4.3.2对数的运算
4.3.2对数的运算-高中数学人教A版必修一课件
（1）loga (MN ) loga M loga N
（2）loga
M N
loga M
loga
N
（3）loga M n n loga M (n R)
2.对数换底公式：
loga b
logc b (a logc a
0, 且a 1;b 0;c 0, 且c
1).
本课结束
自我探究
仿照上述推理过程，结合指数幂的运算性质
am an
amn
和 (am )n amn
，
推导出对数运算的其他性质.
学习新知
对数的运算性质：
如果 a 0 ，且 a 1，M >0 ，N >0 .那么
（1）loga (MN ) loga M loga N
（2）loga
M N
loga M
loga
2
3
巩固练习
用 lg x ，lg y ，lg z 表示 下列各式.
（1）lg(xyz)
（2）lg xy2
z
（3）lg xy3
z
（4）lg
x y2z
lg x lg y lg z
lg x 2 lg y lg z lg x 3lg y 1 lg z
2 1 lg x 2 lg y lg z 2
2( ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln 2) ln 4 ln 3 ln 8 ln 3 ln 4 ln 9 ln 8 ln 9
2(1 1 1 1) 23 6
4
课堂小结
1.对数的运算性质：如果 a 0 ，且 a 1，M >0 ，N >0 .那么
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数
4.3.2对数的运算课件(人教版)
n
指数幂的运算性质： am an amn; am an amn ； am n amn; m an am .
在上一课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算， 你能从指数与对数的关系以及指数幂的运算性质， 得出相应的对数的运算性质吗?
N
b
a n an， N b，即loga M n n loga M.
探究二 对数换底公式
当a 0,且a 1,b 0时，若 ax b ①，则 loga b x ②.
在①的两边取以 c(c 0, 且c 1) 为底的对数，则 logc ax logc b ， 即 x logc a logc b ，
log5 5
3 4
log8 8
，
3
3
log553 log53 而 log884 log85 ，log53 log85，
即 a b ； 55 84 ，5 4log58，log58 1.25，b log85 0.8 ，
134 85 ，4 5log138 ，c log138 0.8 ， c b ， 综上， c b a .故选：A.
第 四 章 指数函数与对数函数
4.3.2 对数的运算
学习目标
通过指数幂的运算性质推导出对数的运算性质. 掌握对数换底公式，能够用换底公式简化问题.
准备好了吗？一起去探索吧！
对数运算性质及其推导过程. 换底公式及其应用.
换底公式的灵活运用.
难点
重点
导入
首先大家先复习对数的定义及指数幂的运算性质.
xy
√A.2
B.1
C. 1
2
D. 3
2
由题意可知 4x 6 ， 9y 6 ，即 x log4 6 ， y log9 6 ，
数学人教A版必修第一册4.3.2对数的运算课件
(2)lg
2
2
5 + lg
3
8+lg 5·lg 20+(lg 2)2
24 ×53
解：原式=lg
1
5
1
5－lg
5
＝lg 104＝4
【跟踪训练】
(2)lg
2
2
5 + lg
3
8+lg 5·lg 20+(lg 2)2
解：原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2
如果a 0, 且a 1, M 0, N 0, 那么
（1）log（
log a M log a N；
a MN）
M
（2）log a
log a M - log a N；
N
n
（3）log a M n log a M .
对数的运算性质把乘积转化为加法，把商转化为减法，
把乘方转化为乘法，降低了运算级别，简化了运算。
的运算性质．你认为可以怎样研究？
我们知道了对数与指数间的
关系，能否利用指数幂运算性
质得出相应的对数运算性质呢？
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R);
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R);
(3)(ab) r a r b r (a 0, r R);
创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。
2024年11月10日星期日11时4分32秒
课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解
其推导过程和成立的条件．
教学重点：对数的运算性质
4.3.2 对数的运算 课件(共13张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
新课讲授
课堂总结
例1 求下列各式的值. （1）lg5 100;
(2)原式 (lg 2 lg 2)( lg 3 lg 3)
lg 3 lg 9 lg 4 lg 8
(lg 2 lg 2 )( lg 3 lg 3 ) lg 3 2 lg 3 2 lg 2 3lg 2
3lg 2 5lg 3 5 2 lg 3 6 lg 2 4
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结归纳
1.在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式;
2.常用的公式有：
log a
b logb
a
1，logan
bm
m n
loga
b,
loga
b
1 logb
a
等.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.
