一阶系统
第四章 一阶系统
4.4.3
寻的负反馈系统的行为的三 种模式
（1）GL> 0，LEV≥0，(LEV(0)-GL)< 0； ） ， ， ； （2）GL> 0，LEV≥0，(LEV(0)-GL)> 0； ） ， ， ； （3）GL＝0，LEV> 0。 ） ＝ ， 。 • 模式 如教材 模式3如教材 如教材P105 图5.25所示 所示 • 模式 称为零目标结构。目标值 为“0”， 模式3称为零目标结构 目标值GL为 称为零目标结构。 ， 状态值由LEV（0）指数衰减至“0”。 状态值由 （ ）指数衰减至“ 。
• 4.5.1 S形增长的系统内部结构 形增长的系统内部结构
LEV 状状 RT 速速
RTV 速 速率
图
S形形形形形形形图
• 方程式： P111 方程式：
4.4.2 负反馈系统的特性
LEV 状态 过渡区 稳定区
时间
状态随时间变化曲线包括两个区段： 状态随时间变化曲线包括两个区段：瞬 过渡区）和稳态（稳定区）两个部分。 态（过渡区）和稳态（稳定区）两个部分。 • 在过渡区段， 值与目标值GL不相 在过渡区段，LEV值与目标值 不相 值与目标值 此时LEV具有寻的与瞬变的特点；在 具有寻的与瞬变的特点； 等。此时 具有寻的与瞬变的特点 稳定区， 值接近或近似地达到目标值， 稳定区，LEV值接近或近似地达到目标值， 值接近或近似地达到目标值 稳定不变。 也最终近似地达到 也最终近似地达到“ 。 稳定不变。RT也最终近似地达到“0”。 • • •
• 求新的目标值 求新的目标值NGL： ： • 方法 ： 方法1： • 200×20％＝ ％＝40 × ％＝ • GL=DINV=200 • NGL=200-40=160 • 方法 ： 方法2： • NGL=GL+T*SR=200-1/0.5*20=20040=160
一阶系统传递函数
一阶系统传递函数一阶系统是指系统的阶次为1的系统，其传递函数一般形式为：G(s) = K / (τs + 1)其中，G(s)为系统的传递函数，K为系统的增益，τ为系统的时间常数，s为复变量。
一阶系统是控制系统理论中最简单的系统之一，它具有较为简单的数学模型和动态特性。
在现实生活中，许多物理系统和电气系统都可以近似地看作是一阶系统，如机械阻尼系统、电路RC电路等。
一阶系统的传递函数可以用来描述系统的输入与输出之间的关系。
传递函数的分子部分表示输出对输入的比例关系，分母部分表示系统对输入的响应速度。
增益K表示输出与输入之间的比例关系，时间常数τ则决定了系统的响应速度。
一阶系统的动态特性主要体现在其单位阶跃响应上。
单位阶跃响应是指输入信号为单位阶跃函数时，系统的输出响应。
对于一阶系统，其单位阶跃响应可以通过拉普拉斯逆变换得到。
一阶系统的单位阶跃响应的形式为：y(t) = K * (1 - e^(-t/τ))其中，y(t)为系统的输出，t为时间。
从单位阶跃响应的表达式可以看出，一阶系统的单位阶跃响应具有指数衰减的特性。
随着时间的推移，系统的输出将逐渐趋于稳定值K。
根据一阶系统的传递函数和单位阶跃响应，可以进一步分析系统的稳态误差和动态响应特性。
对于稳态误差，一阶系统的单位阶跃响应在稳定状态下会达到稳态值K。
当输入信号发生变化时，系统的输出将逐渐趋向于新的稳态值。
稳态误差可以通过比较输出与输入的差异来评估系统的准确性。
对于动态响应特性，一阶系统的时间常数τ决定了系统的响应速度。
时间常数越小，系统的响应速度越快；反之，时间常数越大，系统的响应速度越慢。
在实际应用中，需要根据系统的需求来选择合适的时间常数。
除了单位阶跃响应，一阶系统还可以对其他输入信号进行分析和建模。
常见的输入信号包括阶跃信号、脉冲信号、正弦信号等。
通过对不同输入信号的分析，可以得到系统的频率响应和幅频特性，从而更好地了解系统的动态性能。
总结起来，一阶系统是控制系统中最简单的系统之一，其传递函数可以用来描述系统的输入与输出之间的关系。
一阶系统和二阶系统区分方法
一阶系统和二阶系统是控制系统中常见的两种类型，它们可以通过以下几个方面进行区分： 1. 数学模型形式：一阶系统的数学模型通常由一个一阶微分方程描述，例如 RC 电路。而二 阶系统的数学模型则由一个二阶微分方程描述，例如振动系统或者 RLC 电路。
2. 阶数：一阶系统的阶数为1，即系统的最高导数为一阶导数。而二阶系统的阶数为2，即 系统的最高导数为二阶导数。
3. 动态响应：一阶系统的动态响应相对简单，通常具有指数衰减的特点。例如，一阶惯性 系统的响应可以用指数函数来描述。而二阶系统的动态响应则更加复杂，通常具有振荡、超调 和稳定性等特点。
一阶系统和二阶系统区分方法
