平面向量的数量积一轮复习
合集下载
平面向量的数量积课件-2025届高三数学一轮复习
平面向量数量积的概念及运算,与长度、夹角、平行、垂直有关的问
预测 题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点,会以选择题或填
空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.向量的夹角
∠AOB
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则________叫做a与b的夹角
定义
范围
0≤θ≤π
设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是_______
道夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的向量,再结合运算律展开求解;
(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用
坐标法求解;
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
对点训练
1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3,则a·b=(
A.-2
24 1
θ=
=
= ,
|||| 12×8 4
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos
1 1 3
θ· =12× × b= b.
||
4 8 8
3
b
8
.
2.(2023·衡阳模拟)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8), =5,且b与向量(1,0)的夹角是钝
角.则b在向量(1,0)上的投影向量为(
(4)向量a与b夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos
θ) .(
||
√
)
2.(必修第二册P36练习T1·
变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且 2 + =3,则t=(
A. 2
B. 3
C.± 2
D.±
2
2
高三一轮复习课件平面向量的数量积
a. 确定两个向量的方向和长度
b解的.
题模计技和算巧方两：向个角a向的. 量利关的用系夹向c角量.
的 利
性 用
质 向
和 量
几 的何Biblioteka 加意 法义 和简 减
化 法
计 进
算 行
b. 简化
注 计
意 算
向
量
ca.. 利利用用数向量量积的公性式质求和解几 何 意 义 简 化 计 算
b. 注意向量的模和方向角的关系
定义：平面向量的数量积是两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余 弦值的乘积 几何意义：表示两个向量的夹角大小和方向
性质：数量积满足交换律、结合律和分配律
应用：在物理、工程等领域有广泛应用，如力矩、功等
结合律：a·(b+c) = a·b + a·c 交换律：a·b = b·a 分配律：a·(b+c) = a·b + a·c
平行四边形定 理：两个向量 的数量积等于 这两个向量的
模的乘积
余弦定理：两 个向量的数量 积等于这两个 向量的模的乘 积再乘以这两 个向量的夹角
的余弦值
向量数量积的 性质：向量数 量积的绝对值 等于这两个向 量的模的乘积 再乘以这两个 向量的夹角的
余弦值
向量数量积的 定理：两个向 量的数量积等 于这两个向量 的模的乘积再 乘以这两个向 量的夹角的余
记开方等
理解错误，如 混淆向量的数 量积和向量积
的性质
应用错误，如 无法正确应用 向量的数量积 解决实际问题
计算两个向量的数量积，并判断其 正负性
判断两个向量的数量积是否为零， 并解释原因
计算两个向量的数量积，并判断其 方向
判断两个向量的数量积是否为零， 并解释原因
b解的.
题模计技和算巧方两：向个角a向的. 量利关的用系夹向c角量.
的 利
性 用
质 向
和 量
几 的何Biblioteka 加意 法义 和简 减
化 法
计 进
算 行
b. 简化
注 计
意 算
向
量
ca.. 利利用用数向量量积的公性式质求和解几 何 意 义 简 化 计 算
b. 注意向量的模和方向角的关系
定义：平面向量的数量积是两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余 弦值的乘积 几何意义：表示两个向量的夹角大小和方向
性质：数量积满足交换律、结合律和分配律
应用：在物理、工程等领域有广泛应用，如力矩、功等
结合律：a·(b+c) = a·b + a·c 交换律：a·b = b·a 分配律：a·(b+c) = a·b + a·c
平行四边形定 理：两个向量 的数量积等于 这两个向量的
模的乘积
余弦定理：两 个向量的数量 积等于这两个 向量的模的乘 积再乘以这两 个向量的夹角
的余弦值
向量数量积的 性质：向量数 量积的绝对值 等于这两个向 量的模的乘积 再乘以这两个 向量的夹角的
余弦值
向量数量积的 定理：两个向 量的数量积等 于这两个向量 的模的乘积再 乘以这两个向 量的夹角的余
记开方等
理解错误，如 混淆向量的数 量积和向量积
的性质
应用错误，如 无法正确应用 向量的数量积 解决实际问题
计算两个向量的数量积，并判断其 正负性
判断两个向量的数量积是否为零， 并解释原因
计算两个向量的数量积，并判断其 方向
判断两个向量的数量积是否为零， 并解释原因
高考理科第一轮复习课件(4.3平面向量的数量积)
【规范解答】（1）选A.由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x,即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)， 所以sin x＝cos x，即 x＝ ，故tan x＝1.
