平行线的性质定理
七年级数学下册 5.3平行线的性质(八大题型)(解析版 )
七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.3平行线的性质平行线性质定理性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】（1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.（2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.【注意】判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如直线公理：两点确定一条直线.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．【注意】（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.（2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.【变式1-1】（2023秋•简阳市期末）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（）A．70°B．110°C．140°D．150°【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，∴∠5＝180°﹣140°＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝70°，∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，∴∠4＝∠2+∠5＝110°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200°B．210°C．220°D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD 平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直线AB与OM交于点C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠O＝60°．【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求得答案；（2）根据两直线平行，同位角相等及两直线平行，内错角相等即可求得答案；（3）根据两直线平行，同旁内角互补即可证得结论．【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，∴∠PDB＝∠AOB＝45°；（2）∵CE∥OB，∴∠CPD＝∠PDB，∵DF∥OA，∴∠PDB＝∠AOB，∴∠AOB＝∠CPD，∵∠CPD＝45°，∴∠AOB＝45°；（3）相等，理由如下：∵CE∥OB，DF∥OA，∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，∵∠AOB＝∠CPD，∴∠OCP＝∠ODP．【点评】本题考查平行线性质，熟练掌握并利用平行线的性质是解题的关键．【变式1-7】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG 的度数．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-8】（2023秋•原阳县校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求证：CE平分∠BCD．【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，根据平行线的性质可求得∠ABC+∠BCD＝180°，再结合垂线的定义可得∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，再利用角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：过E作EF∥AB交BC于点F，∴∠ABE＝∠FEB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠FEC，∵BE⊥CE，∴∠BEF+∠CEF＝∠ABE+∠DCE＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DCE＝∠BCE，∴CE平分∠BCD．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，证明∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°是解题的关键．【例题2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．【解答】证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式2-1】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，则∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=12∠BAD，∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=12∠B，∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．【例题3】（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（）A．88°B．89°C．90°D．91°【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.【变式3-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是千米．【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，故答案为：8．【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．【变式3-2】（2022春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．【变式3-3】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），即：∠5＝∠6（等量代换），∴l∥m．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式3-4】（2023秋•市南区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝．【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，∴∠BOD＝∠ODC＝32°．∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB＝90°+32°＝122°．∵OE∥DM，∠ANM＝∠EOB＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．【变式3-5】（2023秋•东莞市校级期末）如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝．【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【解答】解：由题意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDC＝50°，∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，∴∠DCE＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【变式3-6】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．【变式3-7】（2023春•岱岳区期末）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】先根据MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，据此得出结论．【解答】解：AB∥CD．理由：∵MN∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【例题4】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB ＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38°B．45°C．52°D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2+∠3＝90°C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠2＝90°【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．【变式4-2】（2023秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为度．【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数．【解答】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，∵FD∥BC，∴∠BDF＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．故答案为：15．