地图数据结构1
02地图数据结构
第二章 地 图 数 据 结 构
17
矢量数据——它通过记录坐标值的方式尽可 能精确地表示呈点、线、面状分布的地理实体。
2、矢量数据的表达
在计算机地图制图中，各地理要素在二维平面上的矢量数据表达为：
点—0维矢量：由一（x，y）坐标值表示；
线—1维矢量：由一串有序的（x，y）坐标表示；
面—2维矢量：由一串有序的且首尾坐标相同 的（x，y）
第二章 地 图 数 据 结 构
8
图2-1：空间数据的基本特性[Jack Dangermond,1984]
第二章 地 图 数 据 结 构
9
三、地图数据的基本类型 根据地图数据的特征，可以把地图数据分为空间数据、关系数 据、属性数据三类。
1．空间数据 也称几何数据，即描述地理现象或地理实体的 空间位置、形状、大小等的数据。
各种地理要素的空间位置数据在地图上的关系，可以概括为点、线、多边形之 间的9种形式的拓扑关系：
点—点、点—线、点—面； 线—点、线—线、线—面； 面与点、面与线、面与面。
最常用的空间实体关系有6种，即：
点—点、点—线、点—面； 线—线、线—面； 面—面。
第二章 地 图 数 据 结 构
14
它们之间的相互关系：邻接、关联、相交、相离、包含、重合
第二章 地 图 数 据 结 构
3
地图学中，把地理空间的实体分为点、线、面三种要 素(对象)，分别用点状、线状、面状符号来表示。
点实体
点实体是有特定的位置、维数为0的实体。
实体点：用来代表一个实体；
如城市
注记点：用于定位注记； 北 京 内点：用于记录多边形的属性，存在于多边形内； 结点：表示线的终点和起点；
X3，Y3；X4，Y4；X5，Y5；X6，Y6；X3，Y3
地图数据结构
地图数据结构在我们的日常生活中，地图是一种非常常见且实用的工具。
无论是用于导航、规划旅行路线，还是了解地理信息，地图都发挥着重要的作用。
而在计算机科学领域，地图数据结构则是实现地图功能的核心基础。
那么，什么是地图数据结构呢？简单来说，它是一种用于组织和存储地图相关信息的方式。
就好像我们整理房间时会把不同的物品分类放在不同的抽屉或架子上一样，地图数据结构也是在对地图中的各种元素进行分类和存储，以便能够快速、高效地访问和处理这些信息。
常见的地图数据结构有很多种，比如栅格数据结构和矢量数据结构。
栅格数据结构就像是一个由小方格组成的巨大表格。
每个小方格都代表地图上的一个区域，并被赋予了特定的属性值，比如海拔高度、土地类型等。
这种数据结构的优点是处理简单直观，特别适合表示连续变化的数据，比如地形、温度等。
但它也有缺点，那就是数据量通常较大，而且在进行放大或缩小时可能会出现失真的情况。
相比之下，矢量数据结构则是通过点、线、面等几何元素来表示地图对象。
比如，一条道路可以用一系列的点连接成线来表示，一个湖泊可以用一个封闭的线围成面来表示。
矢量数据结构的优点是数据量相对较小，精度高，而且在缩放时不会失真。
但它的处理相对复杂一些，需要更多的计算资源。
除了栅格和矢量数据结构，还有一些其他的地图数据结构，比如拓扑数据结构。
拓扑数据结构主要关注地图对象之间的关系，比如相邻、包含等。
通过建立这些关系，可以更方便地进行空间分析和查询操作。
在实际应用中，选择合适的地图数据结构取决于多种因素。
首先要考虑的是地图的用途。
如果是用于展示大面积的地形地貌，栅格数据结构可能更合适；如果需要进行精确的测量和分析，矢量数据结构则可能是更好的选择。
其次，数据量和处理效率也是重要的因素。
如果数据量非常大，那么就需要选择一种能够有效压缩和快速处理数据的数据结构。
另外，地图数据结构的存储方式也很重要。
在计算机中，数据可以存储在内存中，也可以存储在硬盘等外部存储设备上。
1：500、1：1000、1：2000地形图数据结构规程(最新整理)
