概率论与数理统计习题课件第8章
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概率论与数理统计第8章(公共数学版)
则犯弃真错误的概率为
P (弃真)
P(拒 绝H0
|
H
为
0
真)
P(
A
|
H
为
0
真)
小概率事件发生的概率就是犯弃真错误的概率
越大,犯第一类错误的概率越大, 即越显著. 故在检验中,也称为显著性水平
20
2.第二类错误:纳伪错误
如
果
原
假
设H
是
0
不
正
确
的, 但
却
错
误
地
接
受
了Hቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
此时我们便犯了“纳伪”错误,也称为第二类错误
统计量观测值 u 57.9 53.6 2.27 6 10
该批产品次品率 p 0.04 , 则该批产品不能出厂.
11
若从一万件产品中任意抽查12件发现1件次品
p 0.04 代入
取 0.01，则 P12(1) C112 p1(1 p)11 0.306 0.01
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受 原假设, 即该批产品可以出厂.
13
例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际
称其中的一个为原假设,也称零假设或基本假设 记 为H0 称另一个为备择假设,也称备选假设或对立假设 记为H1 一般将含有等号的假设称为原假设
7
二、假设检验的基本原理
假设检验的理论依据是“小概率原理” 小概率原理:如果一个事件发生的概率很小,那么在一 次实验中,这个事件几乎不会发生. 如: 事件“掷100枚均匀硬币全出现正面”
（三）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计
量的分布查表确定出临界值，进而得到H0的拒绝域 和接受域.
P (弃真)
P(拒 绝H0
|
H
为
0
真)
P(
A
|
H
为
0
真)
小概率事件发生的概率就是犯弃真错误的概率
越大,犯第一类错误的概率越大, 即越显著. 故在检验中,也称为显著性水平
20
2.第二类错误:纳伪错误
如
果
原
假
设H
是
0
不
正
确
的, 但
却
错
误
地
接
受
了Hቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
此时我们便犯了“纳伪”错误,也称为第二类错误
统计量观测值 u 57.9 53.6 2.27 6 10
该批产品次品率 p 0.04 , 则该批产品不能出厂.
11
若从一万件产品中任意抽查12件发现1件次品
p 0.04 代入
取 0.01，则 P12(1) C112 p1(1 p)11 0.306 0.01
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受 原假设, 即该批产品可以出厂.
13
例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际
称其中的一个为原假设,也称零假设或基本假设 记 为H0 称另一个为备择假设,也称备选假设或对立假设 记为H1 一般将含有等号的假设称为原假设
7
二、假设检验的基本原理
假设检验的理论依据是“小概率原理” 小概率原理:如果一个事件发生的概率很小,那么在一 次实验中,这个事件几乎不会发生. 如: 事件“掷100枚均匀硬币全出现正面”
（三）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计
量的分布查表确定出临界值，进而得到H0的拒绝域 和接受域.
