数列通项公式求法大全配练习及答案
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式方法大全一、累加法适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231nn n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.nn a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322nn n a n =⨯⨯+⨯- 练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
数列求通项的七种方法及例题
数列求通项的七种方法及例题数列求通项的7种方法及例题：1. 已知首项和公比法：设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。
例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1622. 已知前n项和法：设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 + S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。
例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。
答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 83. 等差数列的通项公式：设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。
例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求a5。
答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 184. 等比数列的通项公式：设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 ×q^(n-1)。
例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1625. 三项和平均数法：设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。
例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。
答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 56. 泰勒公式法：对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。
例如：已知数列{an}中，a1=2，且当n→∞ 时，an → 0，求a4。
答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1! + (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4 - 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3 - 4)/2! + 3(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)/3! = 2 + 3(0)/1! + 3(1)(-1)/2! + 3(1)(-1)(-2)/3! = 2 - 3/2 - 3/4 + 3/6 = 2 - 1/87. 斐波那契数列法：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的通项公式可以写作 an = an-1 + an-2。
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案求数列通项公式的方法有很多种。
这个问题通常是高考试卷的第一问，如果无法解决或没有思路，那么即使后面的问题可以解决，也是无济于事的。
下面我们逐个讲解这些重要的方法。
递推公式法是指利用an=Sn−Sn−1的形式，其中Sn表示数列的前n项和。
这种方法有两种类型。
第一种类型是题目中给出的是Sn=f(n)的形式，要将n改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。
但是需要注意的是，求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下a1和S1是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式。
第二种类型是a(n-1),an和a(n+1)与S(n-1),Sn和S(n+1)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。
累加法（迭、叠加法）是在教材上推导等差数列通项公式和前n项和公式的时候使用的一种方法。
其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的。
只要适合an=an-1+f(n)的形式，都可以使用累加法。
基本的书写步骤是将an-an-1=f(n)展开，然后累加，得到an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+。
+f(n)。
因此重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。
累乘法的使用条件是，凡是适合an=an-1*f(n)形式的求通项公式问题，都可以使用累乘法。
它的基本书写步骤格式是：an=a1*f(2)*f(3)*。
*f(n)。
以上是数列通项公式的三种求法。
2.改写每段话：首先，我们来看等式左右两边的乘积。
左边相乘得到的总是1，右边相乘得到的是f(2)乘以f(3)乘以f(4)一直到f(n)。
数列求通项公式完美版八种方法
数列求通项公式的方法（八种方法）（一）由数列的前几项求数列的通项公式（观察法）1．(1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n＝________.(2)数列{a n}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式a n＝________.解析：(1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n＝(－1)n1n(n＋1).(2)数列{a n}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n＝2n＋1n2＋1.答案：(1)(－1)n1n(n＋1)(2)2n＋1n2＋1由数列的前几项求数列通项公式的策略根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等.（二）由a n与S n的关系求通项a n（公式法）2．(2017·东营模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n＝2S n－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式．解析：(1)令n＝1时，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.(2)n≥2时，T n－1＝2S n－1－(n－1)2，则S n＝T n－T n－1＝2S n－n2－[2S n－1－(n－1)2]＝2(S n－S n－1)－2n＋1＝2a n－2n＋1.因为当n＝1时a1＝S1＝1也满足上式，所以S n＝2a n－2n＋1(n≥1)，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2(n－1)＋1，两式相减得a n＝2a n－2a n－1－2，所以a n＝2a n－1＋2(n≥2)，所以a n＋2＝2(a n－1＋2)，因为a1＋2＝3≠0，所以数列{a n＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以a n＋2＝3×2n－1，∴a n＝3×2n－1－2，当n＝1时也成立，所以a n＝3×2n－1－2.1．规律方法已知S n求a n的3个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．（三）由递推关系求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．归纳起来常见的探究角度有：(1)形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n . （累乘法） (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n . （累加法）(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n . （构造法一）(4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C (A ，B ，C 为常数)，求a n . （取倒数法，构造二）命题点1 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． 解析：因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)， 所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n .命题点2 形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解析：因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n 2. 命题点3 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)求a n5．