(完整版)初中数学几何证明经典试题(含答案),推荐文档
C
E
G P 初 中 几 何 证 明 题
经 典 题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）
.如下图做 GH ⊥AB,连接 EO 。由于 GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG, EO GO CO
即△GHF ∽△OGE,可得
=
=
,又 CO=EO ，所以 CD=GF 得证。
GF GH CD
A
D
O
F
B
2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） A
D
.如下图做 GH ⊥AB,连接 EO 。由于 GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG, EO GO CO
即△GHF ∽△OGE,可得
=
=
,又 CO=EO ，所以 CD=GF 得证。
GF GH CD
B
C
.如下图做 GH ⊥AB,连接 EO 。由于 GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG, EO GO CO
即△GHF ∽△OGE,可得
=
=
,又 CO=EO ，所以 CD=GF 得证。
GF GH CD
A 2
D 2 A 1
D 1
B 1
C 1
B 2
C 2
F E N
C
D
A D
3、如图，已知四边形 ABCD 、A 1B 1C 1D 1 都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2 分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点．
求证：四边形 A 2B 2C 2D 2 是正方形．（初二）
B
C
4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是 AB 、CD 的中点，AD 、BC
的延长线交 MN 于 E 、
F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．
经 典 题（二）
A
B
M
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且 OM ⊥BC 于 M ．
（1）
求证：AH ＝2OM ；
A
（2） 若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
O
· H E
G
E
C
O ·
B D
F
2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OA ⊥MN 于 A ，自 A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及 D 、E ，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
M
P A
Q N
3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC 、DE ，设 CD 、EB 分别交 MN
于 P 、Q ．
求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的 AC 和 BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG ，点 P 是 EF 的中点．
求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半．（初二）
D
E
F
A
Q
B
经 典 题（三）
1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与 CD 相交于 F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）
A
D
E
G
C
P
B
2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC 交DA 延长线于
F．求证：AE＝AF．（初二）
3、设P 是正方形ABCD 一边BC E 求证：PA＝PF．（初二） A D
F
B P
C E
4、如图，PC 切圆O 于C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线PO 相交
于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
A
P B O D
E
F
经典题（四）C
A
1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝
5．求：∠APB 的度数．（初二）
P
B C
2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
A D
P
B C
3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
P
P
P
4、平行四边形 ABCD 中，设 E 、F 分别是 BC 、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P ，且AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）
A D
F
经 典 难 题（五）
P
B
E C
A
1、 设 P 是边长为 1 的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，
求证：
≤L ＜2．
B
C
2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA ＋PB ＋PC 的最小值．
A D
B C
3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．
A
D
B C
A
D
B
C
E
D
4
、如图，△ABC 中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E 分别是AB、AC 上的点，
∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED 的度数．
A
B C
经典题（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,
EO GO CO
即△GHF∽△OGE,可得= = ,又CO=EO，所以CD=GF 得证。
GF GH CD
2..如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,
EO GO CO
即△GHF∽△OGE,可得= = ,又CO=EO，所以CD=GF 得证。
GF GH CD
3.如下图连接 BC1和AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与A2E 并延长相交于 Q 点，
连接 EB
2并延长交 C
2
Q 于 H 点，连接 FB
2
并延长交 A
2
Q 于 G 点，
由 A
2
E= 1A1B1= 1B1C1= FB2，EB2= 1AB= 1 BC=F C1，又∠GFQ+∠Q=900 和
2 2 2 2
∠GE B2+∠Q=900,所以∠GE B2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2，
可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，
又∠GFQ+∠HB2F=900 和∠GFQ=∠EB2A2 ,
从而可得∠A2B2 C2=900 ，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和QM，所以可得
∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
经典题（二）
1.(1)延长 AD 到 F 连 BF，做 OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接 OB，OC,既得∠BOC=1200，
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。
AD AC CD 2FD FD
由于= = = = ，
AB AE BE 2BG BG
由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。
EG + FH 4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ= 。
2
由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。
AI + BI AB
从而可得PQ= = ，从而得证。
2 2
经典题（三）
1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B，G，D 在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。
推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC 为等边三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF 。
2. 连接 BD 作 CH ⊥DE ，可得四边形 CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH ，
可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，
又∠FAE=900+450+150=1500，
从而可知道∠F=150，从而得出 AE=AF 。
3. 作 FG ⊥CD ，FE ⊥BE ，可以得出 GFEC 为正方形。令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。
X
tan ∠BAP=tan ∠
EPF=
= Y Y - Z X + Z
，可得 YZ=XY-X 2+XZ ，
即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出△ABP ≌△PEF ， 得到 PA ＝PF ，得证 。
经典难题（四）
1.顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ 是正三角形。
可得△PQC 是直角三角形。
所以∠APB=1500 。
2.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使AE∥DC，BE∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP 共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
3.在BD 取一点 E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：
BE AD
= ，即AD?BC=BE?AC，①
BC AC
又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得
AB DE
= ，即AB
?CD=DE?AC，②
AC DC
由①+②可得: AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
4. 过D 作AQ⊥AE ，AG⊥CF ，由S
AE PQ
=AE PQ
，由AE=FC。
2 2 A D E
=
S
ABCD = S
2 D F C
，可得：
可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。
经典题（五）
1.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要AP，PE，EF 在一条直线上，
即如下图：可得最小L= ；
（2）过P 点作BC 的平行线交 AB,AC 与点D，F。
由于∠APD>∠ATP=∠ADP，
推出AD>AP ①
又BP+DP>BP ②
和PF+FC>PC ③
又DF=AF ④
由①②③④可得：最大L< 2 ；
由（1）和（2）既得：≤L＜2 。
2.顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。
1
+ ( 3 + 1)2 4 2
2 +
3 ( 3 + 1)2 2
既得 AF=
=
=
=
= 2 ( 2
+ 1)
=
6 + 2 。 2
3. 顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：
既得正方形边长 L = (2 + 2
)2 + ( 2 )2 a = 5 + 2 2 a 。 2 2
4 + 2 3
2
3
4.在AB 上找一点 F，使∠BCF=600 ，
连接EF，DG，既得△BGC 为等边三角形，
可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ，
得到BE=CF ，FG=GE 。
推出：△FGE 为等边三角形，可得∠AFE=800 ，
既得：∠DFG=400 ①又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400 ② 推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ，
从而推得：∠FED=∠BED=300 。
“”
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At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!