浙江省宁波市2017-2018学年第二学期期末考试高一数学试卷(含详细答案)
2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题含答案bybao
2018—2018学年第二学期期末学业调研测试高一数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.函数(),24x f x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的最小正周期是 A.2πB. πC. 2πD.4π 2.已知点()()1,3,4,1A B -，则与向量AB同方向的单位向量为A. 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭3.不等式302x x -<+的解集为 A. {}|23x x -<< B. {}|2x x <- C. {}|23x x x <->或 D.{}|3x x > 4.若,,0a b R ab ∈>，且，则下列不等式中，恒成立的是A.222a b ab +>B. a b +≥C.11a b +> D.2b a a b +≥5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1237895,10a a a a a a ==，则456a a a =A.6.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知22,cos 3a c A ===，则b =7.设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是A. 4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭8.关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x ，且2115x x -=，则a =A.52 B. 72 C. 154 D.1529.设0ω>，函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原函数图象重合，则ω的最小值为 A.23 B. 43 C. 32D.3 10.函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为 A. ()13,44k k k z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B.()132,244k k k z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ C.()13,44k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D. ()132,244k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭11.在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ== ，则AE AF ⋅的最小值为 A. 2718 B. 2918 C. 1718 D.131812.已知数列{}n a 的首项为2，且数列{}n a 满足111n n n a a a +-=+，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =A. 586-B. 588-C. 590-D.504-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设关于,x y 的不等式组3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z y x =-的最小值为 .14.(sin 40tan10-=为 .15.已知0,0,28x y x y >>+=，则2x y +的最小值为 .16.设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 为对边分别为,,,a b c 且2sin a b A =，则cos sin A C +的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）已知函数()cos cos .3f x x x π⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求使得()14f x <成立x 的的取值集合.18.（本题满分12分）已知()()()cos ,sin ,cos ,sin ,0.a b ααβββαπ==<<<（1）若a b +=，求证：a b ⊥ ；（2）设()0,1c =，若a b c += ，求,αβ的值.19.（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，,83B AB π∠==,点D 在边BC 上，且12,cos .7CD ADC =∠=（1）求sin BAD ∠；（2）求,BD AC 的长.20.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为.n S （1）求n a ； （2）令()211n n b n N a *=∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos cos 0.a C C b c ⋅--=（1）求A ；（2）若2,a ABC =∆,b c .22.（本题满分12分） 已知数列{}n a 的首项1122,,1,2,3,31n n n a a a n a +===+ （1）证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .。
2017-2018年浙江省宁波市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年浙江省宁波市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）若数列{a n}为等比数列，且a2＝1，q＝2，则a4＝（）A．1B．2C．3D．42．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．C＝45°，b＝1，B＝30°，则边长c＝（）A．B．C．D．3．（4分）函数的定义域为（）A．R B．[1，5]C．[﹣1，5]D．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）4．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则＝（）A．B．1C．D．5．（4分）一个正方体的顶点都在表面积为48π的球面上，则该正方体的棱长为（）A．2B．C．4D．6．（4分）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0B．a3+b3＜0C．b+a＞0D．a2﹣b2＜0 7．（4分）一圆锥侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．π8．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a，b，c成等差数列，且5sin A＝3sin B，则C＝（）A．B．C．D．9．（4分）公差为d的等差数列{a n}与公比为q的等比数列{b n}分别满足|a n|≤2，|b n|≤2，n∈N*，则下列说法正确的是（）A．d＝0，q可能不为1B．d＝0，q＝1C．q＝1，d可能不为0D．d可能不为0，q可能不为110．（4分）已知正实数a，b满足a2+ab+b2＝3，则的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（1，3]C．（0，3]D．（0，1]二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分. 11．（6分）实数A、G分别为1和3的等差中项、等比中项，则A＝，A与G的大小关系为A G（填“＞”、“＜”或“＝”）．12．（6分）已知关于x的不等式x2﹣ax﹣3＜0的解集为（﹣1，3），则实数a＝；此时，关于x的不等式|x﹣a|≤2的解集为．13．（6分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为，体积为．14．（6分）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，a＝7，b+c＝8，则b•c＝，△ABC的面积S＝．15．（4分）等比数列{a n}，其前n项和，则实数a＝．16．（4分）数列{a n}满足，则通项公式a n＝．17．（4分）对于任意的实数x和非零实数a，不等式恒成立，则实数m的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝44，S8＝56．（Ⅰ）求S n；（Ⅱ）求S n的最大值．19．记集合A＝{x∈R|（x﹣1）2＜a2x2}．（Ⅰ）若2∈A，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若A＝∅，求实数a的值．