江苏省灌云县四队中学 选修1-1教案 2.5《圆锥曲线的共同性质》
苏教版选修1-1高中数学2.5《圆锥曲线的共同性质》ppt课件
求焦点坐标及准线方程
求下列曲线的焦点坐标和准线方程： (1)x42＋y32＝1； (2)1x222－5y22＝1； (3)4y2－9x2＝36； (4)y2＝－2x； (5)x2＋4y＝0.
再由公式求焦点坐标和准线方程．
【自主解答】 (1)由方程知椭圆焦点在 x 轴上，且 a2＝4， b2＝3，则 c＝ a2－b2＝ 4－3＝1，
圆的标准方程为y52＋x42＝1.
(2)渐近线方程可化为 y＝±32x. ∵双曲线的焦点在 x 轴
上，∴a92＝(±23)2，解得 a＝±2.由题意知 a＞0， 【答案】 (1)y52＋x42＝1 (2)2
∴a＝2.
由统一定义求距离
椭圆1x020＋3y62 ＝1 上有一点 P，它到椭圆的左准 线的距离为 10，求点 P 到椭圆的右焦点的距离．
由题意得aacc＝2＝319
ac＝＝13，
从而 b2＝a2－c2＝9－1＝8，
∵椭圆的焦点在 y 轴上，
∴所求方程为y92＋x82＝1. 【答案】 y92＋x82＝1
3．(2013·苏州高二检测)已知双曲线的中心在原点，且其 中一个焦点坐标为(0，－3)，实轴长为 4，则该双曲线的准线 方程为________．
2．椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的准线方程为 x＝±ac2，椭圆ay22＋ bbx22>＝0)1的(a准>b线>0方)的程准为线x＝方±程ac2为，y＝±ac2，双曲线ax22－by22＝1(a>0，
双曲线ay22－bx22＝1(a>0，b>0)的准线方程为 y＝±ac2 ．抛
物线有一条准线，一个焦点．
显然当 A，P，M 三点共线时，12|PF|＋|PA|的值最小， 即12|PF|＋|PA|的最小值为点 A 到双曲线左准线的距离：3 ＋ac2＝3＋44＝4. 故12|PF|＋|PA|的最小值为 4.
【精品】高中数学苏教版选修1-1课件：2.5圆锥曲线的共同性质课件(15张)2
x y 变 式 : 若 曲 线 1 的 一 条 准 线 m 2 3 或 6 方 程 为 x 3 则的 m值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
解 ： 由 已 知 得 m>2, 曲 线 是 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 . a 2 m , b 2 2, c 2 m 2 m x 3即 m 2 9 m 18 0 m2 m 3或 m=6
设 P 到 右 准 线 的 距 离 为 d 2
P F1 = 1 0 |P F 2 - P F 1 |= 8 P F2 2 或 1 8
P F 2 或 1 8 2
例3.若点A 的坐标为（3，2）,F 为抛 2 y 2x的焦点，点M 在抛物线上 物线 7 移动时，则MA+MF 的最小值 2 ，这 时M 的坐标 M（2，2） .
2 a 与 F ,c )对 应 的 准 线 方 程 为 y 1(0 c
a 与 F , c )对 应 的 准 线 方 程 为 y 2(0 c
2
问题思考
若 动 点 P 到 定 直 线 l 的 距 离 与 它 到 定 点 F （ F 不 在 l 上 ） 问题2： 的 距 离 之 比 为 1 . 5 ， 则 P 的 轨 迹 是 什 么 ？
2
2
焦点与准线的求解:
判断曲线的性质→确定焦点的位置→确定a,c,p的值,得 出焦点坐标与准线方程.
2 2 x y 例 2 ： 双 曲 线 1 上 一 点 P 到 左 准 线 的 距 离 为 8 ， 1 6 9 y
（ 1 ） 求 点 P 到 左 焦 点 的 距 离 ， （ 2 ） 求 点 P 到 右 焦 点 的 距 离 .
