空间向量及其运算教学设计教案
空间向量及其线性运算（教案）
空间向量及其线性运算（教案）课题：空间向量及其线性运算教学⽬标：1．运⽤类⽐⽅法，经历向量及其运算由平⾯向空间推⼴的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；教学难点：空间向量的线性运算及其性质。
教学过程：⼀、创设情景1、蚂蚁爬⾏的问题引⼊为什么要研究空间向量.2、平⾯向量的概念及其运算法则；⼆、建构数学1．空间向量的概念：在空间，我们把具有⼤⼩和⽅向的量叫做向量注：⑴空间的⼀个平移就是⼀个向量⑵向量⼀般⽤有向线段表⽰同向等长的有向线段表⽰同⼀或相等的向量⑶空间的两个向量可⽤同⼀平⾯内的两条有向线段来表⽰ 2．空间向量的运算定义：与平⾯向量运算⼀样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++ ⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平⾏六⾯体：平⾏四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的⼏何体，叫做平⾏六⾯体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个⾯都是平⾏四边形，每个⾯的边叫做平⾏六⾯体的棱。
4．共线向量与平⾯向量⼀样，如果表⽰空间向量的有向线段所在的直线互相平⾏或重合，则这些向量叫做共线向量或平⾏向量．a 平⾏于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表⽰a 、b的有向线段所在的直线可能是同⼀直线，也可能是平⾏直线． 5．共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，A / B使a＝λb .三、数学运⽤1、例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1BA CB +; （2）121AA CB AC ++; （3）AA --1解：（1）11CA BA CB =+ （2）AA =++121（3）11BA CB AC AA =--2、如图，在长⽅体///B D CA OADB -中，1,2,4,3======OK OJ OI OC OB OA ，点E,F 分别是//,B D DB 的中点，设===,,,试⽤向量,,表⽰OE 和OF解：j i OE 423+=2423++=3、课堂练习已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++；（2）1()2AB BD BC ++；（3）1()2AG AB AC -+ ．四、回顾总结空间向量的定义与运算法则五、布置作业72页练习2,3《数学之友》选T3.1空间向量及其线性运算BCDMGA。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。
2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。
(2) 向量减法：差向量、相反向量。
(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。
(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。
2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。
2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。
2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。
3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。
4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。
5. 第五课时：总结与拓展。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。
4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。
2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。
4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。
空间向量及其加减运算精品教案
空间向量及其加减运算【教课目的】1．认识向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
【教课要点】点在已知平面内的充要条件。
共线、共面定理及其应用。
【教课难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
【讲课种类】新讲课【课时安排】1课时【教课过程】一、复习引入：1．空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量注：（1）空间的一个平移就是一个向量；（2）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2．空间向量的运算定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下（如图）CbaBb baAOD' C'OB OA AB a b ； BA OA OB a b ；OPa(R)A' B'运算律：（ 1）加法互换律：ab b aaD CA B（2）加法联合律： (ab )c a (b c)（3）数乘分派律： (a b)ab3．平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 a到 A B C D的轨迹所形成的几何体， 叫做平行六面体，并记作：ABCD － A B C D它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．平面向量共线定理方向同样或许相反的非零向量叫做平行向量。
因为任何一组平行向量都能够平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。
向量 b 与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数 λ ，使 b ＝λ a。
这个定理称为平面向量共线定理，要注意此中对向量a的非零要求。
二、解说新课：1．共线向量与平面向量同样，假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于 b 记作 a // b。
和上节我们学习的空间向量的定义、 表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律都是平面向量的推行同样， 空间向量共线（平行）的定义也是平面向量有关知识的推行。
新版高中数学《1.1.1空间向量及其线性运算》教学设计
