天津市河西区2020-2021学年高二上学期期末数学试题
天津市河西区2020至2021学年高二上学期期中数学试题及答案解析
则 PF PO 2 r 1 r 1 FO 4，
根据双曲线得定义可得圆心 P 在双曲线的一支上，
故选：B.
10．
6 7
【分析】
根据经过两点的直线的斜率公式，代入 A、B 两点的坐标加以计算，可得直线 l 的斜率．
17．在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，点 E，F 分别在 BB1 ，DD1 上，且 AE A1B ，AF A1D ．
（1）求证： A1C 平面 AEF；
（2）当 AD 3 ，AB 4 ，AA1 5时，求平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成二面角的余弦值．
18．已知椭圆 C ：
（）
A． x2 y2 1 4 12
C． x2 y2 1 48 16
B． x2 y2 1 12 4
D． x2 y2 1 16 48
6．已知直线 l1 ： x 2ay 1 0 与直线 l2 ： (3a 1)x ay 1 0 平行，则 a （ ）
A． 0
B． 0 或 1 6
C． 1 6
x2 a2
y2 b2
1（a
b 0 ）的焦距为 2 ，离心率为
2. 2
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）经过椭圆的左焦点 F1 作倾斜角为 60 的直线 l ，直线 l 与椭圆相交于 A ， B 两点，
求线段 AB 的长.
试卷第 3页，共 3页
………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
天津市河西区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷 Word版含解析
河西区2020—2021学年度第一学期高二年级期末质量调查数学试卷一､选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 数列1，-12，4-，14，…的一个通项公式为（ ） A. 112n -⎛⎫-⎪⎝⎭B. 2n⎛- ⎝⎭C. ()112n n -⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D. ()1112n n -+⎛-⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】可知该数列是一个以1为首项，2-为公比的等比数列，即可求出通项公式. 【详解】根据数列可知，该数列是一个以1为首项，所以该数列的通项公式为()()()11121+11111222n n n n n ----⎛⎛⎫⎛⨯-=-⨯-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.2. 设函数2()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A. 2.1 B. 0.21 C. 1.21 D. 0.121【答案】A 【解析】 【分析】根据平均变化率的公式求解即可.【详解】 1.110.1x ∆=-=，22(1.1)(1) 1.11(11)0.21y f f ∆=-=---= 所以函数2()1f x x =-在区间[1,1.1]上的平均变化率为(1.1)(1)0.212.10.1y f f x x ∆-===∆∆.故选：A3. 已知数列{}n a 满足12a =，112n n a a -=-，则5a =（ ）A.65B.76C.54D.56【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系依次求出2345,,,a a a a 即可.【详解】12a =，112n n a a -=-，∴211322a a =-=，321423a a =-=，431524a a =-=，541625a a =-=. 故选：A.4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式与求和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得到公差．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=， 联立11272461548a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得4d =. 故选：C.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的简单应用，注意计算，属于基础题．5. 已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图，则对于函数()y f x =的描述正确的是（ ）A. 在(),0-∞上为减函数B. 在0x =处取得最大值C. 在()4,+∞上为减函数D. 在2x =处取得最小值 【答案】C 【解析】分析：根据函数f （x ）的导函数f′（x ）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可． 详解：根据函数f （x ）的导函数f′（x ）的图象可知： f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0当x ＜0时，f′（x ）＞0，f （x ）递增；当0＜x2时，f′（x ）＜0，f （x ）递减； 当2＜x ＜4时，f′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＞4时，f′（x ）＜0，f （x ）递减． 可知C 正确，A 错误；由极值的定义可知，f （x ）在x=0处函数f （x ）取到极大值，x=2处函数f （x ）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B 、D 错误． 故选C ．点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x ）＞0得增区间，由f′（x ）＜0得减区间，由f′（x ）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x ）的符号是否发生改变. 6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 6【答案】C【解析】 【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列{}n a ，根据7381S =即可求出. 【详解】设顶层的灯数是1a ，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列{}n a ， 由题可得()7171238112a S -==-，解得13a =，故塔的顶层的灯数是3. 故选：C. 7. 函数()212cos x y e x x -+=-+的导数为（ ）A. ()()21222sin (21)cos x y ex x x x x -+⎡=-+--'⎣B. ()()21222cos (21)sin x y ex x x x x -+⎡⎤'=--+--⎣⎦C. ()()21222sin (21)cos x y e x x x x x -+⎡⎤'=--+--⎣⎦D. ()()21222cos (21)sin x y ex x x x x -+⎡⎤'=-+--⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由导数运算法则可求出. 【详解】()212cos x y e x x -+=-+，()()()212212cos +cos x x e x x e x y x -+-+''⎡⎤-+-+'⎣∴⎦= ()()()2122122cos sin 2+1x x e x x e x x x -+-+=--+--+⋅-()()()2122cos +2+1si 2n x e x x x x x -+⎡⎤=--+--+⎣⎦()()21222cos (21)sin x e x x x x x -+⎡⎤=--+--⎣⎦.故选：B.8. 已知等比数列的首项为-1，前n 项和为n S ，若1053132S S =，则公比q =（ ）A. 2B. -2C.12D. 12-【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列前n 项和公式，可求得105,S S 表达式，结合题干条件，即可求得q 的值.【详解】当公比1q =时，1052S S =，不满足题意，当1q ≠时，101011q S q -=-，5511q S q-=-， 所以1051055131111321q S q q q S q--==+=--，解得12q =-， 故选：D9. 已知函数()ln ,111,14x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，()g x ax =则方程()()g x f x =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）． A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,e 4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】作出函数()f x 与()g x 的图象,讨论交点个数可求出a 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象,见下图. 若()g x 与()ln 1y x x =>相切,求导得1y x'=,设切点为()00,x y ,则00ln y x =,切线斜率为01x ,即切线方程为:()0001ln y x x x x -=-,该切线过原点,则()00010ln 0x x x -=-,解得0e x =,此时1e a =,显然()1eg x x =与()f x 的图象只有一个交点,即方程()()g x f x =只有一个实根;若11 4ea≤<,直线()g x与()f x的图象在1x≤时无交点,在1x>时有2个交点,符合题意; 若14a<<,直线()g x与()f x的图象在1x≤时有1个交点,在1x>时有2个交点,不符合题意;若0a≤,直线()g x与()f x的图象在1x≤时有1个交点,在1x>时无交点,不符合题意;若1e>a,,直线()g x与()f x的图象至多有一个交点,不符合题意.所以只有114ea≤<符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的关系,考查了曲线的切线方程的求法,利用数形结合的数学方法是解决本题的关键,属于难题.二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.10. 在等差数列{}n a中，n S为其前n项的和，若412S=，840S=，则16S=________. 【答案】144【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式求出首项和公差，即可求解.【详解】设等差数列的公差为d，则4181434+122878+402S a dS a d⨯⎧==⎪⎪⎨⨯⎪==⎪⎩，解得13,12a d==，163161516+114422S ⨯∴=⨯⨯=.