概率论与数理统计8-2
假设 2 已知，当原假设 H0: 0 成立时，有 Z＝
X 0
/
X 0 z / 2 ，即 ~ N (0, 1) . 所以， P n / n
即
P X 0 z / 2 . n
n
( x)
1 (| z |) ( | z |) 2[1 (| z |)] ；
2
( x)
2
Z /2
如果是右侧检验，则
p ＝ P { X | Z |} 1 (| z |) ；
O
Z /2
x
如果是左侧检验，则
p ＝ P { X | Z |} ( | z |) 1 (| z |) ．
临界值法的基本步骤 例 8.4 单边检验 例 8.5 例 8.6
8.2.2 单个正态总体方差的 2 检验 检验几种类型 同步练习 1,2,3 例 8.8 小结 例 8.9
8.2.1. 单正态总体 N ( , ) 均值 的假设检验
2
1.双侧检验 H 0 : 0 ； H 1 : 0
t / 2 ( n 1) 0 .1 6
可作出判断，接受原假设 H0，认为该厂生产的电阻均值确 实等于 10 欧姆．
8.2.1. 单正态总体 N ( , ) 均值 的假设检验
2
临界值法进行假设检验的基本步骤如下： 步骤一：针对具体问题，做出一个合理的原假设和备 择假设，选择原假设的原则是：事先有一定的信任度或出 于某种考虑要加以保护； 步骤二：构造一个统计量； 步骤三：根据统计随机变量的分布类型、原假设与备 择假设、显著性水平确定拒绝域； 步骤四：将样本值带入统计随机变量得到统计值，若 统计值在拒绝域内，拒绝原假设，否则，接受原假设．
X 0
/
X 0 z / 2 ，即 ~ N (0, 1) . 所以， P n / n
即
P X 0 z / 2 . n
n
( x)
1 (| z |) ( | z |) 2[1 (| z |)] ；
2
( x)
2
Z /2
如果是右侧检验，则
p ＝ P { X | Z |} 1 (| z |) ；
O
Z /2
x
如果是左侧检验，则
p ＝ P { X | Z |} ( | z |) 1 (| z |) ．
临界值法的基本步骤 例 8.4 单边检验 例 8.5 例 8.6
8.2.2 单个正态总体方差的 2 检验 检验几种类型 同步练习 1,2,3 例 8.8 小结 例 8.9
8.2.1. 单正态总体 N ( , ) 均值 的假设检验
2
1.双侧检验 H 0 : 0 ； H 1 : 0
t / 2 ( n 1) 0 .1 6
可作出判断，接受原假设 H0，认为该厂生产的电阻均值确 实等于 10 欧姆．
8.2.1. 单正态总体 N ( , ) 均值 的假设检验
2
临界值法进行假设检验的基本步骤如下： 步骤一：针对具体问题，做出一个合理的原假设和备 择假设，选择原假设的原则是：事先有一定的信任度或出 于某种考虑要加以保护； 步骤二：构造一个统计量； 步骤三：根据统计随机变量的分布类型、原假设与备 择假设、显著性水平确定拒绝域； 步骤四：将样本值带入统计随机变量得到统计值，若 统计值在拒绝域内，拒绝原假设，否则，接受原假设．
8概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第八章
∑ ⎪⎪⎧Yrij
⎨
= µ + ai ai = 0;
+ ε ij ,
i = 1, 2, L, r,
⎪ i=1
⎪⎩ε ij 相互独立，且都服从N (0, σ 2 ).
j = 1, 2, L, m;
检验的原假设与备择假设为 H0：a 1 = a 2 = … = a r = 0 vs H1：a 1 , a 2 , …, a r 不全等于 0．
i=1 j =1
∑ ∑ 1
σ2
r i =1
m
(Yij
j =1
− Yi⋅ ) 2
~ χ 2 (rm − r) ，
∑∑ 故 Se
σ2
=1 σ2
r i =1
m
(Yij
j =1
− Yi⋅ )2
~
χ 2 (n − r) ，即得 E(S e) = (n − r)σ 2；
4
r
r
r
r
r
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ （2） S A = m (Yi⋅ − Y )2 = m (ai + εi⋅ − ε )2 = m ai2 + m (ε i⋅ − ε )2 + 2m ai (εi⋅ − ε ) ，