空间向量及其线性运算教学设计(人教A版普通高中教科书数学选修第一册第一章)一、教学目标1.复习空间向量的相关概念2.能够熟练应用空间向量的线性运算及运算律3.理解并掌握共线、共面定理的推论，会用共线、共面定理及其推论解决问题二、教学重难点重点：空间向量的线性运算及运算律难点：共线、共面定理的推论三、教学过程1.复习回顾知识点一：空间向量的概念1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.2.长度或模：向量的大小.3.表示方法：(1)几何表示法：空间向量用有向线段表示.(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB，其模记为a或AB.|知识点二：空间向量的线性运算知识点三：共线定理与共面定理2.空间向量概念的应用【设计意图】通过简单的习题，加深学生对于空间向量概念的理解，纠正易错点.3.空间向量的加减运算【设计意图】选自课本中本节习题，旨在让学生体会表示未知向量时，可将未知向量放入三角形中，通过向量加减的三角形法将其表示出来.4.空间向量的数乘运算【设计意图】与例2对比，此题在加减运算的基础上加入数乘运算，是一道线性运算的综合题型，通过此题可以使学生加深对空间向量线性运算的认识，提高计算能力.5.空间向量共线、共面定理【设计意图】通过将共线、共面定理的推论以思考题的形式给出，使学生在证明的过程中加深对共线、共面定理的理解与记忆，同时引出推论.【设计意图】将推论引出后通过两个较为简单的练习题，让学生初步感受共线、共面定理推论的应用.【设计意图】用共线定理及其推论两种解法解此题目，让学生再次感受共线定理及推论在证明三点共线时的应用.,,.ABCD .AC O OA,OB,OC,ODOE OF OG OHE,F,G,H ====k,OA OB OC ODE,F,G,H 例5.如图，已知平行四边形过平面外一点作射线在四条射线上分别取点使求证：四点共面1111,,,,,,.OE OF OG OH====k OA OB OC ODOA OE OB OF OC OG OD OHOA OD OB OC OE OB OC OD ∴====∴-=-∴=-+∴k k k kABCD E F G H 四边形为平行四边形四点共面【设计意图】此题是第一课时例题，用共面定理的推论给出此题目的第二种解法，让学生再次感受共面定理及推论在证明四点共面问题时的应用，以达到开拓学生的思路的目的.6.归纳小结(1).用好已有的定理及推论：如共线向量定理、共面向量定理及推论等， 并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题.(2).在解决空间向量问题时，结合图形，将未知向量放入三角形中，再运用向量加减的三角形法则解决问题。
空间向量及其运算详细教案
空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算教学目标：（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。
（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。
能力目标：（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。
（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。
（3）培养学生空间向量的应用意识教学重点：（1）空间向量的有关概念（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。
（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。
（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。
考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。
易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用教学用具：多媒体教学方法：研讨、探究、启发引导。
教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维教学过程：（老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？（学生）：矢量，由大小和方向确定（学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？（老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？（学生）向量（老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？（学生）这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？（学生）：不能，得用空间向量（老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算（老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？（学生）举例（老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。
空间向量及其运算(优质课)教案
空间向量及其运算（优质课）教案教学目标：1 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.教学过程：1．空间向量的有关概念(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用OA→，OB→，OC→表示OG→，MG→等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．3.数量积的应用：(1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．类型一空间向量的线性运算例１：如图3-1-6,已知平行六面体ABCD A B C D''''-.求证:2.AC AB AD AC'''++=【解析】:由于在平行六面体中,每个面都是平行四边形,故可结合空间向量加法的平行四边形法则进行向量的运算,从而证明结论.【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形,,,AC AB AD AB AB AA ''∴=+=+.AD AD AA ''=+∴AC AB AD ''++()()()AB AD AB AA AD AA ''=+++++ 2().AB AD AA '=++又∵,,AA CC AD BC ''==,AB AD AA AB BC CC AC CC AC ''''∴++=++=+=2.AC AB AD AC '''∴++=练习１：如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA →1＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：AP →,A 1N →【答案】(1)AP →=a+c+2b ；(2)A 1N →=-a+b+2c练习2：【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12类型二 共线定理、共面定理的应用例2：射线AB 、AC 、AD 不共面,连结BC 、CD 、DB ,取AB 、BC 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H ,如图3-1-20,试判断四边形EFGH 的图形形状,并用向量的方法证明.【答案】解法1:四边形EFGH 是平行四边形. ∵1()2EH EA AH BA AD =+=+=111,(),222BD FG FC CG BC CD BD =+=+=.EH FG ∴=∵E 点不在FG 上,∴EH ∥FG ,且EH =FG ,∴四边形EFGH 是平行四边形. 解法2:∵11(),22HG HD DG AD DC AC =+=+= 11(),22EF EB BF AB BC AC =+=+=∴.HG EF =又H 点不在EF 上, ∴HG ∥EF ,且HG =EF .∴四边形EFGH 是平行四边形.