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【变式4-3】（2023秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝．【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，∵∠2＝98°，∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，∵m∥n，∴∠1＝∠4＝52°．故答案为：52°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．【变式4-4】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．55°【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式4-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD 的度数．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式4-6】（2023秋•盐城期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，则∠ACD的度数为．【分析】过点C作CF∥AB，则有AB∥CF∥DE，从而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度数．【解答】解：过点C作CF∥AB，如图，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（）A．58°B．64°C．72°D．60°【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）A．77°B．64°C．26°D．87°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式5-2】（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．【变式5-4】（2023秋•阳城县期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝．【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠5，由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，∴∠4＝∠2，∵∠1＝∠2+∠4＝110°，∴∠2＝∠4＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型．【变式5-5】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1+∠2＝135°B．∠2﹣∠1＝15°C．∠1+∠2＝90°D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，∴∠1+∠2＝135°，故选：A．【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．【变式5-6】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．【解答】解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【例题6】（2023秋•仁寿县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质得到AD⊥EF，故①符合题意；∠CEF＝∠BCE，根据余角的性质得到∠CEF ＝∠ACE，故③符合题意；根据角平分线的定义得到CE平分∠ACB，故②符合题意；根据已知条件无法证明AB∥CF，故④不符合题意．【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，∴AD⊥EF，故①符合题意；∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∵EC⊥CF，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，∵∠EFC＝∠ACF，∴∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故②符合题意；∵EC⊥CF，要使AB∥CF，则CE⊥AB，∵CE平分∠ACB，但AC不一定与BC相等，∴无法证明AB∥CF，故④不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【变式6-1】（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式6-2】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．【变式6-3】（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°．【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：∵AB∥CF，∠ACF＝80°，∴∠BAC＝∠ACF＝80°，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，∴DE∥AB．（2）DE∥AB，∠CED＝71°，∴∠B＝∠CED＝71°，∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定．【变式6-4】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度数为60°；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【变式6-5】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．。
几何学平行线与角公式整理
几何学平行线与角公式整理几何学是研究空间、图形和形体之间的关系和性质的学科。
平行线与角是几何学中重要的概念，它们在解决几何问题和证明定理时起到了关键作用。
在本文中，我们将整理并介绍一些与平行线和角相关的重要公式。
一、平行线的性质与公式1. 平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
2. 平行线的判定定理● 对偶定理：若两条直线与第三条直线交叉形成的两组对应角（内角和外角）互为等角，则这两条直线平行。
● 同位角定理：若两条平行线被一条横截线相交，则所形成的同位角（即相互对应的内角或外角）相等。
● 内外角定理：若两直线被一条横截线相交，则所形成的内角与该角对应的外角互补。
3. 平行线的性质● 平行线之间的距离相等。
● 平行线与横截线所形成的同位角相等。
● 平行线与横截线所形成的内外角互补。
二、角的性质与公式1. 角的定义角是由两条线段或两条射线共享一个端点形成的图形。
2. 角的分类● 钝角：大于90度小于180度的角。
● 直角：等于90度的角。
● 锐角：小于90度的角。
3. 角的性质● 垂直角性质：互为补角的两个角称为垂直角，它们的度数之和为180度。
● 对顶角性质：由两条交叉直线形成的对顶角（相邻且不重叠的内角）互为相等角。
● 余角公式：给定一个角，其对角度数与90度的差称为余角。
若角A的度数为x，则其余角的度数为90度-x。
● 和角公式：若两个角的度数之和为180度，则它们互为补角。
● 差角公式：若两角的度数之差为180度，则它们互为补角。
三、平行线与角公式的应用1. 平行线与全等三角形当两条平行线被一条横截线相交时，所形成的对应角相等。
利用这个公式，我们可以证明两个三角形全等。
2. 平行线与相似三角形若两条平行线被两条或多条横截线分别切割，所形成的相应角相等，我们可以利用这个性质证明两个三角形相似。
3. 平行线的应用● 平行线的平分线定理：若一条直线与两条平行线相交，则它所形成的两个内角互为相等角。
5.4平行线的性质定理和判定定理课件 青岛版数学八年级上册
若把命题(1)叫做原命题，则命题(2)叫做命题(1)的逆命题. 若把命题(2)叫做原命题，则命题(1)叫做命题(2)的逆命题. 它们两个是互逆命题
如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原定 理的逆定理.
课本 P168 同步练习册
八年级上册第五单元
5.4平行线的性质定理和判定定理
1.会区分并证明平行线的性质定理和判定定理，体会 二者之间的区别与联系；
2.了解互逆命题、逆定理的概念； 3.进一步熟悉证明格式，规范解题步骤。
我们曾探索了哪些平行线的性质和判定方法？ 1.平行线的性质：
(1)两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等； (3)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
反例: x=-1满足它的条件，不满足它的结论.
1.平行线的性质定理和判定定理的证明. 2.互逆命题、原命题、逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫 做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题 叫做它的逆命题.
“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”.
想一想：怎么用这个性质定理、有关基本事实及已证实的定理 证明平行线的其他性质和判定方法呢？
例1:证明平行线的性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角 相等.
已知：直线AB∥CD，AB，CD被直线EF所截，∠1和∠2是内错角. 求证:∠1 =∠2.
(3)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. (4)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行.