A1.4杭州市1:500、1:1000、1:2000地形图数据数据结构规程杭州市城市规划信息中心广州城市信息研究所有限公司2002年9月目录第1章主要内容与适用范围 (1)第2章引用标准 (1)第3章总则 (1)第4章类型说明与缩写 (2)第5章各层属性表结构 (3)5.1 测量控制点 (3)5.2 控制点注记 (3)5.3 控制点辅助线 (3)5.4 居民地 (3)5.5 线状房屋附属设施 (4)5.6 点状房屋附属设施 (4)5.7 垣栅 (4)5.8 单位名称标记点 (4)5.9 居民地注记 (4)5.10 居民地辅助层 (5)5.11 居民地边线 (5)5.12 线状工矿建筑及附属设施 (5)5.13 点状工矿建筑及附属设施 (5)5.14 场馆设施 (5)5.15 工矿设施注记 (5)5.16 工矿类辅助层 (6)5.17 工矿类边线 (6)5.18 铁路 (6)5.19 线状铁路附属设施 (6)5.20 点状铁路附属设施 (6)5.21 道路中心线 (7)5.23 线状道路附属设施 (7)5.24 点状道路附属设施 (7)5.25 道路注记 (7)5.26 道路辅助线 (8)5.27 各类管线 (8)5.28 线状管线附属设施 (8)5.29 点状管线附属设施 (8)5.30 管线注记 (8)5.31 管线辅助线 (9)5.32 面状水体 (9)5.33 岛屿 (9)5.34 单线河流及沟渠 (9)5.35 线状水系附属设施 (9)5.36 点状水系附属设施 (9)5.37 水体注记 (10)5.38 水系辅助层 (10)5.39 水系及附属设施边线 (10)5.40 境界面 (10)5.41 境界线 (10)5.42 地名标记点 (11)5.43 境界边线 (11)5.44 地名注记 (11)5.45 等高线 (11)5.46 坡、坎 (11)5.47 高程点 (12)5.48 地貌(线状) (12)5.49 地貌(点状) (12)5.50 土质 (12)5.51 地貌与土质注记 (12)5.52 地貌辅助层 (13)5.53 地质地貌边线 (13)5.54 植被(面) (13)5.55 植被(线) (13)5.57 植被注记 (13)5.58 植被边线 (14)5.59 内图廓 (14)5.60 地图图廓整饰线状要素 (14)5.61 地图图廓整饰注记 (14)第1章主要内容与适用范围本规程规定了1：500、1：1000、1：2000地形图数据各层的属性表结构、属性项的中英文名称、数据类型及宽度。
第二章 GIS空间数据结构1
二、矢量数据的特点
三、矢量数据结构的类型
1、简单数据结构 空间数据按照以基本的空间对象(点、线或多边形)为单元 进行单独组织，不含有拓扑关系数据，最典型的是面条 (Spaghetti)结构。
主要特点：
(1)数据按点、线或多边形为单元进行组织，数 据编排直观，数字化操作简单。 (2)每个多边形都以闭合线段存储，多边形的公 共边界被数字化两次和存储两次，造成数据 冗余和不一致。 (3)点、线和多边形有各自的坐标数据，但没有 拓扑数据，互相之间不关联。 (4)岛只作为一个单个图形，没有与外界多边形 的联系。
4、坐标系转换
x＝f1（L，B） y＝f2（L，B）
5、高程
指空间参考的高于或低于某基准平面的 垂直位置，主要用来提供地形信息。我国现 规定的高程基准面为“1985国家高程基准”， 比原“黄海平均海平面”高29mm。我国高程 的起算面是黄海平均海水面。1956年在青岛 设立了水准原点，称此为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布：中国的高程基准面 启用《1985国家高程基准》取代国务院1959 年批准启用的《黄海平均海水面》。《1985 国家高程基准》比《黄海平均海水面》上升 29毫米。
优、缺点
