概率论与数理统计习题课件第8章
测定值的样本方差为
s
2 1
0.5419 ,
s
2 2
0.6065 .
设测定值总体分别服从正态分布X
N
(
1
,
2 1
),
Y
N
(
2
,
2 2
)
,
试求方差比
2 1
/
2 2
的置信度为
0.95 的置信区间.
解答 返回
解答 返回
8.7 设飞机所装高度表的刻度服从正态分
布, 其标准差为15m. 问飞机上至少应该装有多
少这样的仪器, 才能以98％ 的概率保证平均高
度的误差小于 30m?
解答
8.8 从自动机床加工的同类零件中抽取8
个, 测得长度(单位 : mm)如下 :
12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.标准差 s1 1.09cm, 从机器 B生 产的产品中抽取15件, 求得长度均值y 52.24cm,
标准差 s2 1.18cm , 试求两种产品长度的均值差
1 -2 的置信度为 0.95的置信区间.
解答 返回
8.11 甲、乙两化验员独立用相同的方法对
某种聚合物的含氯量各做 10次测量, 分别求得
如果零件长度服从正态分布, 求零件长度的数
学期望与标准差的置信度为0.95的置信区间.
解答 返回
8.9 为研究两种固体燃料火箭推进器的燃
烧率, 抽取样本容量 n1 n2 20 的两个独立样 本, 求得燃烧率的样本均值分别为 18cm / s, 24 cm / s . 设两种燃料的燃烧率都服从正态分布, 标准差均为0.05cm / s, 求两种燃料的燃烧率的
求该日生产的这批灯泡的寿命均值 和寿命方 差 2的矩估计值.
解答 返回
8.2 设总体 X 服从指数分布e( ), X1, X2 , ,
Xn 为总体 X 的样本, 求参数的矩估计量和极大
似然估计量.
解答
8.3 设总体 X 的密度函数为
x 1 , f (x)
0,
X 的一组样本值为 x1 , x2 , 似然估计值.
0 x1 其他
, xn , 求参数 的极大
解答 返回
8.4 设总体 X 服从0 1分布 :
P{ X 0} 1 p , P{ X 1} p
X 的一组样本值为 x1, x2 , , xn , 求参数 p的极
大似然估计值.
解答
8.5 设 X1, X2 , , Xn 为总体 X 的样本,
为X 的数学期望, 证明由
总体均值差 1 2的置信度为0.99的置信区间.
解答 返回
8.10 某车间用两台同型号机器 A, B 相互独
立地生产同一种产品, 其产品长度 X和Y 分别服
从正态分布
N
(
1
,
2 1
)
和 N (2,
2 2
)
,
由实践经验
知1 2 .为了比较两台机器所生产的产品长度,
现从机器 A生产的产品中抽取10件, 求得长度均
第八章 参数估计
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11
返回
8.1 灯泡厂从某日生产的一批灯泡中抽取
10 个灯泡进行寿命试验, 得到灯泡寿命(单位 : 小时) 的数据如下:
1050, 1100, 1080, 1120, 1120 1250, 1040, 1130, 1300, 1200
S 2
1 n
n i 1
(Xi
)2
定义的统计量是总体方差的无偏估计量.
解答 返回
8.6 自某工厂某日生产的滚珠中随机抽取
9个, 测得直径(单位:mm)如下 : 14.6, 14.7, 15.1, 14.9, 14.8, 15.0, 15.1, 15.2, 14.8
(1) 估计该日生产的滚珠直径的均值; (2) 如果滚珠直径服从正态分布, 且已知标 准差为0.15mm, 求直径均值的置信度为0.95 的 置信区间.
概率论与数理统计第8章(公共数学版)
P (弃真)
P(拒 绝H0
|
H
为
0
真)
P(
A
|
H
为
0
真)
小概率事件发生的概率就是犯弃真错误的概率
越大,犯第一类错误的概率越大, 即越显著. 故在检验中,也称为显著性水平
20
2.第二类错误:纳伪错误
如
果
原
假
设H
是
0
不
正
确
的, 但
却
错
误
地
接
受
了Hቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
此时我们便犯了“纳伪”错误,也称为第二类错误
统计量观测值 u 57.9 53.6 2.27 6 10
该批产品次品率 p 0.04 , 则该批产品不能出厂.