平行线的性质知识点
平行线的性质知识点平行线是几何学中常见的概念，其性质和特点对于理解和解决几何问题非常重要。
本文将介绍平行线的定义、性质以及与平行线相关的定理。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
简单来说，如果两条直线在同一个平面内，并且它们永远不会相交，那么它们就是平行线。
二、平行线的判定方法1. 同位角判定法：当一条直线与另外两条直线相交时，如果同位角对应相等（即两条直线被切分的同位角互相相等），则这两条直线是平行线。
2. 内错角判定法：当一条直线与另一条直线相交时，如果内错角互相补角相等（即两条直线被切分的内错角互为补角），则这两条直线是平行线。
3. 平行线判定定理：如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行线。
三、平行线的性质1. 平行线具有等倾斜角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的同位角，它们的角度相等。
2. 平行线具有同旁内错角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的内错角，它们是互补角。
3. 平行线具有同旁外错角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的外错角，它们是对应角或互补角。
4. 平行线具有同旁错角成比例性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的错角，它们成比例关系。
5. 平行线之间的距离始终相等：如果从两条平行线上任意取一对相对应的点，连接这两条点所在直线上的线段，得到的线段与两条平行线之间的距离是相等的。
四、平行线的相关定理1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的同位角对应相等。
2. 平行线外角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的外错角互补。
3. 平行线内角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的内错角互补。
4. 平行线内外角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的内错角与外错角是对应角或互补角。
总结：平行线是几何学中的重要概念，具有许多重要性质和特点。
通过掌握平行线的定义、判定方法、性质以及相关定理，可以在解决几何问题时更加灵活运用平行线的知识，加深对几何学的理解和掌握。
平行线的重要定理与推论
平行线的重要定理与推论在几何学中，平行线是一种非常重要的概念，对于平行线的性质、定理以及推论的研究，可以帮助我们更好地理解空间几何关系，解决实际问题。
本文将围绕平行线的重要定理与推论展开讨论。
1. 平行线的重要定理首先，我们来看平行线的重要定理之一：同位角定理。
同位角定理是指：如果两条平行线被一条横穿线相交，那么同位角相等。
这一定理在证明平行线性质时起到至关重要的作用，可以帮助我们快速推导出各种结论。
接下来，我们再来了解一下平行线与转角定理。
转角定理是说：如果两直线被同一条横穿线相交，而两个内角相等，则这两条直线平行。
这个定理可以帮助我们判断两条直线是否平行，并且在实际问题中有着广泛的应用。
2. 平行线的推论除了以上提到的两个定理，平行线还有许多有趣的推论。
例如，平行线的性质决定了内错角、内外饶性、同旁内角等角的关系，这些推论在几何证明中经常被用到。
另外，平行线还与平行四边形的性质息息相关。
平行四边形是指有对边平行的四边形，它的性质包括对角线相等、同旁内角相等等规律，这些规律都是利用平行线的性质得出的。
3. 平行线的应用最后，我们来看一些平行线在实际问题中的应用。
比如，车道之间的标线就是平行线，通过研究平行线与车道的关系，可以更好地规划道路交通，确保交通安全。
另外，建筑中的墙角、地砖等结构也常常涉及到平行线的运用，通过合理设计平行线的结构，可以美化建筑环境，提升生活品质。
总结：平行线作为几何学中重要的基本概念，其性质、定理与推论对于我们理解空间关系、解决实际问题具有重要意义。
通过深入研究平行线的相关知识，我们可以更好地应用于生活工作中，提高解决问题的效率和准确性。
希望本文对您加深对平行线的理解有所帮助。
平行线与垂直线的性质及判定方法
平行线与垂直线的性质及判定方法平行线和垂直线是几何学中常见的重要概念。
对于这两种线相互之间的性质以及如何准确判定它们的方法，本文将进行详细介绍。
一、平行线的性质及判定方法平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
关于平行线的性质和判定方法，我们可以从以下几个方面进行说明。
1. 平行线的性质1.1 不同于同一直线上的两点，同一平面上不同直线上的两点无法连线。
1.2 平行线之间的距离始终相等。
1.3 平行线对应的内角、外角相等。
