空间二次曲面的欧式性质

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第八节二次曲面

z
(c z1 )
2
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 的截痕
x2 y2 z2 椭球面的伸缩法： 2 2 2 1 a b c
x 2 y2 （1）将xoy面上的椭圆 2 1 2 a b
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到)
5 柱面
x 2 y2 2 1 椭圆柱面 2 a b
双曲柱面
抛物柱面母线平行于 z 轴
x2 y2 2 1 2 a b
x2 a y
母线平行于 z 轴
母线平行于 z 轴
内容小结
( p, q 同号)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方程
x5
x y 9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线平行于 yoz 面的平面圆心在(0,0) 半径为 3 的圆斜率为1的直线以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面
y x 1
高数A
c
a
x
O
b y
2. 抛物面
x2 y2 (1) 椭圆抛物面 2 2 z a b
x2 由xoz面上的抛物线： 2 z a 2 2 x y z 绕z轴旋转，得一旋转抛物面： 2 a b a 再将其沿y轴方向伸缩倍： y y, b a
即得椭圆抛物面：
x2 y2 z 2 p 2q ( p , q 同号)

结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩倍而得到平面曲线C´的平面方程为： y F ( x, ) 0

欧几里得空间的超二次曲面

2 … ) 1 ,
,
,n
, 由此
) ( P 。一乙
0 ·
v=
- ``
.` `
注意 y 是 N 中的任意向量 , 故知 p 。二各从而
J 不 n : =
I。 e +
乙·
.
言 b = I 。 e + P 二
介
砂八 a 万
沙 .
扩叮尹 .。
芍几月
b2
把其 k 阶主子式之和就用 J * 表示之。关于 I , , J : 之间的关萦 , 我们有
命题 1
助奴女宇约定 I I 。二 1 ,
。 n , : =
,
;-
·
. 几长灵认
: ,
一
,
。
协耳 J m : 一 L +l +
a l忿 a 22
a i 。、夕l气|
la 么”
..
..
..
...
..
..
..
.
场.
…… …
a ,盆
a: 么
`
“
a ,,
仁
卜
-
~ ``
矩阵 A 的第讨于 ( 或列 ) 元素组成的向量记为 a ; , 再记 b 二
, 二兔。 ) , 于是方程 ( 1 ) 可以写成
Ar
十么
其中向量
飞丈m “ 1 协厂奋里卜、乍r
·
乡动
翻日`
价
~卜
三-(1 p 。一、
称扩 k)
;
b 一 `
了、了亡 p厅亡、 ù 、了,、

第九章欧氏空间二次型(续)8

§1
欧氏空间定义与基本性质
到目前为止，我们一直都没有谈论向量的长度和夹角等度量概念。换句话说，我们在线性空间里，不讨论度量问题。本章将在实数域上线性空间的基础上，探讨向量的度量性质，增加了度量性质的实数域上线性空间就改称为欧氏空间，严格定义如下：定义 1.1 设 V 是实数域上一个线性空间，在 V 中任意两个向量之间定义了一种运
1

, 则有
1
1

1

1

1.
从而

都是单位向量，为此，我们给出下面的定义：
设 V 是一个欧氏空间，如果 V , 满足 0, 那么称单位向量
定义 1.4
1

为非
零向量的单位化向量，而把由非零向量出发，经过计算向量的长度 , 再用计算出的长度的倒数
正交或者互相垂直，记作 . 注按定义，结合推论 1.1 可见，空间 V 中的零向量与任意向量（包括自身）正交；进
一步，根据定义 1.1 中的条件 4）可见，只有零向量才与自身正交。一般而言，零向量与其它向量之间的正交是平凡的，对于两个非零向量，有：
4
定理 1.3
两个非零向量正交 ,
, 应有 t ((,,)) 0,
利用柯-布不等式，可以定义两个非零向量之间的夹角如下：定义 1.5 设 V 是一个欧氏空间，如果 , V , 满足 0, 0, 用符号 , 表
示两个非零向量之间的夹角，并且规定：
n T T T n
于任意 ( a1 , a2 , , an ) , (b1 , b2 , , bn ) , 定义通常内积如下