是第 i 个总体内样本均值与总样本均值的偏差，称为组间偏差，反映第 i 个总体的主效应． 三．偏差平方和及其自由度
∑ 在统计学中，对于
k
个独立数据
Y1 ,
Y2 ,
…,
Yk
，平均值 Y
=
1 k
k
Yi
i =1
，称
Yi 与 Y
之差为偏差，所有偏差
的平方和
k
∑ Q = (Yi − Y )2 i =1
概率论与数理统计课件8
8 (续)
(3)
P
arc
tgX
3
P
X
tg
3
P X 3
1 F 3
1 2 3
1 3
9、设随机变量 X 旳分布函数
0,
F
x
A
cos
x 2
,
1 ,
x0
0 x x
(1) 拟定 A ; (2) 求 X 旳密度函数 f ( x ) ;
(3) 计算
P
cos
X 2
1 2
解:
(1)
3
3
故 所以
Y
~
B
3,
1 3
P Y 1 1
P Y
0
1
1
1 3
3
19 27
3、假如在时间 t（分钟）内, 某纺织工人看守
旳织布机断纱次数服从参数与 t 成正比旳泊松
分布. 已知在一分钟内不出现断纱旳概率为
0.2，求在 2 分钟内至少出现一次断纱旳概率
解: 设 X 表达某纺织工人看守旳织布机断纱
32
解得
a1 , b5
6
6
7 (续) 故
0,
1
,
F
x
6 1 2
,
1,
(2) X 旳分布列为
x 1 1 x 1
1 x2 x2
X 1 1 2
P
111
632
8、设随机变量 X 具有概率密度
ax,
f
x
b 1 x2
,
0 ,
0 x1 x1
其它
又
P
X
1 2
7 8
求: (1) 常数 a , b ;
概率论与数理统计 (姚孟臣) 课件 第八章
中国人民大学出版社
设在一项试验中,所考察的因素只有一个,即只有一 个因素在改变,而其他因素保持不变,则称其为单因 素试验;而多于一个因素在改变的试验称为多因素 试验. 因素可分为两类: 可控因素,如反应温度、原料配量、溶液浓度等; 不可控因素,如测量误差、气象条件等. 以下我们所说的因素都是指可控因素,称因素所处 的各种状态为该因素的各个水平. 试验中变化的因素用A,B,C,…表示, 因素A的p个不同水平分别用A1,A2,…,Ap表示.
2
ST
( Xij X ) ,(4)
j1 i1
1 s m
X n j1 i1 X ij , (5)
X 是数据的总平均.ST 能反映全部试验数据之间的差异,故又
称总变差.再记水平 Aj 下的样本平均值为 X j ,即
H0 : 1 2 H1 : 1, 2 ,
S
不全S相, 等，(2)
（2）作出未知参数1, 2, , s及 2的估计.
中国人民大学出版社
（一）
数学模型
为讨论方便,我们记均值的总平均为 ,且有
1 n
s
m j
j 1
m n
s
j
j 1
1 s
s
j (3)
j 1
s
s
再令a j j , j 1, 2, , s,易见 aj j s 0,a j 表示
中国人民大学出版社
例1 设有三台机器,用来生产厚度为1/4厘米的铝 合金板. 今要了解各机器产品的平均厚度是否相同, 取样测量精确至千分之一厘米,得结果如表8—1所 示.
表8—1 铝合金板的厚度
机器Ⅰ 0.236 0.238 0.248 0.245 0.243
中国人民大学出版社
机器Ⅱ 0.257 0.253 0.255 0.254 0.261
设在一项试验中,所考察的因素只有一个,即只有一 个因素在改变,而其他因素保持不变,则称其为单因 素试验;而多于一个因素在改变的试验称为多因素 试验. 因素可分为两类: 可控因素,如反应温度、原料配量、溶液浓度等; 不可控因素,如测量误差、气象条件等. 以下我们所说的因素都是指可控因素,称因素所处 的各种状态为该因素的各个水平. 试验中变化的因素用A,B,C,…表示, 因素A的p个不同水平分别用A1,A2,…,Ap表示.
2
ST
( Xij X ) ,(4)
j1 i1
1 s m
X n j1 i1 X ij , (5)
X 是数据的总平均.ST 能反映全部试验数据之间的差异,故又
称总变差.再记水平 Aj 下的样本平均值为 X j ,即
H0 : 1 2 H1 : 1, 2 ,
S
不全S相, 等，(2)
（2）作出未知参数1, 2, , s及 2的估计.