练习1：【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-,若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,),则n m -的值为______.【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 【答案】3-类型三 空间向量数量积的应用例3：已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． 【解析】（1）设AB =p,AC =q ，AD =r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN=AN -AM =12（AC +AD ）-12AB =12（q+r-p ）， ∴MN·AB =12（q+r-p ）·p =12（q ·p+r ·p-p 2）=12（a 2·cos60°+a 2·cos60°-a 2）=0. ∴MN ⊥AB,同理可证MN ⊥CD.（2）由（1）可知MN=12（q+r-p ） ∴|MN |2=MN 2=14（q+r-p ）2=14［q 2+r 2+p 2+2（q ·r-p ·q-r ·p ）］=14[a 2+a 2+a 2+2（22a -22a -22a ）=14×2a 2=22a . ∴|MN|=22a,∴MN 的长为22a. (3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r)，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r)·(q －12p) ＝12(q2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p)＝12(a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60°)＝22a . 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝22a . ∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.【答案】（1）见解析（2）MN a.（3）异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23练习1：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求BD →1与AC →夹角的余弦值．【答案】设AB =a,AD =b.1AA =cBD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1. ∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝66.1．（2014·广东卷）已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)【答案】B 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A3.在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直【答案】B4.O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固（1）1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．2【答案】D2.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B.12a 2C.14a 2 D.34a 2 【答案】C3．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能 【答案】B4．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( )A ．(4，0，3)B ．(3，1，3)C ．(1，2，3)D ．(2，1，3)【答案】B5.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．【答案】60°6.已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．【答案】657能力提升（2）7.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．【答案】111244a b c ++ 8.A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．【答案】锐角9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c . (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．【答案】解 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， ∴c ＝mBC →＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )， ∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3， ∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)． (2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a ·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。
空间向量及其运算教案
向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设 A ( x1 , y1 , z1 ) ，B ( x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ＝ OB － OA ＝ ( x2 , y2 , z2 ) － ( x1 , y1 , z1 ) ＝ ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) ． 向量的直角坐标运算：设 a＝ (a1 , a2 , a3 ) ，b＝ (b1 , b2 , b3 ) ，则 ⑴a＋b＝ (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ； ⑶λa＝ ( a1 , a2 , a3 ) ( R ) ； ⑵a－b＝ (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ； ⑷a·b＝ a1b1 a2b2 a3b3
变式训练 2：已知空间四边形 OABC 中，M 为 BC 的中点，N 为 AC 的中点，P 为 OA 的中
3
点，Q 为 OB 的中点，若 AB＝OC，求证 PM
QN
．
例 2. 已知 O 为原点，向量 OA 3,0,1 , OB 1,1, 2 , OC OA, BC ∥ OA ，求 AC ．
例 3. 如图，多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得，其中 AB＝4，BC F ＝1，BE＝3，CF＝4. Z (1) 求 EF 和点 G 的坐标； (2) 求 GE 与平面 ABCD 所成的角； E G D (3) 求点 C 到截面 AEFG 的距离． y C A B x
4、空间向量运算的坐标表示 —— 夹角和距离公式 向量的模：设 a＝ (a1 , a2 , a3 ) ，b＝ (b1 , b2 , b3 ) ，求这两个向量的模.