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解析：因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n－1－1.1111()n n n n n n n n a pa qa a xa pa q x px q x a x p a x ++++=+===+⇒=+⇒-=-数列第一类型解释：代换 代入 原式命题点4 形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解析：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．课堂练习 a n 与S n 的关系求通项a n （公式法）1.已知数列{}n a 的前n 项和为23nn S =-,则n a = ．2.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11=a ，12n n na S +=.则n a = ．3.数列{}n a 满足112n n S a =-，则n a = ． 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝32a n －3，则数列{a n }的前n 项和S n 等于5.各项为正数的数列{}n a 满足2421n n n a S a =--(*n ∈N ),其中n S 为{}n a 前n 项和.(1)求1a ,2a 的值； (2)求数列{}n a 的通项公式6.已知2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n a 是递增的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且n n b S 211-=（*∈N n ）．求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； 7．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且312n n S a =-*()n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.( I )求n S ； ( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.9、已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. （累加法）10、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案
数列通项公式的求法10种求数列的通项公式方法非常众多，而且这个问题基本上都是高考试卷中第一问，也就是说这一问题做不出来或没有思路，那么即使后面的问题比如求前N 项和的问题，会做也是无济于事的。
我们逐个讲解一下这些重要的方法。
递推公式法：递推公式法是指利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，这样的问题有两种类型，（1）题目中给出的是()n S f n =的形式，也就是n S 的表达式是一个关于n 的函数，要将n 改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。
这种情况是比较简单的，但是也有值得我们注意的地方，那就是求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下1a 和1S 是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式，只要题中涉及到角标n 不能从n=1开始取值的，都需要检验。
（2）第二种情况是非常常见的，即11(,)n n n a a a -+与n S (1n S -,1n S +)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n 改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。
累加法（迭、叠加法）：累加法是在教材上推导等差数列通项公式和前n 项和公式的时候使用的一种方法，其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的，我们可以总结为，只要适合：1()n n a a f n -=+的形式，都是可以使用累加法的，基本的书写步骤是：21324312,(2)3,(3)4,(4)......,()n n n a a f n a a f n a a f n n a a f n -=-==-==-==-=将上述展开后的式子左边累加后总是得到1(2)(3)(4)......()n a a f f f f n -=++++所以重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。
数列求通项公式练习题及答案
数列求通项公式练习题及答案练题
1. 求等差数列的通项公式，已知公差为3，首项为5。
2. 求等差数列的通项公式，已知首项为2，末项为20，公差为2。
3. 求等差数列的通项公式，已知首项为10，公差为-2，求第6项。
4. 求等差数列的通项公式，已知首项为1，公差为0.5，求第10项。
5. 求等差数列的通项公式，已知首项为3，公差为-1/2，求第8项。
答案
1. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
公差为3，首项为5，代入公式得：$a_n = 5 + (n-1) \cdot 3$
2. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为2，末项为20，公差为2，代入公式得：$20 = 2 + (n-1) \cdot 2$
化简为：$18 = (n-1) \cdot 2$
3. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为10，公差为-2，求第6项，代入公式得：$a_6 = 10 + (6-1) \cdot -2$
4. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为1，公差为0.5，求第10项，代入公式得：$a_{10} = 1 + (10-1) \cdot 0.5$
5. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为3，公差为$-\frac{1}{2}$，求第8项，代入公式得：$a_8 = 3 + (8-1) \cdot -\frac{1}{2}$
以上是数列求通项公式练习题及答案。
数列通项公式和前n项和求解方法(有针对训练)
专题一：数列通项公式的求法 一．观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） ,52,21,32,1一、 公式法公式法1：特殊数列公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n n n例2：已知数列}{n a 的前n 项和n S 的公式12-+=n n S n ，求}{n a 的通项公式.例3：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．三、 累加法 【型如)(1n f a a n n +=+的递推关系】简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得。
例： 若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a例4：已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.四、累乘法 【 形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例5：在数列｛n a ｝中，1a =1, n n a n a n ⋅=⋅++1)1( ，求n a 的表达式.五、构造特殊数列法 【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c d λ， 所以：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列. 例6：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a .六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例7：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式.解析：由题得 )1(2121-=++++-n a a a a n n ①2≥n 时， )2(2121-=+++-n a a a n ②由①-②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n a n .（2）数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ，求数列{n a }的通项公式。
数列通项公式的求法(常见)
数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 练习：1、若数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，求该数列的通项公式。
答案：⎩⎨⎧=-122n n a )2()1(≥=n n2、若数列}{n a 的前n 项和323-=n n a S ，求该数列的通项公式。
答案：n n a 32⨯=2.形如)(1n f a a n n =-+型（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.例 1. （2003天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a 证明：由已知得：故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=.213133321-=++++--n n n ∴213-=n n a .例2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：na n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