二次曲面的几个性质

经计算可知 R = 算得
c c R S= 因此 -= x 1 S
2
∫ ∫ ∑
2 c 0
xd ∑ = d h0
1
m 2 - n2 si n2 2 θ xd e ( D 是∑ 在 xOy 面上的投影 ) c R D
∫ ∫
=
1 c
∫ ∫ ι+
x0
R co sθ r coshm + n si n2 θ
x0 R si n θ r sin h r dr = ι m - n si n2 θ
2 4 2 2
+ 记 R=
( a b c y 0 cosθ- a b c x 0 sinθ ) m - n sin2 θ
( a2b4c 2x 0 cosθ + a4b2 c2 y 0 si n θ )2 ( a 4b2c2 y 0 co sθ- a 2b4c2 x 0 si n θ )2 4 4 2 4 4 2 + + a b z0 - a b c m + n si n2 θ m - n sin2 θ a 4b4z 2 0 (ι - 1) x2 0 y2 0 z2 0 . 其中 ι = 2+ 2 + 2 (由此可知当 ι > 1时才能引切线 ) , 经计 ι a b c x2 0 y2 0 z2 0 4+ 4 + 4 a b c , z 0 ≠ 0 m 2 - n2 sin2 2 θz0
2
2
定理 5 从点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )引双叶双曲面 x 2 - y 2+ z 2 = - 1的切线 , 此点与坐标原点 a b c 的连线必过由切点围成的平面图形的重心 (形心 ) x0 y0 z0 x 0 y0 z 0 , - , 其中 ι = 2 - 2+ 2 . ι ι ι a b c 证明方法与前面一样 , 但应注意到 - 1 <ι < 0. 对于锥面 ,切点不能围成封闭域 , 所以形心不存在 .

几种常用的二次曲面与空间曲线(1)

以 z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线平行于 z 轴的平面
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
的交线三个坐标面的投影。
解：1. x 2 y2 的母线 L//z轴，则它就是交线在
xoy平面的投影柱面，因此交线在xoy面的投影曲线：
C :
x 2y2
它是xoy面上的一条抛物线。
双曲抛物面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方程
x5
平面解析几何中空间解析几何中平行于 y 轴的直线平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
几种常用的二次曲面与空间曲线
一、旋转曲面二、柱面三、几种常用的空间曲线
一、旋转曲面
定义1. 一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴.
例如 :
下面我们重点讨论母线在坐标面,轴是坐标轴的
旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0) , 过此点作 x

二次曲面

(1) 平面
y x
(2) 圆柱面
(3) 抛物柱面
(4) 椭圆柱面
x 2 y 2 R2
x 2 2 py ( p 0)
x2 y2 2 1 2 a b
空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
[2] 空间曲线的参数方程
（1）球面
2 2 2
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
2
x y z 1
x y z
2 2Biblioteka x2 y2 z2 2 2 1 2 a a c
[2] 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 xoy面上曲线C .
空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于 xoy 的投影柱面投影柱面的特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
旋转椭球面与椭球面的区别：与平面 z
z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
2 2 a 2 2 2 x y ( c z 1) 2 . 截面上圆的方程 c z z1
( 2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a

高数课件30空间几何5二次曲面

聚焦和散射：二次曲面可以用于聚焦和散
射光线
成像和投影：二次曲面可以用于成像和投
影
光学器件设计：二次曲面可以用于设计光学器件，如透镜、
反射镜等
二次曲面在其他领域的应用
建筑设计：二次曲面在建筑设计中的应用广泛，如悉尼歌剧院、北京鸟巢等工业设计：二次曲面在工业设计中的应用，如汽车车身设计、飞机机翼设计等
二次曲面在微分几何对象的
微分性质
二次曲面：在空间中具有二次方程的曲面
应用：二次曲面在微分几何中常用于描述曲面的性质，如曲率、挠率
等
例子：二次曲面在微分几何中的应用包括球面、椭球面、
抛物面等。
二次曲面在几何光学中的应用
反射和折射：二次曲面可以模拟光线的反射和折射现象
二次曲面的投影作图法
投影法：将二次曲面投影到平面上，得到投影曲线
投影曲线：二次曲面的投影曲线是二次曲线
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了二次曲面的性质
投影曲线的作图方法：根据二次曲线的性质，选择合适的作图方法
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了二次曲面的性质
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了二次曲面的性质
机遇：二次曲面在数学建模中的广泛应用
机遇：二次曲面在数学建模中的创新和优化
二次曲面与其他数学知识的联系
第五章
二次曲面与线性代数的联系
二次曲面的方程可以表示为线性代数中的二次型二次曲面的切平面可以用线性代数中的向量和矩阵来表示二次曲面的曲率可以用线性代数中的矩阵和向量运算来计算二次曲面的投影可以用线性代数中的矩阵和向量运算来计算
二次曲面的几何变换作图法
平移变换：将二次曲面沿某个方向移动一定距离旋转变换：将二次曲面绕某个点旋转一定角度缩放变换：改变二次曲面的大小和形状反射变换：将二次曲面沿某个轴线进行反射复合变换：将上述几种变换组合使用，实现更复杂的作图效果