2 2 2 ｜a｜＝ a12 a2 a3 ，｜b｜＝ b12 b2 b32 ．这两个式子我们称为向量的长度公式．
2023年春《空间向量及其运算课时1》教学设计
《空间向量及其运算》教学设计课时1空间向量及其线性运算一、本节内容分析本节的主要内容是空间向量的定义，几种常见的空间向量，零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、方向向量，空间向量的线性运算，向量加法、向量减法、向量数乘，空间向量的夹角以及数量积，空间向量的投影向量，我们可利用空间向量解决有关立体几何中的夹角，距离，平行，垂直等问题.空间向量是解决立体几何问题的重要手段之一，了解并掌握空间向量在立体几何中的使用有利于解决立体几何中的关键问题.对于本节课而言，它是空间向量的基础，不管是在以后学习中要用空间向量求异面直线的夹角，线面角，面面角，还是两点之间的距离，证明平行，垂直都离不开空间向量的线性运算和数量积，掌握本节课对以后空间向量的学习至关重要.本节内容的重点是认识空间向量，并能熟练应用线性运算法则进行空间向量的运算，熟练掌握空间向量的数量积，会为以后学习线线角、线面角、面面角起到至关重要的作用.难点是空间向量线性运算以及空间向量数量积.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析学生已经学习了平面向量并对平面向量的相关知识较熟悉，在此基础上学习求解空间向量，学生还是比较容易接受的，也更容易理解，同时也是比较感兴趣的.鉴于学生在学习平面向量阶段基础参差不齐、认识上也有很大偏差，特别对概念的理解也不是太深入，所以更应该让学生学会自主学习，鼓励学生大胆讨论交流、认真总结，建立能学好数学的自信心.学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备【任务专题设计】1.空间向量的基本概念2.空间向量的线性运算3.共线向量定理4.共面向量定理5.空间向量的夹角6.空间向量的数量积运算【教学目标设计】1.通过本节的学习，理解空间向量的有关概念.2.掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解.3.能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义.培养空间向量的应用意识.【教学策略设计】本节介绍了空间向量的相关概念，线性运算，共线向量定理，共面向量定理和数量积，先由学生自己复习回顾平面向量的相关概念、线性运算、共线向量定理、共面向量定理和数量积，通过对比平面向量和空间向量得出，平面向量和空间向量的关系，进而类比平面向量给出空间向量的相关知识点，并通过例题巩固加深理解.【教学方法建议】迁移教学法、问题教学法,还有________________________________________________.【教学重点难点】重点1.掌握空间向量的概念和空间向量的线性运算.2.掌握空间向量的共线向量定理和共面向量定理.3.掌握空间向量的夹角和空间向量的数量积.4.掌握空间向量的投影向量.难点空间向量的线性运算、共线向量定理、共面向量定理和数量积.【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________.四、教学活动设计教学导入师：对于平面向量而言我们很熟悉，生活中也经常见到，比如力，速度等等，过正方体同一点的三条棱上我们会得到三个向量，它们与以前我们学过的向量有什么不同？生：这三个向量不是平面向量.师：也就是说，它们是不共面的向量，不共面的向量与平面向量有什么区别与联系？这就是我们本节要学习研究的问题，也叫做空间向量.【设计意图】回顾前面所学过的平面向量，提出新的问题，引出关于本节课的问题，激发学生学习的兴趣，提出本节课题.教学精讲探究1 空间向量的基本概念师：本节我们来研究空间向量的概念和运算，空间向量与平面向量的区别与联系，接下来我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量的知识点.【学生回顾并回答上述问题，教师予以肯定并总结学生结果】【设活动 深探究】回答教师提出的问题，复习旧的知识，为学习新的知识做准备，培养归纳记忆能力. 【要点知识】平面向量的相关概念1.平面向量:在平面上既有大小又有方向的量叫做向量.2.长度或模:平面向量的大小.3.表示方法:(1)几何表示法:平面向量用有向线段表示. (2)字母表示法:用字母,,a b c 表示;若向量a 的起点是A ,终点是B ,也可记作:AB ,其模记为||a 或||AB .(3)坐标表示法:建立平面直角坐标系后,还可以用坐标表示平面向量.如:(,)x y =a . 4.零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为0. 5.单位向量:模为1的向量叫做单位向量.6.相反向量:与向量a 长度相等而方向相反的向量,叫做a 的相反向量,记为-a .7.共线向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量,也叫共线向量.8.相等向量:方向相同且模相等的向量叫做相等向量.师：其实空间向量就是把向量放到空间中了，同学们可以给空间向量下个定义吗？ 生：可以.在空间中既有大小又有方向的量.师：很好，请同学们类比平面向量得到空间向量的其他定义. 生：分组讨论，并回答. 【要点知识】空间向量的相关概念1.空间向量:在空间中, 既有大小又有方向的量叫做空间向量.2.长度或模: 空间向量的大小．3.表示方法:(1)几何表示法: 空间向量用有向线段表示. (2)字母表示法:用字母,,a b c 表示;若向量a 的起点是A ,终点是B ,也可记作:AB ,其模记为||a 或||AB .