4. 频率响应：一阶系统的频率响应通常是单调递减的，即随着频率的增加，系统的增益逐 渐减小。而二阶系统的频率响应则可能具有共振现象，即在某个特定频率处，系统的增益达 到最大值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5. 控制器设计：由于其较简单的动态特性，一阶系统的控制器设计相对简单。而二阶系统 的控制器设计则需要考虑更多的因素，例如稳定性、超调和振荡等。
通过对以上方面的观察和分析，可以较为准确地区分一阶系统和二阶系统。但需要注意的 是，实际系统可能具有更复杂的特性，可能不严格符合一阶或二阶系统的定义，因此在实际 应用中需要综合考虑多种因素。
简述一阶控制系统的基本概念及其主要特点
简述一阶控制系统的基本概念及其主要特点
一阶控制系统是指仅包含一个控制环节的控制系统，其主要包括输入信号、控制器、过程、输出信号和反馈信号等基本组成部分。
一阶控制系统的主要特点有以下几点：
1. 系统响应具有惯性：由于系统具有惯性，需要一定的时间才能达到稳定状态，因此系统响应速度相对较慢。
2. 系统稳态误差存在：在一阶控制系统中，由于没有积分环节，无法完全消除输入信号与输出信号之间的误差，因此系统在稳态下仍会存在一定的误差。
3. 系统响应具有指数衰减特性：在一阶系统中，输出信号的响应呈指数衰减的趋势，即随着时间的增加，响应的幅值逐渐减小。
4. 系统稳定性易于分析：一阶控制系统的稳定性分析相对简单，可以通过判断系统的传递函数极点位置来判断系统的稳定性。
5. 系统难以满足高性能要求：由于一阶系统具有较低的响应速度和较大的稳态误差，因此难以满足一些对响应速度和稳定性要求较高的控制任务。
一阶系统的数学模型
n 称 称为阻尼系数， ( s )称为典型二阶系统的传递函数，
为无阻尼振荡圆频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特 征参数。T称为二阶系统的时间常数。
二阶系统的特征方程为： s 2 n s n 0
2 2
其特征根为： p1, 2 n n 2 1
p1, 2 n n 2 1
1，临界阻尼
s1,2 n (重根) 一对负实重根
s1, 2 n n 2 1
1，过阻尼
两个互异负实根
3.3.3
典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程）
最大超调量 %
1 2
%e
2、调节时间 t s ：
100%
4 ,当Δ 2时 n ts 3 ,当Δ 5时 n
n Y ( s) ( s ) 2 R( s) s 2 n s n 2
2
n K / T 4 /1 2
1/ 2n 0.25
% e
/ 1 2
100% 44.4%
ts 4 / n 8
（4）当要求在＝0.707时，n=1/2= 0.707，则K＝n2=0.5。 可见要满足二阶工程最佳参数的要求（该例中为增加阻尼 系数），必须降低开环放大系数 K的值。
注意：当 不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响 应形式也不同。它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。
⒈ 当 0 时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零 (无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。 ⒉ 当 0 1 时，特征方程有一对实部为负的共轭复 根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。 ⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界 阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。 ⒋ 当 1 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻 尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
第三章一阶系统
3.1.1 典型试验信号 Typical test signals
(1) 实际系统的输入信号不可知性 (2) 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系 (3) 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。 突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的 函数，则斜坡时间函数是比较合适的。 （单位）阶跃函数（Step function） 1(t ) , t ≥ 0 室温调节系统和水位调节系统 （单位）斜坡函数（Ramp function） 速度