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c（a cos B﹣b cos A）＝3b2．（Ⅰ）求证：a＝2b；（Ⅱ）若，求cos B的值．21．2018年5月21日5点28分，在我国西昌卫星发射中心，由中国航天科技集团有限公司抓总研制的嫦娥四号中继星“鹊桥”搭乘长征四号丙运载火箭升空，这标志着我国在月球探测领域取得新的突破．早在1671年，两位法国天文学家就已经成功测量出了地球与月球之间的距离，接下来，让我们重走这两位科学家的测量过程．如图，设O为地球球心，C为月球表面上一点，A，B为地球上位于同一子午线（经线）上的两点，地球半径记为R．步骤一：经测量，A，B两点的纬度分别为北纬30°和南纬60°，即，可求得；步骤二：经测量计算，∠CAB＝α，∠CBA＝β，计算|AC|；步骤三：利用以上测量及计算结果，计算|OC|．请你用解三角形的相关知识，求出步骤二、三中的|AC|及|OC|的值（结果均用α，β，R表示）．22．已知数列{a n}满足a1＝1，且当n∈N*时，恒有a n﹣1≥|3a n﹣a n+1|．（Ⅰ）求证：i）a n≥1；ii）a n+1≥2a n+1，n∈N*；（Ⅱ）记，证明：T n＜1，n∈N*．2017-2018学年浙江省宁波市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）若数列{a n}为等比数列，且a2＝1，q＝2，则a4＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，a2＝1，q＝2，则a4＝a2×q2＝4；故选：D．2．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．C＝45°，b＝1，B＝30°，则边长c＝（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．C＝45°，b＝1，B＝30°，由正弦定理可得：c＝＝＝．故选：C．3．（4分）函数的定义域为（）A．R B．[1，5]C．[﹣1，5]D．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）【解答】解：由题意得：x2﹣4x﹣5≥0，即（x﹣5）（x+1）≥0，解得：x≥5或x≤﹣1，故选：D．4．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则＝（）A．B．1C．D．【解答】解：△ABC中，，∴cos B＝＝，∴a2+c2﹣b2＝ac，∴＝＝1．故选：B．5．（4分）一个正方体的顶点都在表面积为48π的球面上，则该正方体的棱长为（）A．2B．C．4D．【解答】解：正方体外接球直径为正方体的体对角线长，∵，∴R＝2，∴正方体棱长为4，故选：D．6．（4分）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0B．a3+b3＜0C．b+a＞0D．a2﹣b2＜0【解答】解：因为a﹣|b|＞0，∴a＞|b|当a＝2，b＝﹣1时，b﹣a＝﹣3＜0，排除A；a3+b3＝23﹣1＝7＞0，排除B；a2﹣b2＝22﹣1＝3＞0，排除D故选：C．7．（4分）一圆锥侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．π【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长＝2πr，底面面积＝πr2，侧面面积＝＝πrR，∵侧面积是底面积的3倍，∴3πr2＝πrR，∴R＝3r，∴θ＝＝．故选：A．8．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a，b，c成等差数列，且5sin A＝3sin B，则C＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a+c，∵5sin A＝3sin B，∴由正弦定理得5a＝3b，设a＝3t，b＝5t，则c＝7t，∴cos C＝＝＝﹣，∵0＜C＜π，∴C＝．故选：B．9．（4分）公差为d的等差数列{a n}与公比为q的等比数列{b n}分别满足|a n|≤2，|b n|≤2，n∈N*，则下列说法正确的是（）A．d＝0，q可能不为1B．d＝0，q＝1C．q＝1，d可能不为0D．d可能不为0，q可能不为1【解答】解：若公差d≠0，则数列{a n}一定为递增数列或递减数列，则必定存在m∈N*，使得a m＞2或a m＜﹣2．与已知矛盾，则d＝0；当等比数列{b n}的首项为b1＝2，公比q＝﹣时，|b n|＝|2|＝．∴d＝0，q可能不为1．故选：A．10．（4分）已知正实数a，b满足a2+ab+b2＝3，则的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（1，3]C．（0，3]D．（0，1]【解答】解：正实数a，b满足a2+ab+b2＝3，则＝＝＝1+＝1+，由+≥2＝4，当且仅当a＝b取得等号，即有∈（0，2]，则1+∈（1，3]．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分. 11．（6分）实数A、G分别为1和3的等差中项、等比中项，则A＝2，A与G的大小关系为A＞G（填“＞”、“＜”或“＝”）．【解答】解：实数A、G分别为1和3的等差中项、等比中项，可得2A＝1+3，可得A＝2，G2＝1×3，可得G＝±，则A＞G．故答案为：2，＞．12．（6分）已知关于x的不等式x2﹣ax﹣3＜0的解集为（﹣1，3），则实数a＝2；此时，关于x的不等式|x﹣a|≤2的解集为[0，4]．【解答】解：由题意可知，﹣1和3是关于x的方程x2﹣ax﹣3＝0的两实根，由韦达定理可得﹣1+3＝a＝2，关于x的不等式|x﹣a|≤2为|x﹣2|≤2，等价于﹣2≤x﹣2≤2，解得0≤x≤4，因此，关于x的不等式|x﹣a|≤2的解集为[0，4]，故答案为：2；[0，4]．13．（6分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为3+，体积为．【解答】解：如图所示，该几何体是一个直三棱柱，是以俯视图为底面是三棱柱，棱柱的底面是等腰直角三角形，腰长为1，棱柱的高为1，其左侧面与底侧面都是边长为1的正方形且相互垂直，其三棱柱的表面积S＝＝3+．三棱柱的体积为：＝．故答案为：；．14．（6分）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，a＝7，b+c＝8，则b•c＝15，△ABC的面积S＝．【解答】解：∵，a＝7，b+c＝8，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：49＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc＝64﹣bc，解得：bc＝15，∴S△ABC＝bc sin A＝＝．故答案为：15，．15．（4分）等比数列{a n}，其前n项和，则实数a＝1．【解答】解：由题意可得a1＝a﹣2，a2＝s2﹣s1＝（a﹣4）﹣（a﹣2）＝﹣2，a3＝s3﹣s2＝（a﹣8）﹣（a﹣4）＝﹣4，∴4＝（a﹣2）•（﹣4），∴a＝1，故答案为：1．16．（4分）数列{a n}满足，则通项公式a n＝．【解答】解：当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1＝（n﹣1）2，，作差可得，na n＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，故a n＝，a1＝1也满足上式；故a n＝，故答案为：．17．（4分）对于任意的实数x和非零实数a，不等式恒成立，则实数m的取值范围为[﹣3，1]．【解答】解：由绝对值不等式的性质可得|x+|+|x﹣|≥|（x+）﹣（x﹣）|＝|+|，等号成立当且仅当（x+）（x﹣）≤0，又|+|＝||+||≥2＝3，等号成立当且仅当a＝±6时，∴|+|≥3，∵不等式恒成立，∴m2+2m≤3，解得﹣3≤m≤1，故实数m的取值范围为[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝44，S8＝56．（Ⅰ）求S n；（Ⅱ）求S n的最大值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4＝44，S8＝56，得，解得a1＝14，d＝﹣2．（Ⅰ）；（Ⅱ），其对称轴方程为n＝，∵n∈N*，∴当n＝7或8时，S n的最大值为56．19．记集合A＝{x∈R|（x﹣1）2＜a2x2}．（Ⅰ）若2∈A，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若A＝∅，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵集合A＝{x∈R|（x﹣1）2＜a2x2}，2∈A，∴1＜4a2，解得a＞或a＜﹣．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．（Ⅱ）∵A＝∅，∴（x﹣1）2＜a2x2无解，∴（1﹣a2）x2﹣2x+1＜0无解，∴△＝4﹣4（1﹣a2）≤0，解得a＝0．∴实数a的值是0．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c（a cos B﹣b cos A）＝3b2．