二次函数与一元二次方程的关系课件
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《二次函数》课件
一二
元次
二函
次数
方与
程
抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的横坐
标即一元二次方程ax2+bx+c =0的根
抛物线
与x轴
的公共
点情况
有两个公共点⇔∆> 0
有一个公共点⇔∆= 0
没有公共点⇔∆< 0
利用图象法求一元二次方程的根
抛物线
拓 与直线
展 的公共
点个数
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴公共点的坐标
羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x
=-2(x-10)2+200(0＜x＜20).
∴当x=10时，S有最大值，此时S=200.
∵200＞187.5，∴张大伯的设计不合理.
应当设计羊圈与墙垂直的两边长为10 m，
与墙平行的一边长为20m.
3.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个
2
2
1 2 1
3 2
2
x - (2x-30) = − x +60x-450.
2
2
2
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，
∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作
DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F
处，DF交BC于点G.
(3) 当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．
(1) 请你求出矩形羊圈的面积；
解：(1)由题意，得羊圈的长为25 m，
宽为(40-25)÷2=7.5(m).
故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2)
人教版九年级上册数学课件：二次函数与一元二次方程
x
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
归纳:
当二次函y数 a x2 bxc,当给定y的值时,则二次函数
可转化为一元二次. 方程
如:二次函数 y x24x的值为 3,求自变量 x的值, 可以解一元二次方x程 2 4x 3(即x2 4x30). 反过来,解方程x2 4x30又可以看作已知二次 函数y x24x3的值为 0,球自变量 x的值.
如果h=20，那50-20t2= 20 ，
如果h=0，那50-20t2= 0 。 如果要想求t的值，那么我们可以求 方程
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的解。
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问题:王明手里抛出的篮球的飞行路线是一条抛物线,如果
不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
呢？
∴当球飞行2s时，它的高度为4m。 （3）解方程4.1=4t-t2 即： t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解，
从上面我们看出， 对于二次函数 高为个度什时为么间3在球mh其 二两的=？实 次4就 方（t –是程4t）∴2把的t中球1解=函解的，0方,t飞数。程已2=行0值4知=高4hht换度-的t2达成值不常，即到数：求4.，1t时2m-求4间。t=一t0，元
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
拓展升华
二次函数 yax2 bxc(a0)的图像如图，
根据图像解答下列问题：
（1）写出方程 ax2bxc0的两个根；
人教版九年级上册数学《22-2 二次函数与一元二次方程》课件
1
y x2 2x 2
x…
0 1 2 3…
y… 1
1…
–2 –1 O –1
–2
–3
1 2 3 4 5x
利用函数图象求方程 x2 2x 2 0 的实数根 （结果保留小数点后一位）.
思考2：方程的根的取值范 围是什么？
思考3：怎样得到符合题目 要求的方程根的近似值？
y
4
y x2 2x 2
数 学 人教版·九年级上册
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
教学目标
教学重难点
教学设计
作业布置
教学目标
1．知道二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程 的根的个数之间的关系．
2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的 近似解，体会数形结合思想．
教学重难点
重点
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方 程的近似解．
化 求抛物线 y x2 2x 2 与x 轴公共点的横坐标
思考1：画哪个函数的图象？ 画出函数 y x2 2x 2 的图象.
利用函数图象求方程 x2 2x 2 0 的实数根 （结果保留小数点后一位）.
x2 2x 2 0
画出函数 y x2 2x 2 的图象,
y 4
3
2
y (x 1)2 3
x2-x+1=0无解
3
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2 1
抛物线与x 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说 明呢？
二次函数与一元二次方程PPT精品课件
(3)你能从中得到什么启发?
从“形”的方面看，函数 yx2 x3 的图象与x轴交点的横坐标即
4
为方程
x2
x3 4
0的解；从“数”的方面看，当二次函数
yx2 x3 4
的函数值为0的解
；
-5-
二、信息交流，揭示规律
问题2：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如
（1）1s和3s时 （3）达不到20.5m
（2）2s时 （4）4s时小球落回地面
-4-
二、信息交流，揭示规律
问题1：画出函数 yx2 x3 的图象，根据图 4
象回答下列问题.