t , t≥0
1 2 t , t≥0 2
（单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线 （单位）脉冲函数（Impulse function）
δ (t ) , t = 0
正弦函数（Simusoidal function）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。 通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控 制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统对非周期信号（Step、Ramp、对 正弦试验信号响应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）
3.1.2动态过程和稳态过程 在典型信号作用下，控制系统的时间响应是由动态过程 和稳态过程两部分组成。 1.动态过程（过渡过程、暂态过程）：在典型输入信号 作用下，系统从初态到终态的响应过程。 动态响应过程有三种情况：衰减型、发散型、等幅振荡 型 2.稳态响应过程：在输入信号作用下，当时间t趋向无穷 大时，系统输出的表现形式。稳态误差是稳态性能描述 的指标。
1
1 T T2 T2 = + 1 S3 S2 1 S S+ S+ T T D
t 1 2 2 c(t ) = t Tt + T (1 e T ) 2
一阶系统的定义
一阶系统的定义
嘿，咱来说说一阶系统是啥定义。
有一次我开车的时候，发现踩下油门后，车子不是马上就加速到很快，而是慢慢地速度才提起来。
这时候我就想到了一阶系统。
一阶系统呢，简单来说就是反应不是特别快，有个逐渐变化的过程。
比如说我那车，油门踩下去，速度得一点点地变，不会一下子就飞出去。
就像你往杯子里倒热水，水温不是一下子就变热了，而是慢慢升高。
这也是一种一阶系统的表现。
在生活中，一阶系统还挺常见的。
比如你开灯，灯也不是瞬间就亮到最亮，而是有个过程。
就像我开车那次经历，让我对一阶系统有了更直观的认识。
嘿嘿。
一阶系统的时域分析
数T之间的关系。
时间t
0
T
2T 3T
…
输出量 0 0.632 0.865 0.950 … 1.0
斜率 1/T 0.368/T 0.135/T 0.050/T … 0.0
根据这一特点，可用实验的方法测定一阶系统的时间常 数，或测定系统是否属于一阶系统。
时间常数T是一阶系统的一个重要参数。 当t=3T时，响应输出可达稳态值的95％；
输出量和输入量之间的位置误差： t ess (t) 1(t) c(t) e T
稳态误差 ：
t
lim
t
ess
(t
)
lim
t
e
T
0
三 一阶系统的单位斜坡响应
当一阶系统的输入信号为单位斜坡信号r(t)=t，其拉氏变 换为R(s)=1/s2，则系统的输出为:
C(s)
R(s) Ts 1
1 Ts 1
S tep R esponse 10
9
8
7
k 0.1
6
A m plitude
5
4
3
k 0.3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
T im e (sec)
小结
• 一阶系统的传递函数和典型方块图 • 一阶系统的单位阶跃响应(单调上升曲线，性
能指标常用调整时间) • 系统对输入信号导数的响应等于对输入信号响
五．三种响应之间的关系
比较一阶系统对单位脉冲、单位阶跃和单位斜 坡输入信号的响应，就会发现它们的输入信号 有如下关系：
d (t) d [1(t)];
dt
1(t) d [t 1(t)]; dt
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3-3 一 阶 系 统
图3－5所示系统。
其输入－输出关系为 11111)()(+=+=Ts s K
s R s C （3-3） 式中K
T 1=，因为方程(3-3)对应的微分方程的最高阶次是1，故称一阶系统。
实际上，这个系统是一个非周期环节，T 为系统的时间常数。
一、一阶系统的单位阶跃响应
因为单位阶跃函数的拉氏变换为s 1，将s s R 1)(=代入方程(3-3)，得 s
Ts s C 111)(+= 将)(s C 展开成部分分式，有
11()1C s s s T =-+
（3-4）
对方程(3-4)进行拉氏反变换，并用)(t h 表示阶跃响应)(t C ，有
t T e t h 11)(--= 0t ≥
(3-5)
由方程(3-5)可以看出，输出量)
(t h 的初始值等于零，而最终将趋于1。
常数项“1”是由s 1反变换得到的，
显然，该分量随时间变化的规律和
外作用相似(本例为相同)，由于它
在稳态过程中仍起作用，故称为稳态分量 (稳态响应)。