(3)坐标表示法:建立空间直角坐标系后,还可以用坐标表示空间向量.如:=a (,,)x y z . 4.零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为0. 5.单位向量:模为1的向量叫做单位向量.6.相反向量:与向量a 长度相等而方向相反的向量,叫做a 的相反向量,记为-a .7.共线向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量,也叫共线向量.8.相等向量:方向相同且模相等的向量叫做相等向量.9.方向向量:在直线l 上取非零向量a ,与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量. 【猜想探究能力】通过类比的手法给出空间向量的概念以及相关知识点，锻炼学生的猜想探究能力. 师：下面练习有关空间向量的有关题目巩固概念. 【要点知识】利用空间向量的有关概念解题思考辨析.（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)空间向量,,a b c ,若//,//a b b c ,则//a c . （ ） (2)相等向量一定是共线向量. （ ） (3)三个空间向量一定是共面向量. （ ） (4)零向量没有方向. （ ） 【概括理解能力】通过类比的手法给出空间几个特殊向量的概念，并能掌握它们之间的差别与联系，锻炼学生的概括理解能力.师: 本题考查向量的有关概念, 请同学们独自完成. 【学生回答问题,并说明理由】 生:(1)⨯;若=0b 时,a 与c 不一定平行. (2)√;相等向量一定共线，但共线不一定相等.(3)⨯;两个空间向量一定是共面向量,但三个空间向量可能是共面的,也可以是不共面的. (4)⨯;零向量有方向,它的方向是任意的. 探究2 空间向量的线性运算师：在学习平面向量后我们学习了平面向量的运算，空间向量的运算我们也可采用与平面向量相同的方法，首先我们来回顾一下平面向量的加法、减法、数乘.【学生复习回顾并回答问题】 【多媒体展示】 【要点知识】平面向量的加、减、数乘运算1.向量的加法、减法OB OA OC =+=+aCA OA OC =-=-a +=+b b a)()++=++b c a b c 向量加法用三角形法则或平行四边形法则, 减法用平行四边形法则. 2.平面向量的数乘运算(1)定义:实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.当0λ>时,λa 与向量a 方向相同;当0λ<时,λa 与向量a 方向相反; λa 的长度是a 的长度的||λ倍.(2)运算律①结合律:()()()λμμλλμ==a a a .②分配律:(),()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b . 【设情境 巧激趣】复习向量的运算，即平面向量的加法、减法及数乘的运算法则及满足的运算律，培养学生的自主学习能力，提升学生的归纳记忆能力.师:很好.由此我们可知1223341?n n A A A A A A A A -++++=生:12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=.师:予以肯定,对于两个向量来说,空间向量和平面向量有没有区别?生:平面向量可在同一平面内平移,而空间向量也可在空间中平移,平移后的向量与原向量是同一向量.由此得出空间任意两个向量都可转化为共面向量.师:换句话说,空间任意两个向量都可转化为共面向量,那它们的加、减、数乘运算呢?生:空间任意两个向量的线性运算,平面向量的结论都适用.【猜想探究能力】通过上面的学习，学生回答教师提出的问题，猜想、推测，找出空间向量和平面向量的联系，从而最终总结出合适的结论，锻炼猜想探究能力.【要点知识】空间向量的加法，减法运算OB OA OC=+=+aCA OA OC=-=-a+=+b b a)()++=++b c a b c师：平面向量的加法有几种做法？生：两种，三角形法则和平行四边形法则.师：同样的，空间向量的加法也有两种.请同学上黑板展示两向量,a b的加法.【选一个代表进行展示】【归纳总结】空间向量加法的几何作图三角形法则:已知非零向量,a b,在平面内任取一点A,作,AB BC==a b,则向量AC叫做a 与b的和,记作+a b,即AB BC AC+=+=a b,这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则,即,三角形法则的结果是向量的首尾相接,如图:平行四边形法则:先把两个已知向量的起点平移到同一点,再以这两个已知向量为邻边作平行四边形,则这两邻边所夹的对角线所在向量就是这两个已知向量的和.以A 为起点作向量,AB AD ==a b ,以,AB AD 为邻边作平行四边形ABCD ,则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和,记作AC +=a b ,如图:【概括理解能力】教师通过引导学生类比平面向量的线性运算归纳空间向量的线性运算，锻炼学生的概括理解能力.师：空间向量的减法呢？生：也是两种，三角形法则和平行四边形法则.（其中，平行四边形法则是由相反向量得出，由相反向量的定义可知，()-=+-a b a b ，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量）【学生分组讨论，并总结答案，教师予以肯定学生答案，并多媒体展示】 【深度学习】通过类比平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，归纳出空间向量加法的三角形法则和平行四边形法则，锻炼学生的概括理解能力.