优点——文件结构简单，易于实现以多边形为单位的运 算和显示。 缺点—— (1)邻接多边形的公共边被数字化和存储两次(如图 2—19a中的7、8、9三个点)，由此会产生数据冗余和 边界不重合(由于数字化误差等因素造成)。 (2) 每个多边形自成体系，缺少有关邻域关系的信 息，难以进行邻域处理。如合并同类时要消除公共边。 (3) 不能解决“洞”或“岛”之类的多边形嵌套问 题，岛只作为单个的图形建造，没有与外包多边形的 联系。 （4）不易检查多边形边界的拓扑关系是否正确，如 无法判断有无不完整的多边形。
空间数据的组织与结构一
y
0
0
0
0
9
0
0
0
0
0 0 0 0 0 9 x
0
0 0 6 9 9 0
0
0 0 9 0 0 0
9
9 9 0 0 0 0
0
0 0 7 7 7 0
0
7 7 7 7 7 0
0
7 7 7 7 7 0
0
0 0 7 0 0 0
(a) 点、线、面数据 (b) 栅格表示 图3-1 点、线、面数据的栅格结构表示
二、特点
0
0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0
7
7 7 7
7
7 7 7
7
7 7 7
7
7 7 7
(4,4,1,0),(4,2,1,0), (4,3,1,0), (4,4,1,0),
(5,1,4,0), (5,5,4,7)
• 一个多边形所包含的正方形越大，多边形的边界 越简单，块状编码的效率就越好。 • 多边形效果并不好。 • 块状编码在合并、插入、检查延伸性、计算面积 等操作时有明显的优越性。然而对某些运算不适 应，必须在转换成简单数据形式才能顺利进行。
综合练习:
有一栅格数据文件按行方向由左到右、自上而下直接 栅格编码表示为： 1，2，2，2；0，1，2，2；1，3，2，2；0，1，2，2。分析 并回答下列问题。 ①表示面状地物的代码是几？ ②假设方向代码分别表示为：东=0，东北=1，北=2，西北=3， 西=4，西南=5，南=6，东南=7。写出线状地物的链式编码。 ③按列方向写出一种游程编码方案。 ④块状编码中最大正方形的半径是多少？ ⑤按四叉树分解最多能分解几次？最大层数为多少？
地理信息系统数据结构
数据融合
01
将不同来源、不同格式的地理数据进行融合，形成统一的数 据集。
02
数据融合可以提高数据的完整性和准确性，便于分析和应用。
03
数据融合的方法包括数据清洗、坐标转换、格式转换等。
05 地理信息系统数据质量
数据精度
空间精度
地理信息系统数据的空间精度是指数据所表示的地理要素的位置准确性，通常 用地图比例尺来表示。比例尺越大，表示的地理要素位置越详细，精度越高。
自然资源管理
GIS可用于自然资源管理，如森 林资源监测、水资源管理、野 生动物保护等。
灾害应急响应
GIS能够快速获取和处理灾害相 关信息，为灾害应急响应提供 决策支持。
商业与市场分析
GIS在商业和市场分析中也有广 泛应用，如市场区域划分、物 流路线规划等。
02 地理信息系统数据类型
矢量数据
定义
矢量数据是地理信息系统中的一种重要数据类型，它由一系列离散 的点、线、面组成，表示地理实体的空间位置和相互关系。
GIS通过地图、图表、表格等多种形式展示地理信息，帮助用户更好地理解空间 关系和动态变化。
地理信息系统的组成
数据输入与处理
数据存储与管理
地理信息系统需要将各种来源的数据进行 整合、清洗和转换，以便进行后续的分析 和可视化。
GIS需要一个高效的数据存储和管理系统， 以便存储大量的空间数据和属性数据，并 提供快速的数据检索和更新功能。
特点
矢量数据具有数据精度高、信息丰富、易于编辑和更新等优点，能 够精确地表示复杂的地理要素和空间关系。
应用场景
矢量数据广泛应用于地图制作、土地规划、资源管理、城市设计等领 域。
栅格数据
定义
栅格数据是一种以网格单元为基 本单位表示地理信息的数据类型，
空间数据结构(一)
GIS
第3章
空间数据
矢量数据模型的发展
ESRI, Inc.