（Ⅰ）求证：a＝2b；（Ⅱ）若，求cos B的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵c（a cos B﹣b cos A）＝3b2，∴由余弦定理可得ac•﹣bc•＝3b2，即a2+c2﹣b2﹣b2﹣c2+a2＝6b2，即a2＝4b2，则a＝2b．（Ⅱ）∵，a＝2b，∴由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣ab＝3b2，可得：c＝b，∴cos B＝＝＝．21．2018年5月21日5点28分，在我国西昌卫星发射中心，由中国航天科技集团有限公司抓总研制的嫦娥四号中继星“鹊桥”搭乘长征四号丙运载火箭升空，这标志着我国在月球探测领域取得新的突破．早在1671年，两位法国天文学家就已经成功测量出了地球与月球之间的距离，接下来，让我们重走这两位科学家的测量过程．如图，设O为地球球心，C为月球表面上一点，A，B为地球上位于同一子午线（经线）上的两点，地球半径记为R．步骤一：经测量，A，B两点的纬度分别为北纬30°和南纬60°，即，可求得；步骤二：经测量计算，∠CAB＝α，∠CBA＝β，计算|AC|；步骤三：利用以上测量及计算结果，计算|OC|．请你用解三角形的相关知识，求出步骤二、三中的|AC|及|OC|的值（结果均用α，β，R表示）．【解答】解：如图，∵∠CAB＝α，∠CBA＝β，∴∠ACB＝π﹣α﹣β，由正弦定理可得：，∴|AC|＝；在△AOC中，，∵，∴，∴．22．已知数列{a n}满足a1＝1，且当n∈N*时，恒有a n﹣1≥|3a n﹣a n+1|．（Ⅰ）求证：i）a n≥1；ii）a n+1≥2a n+1，n∈N*；（Ⅱ）记，证明：T n＜1，n∈N*．【解答】证明：（Ⅰ）i）a1＝1，且当n∈N*时，恒有a n﹣1≥|3a n﹣a n+1|，由|3a n﹣a n+1|≥0，可得a n﹣1≥0，即a n≥1；ii）由当n∈N*时，恒有a n﹣1≥|3a n﹣a n+1|，可得1﹣a n≤a n+1﹣3a n≤a n﹣1，即有1+2a n≤a n+1≤4a n﹣1，则a n+1≥2a n+1，n∈N*；（Ⅱ）由a n+1≥2a n+1，可得a n+1+1≥2（a n+1），由a n+1＝（a1+1）••…≥2•2•2…2＝2n，则a n≥2n﹣1，则≤＝﹣，可得≤﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＜1，即T n＜1，n∈N*．。
浙江省宁波市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析
宁波市2018学年第二学期期末考试高一数学试卷一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a 中，132,4a a ==，则公差d =（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】利用通项得到关于公差d 的方程，解方程即得解. 【详解】由题得2+24,1d d =∴=. 故选：C【点睛】本题主要考查数列的通项的基本量的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.不等式|1|1x <-的解集为（ ） A. (,2)-∞B. (0,2)C. (1,2)-D.(,0)(2,)-∞+∞【答案】B 【解析】【分析】由题得-1＜x-1＜1，解不等式即得解. 【详解】由题得-1＜x-1＜1，即0＜x ＜2. 故选：B【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若 3 : 4 : 5a : b : c =，则cos C 的值为（ ） A.35B.45C.34D. 0【答案】D 【解析】 【分析】设3,4,5,a k b k c k ===利用余弦定理求cosC 的值. 【详解】设3,4,5,a k b k c k ===所以22291625cos 0234k k k C k k+-==⋅⋅.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，公比2q =，则4S 的值为（ ） A. 15 B. 16C. 30D. 31【答案】A 【解析】 【分析】直接利用等比数列前n 项和公式求4S .【详解】由题得4412=1512S -=-.故选：A【点睛】本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.若非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式成立的是（ ） A.1ab< B.2b aa b+≥ C.2211ab a b< D.22a a b b +<+【答案】C 【解析】 【分析】对每一个不等式逐一分析判断得解.【详解】A,1a a b b b--=不一定小于0，所以该选项不一定成立； B,如果a ＜0，b ＜0时， 2b aa b+≥不成立，所以该选项不一定成立；C, 2222110a bab a b a b --=<，所以2211ab a b<，所以该不等式成立；D, 22()()()()(1)a a b b a b a b a b a b a b +-=+-+-=-++-不一定小于0，所以该选项不一定成立. 故选：C【点睛】本题主要考查不等式性质和比较法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log||n a .其中一定为等比数列的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①②【答案】D 【解析】 【分析】设11n n a a q -=，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解. 【详解】设11n n a a q -=，①,112=2n n a a q-,所以数列{}2n a 是等比数列；②，222222111=()n n n a a qa q --=，所以数列{}2n a 是等比数列； ③，11112111211222=2,222n n n n n n n n a a q a a qa q a q a a q -------==不是一个常数，所以数列{}2n a不是等比数列；④，122122121log ||log |q |log ||log |q |n n n n a a a a ---=不是一个常数，所以数列{}2log ||n a 不是等比数列. 故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.若不等式2(1)0mx m x m +-+>对实数x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围（ ）A. 1m <-或13m > B. 1m > C. 13m >D. 113m -<<【答案】C 【解析】 【分析】对m 分m ≠0和m=0两种情况讨论分析得解.【详解】由题得0m =时，x ＜0，与已知不符，所以m ≠0. 当m ≠0时，220(1)40m m m >∆=--<且， 所以13m >. 综合得m 的取值范围为13m >. 故选：C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（ ） A. 12π B. 16πC. 20πD. 24π【答案】A 【解析】 【分析】先求出外接球的半径，再求球的表面积得解.【详解】由题得正方体的对角线长为所以,=4=12R R S ππ∴=球. 故选：A【点睛】本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，890, 0S <S =.若n k S S ≥对*n N ∈恒成立，则正整数k 构成的集合是（ ） A. {4,5} B. {4}C. {3,4}D. {5,6}【答案】A 【解析】 【分析】先分析出540,0a a =<，即得k 的值. 【详解】因为9550,90,0.S a a =∴=∴= 因为8184580,()0,02S a a a a <∴+<∴+< 所以40a <.所以()45min n S S S ==,所以正整数k 构成的集合是{4,5}. 故选：A【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的最小值的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.记max{,,}a b c 为实数,,a b c 中的最大数.若实数,,x y z 满足222363x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩则max{||,||,||}x y z 的最大值为（ ）A.32B. 1 D.23【答案】B 【解析】 【分析】先利用判别式法求出|x|,|y|,|z|的取值范围，再判断得解. 【详解】因为222363x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，所以22236()3x y x y +++=，整理得：()2222912730,(12)49730y xy x x x ++-=∆=-⨯⨯-≥， 解得21x ≤， 所以||1x ≤，同理，2||1,|z |13y ≤<≤<. 