解：∵log189＝a,18b＝5，
（2）log2(47 25)
解：(1) lg5
1
100 lg1005
1 lg100 2 ;
5
5
(2) log2(47 25) log2 47 log2 25 7 log2 4 5log2 2 7log2 22 5 725
19
学习目标
新课讲授
课堂总结
例2 用 ln x, ln y, ln z 表示 ln x2 y 3z
4.3.2 对数的运算
学习目标
4.3.2对数的运算教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
- 提交预习成果：学生将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至在线平台或老师处。
教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：学生自主阅读和思考，培养自主学习能力。
- 信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。
- 反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。
学生活动：
- 完成作业：学生认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。
- 拓展学习：学生利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。
- 反思总结：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。
教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。
教学方法/手段/资源：
- 讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解对数的定义、性质和运算法则。
- 实践活动法：设计小组讨论，让学生在实践中掌握对数的运算技能。
- 合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
作用与目的：
- 帮助学生深入理解对数的定义、性质和运算法则，掌握对数的运算技能。
- 提供一些拓展性的题目，鼓励学生进行深入研究和探索，如对数函数的图像分析、对数运算的数学证明等。
作业反馈：
- 及时批改学生的作业，给出明确的评分和评价。
- 在批改过程中，注意指出学生作业中的错误和不足之处，并提供改进建议。
- 对于学生作业中的亮点和优秀表现，给予肯定和鼓励。
- 通过面对面的交流或书面反馈，将作业批改结果告诉学生，并与他们讨论改进的方法。
- 数学教科书和配套练习册，作为教学的主要材料。
- 计算器，用于辅助计算和对数的运算练习。
4.3.2对数的运算法则课件(第一课时)-2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修
和 =
= ( ∈ ,a > 0, a ≠ 1)
= 称作为对数运算的基础。
巩固练习
例一、设 = = = 用A、B、C表示
2
3
解：
3
3
若 = 不一定有 = ，需要保证, ≠
若 = 也不一定有M=N；
反例： = (−)
但 ≠ −
课堂小结
在学习完对数的基本运算法则后我们一定要掌握：
(1) = + (2) = ( ∈ )
= − Βιβλιοθήκη = + − = + − ;
= − = + −
= + −
巩固练习
50
5
1
(2) 10 12.5 − 10 + 10
8
2
解：
−
= =
− = ÷
÷ =
. − + = . ÷ ×
−
= + −
[方法二] = − = × −
= + −
= + − −
= + − − = + −
现在假设
= = 则 = =
4.3.2对数的运算课件(人教版)
(2).log a
N log a N
(3).log a ( MN ) log a M log a N
(4).log a M (log a M )
n
n
范例应用
1．计算log510－log52等于(
)A．log58 B．lg 5C．1
D．2
C
解析：log510－log52＝log55＝1.
＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
范例应用
解：
(3)原式=
1.8
21.8
1
=
2
（2+9−10）
1
2
1.8
=
18
10
21.8
=
范例应用
1．利用对数性质求值的解题关键是化
异为同，先使各项底数相同，再找真数间
范例应用
2．log23·log32＝
________.
解析：
log23·log32＝1.
范例应用
1
32
计算下列各式的值：(1) −
2
49
4
8 + 245
3
2
(2)5 +
2
8
3
+ 5 ∙ 20 + 2
2+3− 10
(3)
1.8
2
范例应用
解：
7
5
(2)
lg 5 100 .