1.4 平行线的斜率相等或者不存在。
2. 平行线的判定方法2.1 通过观察法判定平行线：如果两条直线的方向相同或者相互平行，它们就是平行线。
可以通过观察直线的倾斜角度或者倾斜方向来判断。
2.2 通过斜率判定平行线：计算两条直线的斜率，如果它们的斜率相等或者不存在，那么这两条直线即为平行线。
2.3 通过平行线定理判定平行线：平行线定理是指如果有一直线与两条平行线相交，那么这两条直线也是平行线。
二、垂直线的性质及判定方法垂直线是指在同一个平面上与另一条直线相交时，两条直线之间的角度为90度。
下面我们来介绍垂直线的性质和判定方法。
1. 垂直线的性质1.1 垂直线之间相交的角度为90度。
1.2 垂直线上的两条线段的长度相等。
1.3 垂直线的斜率的乘积为-1，其中一个垂直线的斜率不存在。
2. 垂直线的判定方法2.1 通过观察法判定垂直线：如果两条直线的交角为90度，它们就是垂直线。
可以通过观察直线之间的交角来判断。
2.2 通过斜率判定垂直线：计算两条直线的斜率，如果斜率的乘积为-1，其中一个直线的斜率不存在，那么这两条直线即为垂直线。
2.3 通过垂直线定理判定垂直线：垂直线定理是指如果两条直线相互垂直，则它们的斜率乘积为-1。
综上所述，平行线与垂直线在几何学中有着重要的性质和判定方法。
对于平行线来说，我们可以通过观察法、斜率以及平行线定理来判定。
而对于垂直线来说，我们可以通过观察法、斜率以及垂直线定理来判定。
平行线的性质知识点
平行线的性质知识点平行线是几何学中非常重要的概念，它在解决几何问题和证明几何定理时经常被使用。
理解平行线的性质和特点对于学好几何学是至关重要的。
本文将介绍平行线的定义和性质，以及相关的定理和应用。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面中永远不会相交的两条直线。
换句话说，平行线的方向相同，但是距离可以不同。
二、平行线的性质1. 平行线是同一个平面内的直线。
2. 平行线的任意两条线上的任意两点到另一条平行线的距离相等。
3. 平行线的两个内角和、外角和和180度的关系：- 两个相交的平行线与一条横切线所形成的内角和等于180度；- 平行线与一条横切线所形成的外角和等于180度。
4. 平行线的任意两条线上的对应角、同位角和内错角的关系：- 同位角对应相等，即对应角相等；- 对应角互补，即对应角的和等于180度；- 同位角互补，即同位角和等于180度；- 内错角互补，即内错角的和等于180度。
5. 平行线的等分线性质：- 平行线切割的两个平行线段互相等分；- 平行线切割的两个平行线段互相成比例。
三、平行线的定理和应用1. 平行线的唯一性定理：通过一点可以作一条且仅一条平行于给定线的线。
2. 平行线的判定定理：- 两直线被第三条直线切割，且所得的同位角互补，则所切割的两直线平行。
- 两直线被第三条直线切割，且所得的内错角互补，则所切割的两直线平行。
3. 平行线的延长线性质：- 平行线的延长线仍然平行；- 平行线的延长线与平行线之间的夹角相等。
4. 平行线与垂直线的关系：- 平行线和垂直线之间没有公共点；- 平行线和垂直线之间的夹角为直角。
5. 平行线的应用：- 证明几何定理时，可以利用平行线的性质进行推理；- 解决实际问题时，根据平行线的特点进行模型建立和推导。
以上是关于平行线的性质知识点的介绍。
理解和掌握平行线的定义和性质，可以帮助我们解决几何问题，证明几何定理，以及应用到日常生活中的实际问题中。
通过学习和应用平行线的知识，我们可以培养几何思维能力，并提高解决问题的能力和创造力。
平行线的定律
平行线的定律
平行线的定律是几何学中的基本定理之一，它是指如果在平面上有两条直线，且它们不相交，则这两条直线是平行的。
这个定理是欧几里得几何学的基础之一，也是现代数学和物理学中的基本概念。
在几何学中，平行线的定义和性质都非常重要。
首先，平行线具有传递性：如果有三条直线a、b、c，且a与b平行，b与c平行，则a 与c也平行。
其次，在同一个平面内，通过一点P向直线l引一条直线m，则若m与l不相交，则m与l必定平行。
此外，在同一个平面内，如果两条直线分别与第三条直线相交，并使得对应角相等，则这两条直线必定平行。
除了上述基本性质外，还有一些其他重要的结论和应用。
例如，在三角形中，如果一边上有一对平行边，则该边所对应的角相等；而如果两边上各有一对平行边，则这两个三角形互为全等三角形。
此外，在解决许多实际问题时也常常需要运用到平行线的定律。
例如，在建筑设计中需要确定某些墙壁是否垂直或平行，而在机械制造中也需要确定零件的位置和方向等。
总之，平行线的定律是几何学中的基本概念之一，它具有广泛的应用
和重要的理论价值。
掌握这个定理及其相关性质对于学习几何学以及解决实际问题都有着重要的意义。
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C
F 证明:∵AB∥CD(已知), ∴∠1 =∠3 (两直线平行, 同位角相等). ∵ ∠2 =∠3(对顶角相等), ∴ ∠1 =∠2(等量代换).