故选：B【点睛】本题主要考查新定义和判别式法求范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11.若关于x 的不等式20x ax b -+<的解集是(1,2)-，则a =________，b =_______. 【答案】 (1). 1 (2). -2 【解析】 【分析】由题得12(1)2ab -+=⎧⎨-⋅=⎩，解方程即得解.【详解】由题得12(1)2ab -+=⎧⎨-⋅=⎩，所以a =1,b =-2. 故答案： (1). 1 (2). -2【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知数列{}n a 的前n 项和31nn S =-，则首项1a =_____，通项式n a =______.【答案】 (1). 2 (2). 123n -⋅ 【解析】 【分析】当n=1时，即可求出1a ，再利用项和公式求n a . 【详解】当n=1时，11312a S ==-=,当2n ≥时，11n-1==3323n n n n n a S S ----=⋅，适合n=1. 所以123n n a -=⋅.故答案为：(1). 2 (2). 123n -⋅【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知,23A a b π===，则B =___，ABC ∆的面积S =____.【答案】 (1). 2π【解析】 【分析】由正弦定理求出B ，再利用三角形的面积公式求三角形的面积.【详解】由正弦定理得2=,sin 1,sin 2sin3B B B ππ∴=∴=.所以C=,16c π=，所以三角形的面积为112⋅.故答案为：(1).2π【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为_____，体积为______.【答案】 (1). 83【解析】 【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求最长的棱长和体积. 【详解】由三视图得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD,底面是边长为2的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD,PA=2,所以最长的棱为=几何体体积2182233V =⋅⋅=.故答案为：(1). 83【点睛】本题主要考查三视图还原几何体和几何体体积是计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知正实数,x y 满足3x+y+=xy ，则x y +的最小值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】由题得2)34x y x+y+=xy +≤（，解不等式即得x+y 的最小值.【详解】由题得2)34x y x+y+=xy +≤（,所以2)4(x y x y +-+≥（）-120， 所以6)(2)0x y x y +-++≥（， 所以x+y ≥6或x+y ≤-2(舍去)， 所以x+y 的最小值为6. 当且仅当x=y=3时取等. 故答案为：6【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16.记1()(1)(2)()nk f k f f f n ==+++∑，则函数41()||k g x x k ==-∑的最小值为__________．【答案】4 【解析】 【分析】利用|1||4||2||31(4)||2(3)|x x x x ||x x x x -+-+-+-≥---+---求解. 【详解】()=1234g x |x |+|x |+|x |+|x |----|1||4||2||31(4)||2(3)|x x x x ||x x x x =-+-+-+-≥---+---4=，当23x ≤≤时，等号成立.故答案为：4【点睛】本题主要考查绝对值不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.在ABC ∆中，角B 为直角，线段BA 上的点M 满足2BM 2 MA ==，若对于给定的,ACM ABC ∠∆是唯一确定的，则sin ACM ∠=_______．【答案】15【解析】【分析】 设,BC x ACM =∠=θ，根据已知先求出x 的值，再求sin ACM ∠的值.【详解】设,B C x A C M=∠=θ，则t ant A C B M C Bθ=∠-∠232132661x x x x x x x x-===++⋅+.依题意，若对于给定的,ACM ABC ∠∆是唯一的确定的，函数16x x+在（1，+∞）是减函数，所以x =1tan 5θ=θ=.故答案为：15【点睛】本题主要考查对勾函数的图像和性质，考查差角的正切的计算和同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题 ：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且142,14a S ==.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T .【答案】（I ）1n a =n+；（II ）2(2)n nT n =+.【解析】 【分析】（I ）根据已知的两个条件求出公差d,即得数列{}n a 的通项公式；（II ）先求出111(1)(2)n n a a n n +=++，再利用裂项相消法求和得解. 【详解】（I ）由题得4342+14,12d d ⋅⋅⋅=∴=， 所以等差数列的通项为2+1)11n a =n n+-⋅=（； （II ）因为11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++， 所以11111111233412222(2)n n T n n n n =-+-++-=-=++++. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查等差数列前n 项和基本量的计算，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos cos 2a B b AC c+=.（I ）求角C 的大小；（II ）若4ab =，求c 的最小值. 【答案】（I ）3C π=；（II ）最小值为2.【解析】 【分析】（I ）sin cos sin cos cos 2sin A B B AC C+=,化简即得C 的值；（II ）【详解】（I ）因为sin cos sin cos sin )sin 1cos =2sin 2sin 2sin 2A B B A A B C C C C C ++===（， 所以3C π=；（II ）由余弦定理可得，222c a b ab =+-，因为222a b ab +≥，所以24c ab ≥=， 当且仅当2,a =b= c 的最小值为2.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数21()1()f x x a x x R a ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭.（I ）当12a =时，求不等式()0f x <的解集； （II ）若关于x 的不等式()0f x <有且仅有一个整数解，求正实数．．．a 的取值范围.【答案】（I ）1,22⎛⎫⎪⎝⎭；（II ）12a <≤，或112a ≤<【解析】 【分析】（I ）直接解不等式25102x x -+<得解集；（II ）对a 分类讨论解不等式分析找到a 满足的不等式，解不等式即得解. 【详解】（I ）当12a =时，不等式为25102x x -+<， 不等式的解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以不等式()0f x <的解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭； （II ）原不等式可化为1()0x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭， ①当1a a=，即1a =时，原不等式的解集为∅，不满足题意；②当1a a >，即1a >时，1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时101a <<，所以12a <≤；③当1a a <，即01<a <时，1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以只需112a <≤，解得112a ≤<； 综上所述，12a <≤，或112a ≤<. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,2a b B A ===. （I ）求cos A 的值； （II ）求c 的值.【答案】（1）3；（2）5 【解析】试题分析：（1）依题意，利用正弦定理3sin A =及二倍角的正弦即可求得cosA 的值；（2）易求sinB=13，从而利用两角和的正弦可求得sin （A+B ），在△ABC中，此即sinC 的值，利用正弦定理可求得c 的值． 试题解析：( 1）由正弦定理可得，即：3sin sin2A A =，∴3sin 2sin cos A A A =，∴cos 3A =.（2由（1）cos A =，且0180A ︒<<︒，∴sin A ===，∴sin sin22sin cos 23B A A A ====，221cos cos22cos 1213B A A ==-=⨯-=⎝⎭∴()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦=sin cos cos sin A B A B +=133+=由正弦定理可得：sin sin c aC A=，∴3sin 5sin a C c A ===。