故答案为：144. 11. 函数ln ()x f x x=，其导函数为函数()'f x ，则()f e '=________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据()f x 解析式，可求得()'f x 解析式，代入数据，即可得答案.【详解】因为ln ()(0)x f x x x=≠，所以2221ln (ln )ln 1ln ()x xx x x x x x f x x x x ⋅-''--'===， 所以21ln ()0ef e e-'==， 故答案：012. 已知数列{}n a 的通项公式21n a n n=+，n S 为其前n 项的和，则99S =________. 【答案】99100【解析】 【分析】根据数列{}n a 的通项公式21111n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求解. 【详解】因为数列{}n a 的通项公式21111n a n n n n ==-++， 所以99111111991122399100100100S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故答案：9910013. 函数3()3f x x x =-的单调递增区间是________. 【答案】()1,1- 【解析】 【分析】求出函数的导数，令()0f x '>即可求出. 【详解】3()3f x x x =-，()233f x x '∴=-，令()0f x '>，即2330x ->，解得11x -<<，()f x ∴的单调递增区间是()1,1-.故答案为：()1,1-. 14. 已知数列{}n a 的通项公式为3217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取得最小值时n 的值为_________. 【答案】8 【解析】 【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出n S 的单调性可求出. 【详解】令30217n n a n -=≥-，解得3n ≤或172n ≥，∴当3n ≤时，0n a ≥，n S 单调递增，当47n ≤≤时，0n a <，n S 单调递减， 当8n ≥时，0n a >，n S 单调递增， 所以n S 取得最小值时n 的值为8. 故答案为：8.【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断n S 的单调性.15. 将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题可得该方盒的容积()32424+36V x x x x =-，03x <<，利用导数判断其单调性可求出最值.【详解】由题可得03x <<，可知该方盒的底面是一个边长为62x -， 则该方盒的容积()()23262424+36V x x x x x x =-⋅=-，03x <<，()()()21248+361213V x x x x x '∴=-=--，则当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 单调递增， 当()1,3x ∈时，()0V x '<，()V x 单调递减，∴当1x =时，()()max 116V x V ==，故当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为1. 故答案为：1.三､解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知函数31()443f x x x =-+. （1）求()f x 的极值； （2）求()f x 在[]0,3上的最值. 【答案】（1）极大值为283，极小值为43-；（2）最大值为4，最小值为43-. 【解析】 【分析】（1）求导，解对应的不等式，可得函数的单调性，从而可知函数的极值. （2）根据（1）的结果，再计算端点值，比较大小，即可得出最值. 【详解】（1）()31443f x x x =-+，()()()2422f x x x x =-=+-'令()0f x '=，解得2x =-或2x =，当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：故当2x =-时，()f x 取得极大值，()23f -=；当2x =时，()f x 取得极小值，()8428433f =-+=-；（2）由（1）可知()f x 的极大值为283，极小值为43-， 又()04f =，()391241f =-+=，因为4143-<<，所以()f x 在[]0,3上的最大值为4，最小值为43-. 【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求函数的极值与闭区间上的最值，设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，求()f x 在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数()y f x =在(),a b 内的极值；②将函数()y f x =)的各极值与端点处的函数值()(),f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 17. 已知函数()()ln 2xf x e x =-+.（1）求()f x 在()()0,0f 处的切线方程； （2）求证：()0f x >. 【答案】（1）11ln 22y x =+-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导函数，由()0k f '=，可得答案.（2）求出()f x 的导函数，讨论出函数()f x 的单调性，得出其最小值，可证明. 【详解】（1）解：1()2xf x e x '=-+， 当0x =时，()102k f '==，又()01ln 2f =-，所以切线方程为()11ln 22y x --=，即11ln 22y x =+-. （2）解：1()2x f x e x '=-+在区间()2,-+∞上单调递增， 又()10f '-<，()00f '>，故()0f x '=在区间()2,-+∞上有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-，当()02,x x ∈-时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值.由()00f x '=，得0012x e x =+，()00ln 2x x +=-， 故()()20000011()022x f x f x x x x +≥=+=>++. 【点睛】本题考查求函数在某点出的切线方程和利用导数证明不等式.解答本题的关键是由1()2x f x e x '=-+在区间()2,-+∞上单调递增，得出()0f x '=在区间()2,-+∞上有唯一实根0x ，从而得出()f x 的单调区，即()()20000011()22x f x f x x x x +≥=+=++，属于中档题. 18. 对于数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 是前n 项和，且1(1)n n n S n S a n +-+=++，111a b ==，132,n n b b n N *+=+∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令2()(1)n n n a n c n b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =，1231n n b -=⋅-;（2）11525443n n n T -+=-⋅． 【解析】试题分析: （1）先根据和项与通项关系，将条件转化为项之间递推关系：121n n a a n +=++，再根据叠加法求数列{}n a 的通项公式；而求{}n b 通项公式，需变形构造一个等比数列{1}n b +，这是由于132n n b b +=+可变形得()1131n n b b ++=+，然后通过求等比数列通项公式，转化求{}n b 通项公式，（2）由于113n n n c -+=，所以利用错位相减法求和，求和时注意错位相减，减式中项的符号变化，合并时项数的确定，最后结果要除以1.q - 试题解析:（1））因为()11n n n S n S a n +-+=++，所以121n n a a n +=++， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()212331n n =-+-+++ ()2112n n -+= 2n =，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =，由132n n b b +=+，可得()1131n n b b ++=+，所以数列{1}n b +是首项为112b +=，公比为3的等比数列，所以1123n n b -+=⋅，所以数列{}n b 的通项公式为1231n n b -=⋅-．（2）由（1）可得()21121233nn n n n n c n --++==⋅， 所以01221234133333n n n n n T --+=+++++ ①， 0013223341333333n n n n n T --⨯+=+++++ ②， ②-①得122111111111115253261613333322313n n n n n n n n n T ------+++⎛⎫=++++⋯+-=+-=- ⎪⋅⎝⎭-， 所以11525443n n n T -+=-⋅．。
天津市四校(四十七中,一百中学)2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题解析高中数学
由 ，则 在 上单调递增.
所以函数 的零点所在的大致区间是
故选：B
5.已知扇形 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形 的周长为（）
A.32B.24C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据扇形面积和弧长公式即可求解.
【详解】圆心角 ，扇形面积 ，
即 ，得半径 ，
所以弧长 ，
故扇形 的周长 .
即实数m的取值范围为 .
故选：D.
二、填空题（5/30）
10.函数 的单调递减区间是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.
【详解】 ，
，
解得 或 .
函数 的开口向上，对称轴是 轴，
在 上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知 的单调递减区间是 .
故答案为：
【详解】对于①，设 ，有 ，
故函数 是奇函数，且易知函数 在R上单调递增，故①正确；
对于②，当 时，不等式为 ，解集为R，
当 时，有 ，解得 ，
综上： ，②错误；
对于③， 中， ，解得 ，③错误；
对于④，若 为偶函数，则 ， ，④错误.
综上：只有①正确.
故选：A
8.若 ，且 ，则 的最小值为（）
A 8B.3C.2D.
故选：D
6.将函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到 ，再整体代入即可求得对称轴方程.