苏教版数学高二-【新学案】 选修1-1教学案 2.5圆锥曲线的共同性质
2.5圆锥曲线的共同性质教学过程一、问题情境我们知道,平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线.当这个比值是一个不等于1的常数时,动点P的轨迹又是什么曲线呢?二、数学建构问题1试探讨这个常数分别是和2时,动点P的轨迹.方案1利用尺规作出几个特殊的点,从而猜想轨迹.方案2利用几何画板制作课件演示.可以得到:当常数是时,动点P的轨迹是椭圆;当常数是2时,动点P的轨迹是双曲线.问题2由上面问题的解决,同学可以猜想得出什么样的结论?解平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于e的动点P的轨迹是圆锥曲线.当0<e<1时,它表示椭圆;当e>1时,它表示双曲线;当e=1时,它表示抛物线.问题3以上的结论是否正确呢?如何证明?解当e=1时,结论在抛物线标准方程的推导中已经得到证明,那么其他两种情况如何通过方程来证明呢?(思考片刻继续引导)关键在于如何建立坐标系才能使得轨迹的方程为标准方程.(思考片刻继续引导)请同学们阅读教材第55页的思考后回答下面问题.问题4当0<e<1时,如何建立平面直角坐标系,才能使轨迹方程为标准方程呢?解建立适当的平面直角坐标系,使定点F(c,0),定直线l的方程为x=.设点P(x,y),则==e,化简得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)(*).因为e=∈(0,1),所以a2-c2>0,所以可令b2=a2-c2,这样方程(*)可化为+=1(a>b>0).这就证明了,当0<e<1时,点P的轨迹为椭圆.由此可见,当点P到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(a>c>0)时,这个点的轨迹是椭圆,方程为+=1(a>b>0, b2=a2-c2),这个常数就是椭圆的离心率.类似地,我们可以得到:当点P到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(c>a>0)时,这个点的轨迹是双曲线,方程为-=1(a>0,b>0,其中b2=c2-a2),这个常数就是双曲线的离心率.这样,圆锥曲线可以统一定义为平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.当0<e<1时,它表示椭圆;当e>1时,它表示双曲线;当e=1时,它表示抛物线.其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线.由前面的研究可知:点F(c,0),直线l:x=分别为椭圆+=1(a>b>0)的焦点、准线;点F(c,0),直线l:x=分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点、准线.根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线,中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆+=1(a>b>0)或双曲线-=1(a>0,b>0),与焦点F1(-c,0),F2(c,0)对应的准线方程分别为x=-,x=. 三、数学运用【例1】求下列曲线的焦点坐标、准线方程:(1)25x2+16y2=400;(2)x2-8y2=32;(3)y2=16x.引导学生将曲线方程转化为标准形式,再让学生根据定义求解.解(1) 由25x2+16y2=400,得+=1,因此此椭圆的焦点在y轴上,且a=5,b=4,所以c==3,故曲线25x2+16y2=400的焦点坐标为(0,±3),准线方程为y=±.(2)由x2-8y2=32,得-=1,因此此双曲线的焦点在x轴上,且a=4,b=2,所以c==6,故曲线x2-8y2=32的焦点坐标为(±6,0),准线方程为x=±.(3)由y2=16x,得p=8,故曲线y2=16x的焦点坐标为(4,0),准线方程为x=-4.要求圆锥曲线的准线方程、焦点坐标,必须先将曲线方程化为标准形式.变式已知椭圆+=1的一条准线方程为y=,求实数m的值.解由题意可知,a2=m(m>9),b2=9,所以c=.由一条准线方程为y=可知=,解得m=25或m=.【例2】已知椭圆+=1上一点P到右准线的距离是2b,求点P到椭圆左焦点的距离.引导学生根据圆锥曲线的统一定义,将点到准线的距离转化为其到相应焦点的距离.解法一由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(-b,0),(b,0),离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,则由圆锥曲线的统一定义可知,=,所以PF2=3b.由椭圆的定义可知,PF1=4b-3b=b,即该点到椭圆左焦点的距离为b.解法二由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(-b,0),(b,0),离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2.