北师大版-数学-八年级上册-“定义与命题,公理与定理”学法指导

“定义与命题，公理与定理”学法指导
一、学法指导：
1、会判定一个语句是否为命题，注意两条：
（1）命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句）；
（2）必须对某件事情作出肯定或者否定的判断。

2、要能找出命题的条件和结论，一般情况下，命题也可写成“如果……，那么……”或“若……，则……”等形式。

其中“如果”或“若”引出的部分是条件，有时这些字样前面还有前提条件。

这个前提条件也属于条件，“那么”或“则”引出的部分是结论。

对于条件和结论不明显的命题，要经过分析，先把它改写成“如果……，那么……”的形式，然后再确定条件和结论。

3、要会判定一个命题是真命题还是假命题。

真命题需要依据公理、定理等推理证明，假命题需要举出反例加以说明。

4、公理是人们在长期的实践中总结出来的公认的正确的命题，是判定其他命题真假的根据；定理是经过推理论证为真命题的命题。

二、主要内容
（一）定义
1、定义是对于一个概念的特征性质的描述。

（1）定义必须是严密的，要避免使用含糊不清的术语，比如：“一些”，“大概”，“差不多”等不能在定义中出现。

（2）定义是几何推理的依据，教材中列举的定义要正确理解、熟练识记，为以后的推理做好知识准备。

比如：
若AB⊥CD于O，则∠AOC＝90°（垂直定义）
反过来，若∠AOC＝90°，则AB⊥CD（垂直定义）
定义既可当性质用，也可当判定用，是我们思考问题的出发点和目标。

（二）命题的定义、结构及形式
（1）判断一件事情的句子，叫做命题。

不是所有的句子都称为命题，只有那些能判断是非，辨别真假的句子才是命题，各种形式的句子，只有构成为“是”或“不是”的形式，才能称为命题。

例如：“我很喜欢花”，“今天的天气多么好啊！”“这个道理你明白吗？”等都不是命题。

要想使之成为命题，都需改为“是”
或“不是”的形式。

（2）每个命题都是由条件和结论两部分组成。

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。

一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。

（3）真命题和假命题
如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。

要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。

（4）互逆命题。

如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题称为互逆的命题，其中一个作为另一个的逆命题。

例如：命题“相等的角是对顶角”与命题“对顶角相等”是互逆的命题。

一个命题为真，但不一定能保证它的逆命题为真。

（三）公理与定理
1、公理就是公认的真命题，是人们在长期实践中总结出来的认定的真命题，它作为证明的原始依据。

2、定理是经过证明的真命题。

定理可以作为判断其他命题的真假的依据。

要求同学们熟记教材中列举的定理和逆定理，为后面的几何推理、论证奠定基础。

三、典型例题
知识点1：定义和命题
例1 在下列空格上填写适当的概念。

（1）能够完全重合的两个图形叫做_____________。

（2）两组对边分别平行的四边形叫做_____________。

（3）连结三角形一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的_____________。

（4）_____________是有公共端点的两条射线组成的几何图形。

请同学们去熟悉书本上的一些定义，并能说出来。

例2 下列语句中不是命题的有（）
（1）两点之间，直线最短。

（2）不许大声讲话。

（3）连结A 、B 两点。

（4）花儿在春天开放。

（5）不相交的两条直线叫做平行线。

（6）无论n 为怎样的自然数，式子11n n 2+-的值都是质数吗？
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
知识点2：命题的结构和种类划分
例3 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出其条件和结论。

（1）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（2）菱形的四条边都相等。

（3）全等的两个三角形的面积相等。

（4）对顶角相等。

（5）等角的余角相等。

（6）两点确定一条直线。

解：（1）如果两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。

条件是：两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等，结论是：两个三角形全等。

（2）如果一个四边形是菱形，那么这个四边形的四条边相等。

条件是：一个四边形是菱形，结论是：四边形的四条边相等。

（3）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等。

条件是：两个三角形全等，结论：这两个三角形的面积相等。

（4）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。

条件是：两个角是对顶角，结论：这两个角相等。

（5）如果两个角相等，那么它们的余角也相等。

条件是：两个角相等，结论：它们的余角相等。

（6）如果过两已知点画直线，那么能够画而且只能画一条。

条件是：过两已知点画直线，结论：能够画而且只能画一条。

友情提示：有些命题条件和结论不明显，这时一般先添上省略去的词语，改写成“如果……，那么……”的形式，有时需要适当增减词语，保证句子叙述通顺而不改变原意。

例4 判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题，对于假命题请举出反例。

（1）画线段AB ＝3cm 。

（2）平行于同一条直线的两条直线互相平行。

（3）两条直线相交，有几个交点？
（4）相等的角都是直角。

（5）如果2
2b a =，那么a=b 。

（6）直角都相等。

解：（1）、（3）不是命题，因为句子中没有作出任何判断。

（2）、（6）是真命题；（4）、（5）是假命题。

对于（4），比如：∠A ＝30°，∠B ＝30°，∠A ＝∠B ，但∠A 、∠B 都不是直角。

对于（5）如，当a=5-，b=5时，，25a 2=25b 2=，满足2
2b a =，但a≠b ，结论不成立。

知识点3：公理与定理
例5 如图，∠B ＝∠C ，B 、A 、D 在同一直线上，∠DAC ＝∠B ＋∠C ，AE 是∠DAC 的平分线。

求证：AE ∥BC
证明：∵∠B ＋∠C ＝∠DAC
且∠B ＝∠C （ ）
∵AE 是∠DAC 的平分线（ ）
∴∠B ＝∠1（ ）
∴AE ∥BC （ ）
请同学们阅读上述证法，并填写推理根据。

知识点4：逆定理与互逆定理
例6 下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来；如果没有，说明理由。

（1）角平分线上的点到角两边的距离相等。

（2）对顶角相等。

解：（1）有逆定理“到一个角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上”。

利用三角形全等可以证明。

（2）没有逆定理 D E
B C A 1 2
比如：相等的角可能是平行线内错角、同位角或全等图形的对应角，但它们不是对顶角。

创新题：根据命题推理
例7 小王、小张和小李在一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士，现在知道：小李比战士年龄大，小王和农民不同岁，农民比小张年龄小，那么谁是工人，谁是农民、战士？
分析推理：
“小李比战士年龄大”说明小李不是战士；小李年龄大于战士年龄。

“农民比小张年龄小”说明小张不是农民，小张年龄大于农民年龄。

“小王与农民不同岁”说明小王不是农民。

既然小王和小张都不是农民，那么小李是农民。

根据上面结论知道他们年龄从大到小顺序是：小张、农民、战士。

因此，小王是战士，小张是工人。