浙江省宁波市仁爱中学2018年高一数学理期末试卷含解析
浙江省宁波市仁爱中学2018年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知满足，则的形状是（）、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、非直角三角形参考答案：B略2. 已知满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（）参考答案：C3. 设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是( )A．（] B．（）C．（] D．（）参考答案：D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】函数的性质及应用．【分析】先作出函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，得到x2+x3=6，且﹣＜x1＜0；最后结合求得x1+x2+x3的取值范围即可．【解答】解：函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足﹣＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故选D【点评】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．4. 已知，则等于( )A．B．C．D．参考答案：B5. 若，则f（3）=（）A．2 B．4 C．D．10参考答案：A【考点】3T：函数的值．【分析】直接把函数式中的自变量换成3，即可求得所求的函数值．【解答】解：由可得，则f（3）==2，故选 A．【点评】本题考查求函数值的方法，直接代入法．6. 的值等于( )A. B. C. D.参考答案：A= ,选A.7. 正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AC与BC1所成角的余弦值为（）A. B. C. D. 0参考答案：C【分析】作出相关图形，通过平行将异面直线所成角转化为共面直线所成角.【详解】作出相关图形，由于，所以直线与所成角即为直线与所成角，由于为等边三角形，于是所成角余弦值为，故答案选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值，难度不大.8. 已知集合，，则A∪B=（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据集合的并集的运算，准确运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，则.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，其中解答中熟记集合的并集概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9. 已知函数 ,其中对恒成立，且，则的单调递增区间是（）A. B.C. D.参考答案：C10. 已知集合{≤≤5}，，且，若，则（）.A．－3≤≤4 B．－3 4 C． D．≤4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在数列{a n}中，a1=，a n=（﹣1）n×2a n﹣1，（n≥2，n∈N*），则a5=．参考答案：﹣【考点】数列递推式．【分析】依题意，利用递推关系可求得a2、a3、a4、从而可求得a5的值．【解答】解：∵a1=，a n=（﹣1）n×2a n﹣1，（n≥2，n∈N*），∴a2=2a1=；∴a3=﹣2a2=﹣；a4=2a3=，a5=﹣a4=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列递推式的应用，考查推理与运算能力，属于基础题．12. 已知函数f（x）=ax3﹣bx+1，a，b∈R，若f（﹣2）=﹣1，则f（2）= ．3【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】分别把x=2和﹣2代入f（x）=ax3﹣bx+1，得到两个式子，再把它们相加就可求出f（2）的值．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣bx+1，∴f（﹣2）=﹣8a+2b+1=﹣1，①而设f（2）=8a﹣2b+1=M，②∴①+②得，M=3，即f（2）=3，故答案为：3．【点评】本题考查了利用整体代换求函数的值，即利用函数解析式的特点进行求解．13. 设为空间的两条直线，为空间的两个平面，给出下列命题：（1）若m∥,m∥, 则∥；（2）若⊥，⊥β，则∥;（3）若∥，∥，则∥；（4）若⊥，⊥，则∥;上述命题中，所有真命题的序号是▲．参考答案：（2）（4）14. 三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．参考答案：15. 在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上且满足，则= ．-4【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】先根据AM=3，点P在AM上且满足，求||的值，再根据M是BC的中点，计算，最后计算即可．解：∵AM=3，点P在AM上且满足，∴||=2∵M是BC的中点，∴=2=∴=?=﹣=﹣4故答案为﹣4【点评】本题考查了向量的加法与向量的数量积的运算，属基础题，必须掌握．16. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．参考答案：1217. 三角形ABC中，如果A=60o，C=45o，且a=,则c= 。
浙江省宁波市高一下学期数学期末考试试卷
浙江省宁波市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）下列说法正确的是（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·河南模拟) 在中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则（）A . 2B . 3C . 4D . 63. （2分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分） (2018高一下·张家界期末) 数列的一个通项公式是（）A .B .D .5. （2分）三角形ABC中，,AB=3,BC=1 ，以边AB所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A .B .C . .D .6. （2分） (2018高一下·定远期末) 一个正项等差数列前项的和为3，前项的和为21，则前项的和为（）A . 18B . 12C . 9D . 67. （2分） (2018高一上·吉林期末) 如图所示，直观图四边形是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A .B .C .8. （2分） (2018高二上·潮州期末) 海洋中有三座灯塔.其中之间距高为，在处观察 ,其方向是南偏东，观察 ,其方向是南偏东 ,在处現察 ,其方向是北偏东 , 之的距离是（）A .B .C .D .9. （2分）已知变量x、y满足的约束条件，则的最大值为（）A . -3B .C . -5D . 410. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 已知是各项都为正数的等比数列，是它的前项和，若， ,则（）A .B . 54C . 72D . 9011. （2分）点E、F分别是三棱锥P﹣ABC的棱AP、BC的中点，AB=6，PC=8，EF=5，则异面直线AB与PC所成的角为（）A . 60°B . 45°C . 30°D . 90°12. （2分）在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱AA1、BB1、CC1的长度分别为10m、15m、30m，则立柱DD1的长度是（）A . 30mB . 25mC . 20mD . 15m二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是________14. （1分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________15. （1分）不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}，则a的值为________16. （1分）(2018·泉州模拟) 如图，一张A4纸的长宽之比为，分别为 , 的中点．