人教版数学高一学案几何概型

3．3.1几何概型1.了解几何概型与古典概型的区别.2.理解几何概型的定义及其特点.3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．知识点一几何概型的含义1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．思考几何概型与古典概型有何区别？答几何概型与古典概型的异同点类型异同古典概型几何概型不同点一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有有限个一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个相同点每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).思考计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一 与长度有关的几何概型例1 取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？解 如图，记“剪得两段的长都不小于1m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13.反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 跟踪训练1 某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 B解析 如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.题型二 与面积有关的几何概型例2 射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 解 如图，记“射中黄心”为事件B .因为中靶点随机地落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×1222cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×12.22cm2的黄心内时，事件B发生，所以事件B发生的概率P(B)＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.反思与感悟解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．解如图所示，区域Ω是长30m、宽20m的长方形．图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．所以P(A)＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率约为0.31.题型三与体积有关的几何概型例3已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于h2的概率．解如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率为P ＝78.反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率． 解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.题型四 与角度有关的几何概型例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．于是，记事件B＝{射线OA落在∠xOT内}．因为∠xOT＝60°，所以P(B)＝60°360°＝16.反思与感悟当涉及射线的运动、扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．解因为CM是∠ACB内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB的大小，即为90°，所以作AC′＝AC，且∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.如图，当CM在∠ACC′内部的任意一个位置时，皆有AM＜AC′＝AC，即P(AM＜AC)＝67.5°90°＝34.转化与化归思想例5把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．分析将长度为a的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．解设将长度为a的木棒任意折成三段的长分别为x，y，a－x－y，则(x，y)满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤a，0≤y≤a，0≤x＋y≤a，它所构成的区域为图中的△AOB.设事件M＝{能构成一个三角形}，则当(x，y )满足下列条件时，事件M 发生．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a －x －y ，x ＋a －x －y ＞y ，y ＋a －x －y ＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a 2，y ＜a2，x ＜a 2，它所构成的区域为图中的阴影部分， 故P (M )＝S 阴影S △AOB ＝12×⎝⎛⎭⎫a 2212×a 2＝14.故满足条件的概率为14.解后反思 解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型．1．在区间上任取一个数，则此数不大于2的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.79 答案 C解析 此数不大于2的概率P ＝区间[0，2]的长度区间[0，3]的长度＝23.2．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12 答案 A解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P＝43π×23－43π×1343π×23＝78.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是()A.13 B.23C.43D．无法计算答案C解析在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A，则事件A构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P(A)＝S22＝S4＝13，解得S＝43.4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是()A.112 B.38 C.116 D.56答案C解析由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝580＝116.5．在上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．答案34解析由已知得，圆心(5,0)到直线y＝kx的距离小于半径，∴|5k|k2＋1<3，解得－34<k<34，由几何概型得P＝34－⎝⎛⎭⎫－341－(－1)＝34.1.几何概型适用于试验结果是无限多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).一、选择题1．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为()A.116 B.18 C.14 D.12答案C解析正方形的面积介于36cm2与81cm2之间，所以正方形的边长介于6cm与9cm之间，线段AB的长度为12cm，故所求概率为9－612＝14.2．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58 C.38 D.310答案B解析至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.3．如图，在一个边长分别为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边长分别为a3，a2，且高为b.现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是()A.710B.57C.512D.58 答案 C解析 S 梯形＝12(a 3＋a 2)b ＝512ab ，S 矩形＝ab .所以P ＝S 梯形S 矩形＝512.4．如图，两个正方形的边长均为2a ，左边正方形内四个半径为a2的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a 的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P 1，P 2，则P 1，P 2的大小关系是( )A ．P 1＝P 2B ．P 1＞P 2C ．P 1＜P 2D ．无法比较答案 A解析 由题意知，P 1＝1－4×π×⎝⎛⎭⎫a 224a 2＝1－π4，P 2＝1－πa 24a 2＝1－π4，∴P 1＝P 2. 5．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为( ) A ．1－3π12B ．1－3π24C.3π12D.3π24答案 B解析 正三角形ABC 的边长为4，则其面积为4 3.分别以A ，B ，C 为圆心，1为半径在△ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为43－3×12×π3×12＝43－π2，故所求概率P ＝43－π243＝1－3π24.6．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π4答案 A解析 由几何概型知所求的概率P ＝S 图形DEBF S 矩形ABCD ＝2×1－14×π×12×22×1＝1－π4.7．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈，那么任取一点x 0使f (x 0)＞0的概率为( ) A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 答案 C解析 如图，在上函数的图象和x 轴分别交于两点(－1,0)，(2,0)，只有x 0∈时，f (x 0)＞0，由题意，知本题是几何概型问题．记事件A 为“任取一点x 0，使f (x 0)＞0”，事件A 的区域长度是区间的长度和，全体基本事件的长度是的区间长度．由几何概型的概率计算公式，得P (A )＝4＋310＝0.7.故选C.二、填空题8．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________． 答案 0.005解析 由几何概型知P ＝2400＝0.005.9．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他在一小时内的任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．答案 6解析 由题意知，某人在一小时内看节目时，看到广告的概率为1－910＝110，则该台每小时约有60×110＝6(分钟)的广告． 10．设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点B 与点A 连接，则弦长超过半径的2倍的概率是________．答案 12解析 如图，在圆O 上有一定点A ，任取一点B 与点A 连接，且弦长超过半径的2倍，即为∠AOB 的度数大于90°，而小于270°.记“弦长超过半径的2倍”为事件C ，则事件C 表示的范围是∠AOB ∈(90°，270°)．由几何概型的概率公式，得P (C )＝270°－90°360°＝12. 11．在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．答案 1－π4解析 如图，要使图中点到O 的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率P ＝2－π22＝1－π4.三、解答题12．在转盘游戏中，假设有红、绿、蓝三种颜色．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问：若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为13，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)解因为赢的概率为15.所以红色所占角度为周角的15，即α1＝360°5＝72°.同理，蓝色占同角的13，即α2＝360°3＝120°，所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.将α3分成四等份，得α3÷4＝168°÷4＝42°，即每个绿色扇形的圆心角为42°.13．如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解弦长不超过1，故OQ≥32，因为Q点在直径AB上是随机的，设事件A为“弦长长度超过1”，由几何概率的计算公式得，P(A)＝32×22＝32.所以其对立事件A“弦长不超过1”的概率为P(A)＝1－P(A)＝1－32.。