因为椭圆两准线间的距离为b,所以P到左准线的距离为b,则由圆锥曲线的统一定义可知,=,所以PF1=b,即该点到椭圆左焦点的距离为b.椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线,在解题过程中要注意对应,即左焦点对应左准线,右焦点对应右准线(或上焦点对应上准线,下焦点对应下准线).【例3】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点.若=3,求斜率k的值.解设直线l为椭圆的右准线,e为离心率.如图,分别过A,B作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BE⊥AA1于E.由圆锥曲线的共同性质得AA1=,BB1=,由=3,得AA1=,所以cos∠BAE====,所以sin∠BAA1=,所以tan∠BAA1=,即k=.(例3)【例4】若椭圆+=1内有一点P(1,-1),F为其右焦点,椭圆上有一点M使MP+2MF最小,则点M的坐标为.提示因为椭圆的离心率为,则2MF就等于点M到右准线的距离d,所以MP+2MF=MP+d.由点到直线的最短距离是垂线段得可以得到M.先用圆锥曲线的统一定义将MP+2MF的最小值转化为MP+d(d为点M到右准线的距离)的最小值,再根据“点到直线的距离中垂线段最短”将问题解决.这是处理圆锥曲线中与曲线上的动点到焦点(或准线)的距离有关的最值问题的常用方法.四、课堂练习1. 若抛物线的顶点在原点,准线与椭圆+=1的准线重合,则此抛物线的方程为y2=±16x.提示由题意知椭圆的准线方程为x=±=±4,所以=±4,即p=±8.2. 已知椭圆+=1上一点P到左焦点的距离为12,则点P到右准线的距离为10.提示由题意知点P到左准线的距离为=15,两准线间的距离为2×=25,故点P到右准线的距离为10.3.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a,b>0)的左、右焦点,曲线C的两条准线分别与x轴交于点A,B.若A,B为线段F1F2的三等分点,则此双曲线C的离心率为.提示由题意得=3,即e2=3.4.已知P为椭圆C:+=1上一点,且P到曲线C的右焦点F的距离为3,求点P的坐标.解法一椭圆C:+=1的右焦点为F(2,0),设P(x,y),则由题意可知解得即点P的坐标为(2,±3).解法二椭圆C:+=1的右准线的方程为x=8,离心率e=.因为P到曲线C的右焦点F的距离为3,所以P到右准线的距离为6.设P(x,y),则8-x=6,解得x=2,代入+=1,得y=±3,所以点P的坐标为(2,±3).五、课堂小结1.圆锥曲线的统一定义.2.会根据圆锥曲线的标准方程求准线方程.3.掌握圆锥曲线上的点到焦点的距离及该点到对应准线的距离之间的相互转化.。
【精品】高中数学苏教版选修1-1课件：2.5圆锥曲线的共同性质课件(25张)
椭圆与双曲线有两个焦点，准线有几条呢?
根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线.
对于中心在原点,焦点在x轴上的椭圆或双曲线,
2 a 与 F c ,0 )对 应 的 准 线 方 程 为 x 1( c 2 a 与 F c ,0 )对 应 的 准 线 方 程 为 x 2( c
思考???
思考???
在推导椭圆的标准方程时,在化简的过程中我们得到这样一个式子
2 2 2 a c x a( x c ) y
定点
2 2
定值
(xc ) y c 将 其 变 形 为 2 a a x c
你能解释这个式子的几何意义吗?
定直线
不妨设 例 1已 知 点 P ( x , y ) 到 定 点 F ( c , 0 ) 的 距 离 与 它 到 定 直
所以曲线的焦点坐标为 ± 2，0 ，准线方程为x = ±2 2.
（2）由2������ − ������ = 4，得 2 −
2 2 ������ 2 ������ 2 4
= 1，因此双曲线的焦点在y轴上，
且a = 2，b = 2，所以c = ������2 + ������2 = 6，
所以曲线的焦点坐标为 0， ± 6 ，准线方程为y = ±
圆锥曲线的共同性质
复习回顾
1、 椭圆的定义：
表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|）
平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|）的点的轨迹
2 、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹 表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|)
【精品】高中数学苏教版选修1-1课件：2.5圆锥曲线的共同性质课件(17张)1
探究2：已知点P(x，y)到定点F(c,0)的距离与它到
c a2 (c a 0)， x 的距离的比是常数 定直线l ： a c
左焦点F(-c,0) . 定点：焦点 F . 点P 的轨迹是什么？ y 右焦点F(c,0) .