讲授新知
探究
你能根据对数的定义推导出下面
的换底公式吗？
log c b
a 0, 且a 1; c 0, 且c 1; b 0.
高中数学第四章4.3.2对数的运算讲义新人教A版必修第一册
4.3.2 对数的运算知识点一 对数的运算性质若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a M N＝log a M －log a N ， (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )．状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．知识点二 对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)． 状元随笔 对数换底公式常见的两种变形 (1)log a b·log b a ＝1，即1log a b＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .(2)log N n M m＝m n log N M ，此公式表示底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．[教材解难]换底公式的推导设x ＝log a b ，化为指数式为a x＝b ，两边取以c 为底的对数，得log c a x＝log c b ，即x log c a ＝log c b .所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a.[基础自测]1．下列等式成立的是( ) A ．log 2(8－4)＝log 28－log 24B.log 28log 24＝log 284C ．log 28＝3log 22D ．log 2(8＋4)＝log 28＋log 24解析：由对数的运算性质易知C 正确． 答案：C 2.log 49log 43的值为( ) A.12 B ．2 C.32 D.92解析：原式＝log 39＝2. 答案：B3．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4解析：原式＝log 5102＋log 50.25 ＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 答案：C4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为________． 解析：log 32＝ln 2ln 3＝a b .答案：a b题型一 对数运算性质的应用[教材P 124例3] 例1 求下列各式的值： (1)lg 5100； (2)log 2(47×25)．【解析】 (1)lg 5100＝lg 10015＝15lg 100＝25； (2)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 24＋5log 22＝7×2＋5×1 ＝19.利用对数运算性质计算． 教材反思1．对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练1 (1)计算：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.(2)求下列各式的值． ①log 53＋log 513②(lg 5)2＋lg 2·lg 50③l g 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解析：(1)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.(2)①log 53＋log 513＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13＝log 51＝0.②(lg 5)2＋lg 2·lg 50 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.③原式＝lg 25＋lg 823＋lg 102·lg(10×2)＋(lg 2)2＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3. 答案：(1)－1 (2)见解析 利用对数运算性质化简求值．题型二 对数换底公式的应用[经典例题]例2 (1)已知2x ＝3y＝a ，1x ＋1y＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2 6 D. 6 (2)计算下列各式： ①log 89·log 2732.②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3.③6413＋lg 4＋2lg 5.【解析】 (1)因为2x ＝3y＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝± 6. 又a ＞0，所以a ＝ 6.(2)①log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝lg 32lg 23·lg 25lg 33＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. ②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3＝lg 16＋lg 5－lg 8－1⎝⎛⎭⎪⎫32782＝lg 16×58－1⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－49＝59. ③6413＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.【答案】 (1)D (2)见解析状元随笔 1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分． 方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log an b m＝mnlog a b . 跟踪训练2 (1)式子log 916·log 881的值为( ) A.18 B.118C.83D.38(2)(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)等于( ) A.56 B.2512C.94D ．以上都不对 解析：(1)原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 33log 34＋log 33log 38·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 38log 39＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋3log 322 ＝56log 32×52log 32＝2512. 答案：(1)C (2)B 利用换底公式化简求值． 题型三 用已知对数表示其他对数例3 已知log 189＝a,18b＝5，用a ，b 表示log 3645. 解析：方法一 因为log 189＝a ，所以9＝18a. 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b 2－a.方法二 ∵18b＝5，∴log 185＝b . ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.状元随笔 方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值． 方法二 先求出a 、b ，再利用换底公式化简求值. 