–Arc/Info: coverages –ArcView: shapefiles –ArcGIS: geodatabase
Arc/Info and ArcView are georelational data model ArcGIS is object-based data model
信息技术教研室
GIS
第3章
空间数据
内容回顾
信息与数据的区别与联系 地理数据的特征 GIS的研究内容之一——空间数据结构 GIS的研究对象是空间数据，这是它与其 他信息系统的区别之一 GIS具有公共的空间定位基础 空间（spatial）的概念
GIS
第3章
空间数据
内容提要
学习目标
•
包含性—一个几何对象包含在另一个几何对象中
GIS
第3章
空间数据
方向性—线元素
基本的空间要素
Node
Node
vertex
vertex
vertex
vertex
结点（Nodes）－ 是弧段的两个端点 折点（Vertices）－ 确定线的形状 方向性：从 node #2 到 node #1
GIS 第3章 空间数据
连通性和面定义
连通性 面定义 邻接性 –Polygon #2 是由 line 1 和line2通过结点1和结点2相 连组成
GIS 第3章 空间数据
拓扑数据结构
将结点、弧段和多边形之间的拓朴结构 表达出来，可以形成四个关系表 ◌结点与弧段的拓朴关系 ◌弧段与结点的拓朴关系 ◌弧段与多边形的拓朴关系 ◌多边形与弧段的拓朴关系
计算机地图制图
第一章绪论计算机地图制图：又称机助地图制图或数字地图制图，它是传统的地图制图原理为基础，以计算机及其外围设备为工具，采用数据库技术和图形数据处理方法，实现地图信息的采集、存储、处理、显示和绘图的的应用科学。
计算机地图制图的特点：①、易于编辑和更新②、提高绘图速度和精度③、容量大且已与存储④、丰富地图品种⑤、便于信息共享计算机地图制图的基本过程：①、数据采集阶段（数字化、数字测量、遥感、数据转换）②、数据处理阶段（预处理、投影变换、图形处理、制图综合、符号化）③、数据输出阶段（普通地图、专题地图、统计图表）第二章地图数据结构地图投影：地图是一个平面，而地球椭球面是不可展曲面，将地球椭球面上的点映射到平面上的方法称为地图投影。
地图投影的方法是建立在地球托球面上的经纬线网与平面上相应的经纬线网相对应的基础上的，实质上就是建立地图平面上点的坐标（x，y）与地球椭球面上对应点的坐标（λ，φ）之间的函数关系。
根据地图投影中可能引入的变形的性质，可将地图投影分为等角投影、等面积投影和任意投影三种。
我国常用的地图投影的情况为：基本比例尺地形图（1:100万、1:50万、1:25万、1:10万、1:5万、1:2.5万、1:1万、1:5000）除1:100万外均采用高斯-克吕格投影作为地理基础。
地图数据的基本特征：1、空间特征a、空间位置（表达地物在哪里）空间位置用以描述事物或现象的地理位置，又称几何特征、定位特征。
b、空间关系（点、线、面关系如何）空间关系是指地理空间实体之间存在的一些具有空间特征的关系，主要包括：拓扑关系（拓扑变化下的拓扑不变量）方位关系（实体在地理空间中的某种顺序）度量关系（用地理空间中的度量来描述的实体之间的关系）2、属性特征属性特征用以描述事物或现象的特征，如事物或现象的类别、等级、数量、名称等，用来说明“是什么”。
属性特征通常分为定性和定量两种：定性特征包括名称、类型等；定量特征包括数量、等级等。
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拓扑数据结构编码
• 双重独立地图编码 • 链状双重独立式编码
双重独立地图编码
• 由两个主要表格组成：
节点表 节点号 坐标
节点 p1 P2 …
坐标 X1,y1 X2,y2 …
线段表 线段号 起点 终点 左多边形 右多边形
线段号
起点
终点
左多边形 右多边形
a b
…
p1 p1
…
p2 p6
…
A 0
…
B A
空间数据
• • • • 可分为点、线、面三种类型。 点类型 线类型 面类型
关系数据
• 关系数据是描述空间数据之间的空间关系 的数据，这儿说的是拓扑关系数据。 • 最常见的空间实体关系有6种： • 点-点、点-线、点-面、线-线、线-面、面面 • 拓扑关系主要有邻接、关联、相交、相离、 包含、重合等。
地图数据的基本特征