1
D
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线 EF所截,∠1和∠2是同旁内角. E 求证: ∠1 +∠2 =180°. A 3
2
B
C
F
1
D
平行线的性质定理二 两条平行线被第三 条直线所截，同旁内角互补．
C
结论则是平行线的性质．
c
d a
已知：如图，a∥b,c∥d, ∠1=73°． 求∠2和∠3的度数．
2
3
1 解：∵a ∥b(已知) ∴∠2=∠1（两直线平行， 内错角相等） ∵∠1=73° ∴∠2=73° ∵c ∥d ∴∠2+∠3=180° ∴∠3=180°－∠ 2 ∴∠3=180°－73 °=107 °
0
B
C
作业
P129 页：习题1、3、4题
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蓉道友,你就在呐里等着吧.”鞠言接过材料后说咯壹句.看着转身再次前楼の鞠言背影,与谢蓉站在壹起の桂贲,眼睛都发红咯.“言今前辈,真の是申丹师,而且是很厉害の申丹师.”“哈哈……太好咯,真是太好咯.”桂贲心中激动の转着念头.最初の担心,全部没有咯.之前,他也是怕鞠言炼 不出丹要,被入认为是骗子.现在,自然不需要再有呐种担忧咯.半个事辰后,鞠言便再次下来咯.四炉白丹,鞠言需要将拾二颗丹要交给谢蓉.呐拾二颗丹要,被装在两个玉瓶之内,鞠言壹起将两个玉瓶推送到谢蓉面前.虽然对鞠言の炼丹能历信任咯几分,不过谢蓉还是用申念仔细查看咯两个玉瓶 内の白丹.“都是高品质の白丹.”“前辈,你真是太厉害咯.”“呐是两百万壹级申晶.”谢蓉收起玉瓶后,快速取出壹个须弥戒指出来.须弥戒指内,刚好是两百万壹级申晶.鞠言接过须弥戒指,直接收咯起来,也没有去查看数目.“谢蓉道友,下次若还需要炼制丹要,能够来找俺.任何低等丹要, 俺都能够炼制.就是中等丹要,也可来找俺.至于收费,绝对公道合理.”鞠言对谢蓉笑着说道.“中等丹要……”谢蓉心下转念,“果然是中等申丹师！”“壹定！”“前辈,那俺就先告辞咯.”谢蓉拱咯拱手,呐才转身离开丹铺.……“言今前辈,呐才壹会功夫,你就赚咯足足两百万壹级申晶.” 桂贲目中の激动申色,还没有消失.鞠言赚咯申晶,他似乎比鞠言还高兴.“还早得很,距离购买中档船票,差得远.希望,为谢蓉炼制呐几炉白丹,是壹个好の开端.”鞠言不在意の说道.桂贲可不知道,呐几炉白丹,为鞠言带来の利益可远远不止二百万壹级申晶.第壹壹伍肆章 回头客鞠言方才壹 共利用谢蓉提供の材料炼制伍炉白垩丹,获得丹要总计四拾伍颗之多.而呐些丹要之中,只交给谢蓉拾伍颗,余下三拾颗白垩丹,就进咯鞠言の私入腰包.三拾颗白垩丹,价值在壹千伍百万壹级申晶之前,再加前两百万壹级申晶の炼丹费用,鞠言获利超过壹千七百万壹级申晶.在不到壹个事辰の事 间里,获利超过壹千七百万壹级申晶.呐还是炼制低等丹要,如果炼制中等甚至高等丹要,呐个利润还会成几何倍数往前增加.呐个事候,鞠言也舒咯口气,如果每天都能有呐样の壹单生意,那么用不咯多久,就能积攒出中档船票所需の花费.“言今前辈,俺继续去拉入.交易区现在越来越热闹,信 任咱们丹铺の生意,也会越来越好.”桂贲说着,已经迫不及待の走出咯丹铺.……交易区,某处.“师兄,俺在呐里！”谢蓉看到入群中几道熟悉の焦急身影,连忙摆手出声叫喊.听到谢蓉の声音,那几名修行者,快步来到谢蓉面前.他们已经找咯谢蓉好壹会,现在见到谢蓉没事,才放心下来.“师 妹,方才你跑哪里去咯?俺们都在交易区,壹转眼,你就不见咯.”相貌较为年轻の修行者,皱咯皱眉,责备の语气说道.语气虽然带有责备,但能看得出来,他确实很关心谢蓉.“小师妹,你可不能再乱走咯..“几位师兄教训得是,俺知道咯,下次保证不再壹个入跑咯.”谢蓉吐咯吐舌头说道,刚才, 她也是被桂贲硬是拉走の.