定线：准线
Q P(x, y)
2 a2 a 左准线 x 右准线 x c c
1 2
到两个定点F1，F2的距 离之差的绝对值等于定 值2a（2a<|F1F2|）的点 的轨迹。
到定点F和定直线l(F不 在l上)的距离相等的点 的轨迹。 PF 1 PQ PF1 - PF2 2a
标准方程
对称性 顶点 焦点
x2 y2 x2 y2 2 1(a b 0) 2 2 1(a 0, b 0) y 2 2 px( p 0) 2 a b a b
问题1：你能推断出定点F的坐标吗？ 问题2：你能推断出准线的方程吗？
探究1：已知点P(x，y)到定点F(c,0)的距离与它到
c a2 x 的距离的比是常数 (a c 0) ， 定直线l ： a c
点P 的轨迹是什么？ 定点：焦点F . 左焦点F1(-c,0) . 右焦点F2 (c,0) .
令c 2 b 2 a 2 则上式化为
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
结论1：已知点P(x，y)到定点F(c,0)的距离与它到
c a2 x 定直线l ： 的距离的比数是常数 (a c 0)， a c
点P 的轨迹是椭圆. 结论2：已知点P(x，y)到定点F(c,0)的距离与它到
c a2 x 定直线l ： 的距离的比数是常数 (c a 0)， a c
点P 的轨迹是双曲线.
【备课精选】2012年高中数学苏教版选修1-1教案2.5《圆锥曲线的共同性质》
2．5圆锥曲线的共同性质教学目标：（1）掌握圆锥曲线的共同性质，理解离心率、焦点、准线的意义（2）通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质（3）通过本节的学习，可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力重点：圆锥曲线第二定义的推导难点：对圆锥曲线第二定义的理解与运用一．知识回顾二．数学探究问题1：圆锥曲线有什么共同性质？它们的离心率有什么联系？从抛物线的定义出发来研究：1．抛物线22(0)y px p=>离心率e=1:准线方程：2．椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率0<e<1：准线方程：3．双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的离心率e>1：准线方程：三．数学应用例1：已知动点P(,)x y满足到定直线l的距离和它到定点F，那么动点P的轨迹是_________________.例2：若椭圆22141x ym+=+的一条准线为5y=，则m=________.例3：已知动点P (,)x y 那么动点P 的轨迹是什么？问题2：椭圆22221(0)y x a b a b +=>>和双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的准线方程各是什么？练习：求下列曲线的准线方程：（1）2222153x y += （2）22416x y += （3）22832x y -= （4）224x y -=-（5）216y x = （6）23x y =-例4．在椭圆22143x y +=内有一点P （1，-1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使2MP MF +的值最小，求这个最小值.1.双曲线22145y x -=的准线方程是____________.2.已知平面内动点P 到一条定直线l 的距离和它到定点F 的距离的比等于12，则点P 的轨迹是__________.3.椭圆221259x y +=上一点到其左准线的距离等于52，则P 到右焦点的距离等于_______4.以椭圆2212x y +=的右准线为准线的抛物线的标准方程是___________.问题探究：设A 11(,)x y ，229(4,),(,)5B C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“AF,BF,CF 成等差数列”是“128x x +=”的____________条件.课堂小结：1．知识小结：2．数学思想方法：1. 双曲线22134x y +=的准线方程为____________,两准线间的距离为_____________. 2. 椭圆2255x ky +=的一条准线方程为52y =，那么k =__________. 3. 若抛物线28y x =的准线是椭圆221(0)2x y m m+=>的一条准线，则m =_______. 4. 已知点P 是椭圆22110036x y +=上的一点，若点P 到椭圆右准线的距离是172，则点P 到左焦点的距离是__________.5. 若双曲线的一条准线与两条渐近线交点确定的线段长恰好等于双曲线的实半轴长，则双曲线的离心率为__________________.6. 已知定点F （-4,0），动点P (,)x y 到F 的距离是P 到定直线25:4l x =-的距离的45倍，则点P 的轨迹方程为___________.7. 若抛物线2y x =上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为_____.8. 3x y =+-表示的曲线是________________.9. 求圆心在抛物线22y x =上且与x 轴及抛物线的准线都相切的圆的方程.10.已知椭圆221259x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上，且1()2OQ OP OF =+u u u r u u u r u u u r ,4OQ =u u u r ,求点P 到椭圆左准线的距离d .。