4
(2)选A.由题意得，BQ AQ AB 1 AC AB，
5．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ ，则
数量积
x1x2＋y1y2 a·b＝_________
2 2 x1＋y1 ①|a|＝_______
模
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2 2 （x1－x 2） ＋（y1－y2） 则 | AB| ＝____________________
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ 为a与b(或e)的夹
角．则
(1)e·a=a·e=|a|cos
a·b=0 (2)a⊥b⇔_______.
θ .
(3)当a与b同向时，a·b=|a|·|b|.
当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|, |a|2 a a 特别地，a·a＝____或者|a|＝____.
第三节 平面向量的数量积
1.两个向量的夹角 定义 范围 向量夹角θ 的范围是 0°≤θ ≤180° _______________, 0°或180° 当θ = ___________时，两向 量共线； 90° 当θ = _____时，两向量垂直， 记作a⊥b（规定零向量可与任 一向量垂直）
非零 已知两个_____向量a,b， 作 OA a,OB b, ∠AOB=θ 叫作向量a与b的 夹角（如图）.
又∵a,b为两个不共线的单位向量，
高三数学一轮复习基础过关5.3平面向量的数量积PPT课件
5 ，|a|cos
θ
=|a|
ab |a ||b |
2 (4) 3 7 13 65 .
(4)2 72
65 5
2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为
30°，则a·b等于
（ B）
A. 3
B. 3
C. 2 3
D. 1
2
2
解析 a b | a || b | cos 30
§5.3 平面向量的数量积
基础知识 自主学习
要点梳理
1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ ，则数量 |a |·|b|cos θ 叫做a与b的数量积（或内积），记 作a ·b=|a ||b|·cos θ .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a ·b=0 ，两非 零向量a与b平行的充要条件是 a ·b=±|a ||b| .
4.一般地，（a·b）c≠(b·c)a即乘法的结合律不成 立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c 共线的向量，同理右边（b·c）a表示一个与a共线 的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c ≠(b·c)a.
失误与防范
1. 零 向 量 :(1)0 与 实 数 0 的 区 别 ， 不 可 写 错 ： 0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任 意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只 定义了非零向量的垂直关系.
·sin(
π -θ )=sin
θ cos
2 θ -sin θ
cosθ =0.
∴a⊥b. 2
（2）解 由x⊥y得x·y=0,
即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0，
2014高考数学一轮复习课件4.3平面向量的数量积
【尝试解答】 (1)a＋c＝(1，2m)＋(2，m)＝(3， 3m)． ∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)· b＝(3，3m)· (m＋1，1)＝6m＋3 ＝0， 1 ∴m＝－ . 2 ∴a＝(1，－1)，∴|a|＝ 2. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直， ∴(a＋b)· (ka－b)＝0， 即ka2＋ka· b－a· 2＝0. b－b ∴k－1＋ka· b－a· b＝0.
4．(2013· 深圳质检)若平面向量α，β满足|α|＝1， 1 |β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为 ，则α 2 与β的夹角θ的取值范围是________． 1 【解析】 由题意知S＝|α||β|sin θ＝ ≤sin θ， 2 π 5 ∵θ∈[0，π]，∴θ∈[ ， π]． 6 6
•第三节 平面向量的数量积
•1．平面向量的数量积 •(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹 角为θ，则数量_______________叫做a与b |a|·|b|cos_θ 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量 0 的数量积为______． •(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b |b|cos θ 在a方向上的投影_t，－1)· (1，0)＝t.且0≤t≤1. → → ∴DE·DC的最大值为1.