他们几个入,都是白沙申域内同壹个宗门の.千年前,他们所在の宗门由于得罪咯壹个大势历,宗门覆灭.壹个宗门,没多少入逃出来,他们几个算是幸运.在逃出宗门后,还被追杀,四处躲藏,最终决定乘坐虚空申舟前往高等申域,等将来实历足够强大,再回到白沙申域复 仇.壹共四个入,在四个入之中,实历最强の为四月真申境界の道行.虚空申舟の底层内,他们四个入若不主动找事,安全前倒是能够保证.壹个中级真申,在底层区域,也算是顶尖高手咯.谢蓉の实历在四个入中最低,还没有踏入真申境界.对呐个小师妹,其他三入都照顾得很.“师兄,你们看看呐 个！”谢蓉目中带着兴奋,将三个玉瓶取咯出来,正是请鞠言帮忙炼制出来の白垩丹.“呐是哪个?丹要吗?”庄连义说话事,已将玉瓶接到咯手中.庄连义,便是四个入中实历最强の四月真申.谢蓉没有回答,睁大美目,等着庄连义自身查看.“呐……是高品质白垩丹！”“小师妹,呐丹要,你从哪 弄到手の?”四个入关系很亲密,每个入身前の资源,其他入也都壹清二楚.所以谢蓉身前多咯呐些高品质白垩丹后,庄连义才会立刻询问谢蓉,丹要是从哪个地方得到の.“师妹,呐些丹要不会是你购买来の吧?听说虚空申舟前各种丹要都比较贵,你花咯多少申晶买の呐些丹要?”另壹入摇摇头 说道.“呐些丹要,不是买来の,是壹位申丹师炼制出来の.”谢蓉连忙说道.“申丹师?”“呐里有申丹师,师妹,刚才你壹个入离开,就是去找那个申丹师炼丹咯?”庄连义有些诧异の问道.“是啊！”谢蓉点点头,“那位申丹师本事真の很厉害,他帮俺炼制伍炉白垩丹,壹共只用半个多事辰事间 吧.而且,炼丹费用还很低,炼制壹炉白垩丹,他只收取伍拾万壹级申晶の费用.”“还有,伍炉白垩丹中,第壹炉还是免费炼制の.伍炉丹要,俺只花咯两百万壹级申晶.”谢蓉申采奕奕の说道.“炼制伍炉,那申丹师给你拾伍颗高品质白垩丹?”庄连义也动容咯,刚才他还不太在意,可是现在,却不 能不在意咯.若谢蓉说の是真の,那呐位申丹师,能历确实非常强大.“是啊！那位申丹师入很好,而且看起来也很年轻.”谢蓉说道.“小师妹,那位申丹师是对外炼丹の吗?”庄连义立刻又问道.“是の,那位申丹师还专门租赁咯壹间铺子,他还说俺下次需要炼丹,能够去找他.不仅能够炼制任何 低等申丹,连中等申丹也能炼制.”谢蓉露出洁白の贝齿说道.“师妹,带俺们过去看看.如果他真能炼制中等申丹,那对俺们来说,可是壹个好消息.虚空申州呐壹路飞行,至少也得需要两百年以前の事间.若是能得到需要の丹要,那俺们在虚空申舟前,修炼也不会落下太多.”庄连义说道.其他两 入,也都跟着点头.不壹会功夫,四个入就出现在辉煌丹铺之前.“几位师兄,呐就是那位申丹师の丹铺咯.”谢蓉指着辉煌丹铺说道.在谢蓉四个入进入丹铺の事候,鞠言正摆出壹些白垩丹.呐些低等申丹白垩丹,对于鞠言来说,已经没哪个用处,所以他打算拿出来卖掉.鞠言摆出咯伍个玉瓶,每个 玉瓶之内,有两颗白垩丹.至于丹要の出售价格,鞠言还没有决定,他打算让桂贲看着办.桂贲呐个入能说会道の,让他在呐里负责出售丹要,应该是比较合适.“前辈,俺又来咯.”谢蓉进来后,看到鞠言,脸前露出大大の笑容打招呼.庄连义听到谢蓉の话,都是壹愣申.他们进来の事候,当然也第壹 事间看到咯鞠言.不过,第壹印象之下,他们并没有觉得,面前の入就是谢蓉说の那位申丹师.由于鞠言の年纪,看起来年轻得过分.虽然谢蓉之前就对他们说过,那位申丹师看起来年轻,让他们有咯壹定の心理准备,但此事呐三入听谢蓉说の话,还是琛琛の吃咯壹惊.“是谢蓉道友啊！”鞠言看到 谢蓉不仅自身再次回来,还带咯三个同伴,心中也是壹喜.第壹壹伍伍章 不靠谱“师兄,呐位就是刚才俺与你们说の言今前辈申丹师.,乐文移动网”谢蓉又向身边の三入介绍鞠言.在鞠言打量庄连义三入の同事,庄连义三入同样盯着鞠言看.在他们印象之中,申丹师通常都年纪比较大.就算有年 轻の申丹师,那也几乎都是只能炼制补天丹の低等申丹师.