11
若从一万件产品中任意抽查12件发现1件次品
p 0.04 代入
取 0.01，则 P12(1) C112 p1(1 p)11 0.306 0.01
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受 原假设, 即该批产品可以出厂.
13
例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际
称其中的一个为原假设,也称零假设或基本假设 记 为H0 称另一个为备择假设,也称备选假设或对立假设 记为H1 一般将含有等号的假设称为原假设
7
二、假设检验的基本原理
假设检验的理论依据是“小概率原理” 小概率原理:如果一个事件发生的概率很小,那么在一 次实验中,这个事件几乎不会发生. 如: 事件“掷100枚均匀硬币全出现正面”
（三）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计
量的分布查表确定出临界值，进而得到H0的拒绝域 和接受域.
概率论与数理统计8-2
X 0
/
X 0 z / 2 ，即 ~ N (0, 1) . 所以， P n / n
即
P X 0 z / 2 . n
n
( x)
1 (| z |) ( | z |) 2[1 (| z |)] ；
2
( x)
2
Z /2
如果是右侧检验，则
p ＝ P { X | Z |} 1 (| z |) ；
O
Z /2
x
如果是左侧检验，则
p ＝ P { X | Z |} ( | z |) 1 (| z |) ．
临界值法的基本步骤 例 8.4 单边检验 例 8.5 例 8.6
8.2.2 单个正态总体方差的 2 检验 检验几种类型 同步练习 1,2,3 例 8.8 小结 例 8.9
8.2.1. 单正态总体 N ( , ) 均值 的假设检验
2
1.双侧检验 H 0 : 0 ； H 1 : 0
t / 2 ( n 1) 0 .1 6
可作出判断，接受原假设 H0，认为该厂生产的电阻均值确 实等于 10 欧姆．
8.2.1. 单正态总体 N ( , ) 均值 的假设检验
2
临界值法进行假设检验的基本步骤如下： 步骤一：针对具体问题，做出一个合理的原假设和备 择假设，选择原假设的原则是：事先有一定的信任度或出 于某种考虑要加以保护； 步骤二：构造一个统计量； 步骤三：根据统计随机变量的分布类型、原假设与备 择假设、显著性水平确定拒绝域； 步骤四：将样本值带入统计随机变量得到统计值，若 统计值在拒绝域内，拒绝原假设，否则，接受原假设．
8概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第八章
∑ ⎪⎪⎧Yrij
⎨
= µ + ai ai = 0;
+ ε ij ,
i = 1, 2, L, r,
⎪ i=1
⎪⎩ε ij 相互独立，且都服从N (0, σ 2 ).