【归纳总结】空间向量减法的几何作图作法一:利用相反向量作图,(同加法)通过向量加法的平行四边形法则作出-a b ,作,,OA OB AC ===-a b b ,则()BA OC ==-=-a +b a b ,如图:作法二:已知非零向量,a b ,在平面内任取一点A ,作,AB AD ==a b ,则向量DB 叫做a 与b 的差,记作-a b ,即AB AD DB -=-=a b ,这种求向量差的方法,称为向量减法的三角形法则,如图:师:利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.师:空间向量的加法与减法的法则与平面向量的加减法法则是一致的,那么它们的运算律也是一致的.都满足哪些运算律?【学生分组讨论】 生:(1)交换律:+=+a b b a . (2)结合律:()()++=++a b c a b c . 【要点知识】空间向量的数乘实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算. 【深度学习】通过类比平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，归纳出空间向量减法的三角形法则和平行四边形法则，锻炼学生的概括理解能力.师:空间向量的数乘与平面向量的数乘是一样的,数乘的运算结果仍然为向量. 当0λ>时,λa 与a 的方向如何?大小呢?生:当0λ>时, λa 与向量a 方向相同. λa 的长度是a 的长度的||λ倍. 师:若0λ<或0λ=呢?情况又如何?【学生分组讨论,并总结结果,选一个代表回答问题,并展示结果】生:当0λ>时, λa 与向量a 方向相同;当0λ<时, λa 与向量a 方向相反;当0λ=时,0;λλ=a a 的长度是a 的长度的||λ倍.师:平面向量数乘运算满足哪些运算律?空间向量的数乘运算与平面向量相同,它满足什么运算律呢?生:平面向量数乘运算满足结合律与分配律,所以空间向量也满足结合律与分配律. 【意义学习】学生通过学习空间向量加法，减法的运算，可以用其解决问题. 【要点知识】数乘运算的运算律1.结合律:()()()λμμλλμ==a a a .2.分配律:(),()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b . 【概括理解能力】通过类比平面向量的数乘，定义空间向量的数乘，锻炼学生的概括理解能力. 师：根据空间向量的线性运算，我们来看下面例题. 【典型例题】向量的线性运算例1 在三棱锥A BCD -中,若BCD 是正三角形,E 为其中心,则AB +1322BC DE AD --化简的结果为_____________.师：由△BCD 是正三角形可知E ，F 分别是DF 与BC 的几分点？ 生：E 是DF 的3分点，F 是BC 的2分点. 师：回答上述例题问题.【学生利用向量线性运算规则回答上述问题】 【多媒体展示】 【典型解析】向量的线性运算解:延长DE 交边BC 于点F ,连接AF ,则有13,22AB BC AF DE AD AD DF AF +=+=+=,故1322AB BC DE AD +--=0.【先学后教】先引导学生分析题目，本题给出一个正三角形以及正三角形的中心，中心是只有正三角形有的，而且是它的重心，垂心，内心，外心四心合一，所以E 是DF 的三分点，F 是BC 的中点，进而根据空间向量的运算法则化解式子，让学生自己感受化解向量式子的方法和具体策略，让学生对做题方法印象更深、运用更好.探究3 共线向量定理师:复习回顾平面向量的共线向量定理.生:共线向量定理:对于平面任意两个向量,(0),//≠a b b a b 的充要条件是存在实数λ使λ=a b .师:类似于平面向量共线定理,我们可得出空间向量的共线向量定理.【要点知识】共线向量定理对于空间任意两个向量,(0),//≠a b b a b 的充要条件是存在实数λ使λ=a b .师:如图,O 是直线l 上一点,在直线l 上取非零向量a ,则对于直线l 上任意一点P ,由数乘向量定义及共线向量定理可知,OP a 有什么关系?生:由数乘向量定义及共线向量定理可知,存在实数λ,使得OP λ=a .师:O 是直线l 上一点,在直线l 上取非零向量a ,则对于直线l 上任意一点P ,由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得OP λ=a .同时我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量.师:同理,如图,如果l 为经过已知点A 且平行于已知向量a 的直线,那么对任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,满足哪个等式?生:在l 上取AB =a ,所以可得到AP t t AB ==a .师:由向量加法可知OP OA AP =+,那么OP OA t =+a .生:OP OA t =+a ①(或者OP OA t AB =+).师:还可以得出什么?生:(1)OP t OA tOB =-+②.师:①或②式都叫做空间直线的向量参数方程.师:由此我们得出共线向量定理的推论,也就得出三点共线的证明方法.【意义学习】教师通过对学生的提问，使学生加深空间向量的共线向量的定理的理解，加深对它的记忆，在以后学习应用中能够更熟练地使用.【要点知识】共线向量定理推论设,,O A B 三点不共线,那么点P 在直线AB 上的充要条件是:存在唯一实数t ,使得(1)OP t OA tOB =-+.【概括理解能力】通过类比平面向量的共线向量定理总结空间向量的共线向量定理，锻炼学生的概括理解能力.师:从上述推论可知,,OA OB 系数之和为1.师:下面我们来练习利用共线向量定理及推论解题.