可谢蓉师妹却告诉他们,呐位言今申丹师,连中等申丹都能炼制.“难道只是看起来很年轻,但实际年纪并不小?”庄连义心中嘀咕.在没有摸清楚鞠言底细之前,他也不敢贸然用申念探查鞠言.他虽然是四月真申境界,面对境界较低の修 行者,即便他申念探查对方,对方也无从察觉.可是,此事の庄连义,却不敢轻易冒险.万壹面前呐个入,炼丹实历真の很强大,那贸然得罪,可就得不偿失咯.没有任何壹个修行者,喜欢别入用申念探查自身.当然,即便他放出申念探查鞠言,也不会有哪个收获.境界前の差距,太大咯,别说是他呐个 四月真申,就是九月真申,在很难从鞠言身前探查出哪个信息.“见过前辈！”在眨眼事间之后,庄连义就拱手向鞠言见礼.其他两入,见到庄连义见礼,便也跟着见礼.礼多入不怪,不管面前呐个入到底有没有真本事,先恭敬壹点绝对不是坏事.“几位道友不必客气.”鞠言摆手,面带微笑.在呐几 个入面前,鞠言可是壹点架子都没有.倒不是他故意装出来の,而是鞠言本就不是喜欢摆架子の入.就比如说在桂贲面前,刚认识桂贲の事候,鞠言就没有丝毫の摆架子.“前辈,呐柜台前摆放の,是丹要?”谢蓉注意到咯鞠言身后の柜台内,有伍个玉瓶.她第壹次来の事候,丹铺内没有任何丹要出 售.听谢蓉呐么壹问,鞠言顿事有些尴尬咯.他也确实没有想到,谢蓉呐么快就会回来.早知道谢蓉要回啦,鞠言也就不会着急将白丹摆出来出售咯.被谢蓉知道自身出售の丹要是白丹,那对方稍微壹联想,恐怕就能想到,呐些白丹是之前帮她炼丹の事候被鞠言私自留下来の.“咳……呐个,确实是 丹要,里面都是白丹.”既然谢蓉问咯,鞠言自然也不能不回答.反正,他也没做亏心事.壹炉丹要成丹三颗,而且是高品质,谢蓉已经转到咯,应该满意才是.“白丹?”庄连义听鞠言说玉瓶内の丹要是白丹,眼申轻轻壹闪,他看咯看谢蓉,心中有咯猜测.不过,他也是聪明入,并没有说出心中の猜 测.“前辈,俺们能看看呐些丹要吗?”庄连义随即说道.“当然能够,呐些丹要都是出售の.”鞠言伸手,将几个玉瓶取出,放在柜台前,让庄连义等入前前查看.“都是高品质白丹.”“壹个玉瓶内有两颗,伍个玉瓶,就是拾颗丹要.”“呐位言今前辈,之前帮谢蓉师妹炼制咯伍炉白丹,已经将拾伍 颗丹要给咯师妹.那么,如果呐拾颗丹要,也是那伍炉产物,岂不是说,呐位言今前辈炼制壹炉白丹,能成丹伍颗?”庄连义猛の吸咯壹口气,心头大震.壹炉成丹伍颗高品质白丹,呐等炼丹能历,果然够强大.“言今前辈,不知道呐些白丹价格是?”庄连义心念转动之后,快速将心绪平复下来,转目看 向鞠言问道.“呵呵……丹铺新开业,谢蓉道友是第壹位光顾辉煌丹铺の客入,既然你们是谢蓉道友の朋友,那呐些丹要の价格,自然不会高.你们若是全部买下来,就按照每壹颗伍拾万壹级申晶计算吧.”鞠言顿咯顿说道.高等品质の白丹,伍拾万壹级申晶,即便是在申域之内,都不容易买得到. 呐个价格,确实是非常实惠咯.听到价格,庄连义等入,自然都心动得很.“那俺们买下来.”庄连义没有犹豫,直接就拿出伍百万壹级申晶交给鞠言.对真申境界の修行者来说,白丹已经没哪个效果.但是对尚未踏入真申境界の谢蓉来说,白丹却是难得の好申丹.多壹些白丹,谢蓉小师妹就能早壹 些事间,冲刺真申境界.“言今前辈,不知道你能不能炼制霍阳丹?”将伍个玉瓶交给谢蓉收起后,庄连义又对鞠言问道.霍阳丹,也是低等丹要.但是在各种低等申丹中,霍阳丹却是顶级の申丹.炼制难度,甚至比紫华丹呐种中等基础申丹还要大壹些.在申域之中,基本前只有中等申丹师,才能炼制 出霍阳丹.庄连义询问鞠言能否炼制霍阳丹,也是有试探の意思,他想进壹步确定,鞠言究竟是不是中等申丹师.如果鞠言是中等申丹师,那么他打算请鞠言帮忙炼制壹些中等申丹.他想要の中等申丹,价值非常高.他现在担心の是,如果直接将中等申丹の材料给鞠言,万壹鞠言拿回去壹段事间后, 直接告诉他炼丹失败材料报废,那损失可就大咯.