现分别将△ ,△ 沿 , 折起，且 , 在平面同侧，下列命题正确的是________．（写出所有正确命题的序号）① , , , 四点共面；②当平面平面时，平面；③当 , 重合于点时，平面平面；④当 , 重合于点时，设平面平面，则平面．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2018·宣城模拟) 的三个内角的对边分别为，且 .（1）求；（2）若，，求的大小.18. （10分） (2016高二上·忻州期中) 已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y ﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．19. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，且PD=AD= AB，E为PC的中点．（1）过点A作一条射线AG，使得AG∥BD，求证：平面PAG∥平面BDE；（2）求二面角D﹣BE﹣C得余弦值的绝对值．20. （10分）(2018·郑州模拟) 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，为线段上的点，且， .（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.21. （10分）(2016·赤峰模拟) 已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．（1）求a+b+c的值；（2）求证：a2+b2+c2 ．22. （10分） (2017高一下·邢台期末) 设Sn为数列{cn}的前n项和，an=2n ， bn=50﹣3n，cn= ．（1）求c4与c8的等差中项；（2）当n＞5时，设数列{Sn}的前n项和为Tn．（ⅰ）求Tn；（ⅱ）当n＞5时，判断数列{Tn﹣34ln}的单调性．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2017-2018学年浙江省宁波市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，3，4，7}，B={1，2，4，6，7}，则∁U（A∩B）=（）A. {3,6}B. {5}C. {2,3，5，6}D. {1,2，3，4，5，6，7}2.下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y=log0.5xB. y=sin xC. y=2xD. y=tan x3.若幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则f（9）的值为（）A. 1B. −3C. ±3D. 34.若角α的终边经过点P（-1，-1），则（）A. tanα=1B. sinα=−1C. cosα=22D. sinα=225.在△ABC中，点D为边AB的中点，则向量CD=（）A. 12BA−BC B. −12BA−BC C. −12BA+BC D. 12BA+BC6.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=π6对称的是（）A. y=sin(12x−π12) B. y=sin(2x+π6)C. y=cos(12x+π6) D. y=cos(2x+π6)7.函数y=cosxe|x|的图象大致是（）A. B.C. D.8.已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且e x=f（x）+g（x），则f（x）=（）A. e x−e−x2B. e x+e−x2C. e−x−e x2D. −e−x−e x29.对于非零向量m，n，定义运算“×”：m×n=|m||n|sinθ，其中θ为m，n的夹角．设a，b，c为非零向量，则下列说法错误的是（）A. a×b=b×aB. (a+b)×c=a×c+b×cC. 若a×b=0，则a//bD. a×b=(−a)×b10.已知α∈[−π2，π2]，β∈[−π2，0]，且sinα−cos2β=(12)α−π−(14)β，则sin(α2−β)=（）A. −12B. 0 C. 22D. 32二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11. 已知log 23=a ，则log 29=______（用a 表示），2a=______． 12. 已知A （1，-1），B （3，3），a =（1，m ），且AB ∥a ，则|AB |=______，m =______．13. 已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ）(ω＞0，0＜ω＜π2)一部分图象如图所示，则ω=______，函数f （x ）的图象可以由g （x ）=2sinωx 的图象向左平移至少______个单位得到．14. f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）=2x ，且关于x 的方程[f （x ）]2-4f（x ）+a =0在R 上有三个不同的实数根，则f （-1）=______，a =______．15. 弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位．已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是______．16. 已知向量a ，b 的夹角为π3，a =（0，1），|b |=2，则|2a -b |=______． 17. 函数f （x ）= 2x ,x ≥1−6x +5,x <1，若存在x 1＜x 2，使得f （x 1）=f （x 2），则x 1•f （x 1）的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共68.0分）18. 已知集合A ={x |-3≤x ≤a }，a ∈R ，B ={y |y =3x +4，x ∈A }，C ={z |z =x 2，x ∈A }．（Ⅰ）若a =0，求A ∩B ；（Ⅱ）若a ≥3，且B ∪C =B ，求a 的取值范围．19. 已知函数f (x )=2 3sinxcosx +cos 2x −sin 2x ．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若x ∈(0，π2)，求函数f （x ）的最大值以及取得最大值时x 的值．20.如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=π3．（Ⅰ）求AB⋅AC的值；（Ⅱ）若点P在线段AB及BC上运动，求(AB+AC)⋅AP的最大值．21.已知α，β∈(0，π2)，sinα=7sinβ=27．（Ⅰ）求cos（α+β）的值；（Ⅱ）是否存在x，y∈(0，π2)，使得下列两个式子：①x2+y=α+β；②tan x2⋅tany=2−3同时成立？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由．22.已知函数f（x）=log2（x+1），g（x）=x|x-a|．（Ⅰ）若g（x）为奇函数，求a的值并判断g（x）的单调性（单调性不需证明）；（Ⅱ）对任意x1∈[1，+∞），总存在唯一的x2∈[2，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求正实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A∩B={1，4，7}；∴∁U（A∩B）={2，3，5，6}．故选：C．进行交集、补集的运算即可．考查列举法表示集合的概念，交集、补集的运算．2.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=log0.5x为对数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；对于B，y=sinx，为正弦函数，在定义域内不具有单调性，不符合题意；对于C，y=2x，为指数函数，在定义域内单调递增，符合题意；对于D，y=tanx，为正切函数，在定义域内不具有单调性，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），∴4n=2，解得n=，∴f（x）=，∴f（9）==3．故选：D．由幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），求出f（x）=，由此能求出f（9）．本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：∵角α的终边经过点P（-1，-1），∴tanα==1，sinα==-，cosα==-，故选：A．利用任意角的三角函数的定义，得出结论．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意得，=-=-，故选：A．运用向量的减法和共线向量的知识可解决此问题．本题考查向量的减法和共线向量的知识．6.