【详解】将函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
天津市二十五中学2020-2021学年度高二第一学期期末测试数学试题
数学试卷第1页（共9页）天津市第二十五中学2020—2021学年度第一学期期末考试模拟试卷高二年级数学学科2021.01本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）数列{}n a 的通项公式是22n n a n-=，则5a =（）．（A ）165（B ）4（C ）185（D ）6（2）直线3210x y +-=的一个方向向量是（）．（A ）23-(，)（B ）2 3(，)（C ）3 2-(，)（D ）3 2(，)（3）若两直线1:220l mx y m ++-=，2:4(2)20l x m y +-+=互相平行，则m 等于（）．（A ）2-（B ）4（C ）2-或4（D ）0（4）已知双曲线222210 0y x a b a b -=>>(，)的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为（）．（A（B）2（C）2（D（5）圆221:9C x y +=与圆222:68110C x y x y ++--=的位置关系是（）．（A ）相交（B ）外切（C ）内切（D ）外离（6）经点01P -(，)作直线l ，若直线l 与连接12 2 1A B -(，)，(，)的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）．数学试卷第2页（共9页）（A ）[0 ][ 44π3ππ) ，（B ）[0 ]4π，（C ）[ 43ππ)，（D ）[0 ][ 44π3ππ] ，（7）已知数列{}n a满足*110 ()n a a n +==∈N ，，则2020a 等于（）．（A ）3-（B ）0（C）（D ）3（8）若{ }，，a b c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）．（A ） +-，，b c b b c （B ） +-，，a a b a b （C ） +-，，a b a b c（D ） +++，，a b a b c c备1：有以下命题：①如果向量 a b ，与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 a b ，的关系是不共线；② O A B C ，，，为空间的四个点，且向量 O A O B O C，，不构成空间的一个基底，则点 O A B C ，，，一定共面；③已知{ }a b c ，，是空间的一个基底，则向量 +-，，a b a b c也是空间的一个基底.其中正确的命题是（）．（A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②①②（9）已知抛物线21:20C y px p =>()的焦点F 恰好与双曲线22222:10 0x y C a b a b-=>>(，)的右焦点重合，且两曲线交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为（）．（A1（B）12（C）2+（D（9）备1：已知双曲线2222:10 0x y C a b a b-=>>(，)与抛物线220y px p =>()的交点为 A B ，，A B 、连线经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率（）．（A1（B ）3（C）（D ）2数学试卷第3页（共9页）（9）备2：双曲线222210 0y x a b a b-=>>(，)与抛物线218y x =有一个公共焦点F ，双曲线上过点F且垂直于实轴的弦长为3，则双曲线的离心率（）．（A ）2（B（C）2（D）3（10）与圆221x y +=及228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在（）．（A ）椭圆上（B ）双曲线的一支上（C ）抛物线上（D ）圆上（10）备1：与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切的动圆的圆心在（）．（A ）椭圆上（B ）双曲线的一支上（C ）抛物线上（D ）圆上（10）备2：线段AB 的端点B 的坐标是01-(，)，端点A 在抛物线212x y =上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为（）．（A ）220x y -=（B ）280x y -=（C ）28210x y --=（D ）28210x y -+=第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．（11）已知 4 1 2 1 32 a b c a b b c x y z ==--=-⊥(，，)，(，，)，(，，)，， 则c =．（12）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交点为M .设11111 a b c A B A D A A === ，，，若1a b c B M x y z =++，则x y z ++=．数学试卷第4页（共9页）（12）备1：如图，在四面体OABC 中， a b c OA OB OC ===，，，点M 在OA 上，且2 OM MA N =，为BC 中点，若a b c MN x y z =++，则x y z ++=．（13）在等差数列{}n a 中，135792354a a a a a ++++=()()，则此数列的前10项和10S =．（13）备1：设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若65911a a =，则119SS =．（13）备2：在等差数列{}n a 中，1010010010S S ==，，则110S =．（14）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于 A B ，两点.若||3||A F B F =，则l 的方程为．（14）备1：设抛物线2:20C y px p =>()的焦点为F 的直线交抛物线于点 A B ，，交其准线l 于点C ，若||2||B C B F =，且||3A F =，则此抛物线的方程为．（15）椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于 A B ，两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为2，则ab的值为．（15）备1：过椭圆2222:10 0x y C a b a b+=>>(，)右焦点的直线0x y +=交椭圆于A B ，两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率12，则椭圆C 的标准方程为．数学试卷第5页（共9页）三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分评卷人（16）（本小题满分14分）（Ⅰ）已知点34A-(，)和点5 8B (，)，求过线段AB 中点且与AB 所在直线垂直的直线l 的方程；（Ⅱ）求过直线3210x y -+=和340x y ++=的交点，且平行于230x y -+=的直线l 的方程．数学试卷第6页（共9页）得分评卷人（17）（本小题满分15分）设{}n a 是等差数列，其前n 项和为*n S n ∈()N ；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为*n T n ∈()N ，已知1324355461 2 2b b b b a a b a a ==+=+=+，，，．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求n S 和n T ；（III ）若124n n n n S T T T a b +++⋅⋅⋅+=+()，求正整数n 的值．备1：已知数列{}n a 的前n 项和为2*n n S S n n =∈，()N ，数列{}n b 为等比数列，且22341 1b a b a =+=+，，．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -+的前n 项和n T ；（III ）若11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n R ；．数学试卷第7页（共9页）得分评卷人（18）（本小题满分15分）已知圆心为C 的圆经过(1 1) (22)A B -，，，两点，且圆心C 在直线:10l x y -+=上.（Ⅰ）求圆C 的标准方程，并判断点21M --(，)是否在这个圆上；（Ⅱ）求过点M 作直线l ，截圆产生的最长弦所在的直线方程；（III ）求过点M 作直线l 截圆产生的最短弦的弦长.备1：已知圆C 经过点0 2 0 6 2 4-(，)，(，)，(，).（Ⅰ）求圆心坐标及半径长，并写出圆的标准方程；（Ⅱ）若圆C 关于直线:20l ax y a++=对称，求a 的值；（Ⅱ）若直线l 被圆C 截得的弦长为l 的方程.数学试卷第8页（共9页）得分评卷人（19）（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F .（Ⅰ）求证：PA 平面EDB ；（Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ；（III ）求平面CPB 与平面PBD 的夹角的大小.数学试卷第9页（共9页）得分评卷人（20）（本小题满分16分）已知点F 为椭圆222210 0x y a b a b+=>>(，)的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到F 距离的最大值为3，最小值为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若 M N ，在椭圆上，且异于椭圆的顶点，直线AM直线BN ，直线 AN BM ，的斜率分别为1k 和2k ，求证：2121k k e ⋅=-（e 为椭圆的离心率）.备1:如图，椭圆22221(>>0)x y C a b a b +=：经过点3(1 ) 2P ，，离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记 PA PB PM ，，的斜率分别为123 k k k ，，.问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ若存在求λ的值；若不存在，说明理由.备2:椭圆22221(>>0)x y C a b a b+=：的离心率3 32e a b =+=，.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m -k 为定值.。
-天津市河西区2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷(word解析版)