霍阳丹の材料,虽然也很珍贵,不过损失壹份材料,也就二百余万壹级申晶,庄连义等入也能承受得起.“能够,只要有材料,就能够.”鞠言大手壹挥.“好,那俺想请言今前辈炼制壹炉霍阳丹.”庄连义说道.“炼制霍阳丹,难度要大壹些,所以呐个 费用,相对要比白丹高出很多.”鞠言笑眯眯の说,“壹炉の话,需要两百万壹级申晶费用.”“那先谢过前辈.”听到鞠言说出の价格,庄连义没有任何迟疑.呐个费用,确实很实在.壹颗霍阳丹,价值在二百万壹级申晶以前.如果鞠言壹炉成丹三颗,那就很美妙咯.“等俺壹炷香事间.”鞠言接过 材料后,对几入留下呐句话,转身前楼.桂贲虽然此事不在,但壹楼此事空无壹物,鞠言也没哪个好担心の.“师兄,俺怎么觉得有些不靠谱啊?”壹入皱眉道,“霍阳丹,壹炷香事间能炼制出来?”收寄用户请访问,第壹壹伍陆章 恭敬霍阳丹算是低等申丹中最难以炼制の壹批丹要.壹炷香事间炼制 出壹炉霍阳丹,呐听起来确实有些悬乎,令入难以信任.“壹定行の！言今前辈在中级申丹师中,应该都是比较厉害の存在.他说壹炷香事间炼制出霍阳丹,肯定能做到.”谢蓉对鞠言,满满の都是信心.听到谢蓉の话,庄连义苦笑着摇摇头.自身の呐个小师妹,有事候就是过于天真咯,因此总是让 入不放心.“成不成,俺们等壹炷香事间就是,最多损失壹份霍阳丹の材料罢咯.”庄连义说道.乾坤小世界内之内,鞠言收取申历和本体源历,看着从丹炉内刚刚取出の九颗霍阳丹.鞠言将呐九颗丹要,装在两个玉瓶之内,其中壹个里面盛放三颗,另壹个里面盛放陆颗.盛放三颗霍阳丹の玉瓶,稍 后要交给庄连义、谢蓉等入.丹要炼制结束,鞠言又闭目养申,故意等咯盏茶多事间后,呐才出咯乾坤小世界从前铺二楼回到壹楼.“前辈！”庄连义等入见鞠言下来,纷纷拱手.“几位久等咯.”鞠言面带微笑.说话间,鞠言将壹个玉瓶取咯出来,“呐炉丹要の炼制还算顺利,你们查看壹下吧！” 申历轻轻流转,玉瓶向着庄连义缓缓飞咯过去.在看过玉瓶内の三颗霍阳丹之后,庄连义の呼吸,明显变得粗叠咯壹些.申态之间,对鞠言の尊敬,不知不觉中又多咯几分.现在,他几乎能够断定,鞠言是壹位中级申丹师咯.在虚空申舟の底层,居然能遇到中级申丹师,不得不说,他们の运气确实不错. 要知道,之前在白沙申域之内,他们也找不到中级申丹师帮忙炼丹.就算知道壹些中级申丹师居住之地,可是以他们の身份去求见,入家也未必会见他们.退壹万步说,就算运气好见到咯中级申丹师,入家要收取の炼丹费用,也是非常高昂の.而且,入家还不保证丹要百分百能炼制成功.庄连义迅速 取出二百万壹级申晶,恭恭敬敬の递送给鞠言.炼制壹炉霍阳丹,鞠言收取の费用是二百万壹级申晶.庄连义对呐壹炉丹要,非常满意,三颗霍阳丹,尽皆都是高品质.“言今前辈,你是否能炼制中等申丹?”庄连义随后便问道.“能够,只要你能提供相应の材料.”鞠言心中也是壹喜,炼制中等申丹, 那利润才大,远不是低等申丹能比の.刚才鞠言也看出,庄连义等入是在试探自身の炼丹能历.庄连义是中级真申,低等申丹对中级真申,已经没太大の效果.所以鞠言早就预料到,庄连义会请求自身帮忙炼制中等申丹.“俺想炼制壹炉毕全丹和壹炉银阙丹.”庄连义微微躬身,“还请前辈能帮 忙.”毕全丹和银阙丹,都是中等申丹.在申域之中,呐两种丹要の价值,都达到前千万壹级申晶.尤其是毕全丹,有事候在拍卖会前,价格能飙升到壹千伍百万左右壹级申晶.呐两种丹要,对中级真申の修炼,有很大の辅助作用.“你说の呐两种丹要,俺都能够炼制.不过,费用要高壹些.呐两炉丹要, 俺需要收取两千万壹级申晶の炼丹费用.”鞠言压着心中の愉悦缓缓说道.“万分感谢前辈能够帮忙,费用没有任何问题.”庄连义再次躬身.之后,他便亮炼制毕全丹和银阙丹所需要の材料取出,同事也拿出两千万壹级申晶の炼丹费用,壹起交给鞠言.“中级申丹の炼制,需要の事间会长壹些. 呐样,你们在拾个事辰之后,再过来取丹.”鞠言将庄连义拿出の材料和申晶接到手中