• 空间特征 • 属性特征 • 时间特征
空间特征
• 1 空间位置 • 空间位置用以描述事物或现象的地理位置，又称 几何特征、定位特征。 • 2 空间关系 • 空间关系指地理空间实体之间存在的一些具有空 间特性的关系，主要包含： • 拓扑关系 • 方位关系 • 度量关系
属性特征
栅格数据结构
• 点实体：表示为一个像元； • 线实体：表示为在一定方向上连接成串的 相邻像元的集合； • 面实体：表示为聚集在一起的相邻像元的 集合。
栅格数据结构的表示
• 1 简单数据结构的表示 • 把栅格数据看做一个数据矩阵，逐行记录 各像元代码。 • 2 其他数据结构的表示
栅格数据的压缩编码
弧段与节点的拓扑关系
弧段 a b c d e f g h i j
节点(始节点，终节点) p1,p2 p1,p6 p6,p3 p3,p2 p3,p4 p2,p4 p4,p5 p5,p1 p5,p6 p7,p7
弧段与多边形的拓扑关系
弧段
多边形 左 右
a
b c d e f g h i j
A
0 D C D C D 0 D D
M
M N N N M
点M与点N的邻接
线M与线N的邻接
面M与面N的邻接
邻接关系是相同拓扑元素之间的关系
M L M N p
N
线M、线N与点P的关联
面M、面N与线L的关联
关联是不同拓扑元素之间的关系
包含是面与其他拓扑元素之间的关 系，如果点、线、面在该面内，则 称为被该面包含
p6 b A d a p1 B p2 C f p4 D g j p3 e E i c p7
地图数据结构
空间实体的分类
• 地图学中，把地理空间的实体分为点、线、 面三种要素，分别用点状、线状、面状符 号来表示。
点实体
• • • • 有特定位置，维数为0的实体 1 实体点：用来代表一个实体 2 注记点：用来定位注记 3 内点：用于记录多边形的属性，存在于多 边形内 • 4 节点：表示线的终点和起点 • 5 拐点：表示线段和弧段的内部点
块状编码
• 块状编码是将游程长度编码扩展到二维情 况，采用方形区域作为记录单元，数据结 构为：行号，列号，半径，单元代码，行 号，列号，半径，单元代码，……。 • 1,1,1,4, 1,2,2,4 ,1,4,1,7, 1,5,1,7, 1,6,2,7, • 1,8,1,7, 2,1,1,0, 2,4,1,4, 2,5,1,4, 2,8,1,7, • 3,1,1,4, 3,2,1,4, 3,3,1,4, 3,4,1,4, 3,5,2,8, • 3,7,2,7,……
4 0 4 0 0 0 0 0 4 4 4 0 0 0 0 0 4 4 4 4 8 0 0 0 7 4 4 8 8 8 0 0 7 4 8 8 8 8 8 0 7 7 8 8 8 0 0 0 7 7 7 7 7 0 0 0 7 7 7 7 8 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 4 4 4 0 0 0 0 0 4 4 4 4 8 0 0 0 7 4 4 8 8 8 0 0 7 4 8 8 8 8 8 0 7 7 8 8 8 0 0 0 7 7 7 7 7 0 0 0 7 7 7 7 8 0 0 0
…
链状双重独立式编码
• • • • 由四个或三个文件组成 节点文件：与双重独立地图编码类似 弧段坐标文件：标识码，弧段中间点 弧段文件：标识码，起始节点，终止节点， 左多边形，右多边形，内点 • 多边形文件：标识码，弧段号及面积、周 长及中心点坐标等
栅格数据结构
• 栅格结构是以规则的像元阵列来表示空间 地物或现象的分布的数据结构，其阵列中 的每个数据表示地物或现象的属性特征。 换句话说，栅格数据结构就是像元阵列， 用每个像元的行列号确定位置，用每个像 元的值表示实体的类型、等级等的属性编 码。
独立实体法
• 优点：编码容易，数字化操作简单，数据 编码直观，显示速度快。 • 缺点：相邻多边形的公共边界数字化两次， 造成数据的冗余，可能出现重叠或裂缝， 引起数据不一致，缺少拓扑关系，空间分 析困难。
点位字典法
• 点位字典法中，点文件作为一个文件，点、线和 面实体都由点号组成， • 点实体：唯一标识码，地物编码，点号 • 线实体：唯一标识码，地物编码，点号1… • 面实体：唯一标识码，地物编码，点号1…