中国人民大学出版社
（一）
数学模型
为讨论方便,我们记均值的总平均为 ,且有
1 n
s
m j
j 1
m n
s
j
j 1
1 s
s
j (3)
j 1
s
s
再令a j j , j 1, 2, , s,易见 aj j s 0,a j 表示
中国人民大学出版社
例1 设有三台机器,用来生产厚度为1/4厘米的铝 合金板. 今要了解各机器产品的平均厚度是否相同, 取样测量精确至千分之一厘米,得结果如表8—1所 示.
表8—1 铝合金板的厚度
机器Ⅰ 0.236 0.238 0.248 0.245 0.243
中国人民大学出版社
机器Ⅱ 0.257 0.253 0.255 0.254 0.261
概率论与数理统计__吴赣昌_第8章
, t � n � Ef S
E A
, AS
, 1 � t � A f 中其
而从。 )1-n(2χ~2σ/AS �时立成0=ta =…=2a =1a�0H当 �)1-n(2χ~2σ/ES且�立独互相ES与AS
) Ef ,A f ( F ~
S
� AF
, i n , 2 ,1 � j , t , � , 2 ,1 � i , ij � � i a � � �
98. 1 � � 54. 22 �
6. 721 7
4 �T n
3 2
51. 2 � 54. 22 �
9. 341 7
3 �T n
61. 1 � � 54. 22 �
1. 271 7
n 53 � � X � ˆ 54. 22 � � 解 9. 587 ��T 。值计估的ia和μ求 )1.8例续(3.8例
1� j 1� i
in
1
n
t
�
i�
X
均 平 总 本 样 为 ij X
��n �
t
1
X
记
。�和方平间组�和方平 应效的素因为称�的起引差误机随及以iA平水由是它 �度程响影的标指体总对下平水同不的A在了映反AS
� � 和方 平 内 组 � 和 方 平差误为称�度程响影的标指体总对差误机随映反ES
中其�和的ES与AS成解分TS将们我�明表这
�表析分差方为称�表下成列果结的面上将常通 。0H受接�时)t-n,1-t(α-1F<F当�0H绝拒�时)t-n,1-t(α-1F>F当
E
有�α平水性著显的定给于对
A
零为全不ta,…,2a ,1a�1H�0=ta =…=2a =1a�0H验检设假于对
E A
, AS
, 1 � t � A f 中其
而从。 )1-n(2χ~2σ/AS �时立成0=ta =…=2a =1a�0H当 �)1-n(2χ~2σ/ES且�立独互相ES与AS
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S
� AF
, i n , 2 ,1 � j , t , � , 2 ,1 � i , ij � � i a � � �
98. 1 � � 54. 22 �
6. 721 7
4 �T n
3 2
51. 2 � 54. 22 �
9. 341 7
3 �T n
61. 1 � � 54. 22 �
1. 271 7
n 53 � � X � ˆ 54. 22 � � 解 9. 587 ��T 。值计估的ia和μ求 )1.8例续(3.8例
1� j 1� i
in
1
n
t
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i�
X
均 平 总 本 样 为 ij X
��n �
t
1
X
记
。�和方平间组�和方平 应效的素因为称�的起引差误机随及以iA平水由是它 �度程响影的标指体总对下平水同不的A在了映反AS
� � 和方 平 内 组 � 和 方 平差误为称�度程响影的标指体总对差误机随映反ES
中其�和的ES与AS成解分TS将们我�明表这
�表析分差方为称�表下成列果结的面上将常通 。0H受接�时)t-n,1-t(α-1F<F当�0H绝拒�时)t-n,1-t(α-1F>F当
E
有�α平水性著显的定给于对
A
零为全不ta,…,2a ,1a�1H�0=ta =…=2a =1a�0H验检设假于对
概率论与数理统计课件-第八、九章
4.F分布
定义： X ~ (n), Y ~ (m), X, Y 相互独立，
2 2
令
X /n F Y /m
则称 F 服从为第一自由度为n , 第二自由度为 m 的F 分布.