第四讲欧氏空间和二次型

第4章欧氏空间和二次型§4.1 内积和欧氏空间§4.1.1 内积定义在二维和三维的几何空间中，我们用向量的内积（或称点积）来表示向量的长度和夹角。

设123123(,,),(,,)a a a b b b αβ==，定义内积：||||cos ,αβαβαβ⋅=〈〉内积的坐标表示：112233(,)a b a b a b αβ=++ 易于内积定义推广到nR向量长度：||α=两向量夹角：cos ,||||αβαβαβ⋅〈〉==. 为了定义线性空间中向量的长度等，先要引进内积的定义。

定义1 设V 是实数域R 上的一个线性空间. 如果在V 上定义了一个二元实函数αβ(,)，任取 ,,,V k R αβγ∈∈，它满足● 对称性 (,)(,)αββα=； ● 线性性 (,)(,)k k αβαβ=； (,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；● 正定性 (,)0αα≥，且当且仅当0α=时(,)0αα=，则称函数(,)αβ为向量,αβ的内积。

在实数域R 上，定义了内积的的线性空间V 称为欧几里得（Euclid ）空间（简称欧氏空间），记为E(R)。

内积的基本性质（1）(0,)0β=；（2）(,)(,)k k αβαβ=；（3）(,)(,)(,)αβγαβαγ+=+；（4）1111(,)(,)r s r si ijji jiji j i j u v u v αβαβ=====∑∑∑∑.注: (1) (0,)(0,)0(,)0βαβαβ===; (2) (,)(,)(,)(,)k k k k αββαβααβ===; （4）112211111(,)(,)(,)(,)r s s ssi ijjjjjjr r j j i j j j j u v u v u v u v αβαβαβαβ======+++∑∑∑∑∑11(,)r si jiji j u v αβ===∑∑例 4.1.1 对于实数域上任何一个n 维线性空间V ，取定V 的一组基12,,,n ααα⋯。

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空间二次曲面的欧式性质
对称性，范围，形状，渐进面
二次曲面
二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面形状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
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（3）用坐标面 yoz ( x 0，与曲面相截 )
均可得双曲线.
单叶双曲面图形
z
o x
y
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二、双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
双叶双曲面 z
o x
y
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双曲面及其渐进锥面
x y z 双叶： 2 2 2 1 a b c x2 y2 z2 渐进锥面： 2 2 2 0 a b c x2 y2 z2 单叶： 2 2 2 1 a b c
பைடு நூலகம்
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双曲面
一、单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c
（1）用坐标面 xoy ( z 0)与
曲面相截截得中心在原点
O(0,0,0) 的椭圆
2 y2 x2 2 1 a b z 0
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与平面 z z1的交线为椭圆.
x
机动目录
y
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z
双曲抛物面
x
0
y
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椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 y2 z2 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c
2 2 x z z 轴旋转而成．由椭圆绕 2 1 2 c a y 0 x2 y2 z2 2 1 方程可写为 2 a c
旋转椭球面与椭球面的区别：与平面 z
2
2
2
z
机动
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结束
椭球面与平面 z z1的交线为椭圆
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c z ) ( c z 2 1 1) 2 c c z z1 | z | c
1
同理与平面 x x1和 y y的交线也是椭圆 . 1 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
2
2
2
(2)范围：
x a,
y b,
z c
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x y z 为正数) 1 ( a , b , c a2 b2 c2 与 z z1 ( z1 c ) 的交线为椭圆： (3) 形状:
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椭球面
z
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
截口法
用z = h截曲面用y = m截曲面
c
o
b
y
用x = n截曲面
x
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a
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x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
• (1) 对称性 • 椭球面关于各坐标平面、各坐标轴、原点都是对称的
2 x2 y2 z1 当 z1变动时，这种椭圆 2 2 1 2 b c a z . 的中心都在轴上 z z 1 （2）用坐标面 xoz ( y 0与曲面相截 )
截得中心在原点的双曲线.
x2 z2 2 2 1 a c y 0
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实轴与 x 轴相合，虚轴与 z 轴相合.
在平面上，双曲线有渐进线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即： x 双曲面和锥面任意接近。
2 2 2
z
o
y
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双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z a b
( a , b>0)
z
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z1( | z1 | c ) 的交线为圆.
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2 2 a 2 2 2 x y ( c z 1) 2 . 截面上圆的方程 c z z1
( 2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a
方程可写为 x 2 y 2 z 2 a 2 .