对数函数·换底公式·例题
换底公式的课后经典练习
.3一、选择题1．下列各式中不正确的是( )[答案] D[解析] 根据对数的运算性质可知：2．log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7＝lg8lg2＝3，故选C.3．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b 1＋a B.a ＋2b 1＋a C.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a[答案] C[解析] log 512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a ＋b1－a ，故选C.4．已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg2用p 、q 表示为( ) A ．pq B.q p ＋q C.pp ＋qD.pq 1＋pq[答案] B[解析] 由已知得：log 72log 75＝p q ，∴log 52＝pq变形为：lg2lg5＝lg21－lg2＝p q ，∴lg2＝pp ＋q ，故选B.5．设x ＝ ，则x ∈( )A ．(－2，－1)B ．(1,2)C ．(－3，－2)D ．(2,3)[答案] D[解析] x ＝＝log 310∈(2,3)，故选D.6．设a 、b 、c ∈R ＋，且3a ＝4b ＝6c ，则以下四个式子中恒成立的是( ) A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b[答案] B[解析] 设3a ＝4b ＝6c ＝m ， ∴a ＝log m 3，b ＝log m 4，c ＝log m 6， ∴1a ＝log m 3，1b ＝log m 4，1c ＝log m 6， 又∵log m 6＝log m 3＋log m 2，1c ＝1a ＋12b ，即2c ＝2a ＋1b，故选B. 7．设方程(lg x )2－lg x 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( ) A ．1 B ．－2 C ．－103D ．－4[答案] C[解析] 由已知得：lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝－3 那么log a b ＋log b a ＝lg b lg a ＋lg a lg b ＝lg 2b ＋lg 2alg a lg b＝(lg a ＋lg b )2－2lg a lg b lg a lg b ＝4＋6－3＝－103，故选C.8．已知函数f (x )＝2x 2＋lg(x ＋x 2＋1)，且f (－1)≈1.62，则f (1)≈( )A ．2.62B ．2.38C ．1.62D ．0.38[答案] B[解析] f (－1)＝2＋lg(2－1)，f (1)＝2＋lg(2＋1) 因此f (－1)＋f (1)＝4＋lg[(2－1)(2＋1)]＝4， ∴f (1)＝4－f (－1)≈2.38，故选B. 二、填空题9．设log 89＝a ，log 35＝b ，则lg2＝________. [答案]22＋3ab[解析] 由log 89＝a 得log 23＝32a ，∴lg3lg2＝3a2，又∵log 35＝lg5lg3＝b ，∴lg3lg2×lg5lg3＝32ab ， ∴1－lg2lg2＝32ab ， ∴lg2＝22＋3ab.10．已知log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，那么式子log abc x ＝________. [答案] 1[解析] log x (abc )＝log x a ＋log x b ＋log x c ＝12＋13＋16＝1，∴log abc x ＝1.11．若log a c ＋log b c ＝0(c ≠1)，则ab ＋c －abc ＝______. [答案] 1[解析] 由log a c ＋log b c ＝0得：lg(ab )lg a lg b·lg c ＝0，∵c ≠1，∴lg c ≠0∴ab ＝1， ∴ab ＋c －abc ＝1＋c －c ＝1.12．光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱110，要使光线减弱到原来的13以下，至少要这样的玻璃板______块(lg3＝0.4771)．[答案] 11[解析] 设光线原来的强度为1，透过第n 块玻璃板后的强度为(1－110)n .由题意(1－110)n <13，两边同时取对数得n lg(1－110)<lg 13，所以n >－lg32lg3－1＝0.47710.0458≈10.42故至少需要11块玻璃板． 三、解答题13．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值． [解析] log 416＝2，log 34·log 48·log 8m ＝log 3m ＝2， ∴m ＝9.14．计算(lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋lg8＋……＋lg1024)·log 210.