F 分布的性质
1 若F ~ F (n, m) , 则 1/ F ~ F (m, n)
2 F (n, m) 的上 分位数F (n , m) 有表可查 :
[6]2 X1X 2 ...X n
解: [4], [5]
二、常用统计量
三、四大分布
1、标准正态分布 若 P( X z ) 称z 为标准正态分布的上 分 位数. •例：P(X>1.96)=0.025 •例：P(X>1.645)=0.05
2.卡方分布
定义 设 (X1,X2,…,Xn) 相互独立， 且都服 从标准正态分布N (0,1),则
~ N (0,1)
*2
n
1 n X Xi n i 1 1 n S ( X i X )2 n i 1
2
(2)
(n 1) S
2
2
与 X 相互独立
*2 n 2
S *2
Xi X nS (n 1) S 2 (3) 2 ~ ( n 1 ) 2 i 1
例：F0.05 (4,5) 5.19 P( F (4,5) 5.19) 0.05
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1 2 3
•4
5 6
F(n,m)
四、抽样分布的基本定理
(Ⅰ) 一个正态总体 2 设总体 X ~ N ( , ) ,样本（X1,X2,…,Xn)
概率论与数理统计PPT第8章
1
假设检验
08
《概率论与数理统计》 & 人民邮电出版社
2
目录/Contents
8.1 8.2
检验的基本原理 正态总体参数的假设检验 拟合优度检验
8.3
检验的基本原理
3
假设检验与参数估计的区别
1 2
参数估计是用样本数据对总体参数进行估计; 假设检验是用样本数据对总体参数的某个特
定假设进行检验，进而判断是否拒绝该假设.
8.2
正态总体参数的假设检验 一、单正态总体均值的假设检验 二、单正态总体方差的假设检验 三、两个正态总体均值差的假设检验 四、两个正态总体方差比的假设检验
一、单正态总体均值的假设检验
32
双边检验：
单边（右侧）检验： 单边（左侧）检验：
一、单正态总体均值的假设检验
33
A B
一、单正态总体均值的假设检验
4
个假设是否成立。
在前例这个假设就是：生产过程是正常的，或 者说不合格品率不超过0.01。但估计问题，在收集
数据之前并不对参数真值进行假设，这是两者的重
要差别。此外，检验问题的回答是定性的，而估计 问题的结论是定量的。
检验的基本原理 也即，观察的数据与假设的差异只是由随机性 引起的呢？还是反映了总体的真实差异？即关于总 体的假设仍然成立呢？还是不再成立？
三、确定显著性水平和两类错误
19
两类错误
总体参数的实际情况
检 验 结 论
正确 第一类错误
第二类错误 正确
三、确定显著性水平和两类错误
20
两类错误概率:
第一类错误概率（又称为弃真概率）
第二类错误概率（又称为采伪概率）
三、确定显著性水平和两类错误
假设检验
08
《概率论与数理统计》 & 人民邮电出版社
2
目录/Contents
8.1 8.2
检验的基本原理 正态总体参数的假设检验 拟合优度检验
8.3
检验的基本原理
3
假设检验与参数估计的区别
1 2
参数估计是用样本数据对总体参数进行估计; 假设检验是用样本数据对总体参数的某个特
定假设进行检验，进而判断是否拒绝该假设.
8.2
正态总体参数的假设检验 一、单正态总体均值的假设检验 二、单正态总体方差的假设检验 三、两个正态总体均值差的假设检验 四、两个正态总体方差比的假设检验
一、单正态总体均值的假设检验
32
双边检验：
单边（右侧）检验： 单边（左侧）检验：
一、单正态总体均值的假设检验
33
A B
一、单正态总体均值的假设检验
4
个假设是否成立。
在前例这个假设就是：生产过程是正常的，或 者说不合格品率不超过0.01。但估计问题，在收集
数据之前并不对参数真值进行假设，这是两者的重
要差别。此外，检验问题的回答是定性的，而估计 问题的结论是定量的。
检验的基本原理 也即，观察的数据与假设的差异只是由随机性 引起的呢？还是反映了总体的真实差异？即关于总 体的假设仍然成立呢？还是不再成立？
三、确定显著性水平和两类错误
19
两类错误
总体参数的实际情况
检 验 结 论
正确 第一类错误
第二类错误 正确
三、确定显著性水平和两类错误
20
两类错误概率:
第一类错误概率（又称为弃真概率）
第二类错误概率（又称为采伪概率）
三、确定显著性水平和两类错误
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测定值的样本方差为
s
2 1
0.5419 ,
s
2 2
0.6065 .
