2019-2020年高一数学必修一课堂综合训练题含答案

2019-2020年高一数学必修一课堂综合训练题含答案
一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 函数
2log (21)y x =
+的定义域是______________. 2. 二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：
则不等式2
0ax bx c ++>的解集是_________________.
3. 已知函数3log y x =的图象上有两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且线段AB 的中点在x 轴上，则12x x ⋅=____________.
4. 若函数|2|y x c =+是区间(1]-∞，
上的单调函数，则实数c 的取值范围是____________. 5. 为预防流感，学校对教室进行消毒.已知药物释放过程中，
室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成
正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为a
t y -⎪
⎭
⎫
⎝⎛=161
（a 为常数）.如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）
已知函数()22x x f x -=+. （1）证明()f x 是偶函数；
（2）判断()f x 在(0)+∞，
上的单调性并加以证明.
7. （本小题满分10分）
设a ∈R ，函数2()4f x x ax =++. （1）解不等式()()10f x f x x +-<；
（2）求()f x 在区间[1
2]，上的最小值()g a .
8.（本小题满分10分）
对于区间[]()a b a b <，
，若函数()y f x =同时满足：① ()f x 在[]a b ，上是单调函数；② 函数()y f x =，[]x a b ∈，
的值域是[]a b ，，则称区间[]a b ，为函数()f x 的“保值”区间. （1）求函数2
y x =的所有“保值”区间； （2）函数2(0)y x m
m =+≠是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；
若不存在，说明理由.
参考答案及评分标准
满分50分
一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.（一题两空的题目每空2分） 1. 1|12x x ⎧⎫
-
<<⎨⎬⎩⎭
； 2. {|3x x >，
或2}x <-； 3. 1； 4. (2]-∞-，； 5.（1） 0.11000.110.1.16t t t y t -≤≤⎧⎪
=⎨⎛⎫> ⎪
⎪⎝⎭
⎩，，
， （2） 6.0.
二、解答题：本大题共3小题，共30分.
6.（1）证明：()f x 的定义域为R ， ………………1分 且对于任意x ∈R ， ()2
2()x
x f x f x --=+=，
所以()f x 是偶函数. ………………4分
（2）()f x 是(0)+∞，
上的增函数. ………………5分 证明如下：设12x x ，是(0)+∞，
上的两个任意实数，且12x x <，则120x x x ∆=-<， 1212
1
2
12
121111()()22222222x x x x x x x x y f x f x ⎛
⎫⎛⎫∆=-=+-+=-+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
211
2
121212
22122(22)122x x x x x x x x x x
++-⎛⎫
=-+=-- ⎪⎝⎭
. 因为120x x <<， 所以 1222x
x
<，1
2
21x x +>，
所以12220x x
-<，12
1102x x +-
>， 从而0y ∆<，
所以()f x 是(0)+∞，
上的增函数. ………………10分
7.解：（1）()()10f x f x x +-<，即2
2810x x +<， ………………2分
化简整理得2
540x x -+<，解得14x <<. ………………4分
（2）函数2()4f x x ax =++图象的对称轴方程是2
a x =-. ① 当12
a
-
≤，即2a ≥-时，()f x 在区间[12]，上单调递增， 所以min ()(1)5f x f a ==+； ………………6分 ② 当122a <-
<，即42a -<<-时，()f x 在区间12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增所以，2min ()424a a f x f ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
； ………………8分
③ 当22
a
-
≥，即4a ≤-时，()f x 在区间[12]，上单调递减， 所以min ()(2)28f x f a ==+.
综上，2
52()442428 4.
a a a g a a a a +≥-⎧⎪
⎪=--<<-⎨⎪+≤-⎪⎩， ，， ，， ………………10分
8.解：（1）因为函数2y x =的值域是[0)+∞，，且2
y x =在[]a b ，的值域是[]a b ，， 所以[][0)a b ⊆+∞，，
， 所以0a ≥， 从而函数2
y x =在区间[]a b ，上单调递增， 故有2
2.
a a
b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 解得0101a a b b ==⎧⎨==⎩，或，，或.
又a b <， 所以01a b =⎧⎨=⎩
，.
所以函数2
y x =的“保值”区间为[01]，
. ………………3分
（2）若函数2(0)y x m
m =+≠存在“保值”区间，则有：
① 若0a b <≤，此时函数2y x m =+在区间[]a b ，上单调递减，
所以 2
2.
a m
b b m a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 消去m 得22
a b b a -=-， 整理得()(1)0a b a b -++=.
因为a b <， 所以10a b ++=， 即 1a b =--. 又01b b b ≤⎧⎨
--<⎩，，
所以 1
02b -<≤.
因为 2
2
2
13124m b a b b b ⎛
⎫=-+=---=-+- ⎪⎝
⎭ 102b ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭，
所以 3
14
m -≤<-
. ………………6分 ② 若0b a >≥，此时函数2y x m =+在区间[]a b ，
上单调递增， 所以 2
2.
a m a
b m b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 消去m 得22
a b a b -=-， 整理得()(1)0a b a b -+-=.
因为a b <， 所以 10a b +-=， 即 1b a =-. 又01a a a ≥⎧⎨
<-⎩，，
所以 1
02a ≤<.
因为 2
2
1124m a a a ⎛
⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭ 102a ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭，
所以 1
04
m ≤<
. 因为 0m ≠， 所以 1
04
m <<. ………………9分
综合 ①、② 得，函数2
(0)y x m
m =+≠存在“保值”区间，此时m 的取值范围是
311044⎡⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎣
⎭⎝⎭，，. ………………10分。