方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练3 (1)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________；(用p ，q 表示) (2)①已知log 147＝a,14b＝5，用a ，b 表示log 3528. ②设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y的值．解析：(1)lg 5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝qp ＋q .(2)①∵log 147＝a,14b＝5， ∴b ＝log 145.∴log 3528＝log 1428log 1435＝log 141427log 14(5×7)＝log 14142－log 147log 145＋log 147＝2－a a ＋b . ②∵3x＝36,4y＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.答案：(1)qp ＋q (2)①2－aa ＋b②1 (1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．课时作业 22一、选择题1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，下列式子：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：根据对数的性质知4个式子均不正确． 答案：A2．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝12log 63＝log 6 3.答案：C3．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 5＝( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－a D.a ＋2b1－a解析：lg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝2a ＋b 1－a .答案：C4．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A ．3 B ．9 C ．18 D ．27解析：原式可化为log 8m ＝2log 34，lg m 3lg 2＝2lg 4lg 3，即lg m ＝6lg 2·lg 32lg 2，lg m ＝lg 27，m ＝27.故选D. 答案：D 二、填空题5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.答案：4 －36．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________．解析：由换底公式， 得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.答案：1257.lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8·(lg 32－lg 2)＝________.解析：原式＝lg (2×5)－0lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122×8×lg 322＝1lg 2·lg 24＝4.答案：4 三、解答题8．化简：(1)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27；(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋211+log252.解析：(1)方法一 (正用公式)： 原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 3lg 3＝115. 方法二 (逆用公式)：原式＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫3×925×2712×35×3－12lg 8127＝lg 3115lg 3＝115. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·22log ＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋25＝1＋2 5.9．计算：(1)log 1627log 8132； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)． 解析：(1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54. [尖子生题库]10．已知2x ＝3y ＝6z≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.证明：设2x ＝3y ＝6z＝k (k ≠1)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 6＝log k 2＋log k 3，∴1z ＝1x ＋1y.。
4.3.2对数的运算课件-高一上学期数学人教A版【03】
1. 已知 3a＝5b＝15，求1a＋1b的值 [解] ∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515， ∴1a＋1b＝log153＋log155＝log1515＝1.
2. 若 a，b 是正数，且 3a＝5b＝c，比较 3a 与 5b 的大小．
[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
指数运算法则
am an amn (m, n R)
am an
amn (m, n R)
(am )n amn (m, n R)
问题：指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有 一系列性质，那么对数运算是否也有类似的性质呢？
am an amn (m, n R)
MN
M=am,N=an
logaM=m, logaN=n
Байду номын сангаасMN=am+n
loga(M·N)＝m+n
这样，得到了对数的一个运算性质
loga(M·N)＝logaM+logaN
如果a>0且a≠1, M>0, N>0，那么
(1) loga(M·N)＝logaM+logaN
log2 3 log2 5 log2 15
(2) loga
xy ; z
x2 y (2) loga 3 z
解（1） loga
xy z
loga (xy ) loga
z
loga
x loga
y loga
z
（2）loga
x2
3
y z
1
loga (x2 y 2 ) loga
1
z3
1
1
loga x2 loga y 2 loga z 3
4.3.2对数的运算 课件(共24张PPT)
∴log ( ) = log
− log
练习
练习
练习
对数的运算法则-数乘公式
n个M相乘
log = log ( × × ⋯ … × ）
n个log 相加
= log + log + ⋯ … + log
= log
练习
常用对数与自然对数
对数的基本运算
a＞0且 ≠ 1，log 1 = 0
a＞0且≠1，log = 1
a＞0且≠1，log = x
ln = 1
lg 10 = 1
ln 1 = 0
lg 1 = 0
对数恒等式
log
=
令 =
log
则
=
∴log = log
∵log =
lg
lg Leabharlann lg log b =
lg b
lg lg
∴log × log = × =1
lg
lg b
=
=
= log
练习
练习
练习
即=+
∴log () = +
∴log () = log + log
对数的运算法则-减法公式
令log = , log =
则 = , =
∴ = ÷ = −
即 =−
∴log ( ) = −
∴t=N
log
∴
=
练习
3log3 2 = 2