(1)图象与x轴交点的坐标是什么？（-0.5，0） （1.5，0）
(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程
x2 x30有什么关系? 当=-0.5或=1.5时，y＝0 4
22.2 二次函数与一元二次方程
宁江初中 ：马继科
2021年3月4日
-2-
一：设计问题，创设情境
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
可由 _b_2_-4_a__c确定。
2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么50-
20t2= _1_5__ ； 如果h=20，那么50-20t2= _2_0_ ；如果h=0，那 么50-20t2= _0__。
求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点。 3、两人合作，一人画出二次函数的图象，
另一个同学说出相应一元二次方程的解；
-10-
四：变练演编，深化提高
4、在下列情形中，如果a>0，抛物线 y=ax2+bx+c的顶点在什么位置？ （1）方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； （2）方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根； （3）方程ax2+bx+c=0无实数根。
二次函数与一元二次方程之间的关系PPT课件
人教版 九年级上
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
提示：点击 进入习题
1
ax2＋bx＋c＝0；y＝0； 横
6
B
2A
7C
3C
8C
4A
9C
5 没有；有一个；有两个 10 见习题
答案显示
11 见习题 12 见习题 13 见习题
答案显示
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标， 就是求一元二次方程_a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0___的两个根；一元
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
∴方程 2ax2＋3x＋1＝0 有实数解． ∴Δ＝9－8a≥0，解得 a≤98. 又∵a≠0，∴a≤98且 a≠0.
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足 m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵a＜0，∴抛物线开口向下． 当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3. ①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x___≥__－__1___时，y 的值随x值的增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数 根，求k的取值范围．
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
提示：点击 进入习题
1
ax2＋bx＋c＝0；y＝0； 横
6
B
2A
7C
3C
8C
4A
9C
5 没有；有一个；有两个 10 见习题
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11 见习题 12 见习题 13 见习题
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1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标， 就是求一元二次方程_a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0___的两个根；一元
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
∴方程 2ax2＋3x＋1＝0 有实数解． ∴Δ＝9－8a≥0，解得 a≤98. 又∵a≠0，∴a≤98且 a≠0.
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足 m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵a＜0，∴抛物线开口向下． 当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3. ①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x___≥__－__1___时，y 的值随x值的增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数 根，求k的取值范围．
九年级上《22.2二次函数与一元二次方程》课件
2．自主探究：
问题1
以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的 方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线． 如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位 ：m ）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关 系 h = 20t - 5t 2． （2）小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如能，需 要多少飞行时间？
归纳 一般地，从二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象可知： （1）如果抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴有公共点， 公共点的横坐标是 x0，那么当 x = x0 时，函数值是 0， 因此 x = x0 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的一个根． （2）二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置 关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共 点． 这对应着一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的根的三种 情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等 的实数根．
y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点
方程ax2+bx+c=0 的根
b2-4ac
函数的图象
y . o y o y o . x
有两个交点
方程有两个不相等 b2-4ac 的实数根
> 0
只有一个交点 方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
x
没有交点
方程没有实数根
b2-4ac
< 0
x
2．小组合作，类比探究
1．复习知识，回顾方法
问题1:一次函数y=kx+b与一次方程 kx+b=0之间有什么关系？
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
第21章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
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Y
P
α
β
AO B
X
4、已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.
求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不 同的交点,
要点回顾
对于二次函数y=ax2 +bx+c(a 0),当y=0时,函数即可化为一元二次 方程ax2 +bx+c=0,这时方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标.
有两个交点 方程有两个不相等 b2-4ac > 0
3、 b2-4ac ＜0
一元二次方程ax2+bx+c=0
没有实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴没有公共点——相离。
二、基础训练
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则
a=
；若抛物线与x轴有两个交点，则a
的范围是
；若抛物线与坐标轴有两个
公共点，则a的范围是
；
2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一
2、已知抛物线y=x2+2x+m+1。
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点， 求m的值。
3、已知是x1、x2方程x2-（k-3）x+k+4=0的两 个实根，A、B为抛物线y= x2-（k-3）x+k+4与 x轴的两个交点，P是y轴上异于原点的点，设 ∠PAB=α，∠PBA=β，问α、β能否相等？并说 明理由.