j = 1, 2, L, m;
检验的原假设与备择假设为 H0：a 1 = a 2 = … = a r = 0 vs H1：a 1 , a 2 , …, a r 不全等于 0．
i=1 j =1
∑ ∑ 1
σ2
r i =1
m
(Yij
j =1
− Yi⋅ ) 2
~ χ 2 (rm − r) ，
∑∑ 故 Se
σ2
=1 σ2
r i =1
m
(Yij
j =1
− Yi⋅ )2
~
χ 2 (n − r) ，即得 E(S e) = (n − r)σ 2；
4
r
r
r
r
r
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ （2） S A = m (Yi⋅ − Y )2 = m (ai + εi⋅ − ε )2 = m ai2 + m (ε i⋅ − ε )2 + 2m ai (εi⋅ − ε ) ，
是第 i 个总体内样本均值与总样本均值的偏差，称为组间偏差，反映第 i 个总体的主效应． 三．偏差平方和及其自由度
∑ 在统计学中，对于
k
个独立数据
Y1 ,
Y2 ,
…,
Yk
，平均值 Y
=
1 k
k
Yi
i =1
，称
Yi 与 Y
之差为偏差，所有偏差
的平方和
k
∑ Q = (Yi − Y )2 i =1
概率论与数理统计课件8
8 (续)
(3)
P
arc
tgX
3
P
X
tg
3
P X 3
1 F 3
1 2 3
1 3
9、设随机变量 X 旳分布函数
0,
F
x
A
cos
x 2
,
1 ,
x0
0 x x
(1) 拟定 A ; (2) 求 X 旳密度函数 f ( x ) ;
(3) 计算
P
cos
X 2
1 2
解:
(1)
3
3
故 所以
Y
~
B
3,
1 3
P Y 1 1
P Y
0
1
1
1 3
3
19 27
3、假如在时间 t（分钟）内, 某纺织工人看守
旳织布机断纱次数服从参数与 t 成正比旳泊松
分布. 已知在一分钟内不出现断纱旳概率为
0.2，求在 2 分钟内至少出现一次断纱旳概率
解: 设 X 表达某纺织工人看守旳织布机断纱
32
解得
a1 , b5
6
6
7 (续) 故
0,
1
,
F
x
6 1 2
,
1,
(2) X 旳分布列为
x 1 1 x 1
1 x2 x2
X 1 1 2
P
111
632
8、设随机变量 X 具有概率密度
ax,
f
x
b 1 x2
,
0 ,
0 x1 x1
其它
又
P
X
1 2
7 8
求: (1) 常数 a , b ;
概率论与数理统计 (姚孟臣) 课件 第八章
设在一项试验中,所考察的因素只有一个,即只有一 个因素在改变,而其他因素保持不变,则称其为单因 素试验;而多于一个因素在改变的试验称为多因素 试验. 因素可分为两类: 可控因素,如反应温度、原料配量、溶液浓度等; 不可控因素,如测量误差、气象条件等. 以下我们所说的因素都是指可控因素,称因素所处 的各种状态为该因素的各个水平. 试验中变化的因素用A,B,C,…表示, 因素A的p个不同水平分别用A1,A2,…,Ap表示.
2
ST
( Xij X ) ,(4)
j1 i1
1 s m
X n j1 i1 X ij , (5)
X 是数据的总平均.ST 能反映全部试验数据之间的差异,故又
称总变差.再记水平 Aj 下的样本平均值为 X j ,即
H0 : 1 2 H1 : 1, 2 ,
S
不全S相, 等，(2)
（2）作出未知参数1, 2, , s及 2的估计.
中国人民大学出版社
（一）
数学模型
为讨论方便,我们记均值的总平均为 ,且有
1 n
s
m j
j 1
m n
s
j
j 1
1 s
s
j (3)
j 1
s
s
再令a j j , j 1, 2, , s,易见 aj j s 0,a j 表示
中国人民大学出版社
例1 设有三台机器,用来生产厚度为1/4厘米的铝 合金板. 今要了解各机器产品的平均厚度是否相同, 取样测量精确至千分之一厘米,得结果如表8—1所 示.