【答案】B【解析】解：由于函数y=sin（x-）的周期为=4π，故排除A；由于函数y=sin（2x+）的周期为=π，时，函数y取得最大值为1，故函数y的图象关于直线对称，故B满足条件；由于函数y=sin（2x+）的周期为=4π，故排除C；由于函数y=cos（2x+）的周期为=π，时，函数y=0，故函数y的图象不关于直线对称，故D不满足条，故选：B．由题意利用三角函数的周期性和图象的对称性，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性和图象的对称性，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：令f（x）=，∵f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A、B．又cosx的最大值为1，此时x=2kπ，（k∈Z），e|x|的最小值为1，此时x=0，故x=0时，f（x）取得最大值1，据此排除C．故选：D．根据函数的奇偶性排除A、B，根据函数最大值排除C．只能选D．本题考查了函数的奇偶性及最值、使用了排除法．属基础题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，e x=f（x）+g（x），①又由函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=e-x，②①-②可得：f（x）=；故选：A．根据题意，由e x=f（x）+g（x）结合函数f（x）、g（x）的奇偶性分析可得f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=e-x，联立2个式子，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：非零向量，，定义运算“×”：×=||||sinθ，其中θ为，的夹角．故：①，故A正确．②，则：θ=0或π，所以：和共线，故：C正确．③由于：，故：D正确，所以利用排除法得到：B错误．故选：B．利用向量的数量积的运算和排除法求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】C【解析】解：∵，，∴，2β∈[-π，0]，又∵，∴．∴⇒．∴=．故选：C．利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查利用三角函数的诱导公式化简求值，是基础题．11.【答案】2a 3【解析】解：因为log2 3=a，所以log2 9=log2 32=2log23=2a；所以2a=2=3，故答案为：2a； 3利用对数的运算性质和对数恒等式可求得．本题考查了对数的运算性质．属基础题．12.【答案】25 2【解析】解：根据题意得，=（2，4）=（1，m），∵∥，∴2m-4=0，∴m=2，===2，故答案为2，2．运用共线向量的知识可解决此问题．本题考查平行向量的知识和向量的坐标表示．13.【答案】2 π6【解析】解：由图观察可得=+=，T=π，ω==2，所以f（x）=2sin（2x+φ），代入最高点（，2）得sin（+φ）=1，又0＜φ＜，∴φ=，∴f（x）=2sin[2（x+）]，故向左平移故答案为：2，．观察得A，T，再代点求得φ，可得f（x）的解析式．根据图象变换可得答案为本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．14.【答案】2 3【解析】解：f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x，可得f（x）=2|x|，则f（-1）=f（1）=2；关于x的方程[f（x）]2-4f（x）+a=0在R上有三个不同的实数根，由于y=4|x|-4•2|x|+a为偶函数，可得原方程一定有一个根为0，可得40-4•20+a=0，解得a=3，故答案为：2，3．由偶函数的定义可得f（-1）=f（1），再由题意可得y=4|x|-4•2|x|+a为偶函数，可得原方程一定有一个根为0，代入0计算可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查函数方程的转化思想，以及运算能力，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：由弧长公式l=rα，l=r，可得：α=1．故答案为：1．利用弧长公式即可得出．本题考查了弧长公式的应用，属于基础题．16.【答案】2【解析】解：∵已知向量，的夹角为，=（0，1），||=2，则|2-|====2，故答案为：2．根据向量的模的定义、两个向量的数量积的定义，求得|2-|=的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．17.【答案】2524【解析】解：由于f（x）在x＜1递减，x＞1递增，存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），可得5-6x1=2x2＞0，可得x1＜，x1•f（x1）=x1（5-6x1）≤6•（）2=，当且仅当x1=时，上式取得等号，即x1•f（x1）的最大值为，故答案为：．由f（x）的解析式可得5-6x1=2x2＞0，可得x1＜，x1•f（x1）=x1（5-6x1），运用基本不等式即可得到所求最大值．本题考查分段函数的运用：求最值，考查基本不等式的运用，以及变形能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）由题可得a=0时，A={x|-3≤x≤0}，B={y|-5≤y≤4}．∴A∩B={x|-3≤x≤0}．（Ⅱ）∵B∪C=B，∴C⊆B，B={y|-5≤y≤3a+4}．a≥3时，C={z|0≤z≤a2}．∴a2≤3a+4，-1≤a≤4．∴3≤a≤4．故a的取值范围是[3，4]．【解析】（Ⅰ）a=0时，A={x|-3≤x≤0}，B={y|-5≤y≤4}．由此能求出A∩B．（Ⅱ）由B∪C=B，得C⊆B，B={y|-5≤y≤3a+4}．a≥3时，C={z|0≤z≤a2}．由此能求出a的取值范围．本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）函数f(x)=23sinxcosx+cos2x−sin2x=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），∴函数f（x）的最小正周期为T=2π2=π；（Ⅱ）若x∈(0，π2)，则2x∈（0，π），2x+π6∈（π6，7π6），∴sin（2x+π6）∈（-12，1]，当2x+π6=π2，即x=π6时，函数f（x）取得最大值为2．【解析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）根据x的取值范围求出f（x）的取值范围以及最大值和对应x的值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）如图所示：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，∴B（2，0），C(3，3)，AB=(2，0)，AC=(3，3)．∴AB⋅AC=6．（Ⅱ）AB+AC=(5，3)，设P（x，y），∴(AB+AC)⋅AP=5x+3y．所以当点P在点C处时，(AB+AC)⋅AP的值最大，且最大值为18．【解析】（Ⅰ）首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算求出结果．（Ⅱ）利用向量的坐标运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的坐标运算及向量的数量积运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21.【答案】解：（Ⅰ）∵α，β∈(0，π2)，sinα=7，sinβ=27，∴cosα=37，cosβ=327．∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=12．（Ⅱ）∵α+β∈（0，π），∴α+β=π3，∴x 2+y=α+β=π3．∴tan(x2+y)=tanx2+tany1−tan x⋅tany=3，∵tan x 2⋅tany =2− 3，∴tan x 2+tany =3− 3．∴tan x 2，tan y 是方程t 2−(3− 3)t +2− 3=0的两个根．∵x ，y ∈(0，π2)，∴0＜tan x 2＜1，∴tan x 2=2− 3，tan y =1．∴y =π4，x =π6．即存在x =π6，y =π4满足①②两式成立的条件．【解析】 （Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，，进而利用两角和的余弦函数公式即可计算得解． （Ⅱ）由已知可求，利用两角和的正切函数公式可求，利用韦达定理结合范围，可求，tany=1进而解得x ，y 的值，即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，两角和的正切函数公式，韦达定理的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵g （x ）为奇函数，∴g （x ）+g （-x ）=x （|x -a |-|x +a |）=0恒成立． ∴a =0．此时g （x ）=x |x |，在R 上单调递增．（Ⅱ）x 1∈[1，+∞），f （x ）=log 2（x +1），∴f （x 1）∈[1，+∞），g (x )= −x 2+ax ,x <a x 2−ax ,x≥a ．①当a ≤2时，g （x 2）在[2，+∞）上单调递增，∴g （2）=4-2a ≤1，a ≥32， ∴32≤a ≤2；②当2＜a ＜4时，g （x 2）在[2，a ]上单调递减，在[a ，+∞）上单调递增． ∴g （2）=-4+2a ＜1，a ＜52，∴2＜a ＜52；③当a ≥4时，g （x 2）在[2，a 2]上单调递增，在[a 2，a ]上单调递减，在[a ，+∞）上单调递增．∴g(a2)=−(a2)2+a22＜1，-2＜a＜2，不成立．综上可知，32≤a＜52．【解析】（Ⅰ）利用g（x）为奇函数，通过定义，转化求解a的值，判断g（x）的单调性；（Ⅱ）x1∈[1，+∞），f（x）=log2（x+1），利用分段函数，通过①当a≤2时，②当2＜a＜4时，③当a≥4时，g（x2）在[2，+∞）上单调递增，求出a的范围；本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想的应用，是中档题．。