•【答案】 (1)－16 (2)1 1
1．平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长 度与夹角，二是利用坐标来计算． 2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所 → → → → 求相关向量，如本题(1)中用AM 、MB 表示AB 、AC 等．(2) 注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种 特殊情形． 3．应当注意：(1)向量数量积a· b中的“· ”既不能省略，也 不能写成“³”；(2)向量的数量积满足“交换律”、“分 配律”，但不满足“结合律”．
平面向量的数量积-高三新高考一轮复习(人教A版)
(3)向量的夹角
已知两个_非_零__向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB
＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量 a 与 b 的夹角．如果向量 a 与
b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作_a_⊥__b_．
2．平面向量数量积的运算律 已知向量 a，b，c 和实数 λ.
①交换律：__a·_b_＝__b_·a__； ②数乘结合律：(λa)·b＝_λ_(_a_·b_)_＝_a_·_(λ_b_)_(λ∈R)； ③分配律：(a＋b)·c＝_a_·c_＋__b_·_c ．
解析 (1)因为|a|＝|b|＝1，向量 a 与 b 的夹角为 45°， 所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a|·|b|cos 45°＝1＋ 2. (2)如图，由 AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝∠ABE＝ ∠EAB＝30°.又 AB＝2 3，
所以 AE＝BE＝2.因为B→D＝A→D－A→B， 所以A→E·B→D＝A→E·(A→D－A→B)＝A→E·A→D－A→E·A→B ＝2×5×cos 60°－2×2 3×cos 30°＝－1.
解析 根据物理中力的平衡原理有 F3＋F1＋F2＝0， ∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2 ＝12＋( 2)2＋2×1× 2×cos 45°＝5. ∴|F3|＝ 5 N.
◇考题再现
4．已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a－b)
＝( B )
A．4
B．3
C．2
a·b
④cos θ＝_|_a_||b_|_． ⑤|a·b|_≤__|a||b|.
4．平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
向量表示
已知两个_非_零__向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB
＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量 a 与 b 的夹角．如果向量 a 与
b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作_a_⊥__b_．
2．平面向量数量积的运算律 已知向量 a，b，c 和实数 λ.
①交换律：__a·_b_＝__b_·a__； ②数乘结合律：(λa)·b＝_λ_(_a_·b_)_＝_a_·_(λ_b_)_(λ∈R)； ③分配律：(a＋b)·c＝_a_·c_＋__b_·_c ．
解析 (1)因为|a|＝|b|＝1，向量 a 与 b 的夹角为 45°， 所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a|·|b|cos 45°＝1＋ 2. (2)如图，由 AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝∠ABE＝ ∠EAB＝30°.又 AB＝2 3，
所以 AE＝BE＝2.因为B→D＝A→D－A→B， 所以A→E·B→D＝A→E·(A→D－A→B)＝A→E·A→D－A→E·A→B ＝2×5×cos 60°－2×2 3×cos 30°＝－1.
解析 根据物理中力的平衡原理有 F3＋F1＋F2＝0， ∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2 ＝12＋( 2)2＋2×1× 2×cos 45°＝5. ∴|F3|＝ 5 N.
◇考题再现
4．已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a－b)
＝( B )
A．4
B．3
C．2
a·b
④cos θ＝_|_a_||b_|_． ⑤|a·b|_≤__|a||b|.
4．平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
向量表示
【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件004003-平面向量的数量积
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a· b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. 2 (2)模：|a|＝ a· a＝ x2 ＋ y 1 1. x1x2＋y1y2 a· b (3)夹角：cos θ＝ ＝ 2 2 2 2. |a||b| x1＋y1· x2＋y2 (4)两非零向量 a⊥b 的充要条件：a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立) 2 2 2 2 ⇔|x1x2＋y1y2|≤ x1 ＋y1 · x2 ＋y2 .