方程(3-5)中第二项由11/()s T
+反变换得到，它随时间变化的规律取决于传递函数1/(1)Ts +的极点，即系统特征方程()10D s Ts =+=的根(1/)T -在复平面中的位置，若根处在复平面的左半平面如图3－6(a)所示，则随着时间 t 的增加， 它将逐渐衰减， 最后趋于零 (如图3－6(b) 所示)，称为瞬态响应。
可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。
显然，这是一条指数响应曲线，其初始斜率等于1/T ，即 T e T dt dh t t T t 1|1|01
0===-= (3-6)
这就是说，假如系统始终保持初始响应速度不变，那么当T t =时，输出量就能达到稳态值。
实际上从方程(3-6)可以看出，响应曲线)(t h 的斜率是不断下降的，从0=t 时的T
1一直下降到∞=t 时的零值。
因此，当T t =时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的%；当T t 2=时，响应曲线将上升到稳态值的%；当T t 3=，T 4和T 5时，响应曲线分别达到稳态值的95%，%和%。
由于一阶系统的阶跃响应没有超调量，所以其性能指标主要是调节时间s t ，它表征系统过渡过程进行的快慢。
由于T t 3=时，输出响应已达到稳
态值的95%；t=4T 时，输出达到稳态值的%，故一般取
)(3s T t s =，(对应Δ=5%的误差带) 或 )(4s T t s =，(对应Δ=2%的误差带) 显然，时间常数T 是表征系统响应特性的唯一参数，系统时间常数越小，输出响应上升得越快，同时系统调节时间s t 也越小，响应过程的快速
性也越好。
由图3-6(b)可以看出，图3－5所示系统的单位阶跃响应在稳态时与输入量之间没有误差，即
011)(1=-=∞-=h e ss
假设，现有一个单位反馈系统，其开环传递函数为121)(+=
Ts s G ，试自行推导其单位阶跃响应，并与图3-5系统比较其异同。
二、一阶系统的单位斜坡响应
因为单位斜坡输入的拉氏变换为
2
1)(s s R = 则由式(3-3)可得系统输出量的拉氏变换式
2111)(s
Ts s C += 将上式展开成部分分式 11)(2
2++-=Ts T s T s
s C （3-7）
进行拉氏反变换，并用符号)(t C t 来表示单位斜坡响应，即
t T t Te T t t C 1)(-+-= 0≥t
式中)(T t -为响应的稳态分量；t T Te
1-为响应的瞬态分量，当时间t 趋于无穷
时衰减到零。
由斜坡响应曲线(如图3-7所示)可见，一阶系统的单位斜坡响应在稳态时与输入信号之间是有差的，其差值为
T Te T t t t c t e t T t t t ss =+--=-=-∞→∞→)]([lim )]([lim 1
显然这个差值并不是指系统稳态时输出、输入在速度上的差值，而是由于
输出滞后一个时间T ，使系统存在一个位置上的跟踪误差。
其数值与时间常数T 相等。
因此，时间常数T 越小，则响应越快，跟踪误差越小，输出量相对输入信号的滞后时间也越短。
三、一阶系统的单位脉冲响应
当输入量为单位脉冲函数时，其拉氏变换式为1)(=s R 。
根据方程(3-3)可得系统输出量的拉氏变换式
11)(+=Ts s C 对上式进行拉氏反变换，并用符号)(t k 表示系统的响应，则有
01)(≥=-t e T t k T t
（3-8）
方程(3-8)的响应曲线如图3-8所示。
显然，响应是一条单调下降的指数曲线。
输出量的初始值为T 1，当时间趋于无穷时输出量趋于零，所以对应的稳态分量为零。
时间常数T 同样反映了响应过程的快速性，T 越小，响应的持续时间越短，快速性也越好。
四、线性定常系统的重要特性
上述分析表明，当系统的输入量为单位斜坡函数t t r =)(·)(1t 时，系统输出量)(t c t 为
0)(≥+-=-t Te T t t c T t
t
当系统的输入量为单位阶跃函数)(1)(t t r =(即为单位斜坡函数的导数)时，系统输出量)(t h 为
01)()(≥-==-t e t c t h T t
t
最后，当输入为单位脉冲函数(即单位阶跃函数的导数)时，系统输出量)(t k 为
01)()(≥==-t e T t h t k T t
比较系统对三种输入信号的响应，可以清楚地看出，系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数。
或者说，系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由零输出初始条件确定。
这是线性定常系统的一个重要特性，不仅适用于一阶线性定常系统，而且适用于任意阶线性定常系统。