高三数列专题复习讲义

高三数学二轮讲义：数列（1）班级姓名

1．已知等差数列}{n a 的公差为1，且9999=S ，则99963a a a a ++++ 等于（） A ．77 B ．66 C ．33 D ．0

2．已知f (x )是偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当-2≤x ≤0时，f (x )=2x ，若*

N n ∈，)(n f a n =，

则=2007a （）

A ．2007

B ．12

C ．1

D ．2

3．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为．

4．已知数列}{n a 的首项2

11=a ，n S 是其前n 项的和，且满足n n a n S 2

=，则此数列}{n a 的通项

公式为=n a ．

5．设数列}{n a 的前n 项和2

n S n =，且n n n a b 3

=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ．

（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求证：n T <1．

6．某地现有居民住房的总面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半．当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建设新住房，计划10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番．

（1）试问每年应拆除的旧住房总面积x 是多少？

（2）过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？（保留到小数点后第一位）？

7．已知数列}{n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且)(52*

1N n n S S n n ∈++=+．

（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）令212()n n f x a x a x a x =++

+，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '，并比较2(1)f '与

22313n n -的大小．

随堂练习1

1．已知-9，a 1, a 2,-1四个实数成差数列，-9，b 1, b 2, b 3,-1五个实数成等比数列，则b 2(a 2-a 1)的值等于…………………………………………………………………………………………………（） A ．-8 B ．8

C ．-89

D ．8

2．已知数列{}n a 的前n 项和)(3为常数k k S n n +=，那么下述结论正确的是………………（） A ．k 为任意实数时，{}n a 是等比数列 B ．k = -1时，{}n a 是等比数列 C ．k =0时，{}n a 是等比数列

D ．{}n a 不可能是等比数列

3．等差数列}{n a 中，110052515021,2700,200a a a a a a a 则=+++=+++ 等于…………（） A ．-1221 B ．-21.5 C ．-20.5

D ．-20

4．设等差数列}{n a 中，931,,a a a 又成等比数列，则

=++++10

429

31a a a a a a ．

5．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若m >1，且a m -1-a m 2+a m +1=0，S 2m -1=38，则m = ． 6．设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

（2）设n

n b a c =

，求数列}{n c 的前n 项和T n ．

7．某企业年初有资金1000万元，如该企业经过生产经营能使资金平均增产率达到50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下资金再投入生产，为实现5年资金达到2000万元（扣除消费资金后），那么每年应扣除消费基金多少万元？（精确到万元）

8．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满足：)(,311*

+∈+==N n b a b b n n n .

（1）证明数列{a n }为等比数列；（2）求数列{b n }的前n 项和T n ．

高三数学二轮讲义：数列（2）班级姓名

1．若数列{}n a 中，)1,0(log 1log 1≠>+=+a a a a n a n a ，若100100

=∑=i i

，则

=∑=200

101

i i

（）

A ．100a

B ．101a

C ．101a 100

D ．100a 100

2．某人为观看08年奥运会，从01年起，每年5月1日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p ，并约定每年到期存款均自动转为新一年定期，到08年5月1日将本金和利息取回的总数为（） A ．7

)1(p a + B ．8

)1(p a + C ．

)]1()1[(7p p p

+-+ D ．)]1()1[(8p p p a +-+

3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1401330101030=+=S S S S ，，则20S 的值为． 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且向量),(n S n =与)3,4(+=n 共线，则数列}1

na 的前2007项和为．

5．数列}{n a 中，11=a ，当n ≥2时其前n 项和n S 满足)2

-=n n n S a S ．

（1）求n S 的表达式；（2）设1

2+=n S b n

n ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．

6．已知数列{}n a 的前n 项和)2(212

+-=

n n S n ，

数列}{n b 的首项11=b ，且)2(2

111≥=---n b b n n n ．（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项；

（2）求证：存在自然数0n ，对一切不小于0n 的自然数n ，恒有n n b a 5>成立．

7．设函数2

22)(+==x

x x f y 上两点),(),(222111y x P y x P ，，若P 为21P P 、的中点，且P 点的横

坐标为1

．

（1）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若*1)(N n n

i f S n

i n ∈=∑=，，求n S ；

（3）记n T 为数列{

)