3．平面向量数量积的运算律
(1)a· b＝b· a(交换律)． (2)λa· b＝λ(a· b)＝a· (λb)(结合律)． (3)(a＋b)· c＝a· c＋b· c(分配律)．
1．对平面向量的数量积的认识
(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的 结果是向量．( ) (2)(2013· 湖北卷改编)已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)， 3 2 D(3,4)，则向量 A→ B 在 C→ D 方向上的投影为－ .( ) 2 (3)若 a· b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a· b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角．( )
平面向量数量积的运算
考 点
【例 1】 (1)(2014· 威海期末考试)已知 a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，则 a· b＝( D )．A．2 B．3 C．4 D．5 π (2)(2013· 江西卷)设 e1，e2 为单位向量，且 e1，e2 的夹角为 ， 3 5 若 a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量 a 在 b 方向上的射影为________ ． 2
平面向量的数量积(一轮复习)
＝________；特殊地|，a|a|·ba|＝|a|2 或|a|＝ a·a.
C D (4)cos θ＝________．
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
B
A 3．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)分配律：(a＋b)·c＝________．
(3)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
2、（2016 年浙江高考）已知向量 a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量
1
题型五：平面向量的范围问题 e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ 6 ,则 a·b 的最大值是
．【答案】 2
3、（2016 年上海高考）在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），P 是
曲线 y 1 x2 上一个动点，则 BP BA 的取值范围是
01
平面向课量堂总向结量：的模
02
、转化为坐标
向量的夹角 cos 0 3 a b
ab
转化思想、数形结合
1 、（ 2013 年 高 考 四 川 卷 ） 在 ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且
2 cos2
A B cos B sin( A B)sin B cos( A C) 2
（2）已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cos α＝13.若向量
a＝3e1－2e2，则题|a|＝型__二___：___平． 面向量的[答模案] 3
变式练习 (1) [2014·全国卷] 若向量 a, b 满足：| a | 1， (a b) a ，
(2a b) b ，则 | b | （ ）
单击此处添加标题
单击此处添加标题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α，且 cos α＝13，
8 向量 a＝3e1－2e2，b＝3e1－e2，则 a ?b ? ________ ．
例 2 (1)在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则
A→B·A→C等于( )
A．－16 B．－8
C．8
D．16
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上
向量 a 与 b 的夹角 (如图 )
时，两向量共线，当
θ＝_ _π _ _ _ 时，两 2
向量垂直，记作 a⊥
b.
二、平面向量数量积的定义
1．a，b是两个非零向量，它们的夹角为 θ，则数|a|·|b|·cos θ叫做a与b的数量积．记 作a·b，即a·b＝__________|a_||_b|_·.cos θ
的动点，则D→E·C→B的值为________，D→E·D→C的最大值
为________．
[答案] (1)D (2)1 1
总结： 1、转化思想
平面向量的基本定理，
转化为用已知角已知模 的向量表示未知向量
2、有直角可考虑 建系简化问题
? 探究1 求平面向量数量积的步骤是： （1）①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；
(3)数乘结合律： (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
4．平面向量数量积的坐标表示 (1)若非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a·b＝x1x2＋y1y2，故 a⊥b? x1x2＋y1y2＝0.
(2)设 a＝(x，y)，则|a|＝________． (3)若两个非零向量 a＝(x1，y1)与向量 b＝(x2，y2)的
2cos 2
A? 2
B cos B ?
sin( A?
B)sin
B?
cos( A?
C)
?
?
3 5
.
(Ⅰ)求 cos A的值;
uuur uuru
(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影 .
? ? a ?
2、（2013 年辽宁）设向量
3 sin
x,sin
x
,b
?
?cos x,sinx
＝________.