表8—1 铝合金板的厚度
机器Ⅰ 0.236 0.238 0.248 0.245 0.243
中国人民大学出版社
机器Ⅱ 0.257 0.253 0.255 0.254 0.261
概率论与数理统计__吴赣昌_第8章
E A
, AS
, 1 � t � A f 中其
而从。 )1-n(2χ~2σ/AS �时立成0=ta =…=2a =1a�0H当 �)1-n(2χ~2σ/ES且�立独互相ES与AS
) Ef ,A f ( F ~
S
� AF
, i n , 2 ,1 � j , t , � , 2 ,1 � i , ij � � i a � � �
98. 1 � � 54. 22 �
6. 721 7
4 �T n
3 2
51. 2 � 54. 22 �
9. 341 7
3 �T n
61. 1 � � 54. 22 �
1. 271 7
n 53 � � X � ˆ 54. 22 � � 解 9. 587 ��T 。值计估的ia和μ求 )1.8例续(3.8例
1� j 1� i
in
1
n
t
�
i�
X
均 平 总 本 样 为 ij X
��n �
t
1
X
记
。�和方平间组�和方平 应效的素因为称�的起引差误机随及以iA平水由是它 �度程响影的标指体总对下平水同不的A在了映反AS
� � 和方 平 内 组 � 和 方 平差误为称�度程响影的标指体总对差误机随映反ES
中其�和的ES与AS成解分TS将们我�明表这
�表析分差方为称�表下成列果结的面上将常通 。0H受接�时)t-n,1-t(α-1F<F当�0H绝拒�时)t-n,1-t(α-1F>F当
E
有�α平水性著显的定给于对
A
零为全不ta,…,2a ,1a�1H�0=ta =…=2a =1a�0H验检设假于对
概率论与数理统计课件-第八、九章
4.F分布
定义： X ~ (n), Y ~ (m), X, Y 相互独立，
2 2
令
X /n F Y /m
则称 F 服从为第一自由度为n , 第二自由度为 m 的F 分布.
F 分布的性质
1 若F ~ F (n, m) , 则 1/ F ~ F (m, n)
2 F (n, m) 的上 分位数F (n , m) 有表可查 :
[6]2 X1X 2 ...X n
解: [4], [5]
二、常用统计量
三、四大分布
1、标准正态分布 若 P( X z ) 称z 为标准正态分布的上 分 位数. •例：P(X>1.96)=0.025 •例：P(X>1.645)=0.05
2.卡方分布
定义 设 (X1,X2,…,Xn) 相互独立， 且都服 从标准正态分布N (0,1),则
~ N (0,1)
*2
n
1 n X Xi n i 1 1 n S ( X i X )2 n i 1
2
(2)
(n 1) S
2
2
与 X 相互独立
*2 n 2
S *2
Xi X nS (n 1) S 2 (3) 2 ~ ( n 1 ) 2 i 1
例：F0.05 (4,5) 5.19 P( F (4,5) 5.19) 0.05
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3
•4
5 6
F(n,m)
四、抽样分布的基本定理
(Ⅰ) 一个正态总体 2 设总体 X ~ N ( , ) ,样本（X1,X2,…,Xn)
概率论与数理统计PPT第8章
假设检验
08
《概率论与数理统计》 & 人民邮电出版社
2
目录/Contents
8.1 8.2
检验的基本原理 正态总体参数的假设检验 拟合优度检验
8.3
检验的基本原理
3
假设检验与参数估计的区别
1 2
参数估计是用样本数据对总体参数进行估计; 假设检验是用样本数据对总体参数的某个特
定假设进行检验，进而判断是否拒绝该假设.
8.2
正态总体参数的假设检验 一、单正态总体均值的假设检验 二、单正态总体方差的假设检验 三、两个正态总体均值差的假设检验 四、两个正态总体方差比的假设检验
一、单正态总体均值的假设检验
32
双边检验：
单边（右侧）检验： 单边（左侧）检验：
一、单正态总体均值的假设检验
33
A B
一、单正态总体均值的假设检验
4
个假设是否成立。
在前例这个假设就是：生产过程是正常的，或 者说不合格品率不超过0.01。但估计问题，在收集
数据之前并不对参数真值进行假设，这是两者的重
要差别。此外，检验问题的回答是定性的，而估计 问题的结论是定量的。
检验的基本原理 也即，观察的数据与假设的差异只是由随机性 引起的呢？还是反映了总体的真实差异？即关于总 体的假设仍然成立呢？还是不再成立？
三、确定显著性水平和两类错误
19
两类错误
总体参数的实际情况
检 验 结 论
正确 第一类错误
第二类错误 正确
三、确定显著性水平和两类错误
20
两类错误概率:
第一类错误概率（又称为弃真概率）
第二类错误概率（又称为采伪概率）
三、确定显著性水平和两类错误
《概率论与数理统计》(第3版) 习题详解-(第8章)习题详解