2)(2(1

1+++n n S S }的前n 项和，若n T )2(2+?<+n S a 对一切*

N n ∈都成

立，求a 的取值范围．

随堂练习2

1．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于…………………………………………………………………………………（） A ．22 B ．21

C ．19

D ．18

2．已知数列{}n a 中1a =2，n a =1-n a +2n -1 (n ≥2)，则数列{}n a 的一个通项公式是……………（） A ．n a =n 2+1 B ．n a =(n -1)2+2 C ．n a =(n +1)2-2 D ．n a =n 2-n +2

3．假设世界人口自1980年起，50年内每年增长率均固定，已知1987年世界人口达50亿，1999年第60亿个人诞生在赛拉佛耶．根据这些资料推测2023年世界人口数最接近下列哪一个数（） A ．92亿 B ．86亿 C ．80亿 D ．75亿

4．等差数列{a n }中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于．

5．已知数列{n a }是公比不为1的等比数列，给出下列六个数列：①｛a n a n +1｝，②｛a n +a n +1｝，③ ｛a n +1-a n ｝，④｛a n 3｝，⑤｛na n ｝，⑥｛l ga n ｝．其中成等比数列的有． 6．设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且a 1 =1，S n +1= 4a n +2．（1）设b n = a n +1-2a n ，求证｛b n ｝是等比数列；（2）设c n =

n a ，求证｛c n ｝是等差数列；（3）求S n = a 1+a 2+…+a n -1+a n ．

7．已知数列{}n a 是首项01>a ，且公比0,1≠->q q 的等比数列，设数列{}n b 的通项

).(21*++∈-=N n ka a b n n n ，数列{}n a ．{}n b 的前n 项和分别为S n ,n T ，如果n T >kS n ，对一切自然

数n 都成立，求实数k 的取值范围．

8．已知数列n a a a a a n n n 69242}{1

321-=++++- 满足．

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设)3||log 3(2n n a n b -=，探求使∑=->

i i

m b 161

1成立的m 的最大整数值．

随堂练习1

1．A 2．B 3．C 4．

或116

5．10 6．（1）：当;2,111===S a n 时

,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当

故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.4

1,4,,11=∴==q d b qd b q 则故.4

2}{,4

121

11---=?

-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即

（2）,4)12(422411

---=-==n n n

n n n n b a c ]

4)12(4

)32(454341[4],4)12(45431[1

12121n

n n n n n n n T n c c c T -+-++?+?+?=-++?+?+=+++=∴--

两式相减得

54)56[(9

]

54)56[(31

4)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T

7．设每年应扣除消费资金x 万元，记n a 为n 年后的资金拥有量，则x a -=15001 x a a n n -=-15.1 ∴)2(5.121x a x a n n -=--

∴数列}2{x a n -是以首项x a -=15001，公比为1.5的等比数列

∴1

5.1)21500(2-?-=-n n x x a

由20005=a 有4

5.1)21500(22000?-=-x x

解得x =424万元．答：（略）

8．（1）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ，两式相减得：,2211n n n a a a -=++ 01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知由，,21

=∴+n

n a a 由定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a

∴

,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b

,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得：

222

12132

2211

101+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴--

=.12222121-+=+--n n n n

随堂练习2

1．D 2．A 3．B 4．4 5．①③④

6．提示：（1）由s n +1推出s n 并作差，可得b n = 2b n -1（n ≥2），结合b 1取值得到（1）的证明。（2）写出b n 的通项公式，考察c n +1－c n 的取值（化简可得

），结合c 1,证得（2）。（3）求出C n = 34n －14

,得 a n = 2n －

2·（3n －1）.当n ≥2时,S n = 4a n -1+2 = 2n -1（3n －4）+2 当n =

1时,S 1适合S n = 2n －

1（3n －4）＋2.

7．因为{}n a 是首项01>a ，公比0,1≠->q q 的等比数列，

故q a a n n =+1 ， 2

2q a a n n =+．

)(2

21kq q a ka a b n n n n -=-=++，

n T =n b b b +++ 21=（a 1+a 2+…+a n ）（q -kq 2）=n s )(2

kq q -．

依题意，由n T >k n s ，得n s )(2

kq q -> k n s ① 对一切自然数n 都成立．

当0>q 时，由01>a ，知0>n a ,n s >0；

当-1a ，1-q >0,1-n

q >0,所以n s =

01)1(1>--q

q a n ．综合上述两种情况，当0,1≠->q q 时，n s >0恒成立．由①式，可得k kq q >-2

， ② 即q q

q q k q q k +=+<

<+1

1,)1(22

．

由于21

≥+

q ，故要使①式恒成立，k <-21．

8．（1）n a a a a n n 692421

321-=++++- ①

)1(6924212321--=++++∴--n a a a a n n ②

①－②得： 2

362

---

=∴-=n n n n a a

当n =1时，由题设得???