[解析] (lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋…＋lg1024)·log 210＝(－1＋0＋1＋2＋…＋10)lg2·log 210＝－1＋102×12＝54. 15．若25a ＝53b ＝102c ，试求a 、b 、c 之间的关系． [解析] 设25a ＝53b ＝102c ＝k ， 则a ＝15log 2k ，b ＝13log 5k ，c ＝12lg k .∴log k 2＝15a ，log k 5＝13b ，log k 10＝12c ，又log k 2＋log k 5＝log k 10，∴15a ＋13b ＝12c. 16．设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．[解析] a ＝log 4m ，b ＝log 5m .∴1a ＋2b＝log m 4＋2log m 5＝log m 100＝1，∴m ＝100. 17．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值是3，求a 的值． [解析] ∵f (x )的最大值等于3∴⎩⎪⎨⎪⎧lg a <016lg 2a －44lg a ＝3，∴(4lg a ＋1)(lg a －1)＝0∵lg a <0，∴lg a ＝－14，∴a ＝10－14.。
对数的换底公式及其推论(含答案)
对数的换底公式及其推论一、 复习引入：对数的运算法则如果 a > 0 ，a - 1，M > 0， N > 0 有: log a (MN) Jog a M gN(1) 町1。
…N ⑵ log.M n 二 nlog a M(n R) (3)二、 新授内容：1. 对数换底公式：log a NJ°gmN( a > 0,alog m a=1 ，m > 0 ,m = 1,N>0)x证明：设 log a N = x , 贝U a = N ■两边取以m 为底的对数：log m a x = log m N = x log m a2. 两个常用的推论① log a b log b a =1 , log a b log b c 」og c a = 1 ” ②log a mb n =卫 log a b ( a, b > 0且均不为 1) *m证：① logab logb 「罟■晋"三、讲解范例:例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b,1解：因为 log 2 3 = a ，则 log 3 2a② log a m b nlgb n mlganlg bm lga二log4256log 356 log 3 42 log 3 7 3 log 32 log 37 log 3 2 ■ 1ab 3 ab b 1从而得:log m N x 二log m alog a Nlog m N log m a用a, b 表示log 42 又log 37 = b,厂1-log023 例2计算：①5 0 2解：①原式-5 %23② log43 log92 -log j 432.5log5-5 3115②原式=-log 2log 3log 22例 3 设x, y, z 二（0,：：）且3x=4y=6z证明 1 ：设3x取对数得: 2y z=4y=6z=klg4x 2y lg k 2lg k2 3x-4y=（三lg 33x :: 4y又：4y -6z =（4••• 4y :: 6z2 比较3x,4y,6z的大小*•/ x, y, z （0, ：：）• k 1igk zQig62lg3 lg4 2lg3 2lg22lgk 2lgk lg6lgk644）lgklg4lg 4 lg6.3x :: 4y :: 6z* lg 64 - lg 81lgklg3lg4 lg3lg 4::06）lgk」g36T g64lgk =lg2lg6lg2lg6例 4 已知log a x= log a c+b，求x，分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为 两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a c 移到等式左端,或者将b 变为对数形式. 解法由对数定义可知：x = a log a 」b =a log ac a b =c a b ・解法二：x由已知移项可得log a x 「log a c 二b ，即log a b*c由对数定义知：—=a b . x=ca b .c解法三：bb b bb =log a a logx=logc loga logca . x =ca四、课堂练习：①已矢卩 log 18 9 = a , 18b = 5 ,又•••log 35=q ••• lg5 二逐 血込log 310 log 3^log 351 + 3pq三、 小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、 课后作业：1 .