近三年高考全国卷理科立体几何真题 (1)

新课标卷高考真题

1、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=o

，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o

．

（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．

2、（2016年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对

角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5

4

AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ?沿EF 折到'D EF ?位置，10OD '=．

（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值． 3【2015高考新课标1，理18】

如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面

ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.

4、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．

(1)证明：PB ∥平面AEC ；

(2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积．

图1-3

5、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C .

图1-5

(1)证明：AC ＝AB 1；

(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A -A 1B 1 -C 1的余弦值．

6、（2017?新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC= AD ，∠BAD=∠ABC=90°，E 是PD 的中点． （Ⅰ）证明：直线CE ∥平面PAB ；

（Ⅱ）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M ﹣AB ﹣D 的余弦值．

7、（2017?新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD ，AB=BD ． （Ⅰ）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D ﹣AE ﹣C 的余弦值．

8、（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP=∠

CDP=90°．（12分）

(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

(2)若PA=PD=AB=DC ，∠APD=90°，求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．

1【解析】 ⑴

∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥∵90AFD ∠=? ∴AF DF ⊥

∵=DF EF F I ∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面EFDC ⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=? ∵AB EF ∥ AB ?平面EFDC

EF ?平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD AB ?平面ABCD

∵面ABCD I 面EFDC CD = ∴AB CD ∥,∴CD EF ∥ ∴四边形EFDC 为等腰梯形

以E 为原点，如图建立坐标系，FD a =

()

020EB a =u u u r

，，

，

22a BC a ??=- ? ???u u u r ，，()200AB a =-u u u r ，， 设面BEC 法向量为

()

m x y z =u r

，，.

00m EB m BC ??=???=??u r u u u r

u r u u u r

，即111120202a y a x ay z ?=????-+?=??

设面ABC 法向量为

()

222n x y z =r

，，

=0

n BC n AB ?????=??r u u u r

r u u u r .

即

2222

20220a x ay ax ?-+

=???=?

22204x y z ===，

设二面角E BC A --的大小为θ

.cos m n m n θ?==?u r r

u r r

∴二面角E BC A --

的余弦值为

2【解析】⑴证明：∵

5

4AE CF ==

，∴AE CF AD CD =

，

∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥．

∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，

∴

1AE

OH OD AO =

?=，∴3

DH D H '==，∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又

∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．

()

500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，

()

430AB =uu u r

，，，

()'133AD =-uuur

，，，

()

060AC =uuu r

，，，

设面'ABD 法向量()

1n x y z =，，u r

，

由11

00n AB n AD ??=??'?=??u u r u u u r

u u r u u u u r 得430330x y x y z +=??-++=?，取345x y z =??=-??=?，∴()1345n =-u r ，，．

同理可得面'AD C 的法向量

()

2301n =u u r

，，，

∴

12129575

cos 255210

n n n n θ?+==

=?u r u u r

u r u u r ，∴

295

sin 25θ=

3，【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

3

3

又∵AE ⊥EC ，∴EG 3EG ⊥AC ，

在Rt△EBG中，可得BE，故DF.

在Rt△FDG中，可得FG

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE，DF可得EF

∴222

EG FG EF

+=，∴EG⊥FG，

∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，

∵EG?面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ……6分

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以,

GB GC

u u u r u u u r

的方向为x轴，y轴正方向，||

GB

u u u r

为单

位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，0），E)，

F（－1,0），C（0，0），∴AE

u u u r

=（1），CF

u u u r

=（-1，） (10)

分

故cos,

||||

AE CF

AE CF

AE CF

?

<>==

u u u r u u u r

u u u r u u u r

u u u r u u u r.

所以直线AE与CF. ……12分

4，解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．

又E为PD的中点，所以EO∥PB.

因为EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.

(2)因为P A⊥平面ABCD，ABCD为矩形，

所以AB，AD，AP两两垂直．

如图，以A为坐标原点，AB

→

，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，|AP

→

|为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz，则D()

0，3，0，E

?

?

?

?

?

0，

3

2，

1

2

，AE

→

＝?

?

?

?

?

0，

3

2，

1

2

.

设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，3，0)，AC

→

＝(m，3，0)．

设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，

则

??

?

??n1·AC

→

＝0，

n1·AE

→

＝0，

即

?

?

?mx＋3y＝0，

3

2y＋

1

2z＝0，

可取n 1＝? ??

??

3m ，－1，3.

又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，

由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝1

2，即

33＋4m 2＝12

，解得m ＝

3

2. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E -ACD 的高为12.三棱锥E -ACD 的体积V ＝13×1

2×3×32×12＝3

8.

5解：(1)证明：连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO ，因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 及BC 1的中点．

又AB ⊥B 1C ，所以B 1C ⊥平面ABO .

由于AO ?平面ABO ，故B 1C ⊥AO .

又B 1O ＝CO ，故AC ＝AB 1.

(2)因为AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，所以AO ＝CO .

又因为AB ＝BC ，所以△BOA ≌ △BOC .故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，OB 1两两垂直．

以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，|OB |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz .

因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又AB ＝BC ，则A ?

????

0，0，33，

B (1，0，0)，B 1? ????0，33，0，

C ? ??

??

0，－33，0.

AB 1→＝? ????0，33，－33，A 1B 1→＝AB ＝?

????1，0，－33， B 1C →1

＝BC ＝? ??

??－1，－33，0. 设n ＝(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的法向量，则

?????n ·

AB 1＝0，n ·A 1B 1→＝0，即?????33y －33z ＝0，x －33z ＝0.所以可取n ＝(1，3，3)．

设m 是平面A 1B 1C 1的法向量，

则?????m ·A 1B 1→＝0，m ·

B 1

C 1→＝0，同理可取m ＝(1，－3，3)．

则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1

7.

所以结合图形知二面角A -A1B1 - C1的余弦值为1 7.

6、【答案】（Ⅰ）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，

所以EF AD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，

∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF?平面PAB，CF?平面PAB，

∴直线CE∥平面PAB；

（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD中，

侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，

∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP= ，

∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，

可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，

可得：1+ BN2=BN2， BN= ，MN= ，

作NQ⊥AB于Q，连接MQ，

所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=

= ，

二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：= ．

7、【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．

∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．

△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，

∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．

∵△ACD是直角三角形，

∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO= AC．

∴DO2+BO2=AB2=BD2．

∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．

又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB?平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．

（Ⅱ）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h

D ， h

E

．则= ．

∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，∴= = =1．

∴点E是BD的中点．

建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2．

则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E ．

=（﹣1，0，1），= ，=（﹣2，0，0）．

设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取= ．

同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．

∴cos = = =﹣．

∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．

8、【答案】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，

又∵PA∩PD=P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD，

∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAD；

（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，

在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，

设PA=AB=2a，则AD= ．

取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，

以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则：D（），B（），P（0，0，），C（）．

，，．

设平面PBC的一个法向量为，

由，得，取y=1，得．

∵AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥AD，

又PD⊥PA，PA∩AB=A，

∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．

∴cos＜＞= = ．

由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，

∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．