??≥-==∴=-)2(23

)1(33

1n n a a n n （2）31)3

|log 3(12==-=b n a n b n n 时

当

当)1()]2(3[)2

1log 3(22

+=+--=-=≥-n n n n n b n n n 时

?≥+==∴2)1(13

n n n n b n 设∑=+-=+-++-+-+==

i i

n n n n b S 11165)111()4131()3121(311 }{n S ∴为递增数列，其最小值为31

21651=-=S . 要使∑=->n

i i

m b 1611，

只须

31->

m ，即m m 又,3<为整数，∴m 的最大值为2.

中档题系列训练：数列班级姓名

1．已知数列}{n a 满足)(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=

=+，则20a =（）

A ．0

B ．3-

C ．3

D ．2

2．已知不等式n

a n n

)1(2)1(+-+<-对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（）

A ．)232[，-

B ．)232(，-

C ．)233[，-

D ．)2

3(，-

3．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足)521(90

2--=

n n n

S n (n =1，2，……，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（）

A ．5月、6月

B ．6月、7月

C ．7月、8月

D ．8月、9月 4．已知数列{}n a 的前n 项和S n 满足log 2(S n +1)= n +1，则a n = ．

5．设平面内有n 条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，则(4)f = ；当ｎ＞４时，f (n )= ．

6．在数列}{n a 中，已知)2(1*

12211≥∈++++==--n N n a a a a a a n n n ，，，则这个数列的通

项公式是． 7．设数列???

???

?+=≠=+.

,41,,21,4

1}{1

1为奇数为偶数且的首项n a n a a a a a n n

n n 记.,3,2,1,4

12 =-

=-n a b n n （1）求a 2，a 3；（2）判断数列}{n b 是否为等比数列，并证明你的结论．

8．在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件

242

,1,2,1

n n S n n S n +==+，

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记(0)n a

n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

9．已知a 1=2，点),(1+n n a a 在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…．

（1）证明数列)}1{lg(n a +是等比数列；（2）设)1()1)(1(21n n a a a T +++= ，求n T 及数列{n a }的通项；（3）记2

11++

=n n n a a b ，求数列{n b }的前项和n S ，并证明n S +132

-n T =1．

10．已知数列{}n a 满足a 1=1，a 1+n =2a n +1(n ∈+N )．（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{n b }满足n n b n b b b a )1(444

111

21+=--- (n ∈+N )，证明：{n b }是等差数列；

（3）证明：

31213221n

a a a a a a n n n ＜＜++?++-(n ∈+N )．

中档题系列训练：数列班级姓名

1．已知数列}{n a 满足)(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=

=+，则20a =（B ）

A ．0

B ．3-

C ．3

D ．

3 2．已知不等式n

a n n

)1(2)1(+-+<-对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（ A ）

A ．)232[，-

B ．)232(，-

C ．)233[，-

D ．)2

3(，-

3．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足)521(90

2--=

n n n

S n (n =1，2，……，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（C ）

A ．5月、6月

B ．6月、7月

C ．7月、8月

D ．8月、9月 4．已知数列{}n a 的前n 项和S n 满足log 2(S n +1)= n +1，则a n = ．

(1)2

(1)

n n

n a n =?=?>?

)1)(2(2

+-n n 6．在数列}{n a 中，已知)2(1*

12211≥∈++++==--n N n a a a a a a n n n ，，，则这个数列的通

项公式是．??

?≥==-)

2(2

)

1(12

n n a n n

7．在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242

,1,2,1

n n S n n S n +==+，

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记(0)n

a n n

b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,由

2421

n n S n S n +=+得：1

13a a a +=，所以22a =，即211d a a =-=，又1

211

122()42212

n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++?+++===

+++?＝2(1)

1n n a n a +++，所以n a n =。

（2）由n a

n n b a p =，得n n b np =。所以23

123(1)n n n T p p p n p np -=+++

+-+，

当1p =时，1

2n n T +=

；当1p ≠时，234

123(1)n n n pT p p p n p np +=+++

+-+，

1(1)(1)1n n n

n n n p p P T p p p p

p np

np p

-++--=+++

++-=--

即11

,12(1),11n n

n n p T p p np p p

++?=??