答案 3
（2）已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cos α＝13.若向量
a＝3e1－2e2，则|a|＝________ ．
[答案] 3
rr
r
rr r
变式练习 (1) [2014·全国卷] 若向量 a , b 满足： | a |? 1， (a ? b) ? a ，
rr r
第3课时 平面向量的数量积
考试说明
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的 运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断 两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问 题．
(2)a⊥b? a·b＝____0 ____．
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝___|a_|_|b_|__；当 a 与 b 反向时，a·b ＝___－__|a_|_|b_|；特殊地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a.
(4)cos θ＝________． (5)|a·b|≤|a|·|bb·a. (2)分配律：(a＋b)·c＝_a_·_c_＋__b_·c_ ．
r
(2a ? b) ? b ，则 | b |? （ ）
[答案] (1) B
A．2
怎么考？考什么？
平面向量数量积的运算 向量的模
平面向量的夹角
4
垂直、平行的向量
3、（2016 年上海高考）在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），
P 是曲线 y ? 1? x2 上一个动点，则 BP ?BA的取值范围是
.
4、【2015 高考湖南，理 8】已知点 A ， B ，C 在圆 x2 ? y2 ? 1上运动，且 AB? BC，
②分别求|a|和|b|； ③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ， (2)知道向量的坐标a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则求数量积时用公式a·b＝x1x2＋y1y2计算． (3)利用图形建立直角坐标系，转化为坐标运算
转化思想、数形结合
题型二：平面向量的模（先平方，再展开运算）
例 3．（1）设向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|
若点 P 的坐标为
(2,0)
，则
uuur PA ?
uuur PB ?
uuur PC
的最大值为（
）.
范围问题
A.6 B.7 C.8
D.9
怎么考？ 选择题、填空题
?向量数量积的运算
考什么？ ????向向量量的的模夹角
??向量垂直、平行 ??范围问题
1 、（ 2013 年 高 考 四 川 卷 ） 在 ? ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且
规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
2．a·b的几何意义 a·b等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的 ___投__影_的__乘_积___．
3. a在b的方向上的投影为 |a|cos<a,b> .
2．向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 是 a 与 b 的夹角． (1)e·a＝a·e.
夹角为 θ，则 cos θ＝a|a·||bb|＝ x21＋x1xy122＋ ·y1yx222＋y22.
题型一 平面向量的数量积的运算
? 例1 (1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：① a∥b； ②a⊥b；③a与b的夹角为30°， 分别求a·b.
【答案】 ①±10 ②0 ③5 3
练习（ 1）已知a，b的夹角为 120°，且 |a|＝4， |b|＝2，求：(a－2b)·(a＋b)； 【答案】 12
?, x?
???0,
?
2
???.
(I)若 a ? b .求x的值； (II)设函数 f ?x?? agb,求f ?x?的最大值.
基础要点整合 [要点梳理]
一、两个向量的夹角
定义
范围
已知两个 非___零__ 向量 a，b，作O→A 向量夹角 θ 的范围是
＝a，O→B＝b，则∠ AOB＝θ 叫做 _[_0_,π__] ，当 θ＝__0_或__π_
8 向量 a＝3e1－2e2，b＝3e1－e2，则 a ?b ? ________ ．
例 2 (1)在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则
A→B·A→C等于( )
A．－16 B．－8
C．8
D．16
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上
向量 a 与 b 的夹角 (如图 )
时，两向量共线，当
θ＝_ _π _ _ _ 时，两 2
向量垂直，记作 a⊥
b.
二、平面向量数量积的定义
1．a，b是两个非零向量，它们的夹角为 θ，则数|a|·|b|·cos θ叫做a与b的数量积．记 作a·b，即a·b＝__________|a_||_b|_·.cos θ
的动点，则D→E·C→B的值为________，D→E·D→C的最大值
为________．
[答案] (1)D (2)1 1
总结： 1、转化思想
平面向量的基本定理，
转化为用已知角已知模 的向量表示未知向量
2、有直角可考虑 建系简化问题
? 探究1 求平面向量数量积的步骤是： （1）①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；
(3)数乘结合律： (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
4．平面向量数量积的坐标表示 (1)若非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a·b＝x1x2＋y1y2，故 a⊥b? x1x2＋y1y2＝0.