设测定值总体分别服从正态分布X
N
(
1
,
2 1
),
Y
N
(
2
,
2 2
)
,
试求方差比
2 1
/
2 2
的置信度为
0.95 的置信区间.
解答 返回
解答 返回
8.7 设飞机所装高度表的刻度服从正态分
布, 其标准差为15m. 问飞机上至少应该装有多
少这样的仪器, 才能以98％ 的概率保证平均高
度的误差小于 30m?
解答
8.8 从自动机床加工的同类零件中抽取8
个, 测得长度(单位 : mm)如下 :
12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.标准差 s1 1.09cm, 从机器 B生 产的产品中抽取15件, 求得长度均值y 52.24cm,
标准差 s2 1.18cm , 试求两种产品长度的均值差
1 -2 的置信度为 0.95的置信区间.
解答 返回
8.11 甲、乙两化验员独立用相同的方法对
某种聚合物的含氯量各做 10次测量, 分别求得
如果零件长度服从正态分布, 求零件长度的数
学期望与标准差的置信度为0.95的置信区间.
解答 返回
8.9 为研究两种固体燃料火箭推进器的燃
烧率, 抽取样本容量 n1 n2 20 的两个独立样 本, 求得燃烧率的样本均值分别为 18cm / s, 24 cm / s . 设两种燃料的燃烧率都服从正态分布, 标准差均为0.05cm / s, 求两种燃料的燃烧率的
求该日生产的这批灯泡的寿命均值 和寿命方 差 2的矩估计值.
解答 返回
8.2 设总体 X 服从指数分布e( ), X1, X2 , ,
Xn 为总体 X 的样本, 求参数的矩估计量和极大
似然估计量.
解答
8.3 设总体 X 的密度函数为
x 1 , f (x)
0,
X 的一组样本值为 x1 , x2 , 似然估计值.
0 x1 其他
, xn , 求参数 的极大
解答 返回
8.4 设总体 X 服从0 1分布 :
P{ X 0} 1 p , P{ X 1} p
X 的一组样本值为 x1, x2 , , xn , 求参数 p的极
大似然估计值.
解答
8.5 设 X1, X2 , , Xn 为总体 X 的样本,
为X 的数学期望, 证明由
总体均值差 1 2的置信度为0.99的置信区间.
解答 返回
8.10 某车间用两台同型号机器 A, B 相互独
立地生产同一种产品, 其产品长度 X和Y 分别服
从正态分布
N
(
1
,
2 1
)
和 N (2,
2 2
)
,
由实践经验
知1 2 .为了比较两台机器所生产的产品长度,
现从机器 A生产的产品中抽取10件, 求得长度均
第八章 参数估计
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11
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8.1 灯泡厂从某日生产的一批灯泡中抽取
10 个灯泡进行寿命试验, 得到灯泡寿命(单位 : 小时) 的数据如下:
1050, 1100, 1080, 1120, 1120 1250, 1040, 1130, 1300, 1200
S 2
1 n
n i 1
(Xi
)2
定义的统计量是总体方差的无偏估计量.
解答 返回
8.6 自某工厂某日生产的滚珠中随机抽取
9个, 测得直径(单位:mm)如下 : 14.6, 14.7, 15.1, 14.9, 14.8, 15.0, 15.1, 15.2, 14.8
(1) 估计该日生产的滚珠直径的均值; (2) 如果滚珠直径服从正态分布, 且已知标 准差为0.15mm, 求直径均值的置信度为0.95 的 置信区间.