道格拉斯—普克法，又称分裂法。 该算法实现的基本思路是：对每一条曲线的首末点虚连一 条直线，求其它所有点与该直线的距离，并找出其中的最 大距离值dmax，用dmax与限差ε 相比： 若dmax＜ε ，这条曲线上的中间点全部舍去； 若dmax≥ε ，保留dmax对应的坐标点，并以该点为界， 把曲线分为两部分，对这两部分曲线重复上述操作，直至 整条曲线处理结束。
多边形
坐标位置
1
2 3 4 5
x1,y1;x2,y2;x3,y3;x4,y4;x5,y5;x6,y6;x7,y7;x8,y8;x9,y9;x10,y10;x1,y1
x28,y28; x29,y29; x30,y30; x31,y31; x32,y32; x33,y33; x28,y28
x1,y1; x11,y11; x12,y12; x13,y13; x14,y14; x15,y15; x16,y16; x17,y17; x18,y18; x19,y19; x9,y9 x10,y10; x1,y1
p5 h
p1、p2、p3、p4、p5、p6和p7是节点；a,b,c,d,e,f,g,h,i和j为弧段； A,B,C,D,E为多边形。
为了表示出节点、弧段以及多边形之间的拓扑关系，可以使用如下几个关系表：
节点与弧段的拓扑关系
节点 p1 P2 P3 P4 P5 P6 p7
弧段 a,b,h a,d,f d,c,e e,g,f g,h,i b,i,c j
2、三条分别具有不同等级，称为属性信息
3、三条道路互相具有邻接关系。主干道与次干道在结点Ｎ２ 处相邻接，主干道的结点Ｎ１和Ｎ２相邻接，结点Ｎ２分别 与三条路段Ｃ１、Ｃ２和Ｃ３相关联等，称为拓扑关系；C3 在C6称的左边，称为方位关系；不同的道路之间有一定的距 离，称为度量关系。 4、随着时间的推移，道路还将发生变化，称为时间特征。
线实体
• • • • • • 维数为1 线段、线列、弧段、链、路径、多边线等 特征： 1 实体长度 2 弯曲度 3 方向性
面实体
• • • • • • • 面实体是维数为2的实体 特征： 1 周长 2 面积 3 独立或与其他地物的邻近性 4 内岛或齿状外形 5 重叠性与非重叠性
1、三条道路在不同的空间位置，称为定位信息
独立实体法Spaghetti方法
• 点实体：唯一标识码，实体编码，空间坐标(x,y)
• 线实体：唯一标识码，实体编码，空间坐 标(x1,y1,x2,y2,…xn,yn) • 面实体：唯一标识码，实体编码，空间坐 标(x1,y1,x2,y2,…xn,yn,x1,y1) • 一般cad系统都采用这种方法
标识码 属性码 X,y坐标对
• 标志码唯一，属性码可有多个，属性也可放 于数据库中，通过标志码建立矢量数据和属 性数据的联系
简单矢量数据结构
线（弧、链）数据结构形式
标识码 属性码 坐标对数n 坐标串(x,y)
面（多边形）数据结构形式
标识码 属性码 弧段数n 弧段标识码集
简单矢量数据结构编码
• 由于简单数据结构中不考虑拓扑关系，其 编码方法仅记录空间实体的位置、标志及 属性信息，而不记录拓扑关系。 • 编码方法有： • 1 独立实体法 • 2 点位字典法
点位字典法
2 6
3
1 4 A B 5
7
9
8
C
点号 1 2 3 ……
坐标 X1,y1 X2,y2 X3,y3 ……
目标
序号
A
B C
1
2，3，4，5 6，7，8，9
拓扑数据结构及编码
• 具有拓扑关系的矢量数据结构就是拓扑数 据结构，拓扑数据结构的表示方式没有固 定的格式，也没有形成标准，但基本原理 相同。 • 拓扑元素：点、线、面三种要素 • 基本拓扑关系：邻接、关联、包含
游程长度编码方法(1)
0,7,2,1,0,2
0,1,1,1,0,4,2,1,0,1,3,2 0,5,2,1,0,1,3,3 ……
2 1 3 0
游程长度编码方法(2)
0,7,2,8,0,10
0,1,1,2,0,6,2,7,0,8,3,10 0,5,2,6,0,7,3,10 ……
2 1 3 0
块状编码
x18,y18; x19,y19; x9,y9; x8,y8 ; x7,y7; x20,y20; x21,y21; x22,y22; x23,y23; x24,y24; x18,y18
x16,y16; x17,y17; x18,y18; x24,y24; x23,y23; x27,y27; x26,y26; x25,y25; x16,y16