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数列通项公式的十种求法一、公式法*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1*11()n nn a a a qq n N q-==⋅∈ 二、累加法 )(1n f a a n n +=+例 1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
（3 1.n n a n =+-）三、累乘法 n n a n f a )(1=+例3 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
（(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯）评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n na n a +=+，进而求出13211221n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。
例4已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
（!.2n n a =）评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为11(2)n na n n a +=+≥，进而求出132122n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
四、待定系数法 q pa a n n +=+1 ()n f pa a n n +=+1 nn n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
例5 已知数列{}n a 满足112356nn n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
（125n n n a -=+）评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+⨯转化为1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
例6 已知数列{}n a 满足1135241nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
（1133522n nn a -=⨯-⨯-）评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+⨯+转化为115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+，从而可知数列{522}n n a +⨯+是等比数列，进而求出数列{522}n n a +⨯+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。
例7 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
（42231018n n a n n +=---）评注：本题解题的关键是把递推关系式212345n n a a n n +=+++转化为2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列2{31018}n a n n +++是等比数列，进而求出数列2{31018}n a n n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
五、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n例8已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .六例9已知数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯， 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n n n a a +=+⨯+转化为111213333n n n n n a a +++-=+，进而求出112232111122321()()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+，即得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。
七、对数变换法 （当通项公式中含幂指数时适用）例10 已知数列{}n a 满足5123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为511237n n n a a a +=⨯⨯=，，所以100n n a a +>>，。
在5123n n n a a +=⨯⨯式两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++ ⑩ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++○11 将⑩式代入○11式，得5lg lg3lg 2(1)5(lg )n n a n x n y a xn y +++++=++，两边消去5lg n a 并整理，得(lg3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则lg35lg 25x x x y y +=⎧⎨++=⎩，故lg34lg3lg 2164x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入○11式，得1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (1)5(lg )41644164n n a n a n +++++=+++ ○12 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg 1lg 71041644164a +⨯++=+⨯++≠及○12式， 得lg3lg3lg 2lg 04164n a n +++≠， 则1lg3lg3lg 2lg (1)41645lg3lg3lg 2lg 4164n n a n a n +++++=+++， 所以数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是以lg3lg3lg 2lg 74164+++为首项，以5为公比的等比数列，则1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164n n a n -+++=+++，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54164464(lg 7lg 3lg 3lg 2)5lg 3lg 3lg 2[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)5lg(332)lg(733n n n n n n n n n n n n a n ---------=+++---=+++---=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅1115116454151511642)lg(732)n n n n n -------⋅=⋅⋅则11541515164732n n n n n a -----=⨯⨯。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5123n n n a a +=⨯⨯转化为1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (1)5(lg )41644164n n a n a n +++++=+++，从而可知数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
八、迭代法例11 已知数列{}n a 满足3(1)2115nn n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为3(1)21nn n na a ++=，所以121323(1)23212[]n n n n n n n n n a a a ---⋅-⋅⋅--== 2(2)(1)32(2)(1)3(3)(2)(1)112(3)(2)(1)(1)123(1)223(2)23(1)233(2)(1)23323(2)(1)213!21[]n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a -+---+--+-+--+++-+-+----⋅⋅--⋅-⋅⋅---⋅-⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅======又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)123!25n n n n n a --⋅⋅=。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
即先将等式3(1)21n n n na a++=两边取常用对数得1lg 3(1)2lg nn n a n a +=+⨯⨯，即1lg 3(1)2lg n n na n a +=+，再由累乘法可推知(1)123!213211221lg lg lg lg lg lg lg5lg lg lg lg n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --⋅⋅---=⋅⋅⋅⋅⋅=，从而1(1)3!225n n n n n a --⋅⋅=。
九、数学归纳法例12 已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189a =，得 2122322243228(11)88224(211)(213)9925258(21)248348(221)(223)252549498(31)488480(231)(233)49498181a a a a a a +⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯由此可猜测22(21)1(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。