2020-2021学年天津市河西区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）某种细菌的直径是0.00000078米，将数据0.00000078用科学记数法表示为（）A．7.8×10﹣7B．7.8×10﹣8C．0.78×10﹣7D．78×10﹣82．（3分）下列运算正确的（）A．a3﹣a2＝a B．a2•a3＝a6C．（a3）2＝a6D．（3a）3＝9a3 3．（3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）若a＝1，则的值为（）A．2B．﹣2C．D．5．（3分）如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DCC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC6．（3分）若3x＝15，3y＝5，则3x﹣y等于（）A．5B．3C．15D．107．（3分）如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（）A．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的6倍C．缩小为原来的3倍D．不变8．（3分）某服装加工厂加工校服960套的订单，原计划每天做48套．正好按时完成．后因学校要求提前5天交货，为按时完成订单，设每天就多做x套，则x应满足的方程为（）A．B．C．D．9．（3分）已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值为（）A．9B．6C．3D．﹣310．（3分）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（）（用含a，b的代数式表示）．A．ab B．2ab C．a2﹣ab D．b2+ab二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分．务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．）11．（3分）分解因式：2ax2﹣12axy+18ay2＝．12．（3分）已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为度．13．（3分）一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是．14．（3分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD＝4，则PC等于．15．（3分）已知﹣＝3，则分式的值为．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝130°，∠D＝∠B＝90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为．三、解答题：（本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．务必将答案填写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．）17．（6分）计算：（Ⅰ）（2a﹣3b）2；化简：（Ⅱ）（a+1﹣）．18．（6分）解方程﹣3＝．19．（8分）如图，在△ABC中，点D是BC上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE ＝CF．求证：∠BAD＝∠CAD．20．（8分）如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得P A+PB的值最小，画出图形并证明．21．（8分）天津市奥林匹克中心体育场﹣﹣“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑自行车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．（Ⅰ）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表（要求：填上适当的代数式，完成表格）速度（千米/时）所用时间（时）所走路程（千米）骑自行车x10乘汽车10（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．22．（8分）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你证明：DA﹣DB＝DC．23．（8分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．2020-2021学年天津市河西区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）某种细菌的直径是0.00000078米，将数据0.00000078用科学记数法表示为（）A．7.8×10﹣7B．7.8×10﹣8C．0.78×10﹣7D．78×10﹣8【分析】绝对值＜1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：数0.00000078用科学记数法表示为7.8×10﹣7．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．（3分）下列运算正确的（）A．a3﹣a2＝a B．a2•a3＝a6C．（a3）2＝a6D．（3a）3＝9a3【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则，分别进行各选项的判断即可．【解答】解：A、a3与a2不是同类项，不能直接合并，故本选项错误；B、a2•a3＝a5，原式计算错误，故本选项错误；C、（a3）2＝a6，计算正确，故本选项正确；D、（3a）3＝27a3，原式计算错误，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．3．（3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．（3分）若a＝1，则的值为（）A．2B．﹣2C．D．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝＝a﹣3，当a＝1时，原式＝1﹣3＝﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．5．（3分）如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DCC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC【分析】依据全等三角形的判定定理解答即可．【解答】解：A、依据SSS可知△ABD≌△ACD，故A不符合要求；B、依据SAS可知△ABD≌△ACD，故B不符合要求；C、依据AAS可知△ABD≌△ACD，故C不符合要求；D、依据SSA可知△ABD≌△ACD，故D符合要求．故选：D．【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．6．（3分）若3x＝15，3y＝5，则3x﹣y等于（）A．5B．3C．15D．10【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可得答案．【解答】解：3x﹣y＝3x÷3y＝15÷5＝3，故选：B．【点评】本题考查了同底数幂的除法，底数不变，指数相减．7．（3分）如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（）A．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的6倍C．缩小为原来的3倍D．不变【分析】根据分式的基本性质，可得答案．【解答】解：把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍，得＝＝3×，故选：A．【点评】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．8．（3分）某服装加工厂加工校服960套的订单，原计划每天做48套．正好按时完成．后因学校要求提前5天交货，为按时完成订单，设每天就多做x套，则x应满足的方程为（）A．B．C．D．【分析】要求的未知量是工作效率，有工作总量，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前5天交货”；等量关系为：原来所用的时间﹣实际所用的时间＝5．【解答】解：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：，所列方程为：﹣＝5．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是时间做为等量关系，根据每天多做x套，结果提前5天加工完成，可列出方程求解．9．（3分）已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值为（）A．9B．6C．3D．﹣3【分析】由已知得a＝b+3，代入所求代数式，利用完全平方公式计算．【解答】解：∵a﹣b＝3，∴a＝b+3，∴a2﹣b2﹣6b＝（b+3）2﹣b2﹣6b＝b2+6b+9﹣b2﹣6b＝9．故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式的运用，关键是利用换元法消去所求代数式中的a．10．（3分）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（）（用含a，b的代数式表示）．A．ab B．2ab C．a2﹣ab D．b2+ab【分析】设小正方形边长为x，表示出大正方形的边长，由大正方形面积减去四个小正方形面积表示出阴影部分面积即可．【解答】解：设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为a﹣2x＝2x+b，可得x＝，大正方形边长为a﹣＝＝，则阴影部分面积为（）2﹣4（）2＝﹣＝＝ab，故选：A．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分．务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．）11．（3分）分解因式：2ax2﹣12axy+18ay2＝2a（x﹣3y）2．【分析】先提公因式2a，然后利用公式法分解因式．【解答】解：原式＝2a（x2﹣6xy+9y2）＝2a（x﹣3y）2．故答案为2a（x﹣3y）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后还能运用完全平方公式继续分解因式．12．（3分）已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为50或80度．【分析】有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．有两种情况：①顶角∠A＝50°；②当底角是50°时，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝50°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．故答案为50或80【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．13．（3分）一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是6．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．【解答】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，解得n＝6．答：这个多边形的边数是6．故答案为：6．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．14．（3分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD＝4，则PC等于8．【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质求出PE，根据直角三角形的性质和平行线的性质解答即可．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD＝4，∵OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OB，∴∠ECP＝∠AOB＝30°，∴PC＝2PE＝8，故答案为：8．【点评】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．15．（3分）已知﹣＝3，则分式的值为．【分析】由已知条件可知xy≠0，根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时除以xy，再把﹣＝3代入即可．【解答】解：∵﹣＝3，∴x≠0，y≠0，∴xy≠0．∴＝＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了分式的基本性质及求分式的值的方法，把﹣＝3作为一个整体代入，可使运算简便．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝130°，∠D＝∠B＝90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为100°．【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点N、M，∵∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠130°＝50°，由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AN，∠A″＝∠A″AM，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．故答案为：100°【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．