苏教版选修(1-1)2.5《圆锥曲线的共同性质》word教案
2.5 圆锥曲线的共同性质华罗庚说过，“就数学本身而言，是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的……”圆锥曲线有着独特和奇异的一面，其中蕴藏着奥妙和魅力，也蕴藏着规律和道理.但“天得一以清，地得一以宁，……，万物得一以生”，圆锥曲线的共同性质又体现了圆锥曲线的“统一美”，这“统一美”使圆锥曲线充满了勃勃生机.教学目标：知识目标：掌握圆锥曲线的统一定义和共同性质，了解圆锥曲线的联系和区别，能利用圆锥曲线的有关知识解决有关的问题.能力目标：通过对圆锥曲线的统一性的研究，进一步培养观察能力和探索能力，同时达到进行运动变化、对立统一的辩证唯物主义思想教育.情感目标：通过学习圆锥曲线的统一定义，体验和感受数学的整体之美、统一之美、和谐之美，进一步激发学习数学的主动性和积极性.教学重点：圆锥曲线的统一定义和共同性质.教学难点：圆锥曲线的共同性质.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教学过程：一、问题情境回忆抛物线定义，并在此基础上提出问题：当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么曲线呢？（以抛物线的定义作为新知识的生长点）二、学生活动阅读课本P47，初步感知当比值大于1和比值小于1时动点P的轨迹.三、建构数学1.圆锥曲线的统一定义（1）多媒体演示；（2）引导学生回忆椭圆标准方程的推导过程，思考课本P47的“思考”，并在此基础上讲解例1，引导得出椭圆的第二定义，再类比得出双曲线的第二定义.2.圆锥曲线的共同性质（1）圆锥曲线的共同性质给出了三个量：定点F，定直线l，常数e.其中要求定点F 不在定直线l上，且规定e是到定点的距离与到定直线的距离的比值，两者顺序包括颠倒.（2）圆锥曲线的共同性质揭示了曲线上的点到焦点的距离与它到准线的距离的关系，规律是：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，上焦点对应上准线，下焦点对应下准线.具体如下：①对于22221(>>0)x ya ba b+=而言，左焦点1(,0)F c-对应左准线2axc=-，右焦点2(,0)F c对应右准线2axc =.②对于22221(>>0)y x a b a b +=而言，上焦点1(0,)F c 对应上准线2a y c=，下焦点2(0,)F c -对应右准线2a y c=-. ③对于22221(>0,>0)x y a b a b -=而言，左焦点1(,0)F c -对应左准线2a x c=-，右焦点2(,0)F c 对应右准线2a x c=. ④对于22221(>0,>0)y x a b a b -=而言，上焦点1(0,)F c 对应上准线2a y c=，下焦点2(0,)F c -对应右准线2a y c=-. 四、数学应用例1 求下列曲线的焦点坐标和准线方程（1）22144x y +=； （2）22221125x y -=； （3）224936y x -=； （4）22y x =-； （5）240x y +=.一般思路：首先确定圆锥曲线的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数a 、b 、c 或p ，最后根据方程的特征写出相应的焦点坐标和准线方程.应注意的是：椭圆和双曲线分别有两条准线，而抛物线只有一条准线；若题中含有参变量，则应分类讨论.练习：课本P48 练习 第1题. 例2 已知双曲线2216436x y -=上一点P 到左焦点的距离是14，求点P 到右准线的距离. 引导学生审清题意，寻找解题思路.可先求出22||(PF F 为焦点)，再利用统一定义进行求解，也可利用两准线间的距离是22a c进行求解. 解：（略） （答案：24）练习：1，求该椭圆的离心率.五、本节小结：（略）六、板书设计：（略）七、布置作业：八、教后反思：。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.5 圆锥曲线的共同性质》
椭圆中的一类定值问题一、【学习目标】〔1〕进一步稳固椭圆的方程与几何性质;〔2〕熟练掌握与椭圆有关的定值的求解方法;〔3〕通过对椭圆中定值的求解进一步提高学生的运算及探究能力;〔4〕进一步掌握数形结合、特殊到一般、设而不求等数学思想方法。
二、【前置性训练】1．椭圆分别为左右两焦点，为以椭圆长轴为直径的圆上任一点，那么 ．2． 椭圆，其中长轴两端点分别为为椭圆上除外任意一点，那么 ．变式：〔1，那么是否是定值？〔2〕设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点， 那么是否还是定值？三、【例题】在问题2的根底上再探讨下面几个问题问题1：假设直线与轴分别交于，那么是否为定值？并说明理由．问题2于，那么是否还是定值呢？问题3：在平面直角坐标系中，过点的椭圆：的右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，点关于坐标原点的对称点为，直线，分别交椭圆的右准线于，两点〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设点的坐标为，试求直线的方程；〔3〕记，两点的纵坐标分别为，，试问是否为定值？