 cos i sin 贝U a n bi (cos
n
i sin )
b 2(cos
i sin )n
(b i b 2 )cos n
i(bi
b 2)sin n
其中
1
⑴
b 2)Cos
2cos
i (b i b 2)sin (bi b 2)cos2 i(b
b 2)sin 2
b b 2 o 1 i(b b 2)
sin
a n
sin n sin
例4：已知数列
a n 满足a 1
2, a 2 8,a n 2 4a n 1
4a n ,求通项a n .
解：考虑特征方程x 2 4x
4得特征根。