三、解答题：（本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．务必将答案填写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．）17．（6分）计算：（Ⅰ）（2a﹣3b）2；化简：（Ⅱ）（a+1﹣）．【分析】（Ⅰ）原式利用完全平方公式计算即可求出值；（Ⅱ）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）原式＝4a2﹣12ab+9b2；（Ⅱ）原式＝•＝•＝2（a﹣2）＝2a﹣4．【点评】此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．18．（6分）解方程﹣3＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；【解答】解：去分母得：x﹣1﹣3x+6＝1，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（8分）如图，在△ABC中，点D是BC上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE ＝CF．求证：∠BAD＝∠CAD．【分析】由于D是BC的中点，那么BD＝CD，而BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，得DE＝DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC 的平分线上，即AD平分∠BAC．【解答】证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．【点评】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明Rt△BDE≌Rt△CDF．20．（8分）如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得P A+PB的值最小，画出图形并证明．【分析】作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线l于点P，连接BP，则点P 即为所求．【解答】解：如图所示，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线l于点P，连接BP，则BP＝B'P，∴AP+BP＝AP+B'P＝AB'，∴P A+PB的值最小等于线段AB'的长，【点评】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．21．（8分）天津市奥林匹克中心体育场﹣﹣“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑自行车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．（Ⅰ）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表（要求：填上适当的代数式，完成表格）速度（千米/时）所用时间（时）所走路程（千米）骑自行车x10乘汽车10（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．【分析】（1）时间＝路程÷速度；速度＝路程÷时间．（2）等量关系为：骑自行车同学所用时间＝坐汽车同学所用时间+．【解答】解：（Ⅰ）速度（千米/时）所用时间（时）所走路程（千米）骑自行车x10乘汽车2x10（Ⅱ）∵骑自行车先走20分钟，即＝小时，∴＝+，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的根．答：骑车同学的速度为每小时15千米．【点评】本题考查分式方程的应用，注意找好等量关系方可列出方程．求解后要注意检验，要满足两个方面：①要满足方程②要满足实际问题．22．（8分）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你证明：DA﹣DB＝DC．【分析】根据等边三角形的性质，可得AB与BC的关系，BD、BE、DE的关系，根据三角形全等的判定，可得△ABE与△CBD的关系，根据全等三角形的性质，可得对应边相等，根据线段的和差，等量代换，可得证明结果．【解答】证明：△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BE＝BD＝DE（等边三角形的边相等），∠ABC＝∠EBD＝60°（等边三角形的角是60°）．∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBD﹣∠EBC∠ABE＝CBD（等式的性质），在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝DC（全等三角形的对应边相等）．∵AD﹣DE＝AE（线段的和差）∴AD﹣BD＝DC（等量代换）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明三角形全等，再证明全等三角形的对应边相等，最后等量代换．23．（8分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．【分析】（1）先判断出∠QPC是直角，再利用含30°的直角三角形的性质得出QC＝2PC，建立方程求解决即可；（2）先作出PF∥BC得出∠PF A＝∠FP A＝∠A＝60°，进而判断出△DQB≌△DPF得出DQ＝DP即可得出结论；（3）利用等边三角形的性质得出EF＝AF，借助DF＝DB，即可得出DF＝BF，最后用等量代换即可．【解答】（1）解：设AP＝x，则BQ＝x，∵∠BQD＝30°，∠C＝60°，∴∠QPC＝90°，∴QC＝2PC，即x+6＝2（6﹣x），解得x＝2，即AP＝2．（2）证明：如图，过P点作PF∥BC，交AB于F，∵PF∥BC，∴∠PF A＝∠FP A＝∠A＝60°，∴PF＝AP＝AF，∴PF＝BQ，又∵∠BDQ＝∠PDF，∠DBQ＝∠DFP，∴△DQB≌△DPF，∴DQ＝DP即D为PQ中点，（3）运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3，理由：∵PF＝AP＝AF，PE⊥AF，∴，又∵△DQB≌△DPF，∴，∴．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了含30°的直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△DQB≌△DPF是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点，是一道比较简单的中考常考题．。
2020-2021学年天津一中高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年天津一中高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．抛物线y＝x2的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．y＝﹣12．已知圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的一条直径通过直线2x+y﹣4＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（）A．x+2y﹣5＝0B．x﹣2y﹣5＝0C．x﹣2y+5＝0D．x+2y+5＝03．已知数列{a n}是等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，S2+a6＝9，则S5的值为（）A．10B．15C．30D．34．在等差数列{a n}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为，且满足S3＝S15，则S n的最大项为（）A．S7B．S8C．S9D．S105．已知等比数列{a n}的公比q＜0，且a2＝1，a n+2＝a n+1+2a n，则{a n}的前2020项和等于（）A．2020B．﹣1C．1D．06．已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝a n+n，则数列{a n}的通项公式为（）A．B．C．D．7．已知双曲线方程为x2﹣y2＝4，过点A（3，1）作直线l与该双曲线交于M，N两点，若点A恰好为MN中点，则直线l的方程为（）A．y＝3x﹣8B．y＝﹣3x+8C．y＝3x﹣10D．y＝﹣3x+10 8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．二.填空题（共6小题）.9．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为．10．（4分）记S n为递增等比数列{a n}的前n项和，若S1＝1，S4＝5S2，则a n＝．11．（4分）已知直线l：4x﹣3y+8＝0，抛物线C：y2＝4x图象上的一动点到直线l与它到抛物线准线距离之和的最小值为．12．（4分）设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1，l2，左焦点为F．若点F关于直线l1的对称点P在l2上，则双曲线的离心率为．13．（4分）已知数列{a n}满足a n＝（n∈N*），若对于任意n∈N*都有a n＞a n+1，则实数a的取值范围是．14．（4分）已知数列{a n}满足，定义使a1•a2•a3…a k（k∈N*）为整数的k叫做“幸福数”，则区间[1，2020]内所有“幸福数”的和为．三.解答题：（共52分）15．如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2，CF ＝．（1）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（2）求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值．16．已知椭圆C：＝1，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点．（1）若|PF1|﹣|PF2|＝1，求△PF1F2的面积；（2）是否存在着直线l，使得当经过椭圆左顶点A且与椭圆相交于点B，点D与点B关于X轴对称，满足•＝﹣，若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．17．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4+b4＝27，s4﹣b4＝10（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项的和T n．18．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a n2+a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．（3）是否存在实数λ使得T n+2＞λ•S n对n∈N+恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在说明理由．参考答案一、选择题（共8小题）.1．抛物线y＝x2的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．y＝﹣1解：由题得：x2＝4y，所以：2p＝4，即p＝2所：，＝1故准线方程为：y＝﹣1．故选：D．2．已知圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的一条直径通过直线2x+y﹣4＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（）A．x+2y﹣5＝0B．x﹣2y﹣5＝0C．x﹣2y+5＝0D．x+2y+5＝0解：由圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的方程可得圆心坐标为（1，﹣2），联立直线2x+y﹣4＝0与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9可得：，整理可得：5x2﹣26x+28＝0，所以x1+x2＝，y1+y2＝﹣2（x1+x2）+8＝﹣，所以弦的中点坐标为：（，﹣），由题意可得该直径所在的方程为：y+2＝（x﹣1），整理可得：x﹣2y﹣5＝0．故选：B．3．已知数列{a n}是等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，S2+a6＝9，则S5的值为（）A．