假设是，请求出该定值；假设不是，请说明理由四、【小结】五、【课后稳固】1、椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点假设的中点坐标为,那么的方程为2、椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是3、是椭圆长轴上异于顶点的任意一点，过且与轴不垂直的直线交椭圆于两点〔点在轴上方〕，点关于轴的对称点为,设直线交轴于点,试判断是否为定值？并证明你的结论．4、是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕求点的坐标；〔3〕设动点在椭圆上〔异于点〕，且直线，分别交直线于，两点，证明：为定值，并求出该定值。
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令 a2 c2 b2 ，则上式可以化为
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
这是椭圆的标准方程。
所以点 P 的轨迹是焦点为（c，0），（-c，0），长轴长、短轴长分别为 2a、2b 的椭圆。
变式 若将条件 a c 0改为 0 a c 呢？
由上例知，椭圆上的点 P 到定点 F 的距离和它到一条定直线 l（F 不在 l 上）的距离的比是一
这个常数 e 叫做圆锥曲线的离心率，定点 F 就是圆锥曲线的焦点，定直线 l 就是该圆锥曲线
的准线。 注：
（1） 椭圆的离心率 e 满足 0< e <1，双曲线的的离心率 e >1，抛物线的的离心率 e ＝1。
（2） 根据图形的对称性知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在 x 轴上
的椭圆或双曲线，准线方程都是 x a 2 ；对于中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆或双曲线， c
准线方程都是 y a 2 。 c
（3） 圆锥曲线的定义深刻提示了三类曲线的内在联系，使焦点、离心率和准线等构成一个 和谐的整体，当圆锥曲线上一点与一焦点和相应准线的距离需要建立联系时，常考虑第二定义； 当圆锥曲线上一点与两焦点距离之和（或差）为常数时，常考虑第一定义。
三、新知巩固
1、学生填表（见课本 P47 习题 2.5 1、填空）
1、思考：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：
a2 cx a (x c)2 y 2 ，
将其变形为：
(x c)2 y2 c ，ຫໍສະໝຸດ a2 xac
你能解释这个式子的意义吗？
这个式子表示一个动点 P（x，y）到定点（c，0）与到定直线 x a 2 的距离之比等于定值 c ，
c
a
那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？
(a b 0) 的下焦点和上焦点，则 PF1 a ey，PF2 a ey ；
例 2 若椭圆的长轴长是短轴长的 4 倍，一条准线方程是 y 4 ，求椭圆的标准方程。
五、课堂小结
1、圆锥曲线的共同性质 2、椭圆第二定义的简单应用
课外作业 教学反思
高中数学
个常数，这个常数就是椭圆的离必率 e
类似地，可以得到：双曲线上的点 P 到定点 F（c，0）的距离和它到定直线 l : x a 2 c
（ c a 0，b2 c 2 a 2 ）的距离的比是一个常数，这个常数 c 就是双曲线的离心率 e 。 a
圆锥曲线的共同定义：圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l （F 不在定直线 l 上） 的距离之比是一个常数 e 。
高中数学
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2、学生板演：（见课本 P46 （1）－（4））
四、知识拓展
椭圆的焦半径公式：若
P（x，y）是椭圆上任一点，F1、F2
是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1
(a b 0)
的左焦点和右焦点，则 PF1 a ex，PF2 a ex ；若 P（x，y）是椭圆上任一点，F1、F2 是
椭圆 y 2 x 2 1 a2 b2
二、新课讲解
例 1、已知点点 P（x，y）到定点 F（c，0）的距离与到定直线 l : x a 2 的距离之比是常数 c
c (a c 0) ，求点 P 的轨迹。 a
解：由题意可得
(x c)2 y2 c
a2
a
x
c
化简得
高中数学
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(a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ) 。
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2.5 圆锥曲线的共同性质
教学 目标
掌握圆锥曲线的共同性质，理解离必率、焦点、准线的意义。 通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。 可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。
重点 难点
圆锥曲线第二定义的推导 对圆锥曲线第二定义的理解与运用
教学过程 一、知识回顾