2020版高考数学习题：第八篇 平面解析几何(必修2、选修1-1) 第6节 抛物线

第6节抛物线
【选题明细表】
知识点、方法题号
抛物线的定义与应用2,3,4,10 抛物线的标准方程及几何性质1,6
直线与抛物线的位置关系5,7,8,11
抛物线的综合应用9,12,13
基础巩固(时间:30分钟)
1.(2018·沈阳质量监测)抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( C )
(A)(0,a) (B)(a,0)
(C)(0,) (D)(,0)
解析:将y=4ax2(a≠0)化为标准方程得x2=y(a≠0),
所以焦点坐标为(0,),所以选C.
2.(2018·新余一中模拟)动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:
y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为( D )
(A)y2=4x (B)y2=8x (C)x2=4y (D)x2=8y
解析:因为动点P到A(0,2)点的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,所以动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y=-2的距离相等,根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,以直线y=-2为准线的抛物
线,其标准方程为x2=8y,故选D.
3.(2018·云南昆明一中月考)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A为C上一点,以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,若∠BFD=120°,△ABD的面积为2,则p等于( A )
(A)1 (B) (C) (D)2
解析:因为∠BFD=120°,
所以圆的半径|FA|=|FB|=2p,|BD|=2p,
由抛物线定义,点A到准线l的距离d=|FA|=2p,
所以|BD|·d=2p·p=2,
所以p=1,选A.
4.(2018·四川南充二模)抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l 上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q,若|PF|=|PQ|,则|QF|等于( C )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:如图,直线l与x轴的交点为D,
过Q点作QQ′⊥l,Q′为垂足,
设|QF|=d,由抛物线的定义可知
|QQ′|=d,又|PF|=|PQ|,
所以|PF|=4d,|PQ|=5d,
又△PDF∽△PQ′Q,
所以=,解得d=5,
即|QF|=5,故选C.
5.(2018·湖南两市九月调研)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B,交其准线l于点C,若点F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为( C )
(A)5 (B)6
(C)(D)
解析:如图,
过点A作AD⊥l交l于点D,
所以|AF|=|AD|=4,
由点F是AC的中点,
有|AF|=2|MF|=2p.
所以2p=4,解得p=2,
抛物线y2=4x
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AF|=x1+=x1+1=4.
所以x1=3,A(3,2),F(1,0).
k AF==.
AF:y=(x-1)与抛物线y2=4x,
联立得3x2-10x+3=0,x1+x2=,
|AB|=x1+x2+p=+2=.
故选C.
6.(2018·大庆中学模拟)已知点A(4,0),抛物线C:y2=2px(0<p<4)的准线为l,点P在C上,作PH⊥l于H,且|PH|=|PA|,∠APH=120°,则p= .
解析:设焦点为F,由题可得∠PAF=,x P=+⇒x P=,所以4=x P++⇒p=.
答案:
7.(2018·海南省八校联考)已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,过F的直线l与直线x+y-1=0垂直,且直线l与抛物线C交于A,B两点,则
|AB|= .
解析:F是抛物线C:y2=16x的焦点,
所以F(4,0),又过F的直线l与直线x+y-1=0垂直.
所以直线l的方程为y=(x-4),代入抛物线C:y2=16x,易得3x2-40x+48=0.
设A=(x1,y1),B=(x2,y2),x1+x2=,|AB|=x1+x2+8=.
答案:
能力提升(时间:15分钟)
8.(2018·吉林百校联盟联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2,过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于M,N两点,若MM′⊥l,NN′⊥l,垂足分别为M′,N′,则△M′N′F的面积为( B )
(A)(B) (C)(D)
解析:因为p=2,所以抛物线方程为y2=4x,
直线MN:x=y+1,
由得y2-y-4=0,
则y1+y2=,y1y2=-4,
所以|y1-y2|==.
所以S△M′N′F=××2=.选B.
9.如图,过抛物线y2=4x焦点的直线依次交抛物线和圆(x-1)2+y2=1于A,B,C,D四点,则|AB|·|CD|等于( C )
(A)4 (B)2
(C)1 (D)
解析:法一(特值法)由题意可推得|AB|·|CD|为定值,
所以分析直线与x轴垂直的情况,即可得到答案.
因为圆(x-1)2+y2=1的圆心为抛物线y2=4x的焦点,半径为1,
所以此时|AB|=|CD|=1.
所以|AB|·|CD|=1,故选C.
法二(直接法)设A(x1,y1),D(x2,y2),抛物线的焦点为F,AD的方程为y=k(x-1).
则由
消去y,可得x1x2=1,
而|AB|=|FA|-1=x1+1-1=x1,
|CD|=|FD|-1=x2+1-1=x2,
所以|AB|·|CD|=x1·x2=1.
故选C.
10.(2018·临川二中模拟)如图所示,点F是抛物线y2=8x的焦点,点
A,B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围为.
解析:抛物线的准线l:x=-2,焦点F(2,0),由抛物线定义可得|AF|=x A+2,圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2,0),半径为4,所以△FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+(x B-x A)+4=6+x B,由抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16可得交点的横坐标为2,所以x B∈(2,6],所以6+x B∈(8,12].
答案:(8,12]
11.(2018·东北三校二模)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则
△BCF与△ACF的面积之比= .
解析:设AB:y=k(x-),代入y2=2x得k2x2-(2k2+2)x+3k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=3,
而|BF|=2,所以x2+=2.
所以x2=,x1=2.
====.
答案:
12.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解:(1)抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),
当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不满足;
设直线AB的方程为y=k(x-1),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,
则Δ=16k2+16>0,
故x1+x2=,x1x2=1,
由|AB|=x1+x2+p=+2=8,
解得k2=1,则k=1,
所以直线l的方程y=x-1.
(2)由(1)可得AB的中点坐标为D(3,2),
则直线AB的垂直平分线方程为
y-2=-(x-3),
即y=-x+5,
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),
则
解得或
因此,所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
13.(2018·东城区二模)已知抛物线C:y2=2px经过点P(2,2),A,B是抛物线C上异于点O的不同的两点,其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(2)若OA⊥OB,求△AOB面积的最小值.
解:(1)由抛物线C:y2=2px经过点P(2,2)知4p=4,解得p=1,
则抛物线C的方程为y2=2x,
抛物线C的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-.
(2)由题知,直线AB不与y轴垂直,设直线AB:x=ty+a.
由消去x,得y2-2ty-2a=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=2t,y1y2=-2a,
因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,
即+y1y2=0,
解得y1y2=0(舍)或y1y2=-4,
所以-2a=-4,解得a=2,
所以直线AB:x=ty+2,
所以直线AB过定点(2,0),
S△AOB=×2×|y1-y2|
=
=≥
=4.
当且仅当y1=2,y2=-2或y1=-2,y2=2时,等号成立, 所以△AOB面积的最小值为4.。