【典型例题】共线向量定理的应用例2 设12,e e 是空间两个不共线的向量,已知1212,54AB k BC =+=+e e e e ,122DC =--e e ,且,,A B D 三点共线,实数k =_____________.师:本题中由,,A B D 三点共线,可知AD 和AB 有何关系?生:由共线向量定理可知,存在实数λ,使得AD AB λ=.师:请同学黑板展示上题结果.生解:()()()121212125427(6)AD AB BC CD k k =++=+++++=++e e e e e e e e ,设AD AB λ=, 则()12127(6)k k λ++=+e e e e ,所以7,6,k k λλ=⎧⎨=+⎩解得1k =. 【猜想探究能力】教师一步步引导学生根据空间向量共线定理推导出利用空间向量证明三点共线的共线定理推论，锻炼猜想探究能力.探究4 共面向量定理师：下面我们继续探究共面向量.【要点知识】共面向量如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面又或在平面α内,那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量叫做共面向量.师:我们知道空间任意两个向量总是共面的,空间任意三个向量一定共面吗?生:不一定共面,如图,空间四边形中,,AB AC AD 不共面.师：那么什么情况下三个空间向量共面呢？请看结论.【先学后教】引导学生分析题目，确定完成此题需要用到的定理，然后确定目标，找出合适的向量之间的关系，来证明三点共线.【要点知识】共面向量定理及其推论1.共面向量定理若两个向量,a b 不共线,则向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)x y ,使x y =+p a b .2.共面向量定理推论空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件:存在有序实数对(,)x y ,使AP xAB y AC =+或对空间任意一点O ,有OP OA x AB y AC =++.【概括理解能力】通过类比平面向量的共面向量定理总结空间向量的共面向量定理，锻炼学生的概括理解能力.师：下面我们根据共面向量定理及其推论来解题.【典型例题】空间向量的共面向量例3 若空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ,满足1133OP OA OB =++13OC ,则点P 与点,,A B C 是否共面?师：我们可利用共面向量定理推论来解决本题，请同学自主完成.【自主学习】学生自主回答问题，通过解决本题，让学生完全理解什么是空间共面向量定理，并锻炼学生计算能力及解题速度，学生自主摸索证明共面的方法，以达到学习以学生为主的目的.【学生独立思考，并完成.教师多媒体展示】【典型例题】空间向量的共面向量解:由111333OP OA OB OC=++得11()()33OP OA OB OA OC OA-=-+-即1133AP AB AC=+,因此点P与点,,A B C共面.【概括理解能力】根据空间向量的定义，概括总结空间向量共面的定义，锻炼学生的归纳概括理解能力.【教师：对学生解题过程予以肯定并给出总结】师：本节课我们要学习的知识已经全部完成.我们来一起回顾我们都学了哪些内容？（提问同学，并口述回答）【设计意图】总结本节课所学知识，让学生对空间向量及其线性运算有一个系统的理解与把握，并巩固所学知识.【课堂小结】空间向量及其线性运算1.空间向量的基本概念2.空间向量的线性运算3.共线向量定理4.共面向量定理教学评价学完本节课，学生对空间向量有了深刻认识.这堂课由平面向量引出，通过平面向量类比给出空间向量的相关概念，定义空间向量的加法、减法、数乘以及数量积，体会空间向量在数学学习中的重要性.根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处，不足之处及改进方法.应用所学知识，完成下题：如图,在ABO 中,11,42OC OA OD OB ==,AD 与BC 相交于点M .,OA OB ==a b . 【设计意图】引导学生加深理解空间向量的知识，让学生体会所学知识，通过具体知识点的演练，运用课堂教学中所学分析计算等能力，解决本题，达到数学运算、逻辑推理核心素养目标.(1)试用a 和b 表示向量OM .(2)在线段AC 上取一点E ,在线段BD 上取一点F ,使EF 过点M ,设OE OA λ=,OF OB μ=,当EF 为AD 时,11,2λμ==,此时137λμ+=.有人得出如下结论:不论,E F 在线段,AC BD 上如何变动,137λμ+=总成立,试问他的这个结论对吗?请说明理由.解析：(1)设OM m n =+a b ,则(1),AM OM OA m n m n =-=+-=-+a b a a b 1122AD OD OA OB OA =-=-=-+a b . ∵,,A M D 三点共线,∴AM 与AD 共线.故存在实数t ,使得AM t AD =,即1(1)2m n t ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭a b a b , ()11,2m n t t ∴-+=-+a b a b 1,,2m t t n -=-⎧⎪∴⎨=⎪⎩消去t ,得12m n -=-,即21m n +=.① 1144CM OM OC m n m n ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭a b a a b ,1144CB OB OC =-=-=-+b a a b,又,,C M B 三点共线,CM ∴与CB 共线.同理可得41m n +=.②联立①②,解得13,77m n ==, 故1377OM =+a b . (2)他的结论是对的.