10B．15C．30D．3解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S2+a6＝9，∴3a1+6d＝9，化为：a1+2d＝3＝a3，则S5＝＝5a3＝15．故选：B．4．在等差数列{a n}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为，且满足S3＝S15，则S n的最大项为（）A．S7B．S8C．S9D．S10解：等差数列{a n}中，且满足S3＝S15，∴a4+a5+…+a15＝0，由等差数列的性质可知，a9+a10＝0，∵首项a1＞0，公差d≠0，∴d＜0，∴a9＞0，a10＜0，则S n的最大项为S9．故选：C．5．已知等比数列{a n}的公比q＜0，且a2＝1，a n+2＝a n+1+2a n，则{a n}的前2020项和等于（）A．2020B．﹣1C．1D．0解：由a n+2＝a n+1+2a n，∴a n（q2﹣q）＝2a n，化为q2﹣q﹣2＝0，q＜0，解得q＝﹣1，又a2＝1＝a1×（﹣1），解得a1＝﹣1．则{a n}的前2020项和＝＝0，故选：D．6．已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝a n+n，则数列{a n}的通项公式为（）A．B．C．D．解：数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝a n+n，当n≥2时，a n﹣a n﹣1＝n﹣1，a n﹣1﹣a n﹣2＝n﹣2，…，a2﹣a1＝1，利用叠加法，整理得a n﹣a1＝1+2+…+n﹣1＝，所以（首项符合通项），则．故选：C．7．已知双曲线方程为x2﹣y2＝4，过点A（3，1）作直线l与该双曲线交于M，N两点，若点A恰好为MN中点，则直线l的方程为（）A．y＝3x﹣8B．y＝﹣3x+8C．y＝3x﹣10D．y＝﹣3x+10解：由双曲线方程为x2﹣y2＝4为等轴双曲线，焦点在x轴上，过点A（3，1）作直线l与该双曲线交于M，N两点，M（x1，y1），N（x2，y2），∴，两式相减可得：（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，A为MN的中点，∴x1+x2＝2×3＝6，y1+y2＝2×1＝2，∴6（x1﹣x2）﹣2（y1﹣y）＝0，则＝＝3，∴直线MN的斜率为k＝＝3．由直线的点斜式方程可知：y﹣1＝3（x﹣3），整理得：y＝3x﹣8，故选：A．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．解：把x2＝2py（p＞0）代入双曲线（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2＝0，∴y A+y B＝，∵|AF|+|BF|＝4|OF|，∴y A+y B+2×＝4×，∴＝p，∴．∴该双曲线的渐近线方程为：y＝±．故选：A．二.填空题：（每题4分）9．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为．解：等差数列{a n}中，∵a5＝5，S5＝15，∴，解得a1＝1，d＝1，∴a n＝1+（n﹣1）＝n，∴＝＝，∴数列的前100项和S100＝（1﹣）+（）+（）+…+（）＝1﹣＝．故答案为：．10．（4分）记S n为递增等比数列{a n}的前n项和，若S1＝1，S4＝5S2，则a n＝2n﹣1．解：∵S n为递增等比数列{a n}的前n项和，S1＝1，S4＝5S2，∴，且q＞0，解得a1＝1，q＝2，∴a n＝2n﹣1．故答案为：2n﹣1．11．（4分）已知直线l：4x﹣3y+8＝0，抛物线C：y2＝4x图象上的一动点到直线l与它到抛物线准线距离之和的最小值为．解：∵动点P在抛物线C：y2＝4x上，∴设点P的坐标为（a2，2a），可得P到y轴的距离d1＝a2．P到直线l：4x﹣3y+8＝0的距离d2＝＝|4a2﹣6a+8|，∵4a2﹣6a+8＝4（a﹣）2+＞0，∴d2＝（4a2﹣6a+8），可得动点P到直线l与y轴的距离之和为：d1+d2＝a2+（4a2﹣6a+8）＝a2﹣a+，由此可得当a＝时，d1+d2的最小值为，动点P到直线l与y轴的距离之和的最小值为．故答案为：．12．（4分）设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1，l2，左焦点为F．若点F关于直线l1的对称点P在l2上，则双曲线的离心率为2．解：由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，点F（﹣c，0），不妨取直线l1为y＝﹣x，直线l2为y＝x，设点P的坐标为（m，m），则线段PF的中点坐标为（，），∵点F关于直线l1的对称点P在l2上，∴，即，∴b＝a，∴离心率e＝＝＝2．故答案为：2．13．（4分）已知数列{a n}满足a n＝（n∈N*），若对于任意n∈N*都有a n＞a n+1，则实数a的取值范围是（，1．解：∵对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，∴数列{a n}单调递减，可知0＜a＜1．①当＜a＜1时，n＞8，a n＝（﹣a）n+2单调递减，而a n＝a n﹣7（n≤8）单调递减，∴（﹣a）×9+2＜a8﹣7，解得a＞，因此＜a＜1．②当0＜a＜时，n＞8，a n＝（﹣a）n+2单调递增，应舍去．综上可知：实数a的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．14．（4分）已知数列{a n}满足，定义使a1•a2•a3…a k（k∈N*）为整数的k叫做“幸福数”，则区间[1，2020]内所有“幸福数”的和为1349．解：由于数列{a n}满足，当n＝1时，T1＝a1＝1，当n≥2时，T n＝1×log45×log56×…×log n+2（n+3）＝＝log4（n+3）．又n＝1时，1＝log44，成立．所以T n＝log4（n+3）∈Z，（1≤n≤2020），设log4（n+3）＝m∈Z，所以n+3＝4m∈[4，2023]，由于45＝210＝1024，46＝212＝4096＞2023，所以1≤m≤5，共5个数，所以（41﹣3）+（42﹣3）+…+（45﹣3）＝．故答案为：1349．三.解答题：（共52分）15．如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2，CF ＝．（1）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（2）求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值．解：∵AE⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.又CF∥AE，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2，CF＝，∴B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，2，0），E（0，0，2），F（1，2，），＝（﹣1，1，0），，，．（1）设平面BDE的一个法向量为，由，取z＝1，可得，设直线CE与平面BDE所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝||＝，即直线CE与平面BDE所成角的正弦值为；（2）设平面BDF的一个法向量为，则，取z1＝﹣7，得，设平面BDE与平面BDF的夹角为φ，则cosφ＝，由图可知，平面BDE与平面BDF的夹角为锐角，故平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为．16．已知椭圆C：＝1，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点．（1）若|PF1|﹣|PF2|＝1，求△PF1F2的面积；（2）是否存在着直线l，使得当经过椭圆左顶点A且与椭圆相交于点B，点D与点B关于X轴对称，满足•＝﹣，若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可知，解得：|PF1|＝，|PF2|＝，又∵|F1F2|＝2，∴，即PF1⊥F1F2，∴Rt△PF1F2的面积为＝．（2）由题意可知A（﹣2，0），直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为：y＝k（x+2），联立方程，消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，∴，∴，∴＝，∴D（，），∵•＝﹣，∴（）2+＝﹣，整理得：16k4﹣25k2+9＝0，解得：k＝±1或k＝，∴y＝±（x+2）或y＝，即存在直线l满足题意，直线l的方程为：x﹣y+2＝0或x+y+2＝0或3x﹣4y+6＝0或3x+4y+6＝0．17．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4+b4＝27，s4﹣b4＝10（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项的和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2+3d，b4＝2q3，S4＝8+6d．由条件，得方程组，解得，所以a n＝3n﹣1，b n＝2n，n∈N*．（2）证明：由题意可得①②由①﹣②，得＝4+3•﹣（3n﹣1）•2n+1，∴．18．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a n2+a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．（3）是否存在实数λ使得T n+2＞λ•S n对n∈N+恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在说明理由．解：（1）当n＝1时，a1＝2．当n≥2时，，整理可得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）＝0，可得a n﹣a n﹣1＝1，∴{a n}是以a1＝2为首项，d＝1为公差的等差数列．∴．（2）由（Ⅰ）得a n＝n+1，∴．∴．（3）假设存在实数λ，使得对一切正整数恒成立，即对一切正整数恒成立，只需满足即可，令，由数列的单调性可得，所以f（1）＝1，f（2）＝，f（3）＝，＜f（5）＜f（6）＜…当n＝3时有最小值．所以．。
2020-2021学年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝22．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣13．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．58．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m ＝．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝2【解答】解：圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的标准方程是：（x﹣1）2+（y+1）2＝4．故选：C．2．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣1【解答】解：数列{a n}，满足a n+1＝，当a1＝时，解得a2＝2，当n＝2，解得，当n＝3时，解得，所以数列的周期为3．故．故选：A．3．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，而直线x+2y＝5与x轴交点为（5，0），则c＝5，进而有9+a2＝25，解可得a2＝16，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y＝±x；故选：A．4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，将点P（2，2）代入圆（x﹣1）2+y2＝5恒成立，则点P在圆上．即过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切的切线只有一条，令过点P（2，2）的切线的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0，由此切线与ax﹣y+1＝0平行，两直线的斜率相等且y轴截距不等，可得k＝a且﹣2k+2≠1；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径r＝＝，k＝﹣，即a＝﹣；故选：C．