2017-2018学年浙江省宁波市九校高一下学期期末联考数学试题(解析版)
2017-2018学年浙江省宁波市九校高一下学期期末联考数学
试题
一、单选题
1．圆的圆心坐标和半径分别是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分析：将圆的一般方程化为标准方程后可得结果．
详解：由题意得圆的标准方程为，
故圆的圆心为，半径为1．
故选B．
点睛：本题考查圆的一般方程和标准方程间的转化及圆心、半径的求法，考查学生的转
化能力，属于容易题．
2．已知，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：将展开得到，然后两边平方可得所求．
详解：∵，
∴，
两边平方，得，
∴．
故选A．
点睛：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，
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浙江省宁波市2017-2018学年第二学期期末考试高一数学试卷(含详细答案)
浙江省宁波市2017-2018学年第二学期期末考试高一数学试卷(含详细答案) XXX-2018学年第二学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若数列{an}为等比数列，且a2=1，q=2，则a4=（）A．1.B．2.C．3.D．42.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c。
C=45°，b=1，B=30°，则边长c=（）A．3.B．√3.C．2.D．2√33.函数f(x)=x2-4x-5的定义域为（）A．R。
B．[1,5]。
C．[-1,5]。
D．(-∞,-1]∪[5,+∞)4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c。
若B=π/3，则a2+c2-b2=（）A．3/4.B．1.C．2.D．3/25.一个正方体的顶点都在表面积为48π的球面上，则该正方体的棱长为（）A．2.B．2√2.C．4.D．4/√36.设a,b∈R，若a-b>0，则下列不等式中正确的是（）A．b-a>0.B．a+b0.D．a-b<07.一圆锥侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图圆心角的弧度数为（）A．11π/6.B．π/2.C．π/3.D．π/48.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。
若a，b，c成等差数列，且5sinA=3sinB，则C=（）A．2π/3.B．3π/4.C．5π/6.D．π9.公差为d的等差数列{an}与公比为q的等比数列{bn}分别满足an≤2，bn≤2，n∈N*，则下列说法正确的是（）A．d≠0，q可能不为1.B．d=0，q=1C．q=1，d可能不为0.D．d可能不为0，q可能不为110.已知正实数a，b满足a+ab+b=3，则(2a+b-1)/(2+b-a)的取值范围是（）A．[3,+∞)。
B．(1,3]。
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宁波市2017-2018学年第二学期期末考试
高一数学试卷
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若数列{}n a 为等比数列，且21a =，2q =，则4a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .45C =︒，1b =，30B =︒，则边长c =（ ）
A ．2 C D ．2
3.函数()f x = ）
A ．R
B ．[1,5]
C ．[1,5]-
D ．(][),15,-∞-+∞
4.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3B π
=，则222
a c
b a
c +-=（ ）
A ．12
B ．1
C ．2
D 5.一个正方体的顶点都在表面积为48π的球面上，则该正方体的棱长为（ ）
A ．2
B ．．4 D ．6.设,a b R ∈，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．0b a ->
B ．330a b +<
C ．0b a +>
D ．220a b -<
7.一圆锥侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图圆心角的弧度数为（ ）
A ．23π
B ．4π
C ．6
π D ．π 8.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ，b ，c 成等差数列，且5sin 3sin A B =，则C =（ ）
A ．3π
B ．23π
C ．34π
D ．56π 9.公差为d 的等差数列{}n a 与公比为q 的等比数列{}n b 分别满足2n a ≤，2n b ≤，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ）
A ．0d =，q 可能不为1
B ．0d =，1q =
C ．1q =，d 可能不为0
D ．d 可能不为0，q 可能不为1
10.已知正实数a ，b 满足223a ab b ++=，则2221
ab a b ++-的取值范围是（ ） A ．[3,)+∞ B ．(1,3] C ．(0,3] D ．(0,1]
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.
11.实数A 、G 分别为1和3的等差中项、等比中项，则A = ，A 与G 的大小关系为A _______G （填“>”、“<”或“=”）．
12.已知关于x 的不等式2
30x ax --<的解集为(1,3)-，则实数a = ；此时，关于x 的不等式2x a -≤的解集为 ．
13.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为 ，体积为 ．
14.ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .23
A π=
，7a =，8b c +=，则b c ⋅= ，ABC ∆的面积S = ．
15.等比数列{}n a ，其前n 项和2n n S a =-，则实数a = ．
16.数列{}n a 满足212323n a a a na n +++⋅⋅⋅+=，则通项公式n a = ．
17.对于任意的实数x 和非零实数a ，不等式2924
a x x m m a +
+-≥+恒成立，则实数m 的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且444S =，856S =.
（Ⅰ）求n S ；
（Ⅱ）求n S 的最大值.
19.记集合222{|(1)}A x R x a x =∈-<.
（Ⅰ）若2A ∈，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若A =∅，求实数a 的值.
20.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2(cos cos )3c a B b A b -=. （Ⅰ）求证：2a b =； （Ⅱ）若3C π
=，求cos B 的值.
21.2018年5月21日5点28分，在我国西昌卫星发射中心，由中国航天科技集团有限公司抓总研制的嫦娥四号中继星“鹊桥”搭乘长征四号丙运载火箭升空，这标志着我国在月球探测领域取得新的突破.
早在1671年，两位法国天文学家就已经成功测量出了地球与月球之间的距离，接下来，让我们重走这两位科学家的测量过程.
如图，设O 为地球球心，C 为月球表面上一点，A ，B 为地球上位于同一子午线（经线）上的两点，地球半径记为R .
步骤一：经测量，A ，B 两点的纬度分别为北纬30︒和南纬60︒，即2AOB π
∠=，可求得
AB =；
步骤二：经测量计算，CAB α∠=，CBA β∠=，计算AC ； 步骤三：利用以上测量及计算结果，计算OC .
请你用解三角形的相关知识，求出步骤二、三中的AC 及OC 的值（结果均用α，β，R。