（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？ 如果能，需 要多少飞行时间？
（2）小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如能，需要 多少飞行时间？
（3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？ 为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？
一、探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。 解：∵A、B在x轴上，
（B）a＜0 b2-4ac＞0
（C）a＞0 b2-4ac＞0 （D）a＜0 b2-4ac＜0
三、例题推荐
1、已知二次函数y=x2-kx-2+k.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。 (2)如果二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点为 A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6 时,求S△ABC .
个交点，则a的范围是
。
3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果 相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8
（3）y=x2-4x+4
6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在 轴下方的条件是（ D ） （A）a＜0 b2-4ac≤0
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、 b2-4ac ＞0
有两个不等的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有两个交点——相交。
2、 b2-4ac =0
有两个相等的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。
❖ 学习目标： 了解二次函数与一元二次方程的联系. • 学习重点： 二次函数与一元二次方程的联系．
复习知识，回顾方法
问题1 以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向 击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑 空气阻力，小球的飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间 t（单位：s）之间具有函数关系 h = 20t - 5t2．
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是
x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交
点坐标分别是A（ y
x1，0），
B（x2，0）
x1 x2 OA B
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0
b²-4ac=0
b²-4ac>0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
的实数根
只有一个交点 方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
y .o . x
y
o
x
没有交点 方程没有实数根 b2-4ac < 0
P
α
β
AO B
X
4、已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.
求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不 同的交点,
要点回顾
对于二次函数y=ax2 +bx+c(a 0),当y=0时,函数即可化为一元二次 方程ax2 +bx+c=0,这时方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标.
有两个交点 方程有两个不相等 b2-4ac > 0
3、 b2-4ac ＜0
一元二次方程ax2+bx+c=0
没有实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴没有公共点——相离。
二、基础训练
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则
a=
；若抛物线与x轴有两个交点，则a
的范围是
；若抛物线与坐标轴有两个
公共点，则a的范围是
；
2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一
2、已知抛物线y=x2+2x+m+1。
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点， 求m的值。
3、已知是x1、x2方程x2-（k-3）x+k+4=0的两 个实根，A、B为抛物线y= x2-（k-3）x+k+4与 x轴的两个交点，P是y轴上异于原点的点，设 ∠PAB=α，∠PBA=β，问α、β能否相等？并说 明理由.
（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？ 如果能，需 要多少飞行时间？
（2）小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如能，需要 多少飞行时间？
（3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？ 为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？
一、探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。 解：∵A、B在x轴上，
（B）a＜0 b2-4ac＞0
（C）a＞0 b2-4ac＞0 （D）a＜0 b2-4ac＜0
三、例题推荐
1、已知二次函数y=x2-kx-2+k.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。 (2)如果二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点为 A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6 时,求S△ABC .
个交点，则a的范围是
。
3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果 相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8
（3）y=x2-4x+4
6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在 轴下方的条件是（ D ） （A）a＜0 b2-4ac≤0
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、 b2-4ac ＞0
有两个不等的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有两个交点——相交。
2、 b2-4ac =0
有两个相等的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。
❖ 学习目标： 了解二次函数与一元二次方程的联系. • 学习重点： 二次函数与一元二次方程的联系．
复习知识，回顾方法
问题1 以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向 击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑 空气阻力，小球的飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间 t（单位：s）之间具有函数关系 h = 20t - 5t2．
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是
x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交
点坐标分别是A（ y
x1，0），
B（x2，0）
x1 x2 OA B
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0
b²-4ac=0
b²-4ac>0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
的实数根
只有一个交点 方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
y .o . x
y
o
x
没有交点 方程没有实数根 b2-4ac < 0