(2)设 a＝(x，y)，则|a|＝________． (3)若两个非零向量 a＝(x1，y1)与向量 b＝(x2，y2)的
2cos 2
A? 2
B cos B ?
sin( A?
B)sin
B?
cos( A?
C)
?
?
3 5
.
(Ⅰ)求 cos A的值;
uuur uuru
(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影 .
? ? a ?
2、（2013 年辽宁）设向量
3 sin
x,sin
x
,b
?
?cos x,sinx
＝________.
答案 3
（2）已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cos α＝13.若向量
a＝3e1－2e2，则|a|＝________ ．
[答案] 3
rr
r
rr r
变式练习 (1) [2014·全国卷] 若向量 a , b 满足： | a |? 1， (a ? b) ? a ，
rr r
第3课时 平面向量的数量积
考试说明
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的 运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断 两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问 题．
(2)a⊥b? a·b＝____0 ____．
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝___|a_|_|b_|__；当 a 与 b 反向时，a·b ＝___－__|a_|_|b_|；特殊地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a.
(4)cos θ＝________． (5)|a·b|≤|a|·|bb·a. (2)分配律：(a＋b)·c＝_a_·_c_＋__b_·c_ ．
r
(2a ? b) ? b ，则 | b |? （ ）
[答案] (1) B
A．2
怎么考？考什么？
平面向量数量积的运算 向量的模
平面向量的夹角
4
垂直、平行的向量
3、（2016 年上海高考）在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），
P 是曲线 y ? 1? x2 上一个动点，则 BP ?BA的取值范围是
.
4、【2015 高考湖南，理 8】已知点 A ， B ，C 在圆 x2 ? y2 ? 1上运动，且 AB? BC，
②分别求|a|和|b|； ③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ， (2)知道向量的坐标a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则求数量积时用公式a·b＝x1x2＋y1y2计算． (3)利用图形建立直角坐标系，转化为坐标运算
转化思想、数形结合
题型二：平面向量的模（先平方，再展开运算）
例 3．（1）设向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|
若点 P 的坐标为
(2,0)
，则
uuur PA ?
uuur PB ?
uuur PC
的最大值为（
）.
范围问题
A.6 B.7 C.8
D.9
怎么考？ 选择题、填空题
?向量数量积的运算
考什么？ ????向向量量的的模夹角
??向量垂直、平行 ??范围问题
1 、（ 2013 年 高 考 四 川 卷 ） 在 ? ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且
规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
2．a·b的几何意义 a·b等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的 ___投__影_的__乘_积___．
3. a在b的方向上的投影为 |a|cos<a,b> .
2．向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 是 a 与 b 的夹角． (1)e·a＝a·e.
夹角为 θ，则 cos θ＝a|a·||bb|＝ x21＋x1xy122＋ ·y1yx222＋y22.
题型一 平面向量的数量积的运算
? 例1 (1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：① a∥b； ②a⊥b；③a与b的夹角为30°， 分别求a·b.
【答案】 ①±10 ②0 ③5 3
练习（ 1）已知a，b的夹角为 120°，且 |a|＝4， |b|＝2，求：(a－2b)·(a＋b)； 【答案】 12
?, x?
???0,
?
2
???.
(I)若 a ? b .求x的值； (II)设函数 f ?x?? agb,求f ?x?的最大值.
基础要点整合 [要点梳理]
一、两个向量的夹角
定义
范围
已知两个 非___零__ 向量 a，b，作O→A 向量夹角 θ 的范围是
＝a，O→B＝b，则∠ AOB＝θ 叫做 _[_0_,π__] ，当 θ＝__0_或__π_