微分几何知识点整理——特殊曲线分析

微分几何——特殊曲线分析

特殊曲线分析

1． 直纹面：由连续族直线的轨迹形成的曲面:(,)()()S r u v a u b u v =+。这里直纹面的v 曲线是直纹面的直母线，u 为一族与其相交的曲线。

2． 常Gauss 曲率曲面

对于正常Gauss 曲率曲面，曲面的第一基本形式为222

cos )I du dv =+； 对于Gauss 曲率恒为0的曲面，曲面的第一基本形式为22I du dv =+；

对于负常Gauss 曲率曲面，曲面的第一基本形式为222c )I du h dv =+. 定理1 具有相同的Gauss 曲率的曲面总是等距等价的，这种等价也是局部的.

3． 可展曲面：直纹面沿着它的每条直母线都只有一个切平面，或者说沿直母线，法向量平行，称其为可展曲面。

定理2 直纹面S 可展⇔ ()'(),(),'()0a u b u b u =.

定理3 可展曲面局部地或为柱面，或为锥面，或为某条空间曲线的切线曲面.

定理4 无平点的曲面为可展曲面⇔高斯曲率0K ≡.

4． 全脐点曲面：全部由脐点构成的曲面，曲面上满足L M N E F G

==。 定理5 曲面是全脐点曲面当且仅当曲面是平面或球面（或它们的一部分）.

5． 极小曲面：平均曲率恒为0的曲面。平面、正螺面都是极小曲面。由公式

222()

EN FM GL H EG F -+=-，其充要条件是20EN FM GL -+=。极小曲面是使面积的第一变分变为零的曲面。

除平面外旋转极小曲面必为悬链面，直纹极小曲面必为正螺面。

相关命题

命题1 常高斯曲率曲面中的常平均曲面是全脐点曲面（平面/球面）或圆柱面. 推论1.1 可展曲面中的常平均曲率曲面是平面或圆柱面.

推论1.2 极小曲面中的常高斯曲率曲面是平面.

命题2 直纹面中的常Gauss 曲率曲面是可展曲面.

命题3 直纹面中的常平均曲率曲面是平面、正螺面或圆柱面.

推论3.1 直纹面中的极小曲面是平面和正螺面.

相关图示

所有可展曲面都是直纹面，且仅有柱面、锥面、切线面三种，如下图：

常高斯曲率旋转曲面，在高斯曲率小于零时是伪球面：

极小旋转曲面是悬链面：