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由等差数列的性质可得：＝＝＝＝．故选：C．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±【解答】解：由题意a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，故有a2a4＝4又{a n}为等比数列∴a2a4＝a32，∴a3＝±2．故选：B．7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y＝﹣1，∴点A到准线的距离为4+1＝5，根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，∴点A与抛物线焦点的距离为5，故选：D．8．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0），则有，联立可得：y＝，即两圆公共弦所在直线的方程为y＝，圆C1：x2+y2＝4，其圆心为（0，0），半径r＝2，若公共弦的弦长为2，则圆C1的圆心C1到公共弦的距离d＝＝，又由a＞0，则有＝，解可得a＝，故选：A．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|＝|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e＝故选：D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是（﹣2，0）．【解答】解：∵抛物线方程y2＝﹣8x，∴焦点在x轴，p＝4，∴焦点坐标为（﹣2，0）故答案为（﹣2，0）．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m＝．【解答】解：直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2，得3m+（m﹣2）＝0，即4m＝2，解得m＝．故答案为：．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0），D1（0，0，1），＝（0，1，0），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，1），设平面D1EC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，2），∴点B到平面D1EC的距离：d＝＝＝．故答案为：．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝2n﹣1．【解答】解：数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），所以，，…，，所以＝，所以．故答案为：2n﹣1．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3]．【解答】解：如图所示：曲线y＝3﹣，即y﹣3＝﹣，平方可得（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y＝x+b的距离等于半径2，可得＝2，∴b＝1+，或b＝1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得：a1＝1，d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝＝n2．（2）b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项和为T n＝+…+＝＝．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，∵ABCD为正方形，∴O是AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE∥P A，∵P A⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴P A∥平面BDE．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），C（0，2，0），＝（2，2，0），＝（0，1，1），设平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，设x＝1，则＝（1，﹣1，1），平面DEC的法向量＝（1，0，0），设平面BDE与平面DEC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值为．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．【解答】解：（Ⅰ）由e＝＝，且a＝2，则c＝1，b＝＝，故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）F1（﹣1，0），F2（1，0），设经过右焦点F2的直线l的方程为x＝my+1，与椭圆方程3x2+4y2＝12联立，可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，由⊥，即AF1⊥BF1，k•k＝•＝﹣1，即有（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（my1+2）（my2+2）+y1y2＝（1+m2）y1y2+2m（y1+y2）+4＝（1+m2）•（﹣）+2m•（﹣）+4＝0，解得m＝±，则直线l的方程为x＝±y+1，即为y＝±（x﹣1）．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n①．所以当n＝1时，．当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1②，①﹣②得：a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣1﹣a n，整理得2a n＝a n﹣1，故（常数），所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列；所以，首项符合通项，所以．证明：（2）设，所以①，②，①﹣②得：＝，所以．。
2023-2024学年天津市河西区高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年天津市河西区高二上册期末数学试题一、单选题1．观察数列2221111,,(),,,(),379 的特点，则括号中应填入的适当的数为（）A ．3311,310B ．2211,510C ．2211,511D ．2211,410【正确答案】C【分析】将数列中的每个项进行改写为()211211=⨯-、()22113221=⨯-、()22117241=⨯-、()22119251=⨯-，由此可得出两个括号内应填入的数.【详解】因为()211211=⨯-、()22113221=⨯-、()22117241=⨯-、()22119251=⨯-，所以，该数列的第()n n *∈N 项为()2121n -，因此，第一个括号内填入的数为()22115231=⨯-，第二个括号内填入的数为()221111261=⨯-，故选：C.2．某质点的运动规律为23s t =+，则在时间(3,3)t +∆内，质点的位移增量等于（）A ．26()t t ∆+∆B ．96t t+∆+∆C ．23()t t ∆+∆D ．9t+∆【正确答案】A根据平均变化率的定义计算．【详解】位移增量()222(3Δ)(3)(3Δ)3336Δ(Δ)s t s t t t =+-=++-+=+.故选：A.3．准线方程为2x =的抛物线的标准方程为（）A ．28y x =B ．28y x=-C ．28x y=D ．28x y=-【正确答案】B【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】由于抛物线的准线方程是2x =，所以抛物线的开口向左，设抛物线的方程为()220y px p =->，则2,282pp ==，所以抛物线的标准方程为28y x =-.故选：B4．已知数列{}n a 满足10a =，)1n a n *+=∈N ，则2022a =（）A ．0B．CD．3【正确答案】B【分析】写出数列{}n a 的前4项，可得出数列{}n a 为周期数列，利用数列的周期性可求得2022a 的值.【详解】因为数列{}n a 满足10a =，)1n a n *+=∈N，则2a =313a ==-40a ==，以此类推可知，()3n n a a n *+=∈N，因此，6320223733a a a ⨯+===故选：B.5．已知实数列1-、x 、y 、z 、2-成等比数列，则xyz =（）A．B ．±4C．-D．±【正确答案】C【分析】求出y 的值，利用等比中项的性质可求得结果.【详解】设等比数列1-、x 、y 、z 、2-的公比为()0q q ≠，则210y q =-⨯<，由等比中项的性质可得()()2122y =-⨯-=，所以，y =，因此，(33xyz y ===-故选：C.6．设中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（）A ．221955x y -=B ．22197x y -=C ．22110064x y -=D ．22179x y -=【正确答案】A【分析】根据题意列式求解,,a b c ，即可得结果.【详解】∵双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为22221x y a b-=，且222,0,0,0c a b a b c =+>>>，由题意可得22221626c a b c a ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，解得38a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴双曲线的方程为221955x y -=.故选：A.7．如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t的函数，这个函数的图像大致是A ．B ．C．D．【正确答案】D【分析】由题意可知：S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.【详解】观察可知面积S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D 符合要求.故选D .本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．函数y =）A．y 'B．y '=C．y ='D．y '=【正确答案】B【分析】利用复合函数的求导法则以及商的导数运算法可求得结果.【详解】因为y)()2sin 2sin 2x x y ''-'==故选：B.9．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若1F AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e =（）A．3+B．5-C．1+D．4-【正确答案】B【分析】根据双曲线的定义，设出焦半径，利用余弦定理，可得答案.【详解】设2AF x =，则12AF x a =+，所以22BF a =，也就是14BF a =，由余弦定理，可得222121212122cos F F BF BF BF BF F BF =+-⋅⋅⋅∠，则2224164242cos4c a a a a π=+-⨯⨯⨯，因此25c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选：B ．二、填空题10．设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若25a =，617a =，则d =__________.【正确答案】3【分析】根据6262a a d -=-即可得解.【详解】因为数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且25a =，617a =，则621753624a a d --===-.故答案为.311．双曲线2213y x -=的离心率为_________．【正确答案】2【详解】221,32,2c a b c a b e a===+=== 12．在等比数列{}n a 中，21,2a q ==6a =__________.【正确答案】4【分析】根据等比数列性质运算求解.【详解】由题意可得.4462124a a q ==⨯=故4.13．若函数()1f x x x=-，则()1f '=__________.