理由如下:1313,7777EM OM OE λλ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭a b a a b EF OF OE OB OA μλλμ=---=-+a b , 又EF 与EM 共线,故存在实数k ,使得EM kEF =, 即()1377k k k λλμλμ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭a b a b a b ,1,73,7k k λλμ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩消去k ,得1377λλμ-=-⋅. 整理即得137λμ+=.教学反思本节课我们学习了空间向量的定义及相关概念，空间向量的线性运算，空间向量的共线向量定理和共面向量定理以及空间向量的数量积.通过探究教学法，让学生更深刻地理解空间向量及其运算的相关知识.【以学定教】类比平面向量的定义和相关概念，线性运算以及数量积，给出空间向量的定义和相关概念，线性运算以及数量积，并利用空间向量解决有关问题.【以学论教】向量是一种重要的教学工具，是沟通代数和集合的桥梁.空间向量为处理立体几何问题提供了一个新视角，是解决空间中图形位置关系与度量问题的有效手段.在教学过程中，使学生体会认识事物的本质，体会数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力.通过学习和运用，进一步使学生体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养.。
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空间向量及其运算教学
设计教案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
教学准备
1. 教学目标
1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。
2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。
2. 教学重点/难点
重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
难点：理解空间向量基本定理；
3. 教学用具
多媒体设备
4. 标签
教学过程
教学过程设计
（一）.复习引入
1、共线向量定理：
2、共面向量定理：
3、平面向量基本定理：
4、平面向量的正交分解：
（二）、新课探究：
探究一.空间向量基本定理
2、空间向量基本定理
3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确
（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
4、应用举例析：
知识点一向量基底的判断
例1.已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗为什么
解∵a＋b，a－b，c不共面，能构成空间一个基底．
假设a＋b，a－b，c共面，则存在x，y，
使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b.
从而由共面向量定理知，c与a，b共面．
这与a、b、c不共面矛盾．
∴a＋b，a－b，c不共面．
【反思感悟】解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．
知识点二用基底表示向量
（学生独立思考，然后讲解，板演解题过程）
【反思感悟】利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出所有向量．注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则．
探究二.空间向量的直角坐标系
1. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．
单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．
选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k 的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，
3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使a＝a1i＋a2j＋a3k.
以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
【反思感悟】空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角．
课堂小结
1、师生共同回忆本节的学习内容:
(1)、空间向量的正交分解；
(2)、空间向量基本定理；
(3）、空间向量直角坐标系；
强调以下两个注意点：
2．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．
3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：
(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．
(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
课后习题
当堂检测
作业：请同学们独立完成配套课后练习题。
板书。