初一数学绝对值的化简和有理数的计算
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第三讲:绝对值化简和有理数的计算
第一部分:化简绝对值
【知识点一】:采用零点分段讨论法
【例1】:化简
【归纳点评】虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一般步骤是:
1.求零点:分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点(不一定是两个).
2.分段:根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定.
3.在各区段内分别考察问题.
4.将各区段内的情形综合起来,得到问题的答案.
【课堂练习】:
化简|x+2|+|x-3|
第二部分:有理数的计算
一、注意事项:
①有理数的加、减、乘、除四则混合运算,一定要先把减法改成加法,除法改成乘法。这样可以防止出错。
②应注意灵活运用运算律,使计算简便化,对互为相反数其和为零的要优先解决。
③在进行有理数的加减法运算时,先观察有没有相加后为0的数,若有,先将它们结合起来;
然后把同分母的数相加;若是带分数,还可以将其整数和分数部分分别结合相加;若既有小数又有分数,通常将小数化为分数(熟记一些常见的数据:0.125=____,0.25=______,0.375=____,0.75=______等)。在进行有理数混合运算时,若有公因数,一般先提出,然后运算。有时可以利用因数之间关系获得公因数。在运算过程中应注意符号的变化。
二、运算顺序 三、运算技巧
①归类组合:运用交换律、结合律归类加减,将同类数(如正数或负数)归类计算,如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。
例:计算:-(0.5)-(-341) + 2.75-(72
1
)
②凑整:将相加可得整数的数凑整,将相加得零的数(如互为相反数)相消。
将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加),可以降低解题难度,提高解题效率.
例:计算:--+-+-11
622344551311
6
38.
③分解:将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。
例:计算:111125434236
-+-+
④约简:将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。
例:计算:()()61112.50.125 1.250.6215
28
4⎛⎫-⨯⨯-⨯÷⨯⨯⨯ ⎪⎝
⎭
⑤倒序相加:利用运算律,改变运算顺序,简化计算。
例:计算
1200322003320034005
2003
++++
212003400520032200340042003400520031
2003
A =++++++()()()
即224005A =⨯,所以A =4005 所以原式=4005
⑥裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算,可以用这种方法
例:20051121231341200320041
20042005
⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯()
例:
解:应用关系式
来进行“拆项”。
原式
⑦正逆用运算律:正难则反, 逆用运算定律以简化计算。
例:计算:17.48×37+174.8×1.9+8.74×88. ⑧变序
例:计算:()()()412.5310.15⎛⎫
-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭
例:计算:[4125+(-71)]+[(-72)+612
7]
有理数及其运算综合复习
一、选择题
1.一个有理数与它的相反数的积 ( ).
(A) 是正数 (B) 是负数
(C) 一定不大于0 (D) 一定不小于0
2.如果两个有理数的积小于零,和大于零,那么这两个有理数 ( ) (A )符号相反 (B )符号相反且绝对值相等 (C )符号相反且负数的绝对值大 (D )符号相反且正数的绝对值大
3. 在数轴上,一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ,再向右移动5个单位长度到达点C .若点C 表示的数为1,则点A 表示的数为 ( ) A .7 B .3 C .-3 D .-2
4. 如图,数轴上A B 、两点分别对应实数a b 、, 则下列结论正确的是( ) A .0a b +> B .0ab >
C .0a b ->
D .||||0a b ->
5.下列结论正确的是 ( ) A. -a 一定是负数 B. -|a|一定是非正数
C. |a|一定是正数 D . |a|一定是负数
6.已知a 、b 是不为0的有理数,且b a b b a a >=-=,,,那么在使用数轴上的点来表示a 、b 时,应是 ( ) .
A B C D
7、一个数的相反数大于它本身,这个数是 ( ) A.正数 B.负数 C.0 D.非负数
8、以下关系一定成立的是 ( ) A.若|a|=|b|,则a=b B.若|a|=a, 则a>0
C. 若|a|+a=0,则a≤0 D.若 a>b, 则|a|>|b |.
9.绝对值大于2且小于5的所有整数的和是 ( ) A.7 B.-7 C.0 D.5
10.2-的相反数是 ( )
A .21-
B .2-
C .21
D .2
二、填空题
1.绝对值大于1而不大于3的整数有 ,它们的和是 。表示数a 的点到原点的距离为2,则a+|-a|= 。 2.(
)642=
3.最小的正整数是_____;绝对值最小的有理数是_____。绝对值等于3的数是______。 绝对值等于本身的数是 4.2
3-= 。
5.如图,数轴上的点A 所表示的数是a ,则A 点到原点的距离是 。
6.()
()
2000
1999
11---=_________。
7、如果∣a-4∣=4-a 则a_____0。如果a a =||,那么a 是_______
8、π-3.14的相反数是________。a-b 的相反数是________。a+b 的相反数是________。
三、解答题
1.在数轴上表示下列各数:绝对值是2.5的负数,绝对值是3的正数.
A