副本1-致远中学2020届高三下学期数学周练二(理)

致远中学2020届高三下学期数学周练二（理）

数学Ⅰ

参考公式：

样本数据1

x ，2

x ，…，n

x 的方差

2

2

1

1()n

i i s x x n ==-∑，其中

1

1n

i

i x x n ==∑．

棱锥的体积公式：13

V

Sh =棱锥

，其中S 为棱锥的底面积，h 为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

． 1． 函数2sin(3)3y x π

=-的最小正周期为 ▲ ．

2． 设集合{}13A =，

，{}25B a =+，，{}3A B =，则A

B = ▲ ．

3． 复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出

红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概 率为 ▲ ．

5． 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 ▲ ． 6． 若实数x ，y 满足243700x y x y x y +⎧⎪+⎪

⎨⎪⎪⎩≤，≤，≥，≥，

则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．

7． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：

则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ． 8． 如图，在正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，3cm AB =，

11cm AA =，则三棱锥D 1–A 1BD 的体积为 ▲ 3cm ．

9． 在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线

22

22

1(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线，则该双曲线 （第5题）

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1 （第8题）

10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4

节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升． 11．在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则

sin sin A

C

的值为 ▲ ． 12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π

(0)2

x ∈，相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，

则实数a 的值为 ▲ ．

13．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥ AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB

． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为5

13

，求点B 的坐标．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD ．

求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD ．

（第16题） A

B

C

O

D

P

E

（第15题）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的离心率为22，焦点到相应准线的

距离为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线

2y =于点Q ，求2

2

11

OP OQ +的值．

18．（本小题满分16分）

如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪． （1）当∠EFP =

4

π

时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由． A

B

C

D

F

E

P

M

N

（第18题）

x

y

Q

O

P

（第17题）

2

已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．

（1）当3

8

a =时，求函数()f x 的最小值；

（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，

公比为q ． （1）若11k =，23k =，38k =，求1

a d

的值； （2）当

1

a d

为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值范围．