【正确答案】2【分析】利用常见函数的导数和导数的运算法则即可求出结果.【详解】因为()1f x x x =-，所以()211f x x'=+，所以()11121f '=+=，故2.14．若函数ln y x x =上在点P 处的切线平行于双曲线22:14y C x -=的渐近线，则点P 的坐标是__________.【正确答案】()e,e 或()33e ,3e ---【分析】先求出双曲线的渐近线方程为2y x =±，再对函数ln y x x =求导，再利用导数的几何意义，建立方程012x +=ln 或0ln 21x =-+，从而求出0x ，得到点P 的坐标.【详解】设00(,)P x y ，因为ln y x x =，所以ln 1y x '=+，又双曲线22:14y C x -=，所以双曲线的渐近线方程为2y x =±，因为函数ln y x x =上在点P 处的切线平行于双曲线22:14y C x -=的渐近线，所以由导数的几何意义知，012x +=ln 或0ln 21x =-+，得到0e x =或30e x -=，当0e x =时，e ln e e y ==，当30e x -=时，333e ln e 3e y ---==-，从而得到(e,e)P 或33(e ,3e )P ---，故(e,e)或33(e ,3e )---15．已知等比数列{}n a ，231a a >=，则使不等式12121110n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立的最大自然数n 为____________【正确答案】5【详解】只需23231105n n q q n q q ---≥⇒≤⇒≤，故答案为5．三、解答题16．数列{}n a 满足()1111,122n n a a a n -==+≥.(1)若2n n b a =-，求证：{}n b 为等比数列；(2)求{}n a 的通项公式．【正确答案】(1)证明见解析(2)1122n n a -=-【分析】（1）由112n n b b -=证得{}n b 为等比数列.（2）先求得n b ，然后求得n a .【详解】（1）由于()1111,122n n a a a n -==+≥，所以()()112222n n a a n --=-≥，即()1221n n b n b -≥=，所以数列{}n b 是首项为121a -=-，公比为12的等比数列.（2）由（1）得112n n b -=-，所以11112,222n n n n a a ---=-=-.17．已知抛物线的方程为22y px =，它的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，且抛物线与双曲线的一个交点为32⎛ ⎝，求抛物线与双曲线的方程.【正确答案】抛物线方程为24y x =，双曲线的方程为224413y x -=【分析】根据题意代入点32⎛ ⎝，即可求得抛物线的方程，进而可得双曲线的左焦点，根据题意列式求解，即可得双曲线方程.【详解】∵抛物线过点32⎛ ⎝，则2322p ⨯=，解得2p =故抛物线方程为24y x =，可得抛物线的准线为=1x -，则准线与x 轴的交点坐标为()1,0-即双曲线的左焦点为()1,0-，且双曲线过点32⎛ ⎝，设双曲线的半焦距为0c >，则可得2222219641c c a b a b ⎧⎪⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪-=⎪⎩，解得221434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故双曲线方程为2211344x y -=，即224413y x -=.18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=2，na n +1=S n +n （n +1）.（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n ；（Ⅱ）设T n 为数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭}的前n 项和，求T n ；（Ⅲ）设121n n n n b a a a ++=，证明：123132n b b b b ++++<【正确答案】（Ⅰ） 2n a n =（Ⅱ）1242n n n T -+=-（Ⅲ）见试题解析【详解】试题分析：（Ⅰ）由已知()11n n na S n n +=++当2n ≥时()()111n n n a S n n --=+-，两式项减，得到.求出12a =，则数列的通项公式可得（Ⅱ）由题意可得122n n n a n-=，直接利用错位相减法即可求出1242nn n T -+=-（Ⅲ）（Ⅰ），得利用裂项相消法即可得试题解析：（Ⅰ）由题意，当2n ≥时，有()()()111.{11n n n n na S n n n a S n n +-=++-=+-两式相减得()11122n n n n n na n a a n a a ++--=+⇒-=由12121112{22a a S a a S a ==+⇒-==，所以对任意*n ∈N，都有故()1122n a a n n =+-=（Ⅱ）由（Ⅰ）得12222n n n n a n n -==，因此212341 (22232)n n n T -=+++++，两边同乘以12得2341112341...2222222n n n n nT --=++++++．两式错位相减得234111112111121 (122222222212)n n n n n n n n T T --=++++++-⇒=--1242n n n T -+⇒=-（Ⅲ）由（Ⅰ），得.数列的通项公式，错位相减法，裂项相消法。
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在复平面内，复数 （i为虚数单位）对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的是
7．已知抛物线 的焦点F恰好是双曲线 的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（）
A． B．2C． ＋1D． －1
8．若不等式 对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知复数 的共轭复数为 ， ，则复数 的虚部是_______
10．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 _____
三、解答题
15．已知复数 ．
（1）当 时，求复数 的模．
（2）若复数 为纯虚数，求 的值．
16．求下列不等式的解集：
（1） ；
（2） .
17．已知双曲线的标准方程为 ．
（1）求双曲线的实轴长和离心率．
（2）求双曲线的焦点到渐近线的距离．
18．如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， 底面 ， 是棱 的中点，且 ， ．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了抛物线的性质,属于基础题型.
5．C
【分析】
由向量平行，坐标对应成比例可求得x.
【详解】
由题意可知，因为 ，所以 ，所以x=-4,选C.
【点睛】
本题考查空间向量平行的坐标关系，两向量平行，坐标对应成比例．
6．B
【分析】
根据充分必要条件的定义，结合不等式的性质，即可判断．
【详解】
故选： ．
【点睛】
本题考查复数的除法运算和复数与复平面的对应关系，属于基本概念、基本运算的考查．
2．D
【分析】
直接根据不等式的性质和指数函数单调性可得答案．
【详解】
对 ， 才能成立，故 错误；
对 ，若 ，但 不成立，故 错误；
对 ，若 ，但 不成立，故 错误；
对 ，因为函数 在 上单调递减，所以 ，则 ，故 正确；
A． B． C． D．
3．命题“ ， ”的否定是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为（）
A．2B．1C． D．
5．已知 ,且 ，则x=( )
A．5B．4C．-4D．-5
6．“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
13．
【分析】
由“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件，得“ ” “ 或 ”，由此能求出实数 的取值范围．
【详解】
“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件，
“ ” “ 或 ”， 前面是后面的真子集，
考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质.
8．C
【分析】
将不等式转化为 ，再对二次项系数进行分类讨论，结合一元二次不等式在 上恒成立，即可求得参数范围.
【详解】
由题意，不等式 ，可化为 ，
当 ，即 时，不等式恒成立，符合题意；
当 时，要使不等式恒成立，需 ，
解得 ，
综上所述，所以 的取值范围为 ，
故选： .
（1）求证： 平面 ．
（2）求二面角 的大小；
（3）如果 是棱 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和为 ．
20．已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4
11．已知椭圆 上一点 到椭圆的左焦点 的距离为3，点 是 的中点，则点 到坐标原点 的距离为_______．
12．已知正实数 满足 ，则 的最小值为_____．
13．若“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是_____．
14．在空间直角坐标系中， ， ，且 ，则 的取值范围是_____．
【点睛】
本题考查一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.
9．
【分析】
化简 ，求出 ，从而求出复数 的虚部．
【详解】
，
，故 的虚部是 .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查复数的四则运算、共轭复数概念，考查运算求解能力，属于基础题．
10．126
【分析】
由数列的通项公式代入 ，求得公差 ，再根据求和公式计算即可得 ．
由 可推出 ，
若 ，满足 ，但不能推出 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选： ．
【点睛】
本题考查不等式的性质、充分必要条件的定义，考查对概念的理解与应用，属于基础题．
7．C
【解析】
试题分析：如图所示，，∵两条曲线交点的连线过点Ｆ，∴两条曲线交点为（ ），代入双曲线方程得 １，又 ， 化简得 ， ， ， ，故选C.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 是椭圆 的左顶点，经过左焦点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，求 与 的面积之差的绝对值的最大值，并求取得最大值时直线 的方程． 为坐标原点）
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
利用复数的除法将式子 化简为 形式，则它在复平面内对应点为 ，判断点所在的象限即可．
【详解】
因为 ，所以 在第一象限.
【详解】
设公差为 ，由 ， ，
则 ，解得 ，
.
故答案为：126.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查运算求解能力，求解时注意基本量法的应用.
11．
【分析】
根据椭圆的定义，得 ，可得 ，在△ 中利用中位线定理，即可得到的 值．
【详解】
椭圆 中， ，
，
结合 ，得 ，
是】
本题考查不等式的性质及指数函数的单调性，考查函数与方程思想，属于基础题．
3．C
【解析】
试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为： ，
考点：全称命题与特称命题
4．D
【解析】
【分析】
将抛物线方程写成标准形式再分析即可.
【详解】
由y＝4x2得 ,所以 , 则抛物线的焦点到准线的距离为 .
【点睛】
本题给出椭圆的焦点三角形的一边长，求另一边中点到原点的距离，着重考查椭圆的定义和标准方程和简单几何性质等知识．
12．9
【分析】
由已知可得， ，根据 利用1的代换可得 ，展开利用基本不等式即可求解．
【详解】
， ，且 ，
，
，
则 ，
当且仅当 ，即 时取得最小值9．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求解最值，解题的关键是灵活利用基本公式，进行配凑符合条件的形式．