=?-?-≠?-?． 8．设数列???

???

?+=≠=+.

,41,,21,41}{1

1为奇数为偶数且的首项n a n a a a a a n n

n n 记.,3,2,1,4

12 =-

=-n a b n n （1）求a 2，a 3；

（2）判断数列}{n b 是否为等比数列，并证明你的结论；解：（1）81

212141412312+==+=+=a a a a a a ，（2）因为43113428a a a =+=+,所．以54113

.2416a a a ==+

所以1b =11233511111111

0,(),().44424444b a a b a a b a a =-=-≠=-=-=-=-

猜想：{}n b 是公比为1

2的等比数列. 证明如下：

因为n n n n n n b a a a a b 21

)41(2141)41(2141214112122121=-=-+=-=-=--++

所以{}n b 是首项为14a -,公比为1

的等比数列.

9．已知a 1=2，点),(1+n n a a 在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…．

（1）证明数列)}1{lg(n a +是等比数列；

（2）设)1()1)(1(21n n a a a T +++= ，求n T 及数列{n a }的通项；

（3）记2

11++=n n n a a b ，求数列{n b }的前项和n S ，并证明n S +132

-n T =1．

解：（1）由已知212n n n a a a +=+，2

11(1)n n a a +∴+=+

12a =,11n a ∴+>，两边取对数得1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即1lg(1)

2lg(1)

n n a a ++=+

{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.

（2）由（1）知1

1lg(1)2lg(1)n n a a -+=?+1

122lg3lg3n n --=?=

213n n a -∴+= （*）

12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a )0

222333=????n-1

2 (3)

21223

+++=n-1

…+2=n 2-1

由（*）式得1

31n n a -=-

（3）

102n n a a a +=+ 1(2)n n n a a a +∴=+ 11111()22

n n n a a a +∴

=-+, 1112

2n n n a a a +∴=-+ 又112n n n b a a =

++1

112()n n n b a a +∴=- 12n S b b ∴=++n …+b 122311111112()n n a a a a a a +=-+-+-…+11

2()n a a +=-

1221131,2,31n n

n n a a a -+=-==- 22131

n S ∴=-

又21

n n T -=, ∴n S +

-n T =1．

10．已知数列{}n a 满足a 1=1，a 1+n =2a n +1(n ∈+

N ) （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{n b }满足n n b n b b b a )1(444

111

21+=--- (n ∈+N )，证明：{n b }是等差数列；

（3）证明：

31213221n

a a a a a a n n n ＜＜++?++-(n ∈+N )．解：（1）∵)(121+

+∈+=N n a a n n ，∴)1(211+=++n n a a

∴}1{+n a 是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列。

∴n n a 21=+即)(12+

∈-=N n a n n 。

（2）∵n n b n b b b a )1(444

111

21+=--- ∵n n nb n b b b 24)(21=-++

∴2[(b 1+b 2+…+b n )-n]=n b n ， ① 2[(b 1+b 2+…+b n+1)-(n+1)]=(n+1)b n+1 ② ②-①，得2(b n+1-1)=(n+1)b n+1-nb n ，

即 (n-1)b n+1-nb n +2=0 ③ nb n+2-(n+1)b n+1+2=0 ④ ④-③，得nb n+2-2nb n+1-nb n =0，

即 b n+2-2b n+1+b n =0，∴b n+2-b n+1= b n+1-b n (n ∈N +)，

∴{b n }是等差数列。

(3)证明：∵

,,...,2,1,21

)

12(2121

211n k a a k k k k k k =--=--=++＜∴.213221n a a a a a a n n ＜++?++ ∵2

22·3121)12(21211212111-+-=--=--=+++k

k k k k k k a a ≥3121-·k 21，k=1，2，…，n ， ∴

2)211(312)212121(312213221->--=+++-≥++++n n n a a a a a a n n n n ∴

)(2

31213221++∈<+++<-N n n a a a a a a n n n