习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）?【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H Hn Z ZxxZZZαμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25设含镍量服从正态分布，问在α=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25?【解】设0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H Hn t n tx sxtttαμμμμα==≠===-====-===<所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为3.25.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35)2.0301.H Hn t n t nx sxtttαμμμμα==≠===-=========<=所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取α=0.05）. 【解】0100.050.05:21.5;:21.5.21.5,6,0.05, 1.65, 2.9,20,(2021.5)1.267,2.91.65.H Hn z xxzz zμμμασ≥<======-===->-=-所以接受H0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x=0.452(%),s=0.037(%).设测定值总体为正态，μ为总体均值，σ为总体标准差，试在水平α=0.05下检验.（1）H0：μ=0.5(%)；H1：μ＜0.5(%).（2）:Hσ'=0.04(%)；1:Hσ'＜0.04(%).【解】(1)00.050.050.5;10,0.05,(1)(9) 1.8331,0.452,0.037,(0.4520.5)4.10241,0.037(9) 1.8331.n t n tx sxtt tαμα===-====-===-<-=-所以拒绝H0，接受H1.(2)2222010.9522222220.95(0.04),10,0.05,(9) 3.325,0.452,0.037,(1)90.0377.7006,0.04(9).nx sn sασαχχχσχχ-=======-⨯===>所以接受H0，拒绝H1.6.某种导线的电阻服从正态分布N（μ，0.0052）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s=0.008欧.对于α=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【解】00102222/20.0251/20.975222220.02522:0.005;:0.005.9,0.05,0.008,(8)(8)17.535,(8)(8) 2.088,(1)80.00820.48,(8).(0.005)H Hn sn sαασσσσαχχχχχχχσ-===≠=======-⨯===>故应拒绝H0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：第一批棉纱样本：n1=200，x=0.532kg, s1=0.218kg；第二批棉纱样本：n2=200，y=0.57kg, s2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(α=0.05)【解】01211212/2120.0250.0250.025:;:.200,0.05,(2)(398) 1.96,0.1981,1.918;(398).w H H n n t n n t z s x y t t t αμμμμα=≠===+-=≈=======-< 所以接受H 0，认为两批强度均值无显著差别.8.两位化验员A ，B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A ，B 所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA 2，σB 2，试在水平α=0.05下检验方差齐性的假设222201:;:.A B A B H H σσσσ=≠【解】221212/2120.0250.9750.02521225,0.05,0.4322,0.5006,(1,1)(4,4)9.6,11(4,4)0.1042,(4.4)9.60.43220.8634.0.5006n n s s F n n F F F s F s αα=====--========那么0.9750.025(4,4)(4,4).F F F <<所以接受H 0，拒绝H 1.9~12. 略。
概率论与数理统计第8章
(2)相容性 对m<n，有
Fm(x1, x2,...,xm;t1,t2,...,tm ) = Fn (x1, x2,...,xm,,...;t1,t2,...,tn )
X (t) =
t
当 = T ,t = 1,2,3,...
2. 例8.1.1的随机相位正弦波
X (t) = a cos(bt + )
3.某路公交车的客流情况{(X(t), Y(t));t0<t< t1}, (X(t), Y(t))表示t时刻起点与终点站的候车人数.
§8.2 随机过程的分布函数和数字特征
+
)]
2
= a2 cos2 (bt + x)
1
dx
0
2
= a2 2 2 cos(2bt + 2x) +1dx = a2
2 0
2
2
DX (t) =
X2
(t )
=
a2 2
设X(t1)和X(t2)是随机过程在任意二个时刻t1和t2 时的状态. 定义8.2.7 称X(t1)和X(t2)的二阶混合原点矩
RX (t1,t2 ) = E[X (t1)X (t2 )]
X
(1)
=
1
2
=H
,
=T
于是,X(0.5),X(1)的概率分布分别为
X (0.5) 0
1
Pk
1
1
22
X (1) -1
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1
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