证明：1 log a blog ab x用 a, b 表示 log 36 45解：T log 18 9 = a18-log i8— =1 _log i8 2…log 182 = 1 _a•/ 18b = 5log 36 45••• log 18 5 =blog 18 45 log 18 9 log 18 5 a b log 18 36 1 +log 18 2一 2 -alog 3 5 = q ,求 lg 5•- log 23 3 = p = log 23 =3 p =解：Tlog 8 3 = p②若 log 8 3 = p ,证法 1： 设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r 则:X =a p X = (ab)q = a q b qb=a r••• a p =(ab)q =a q(1 r) 从而 p =q(1 • r) ■/ q = 0• p= 1 r 即：log a X=1 log a b (获证) qlog ab X证法2：由换底公式 左边=log a X= logxab= gg a ab = 1 log a b =右边log ab X log X a2•已知 log a ! d = log a 2 b ?二 二 log a . b n 二’ 求证：砸玄侵a n (b 1b 2bn )='【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内 容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】证明：由换底公式lg d _ lg b 2 lg a 1 lg a 2lg b n lg a n 由等比定理得:lg b 1 lg b^ 亠 lgb n = g lga ?亠 亠 lg a .lg(db 2 b n ) lg(ae 2 a n )•- log a 。
对数的换底公式及其推论(含参考答案)
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
换底公式练习题
换底公式练习题换底公式练习题换底公式是数学中一个重要的概念，常用于解决对数运算中底数不同的情况。
通过换底公式，我们可以将一个对数的底数变换为另一个底数，从而简化计算。
在本文中，我们将通过一些实际的练习题来加深对换底公式的理解和应用。
练习题一：已知log2 3 ≈ 1.585和log2 5 ≈ 2.322，请计算log3 5。
解析：我们需要将底数为2的对数转换为底数为3的对数。
根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log2 3转换为底数为3的对数：log3 3 = log2 3 / log2 3 ≈ 1.585 / 0.631 ≈ 2.511练习题二：已知log5 2 ≈ 0.431和log5 3 ≈ 0.682，请计算log2 3。
解析：我们需要将底数为5的对数转换为底数为2的对数。
根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log5 3转换为底数为2的对数：log2 3 = log5 3 / log5 2 ≈ 0.682 / 0.431 ≈ 1.583练习题三：已知log10 2 ≈ 0.301和log10 3 ≈ 0.477，请计算log2 3。
解析：我们需要将底数为10的对数转换为底数为2的对数。
根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log10 3转换为底数为2的对数：log2 3 = log10 3 / log10 2 ≈ 0.477 / 0.301 ≈ 1.584通过以上练习题，我们可以看到换底公式的应用。
它可以帮助我们在不同底数的对数运算中进行转换，从而简化计算过程。
换底公式的理解和掌握对于解决复杂的对数问题非常重要。
除了上述练习题，我们还可以通过实际生活中的例子来进一步理解换底公式的应用。
例如，假设我们需要计算某个物质的半衰期，而我们只知道以10为底的对数。
如果我们想要以2为底进行计算，就可以利用换底公式将底数为10的对数转换为底数为2的对数，从而得到准确的半衰期。
对数换底公式例题
对数换底公式例题《对数换底公式例题》对数换底公式是数学中的重要公式之一，用于计算不同底数的对数之间的关系。
它在解决一些复杂的对数问题时起到了关键的作用。
在本文中，我们将探讨一些关于对数换底公式的例题。
例题1：已知 log₅12 ≈ 1.929，求 log₆12 的值。
解析：根据对数换底公式，我们可以将 log₆12 转化为以底数为 5 的对数。
换底公式可以表示为：logₐb = logₙb / logₙa其中，a 和 n 是底数，b 是真数。
根据题目的要求，我们可以将 log₆12 转化为以底数为 5 的对数：log₆12 = log₅12 / log₅6代入已知的 log₅12 的值：log₆12 ≈ 1.929 / log₅6此时，我们需要计算 log₅6 的值。
通过换底公式，我们可以计算出：log₅6 = logₙ6 / logₙ5选择一个适当的底数 n（例如，n=10），我们可以计算出 log₅6 的值：log₅6 ≈ log₁₀6 / log₁₀5 ≈ 0.778将 log₅6 的值代入原式，可以得出：log₆12 ≈ 1.929 / 0.778 ≈ 2.480因此，log₆12 的值约等于 2.480。
例题2：已知 log₂3 ≈ 1.585，求 log₄3 的值。
解析：类似于例题1，我们可以使用对数换底公式来计算 log₄3。
换底公式可以表示为：logₐb = logₙb / logₙa根据题目要求，我们需要计算 log₄3 的值，将其转化为以底数为 2 的对数：log₄3 = log₂3 / log₂4我们已知 log₂3 的值为 1.585，将其代入原式：log₄3 = 1.585 / log₂4此时，我们需要计算 log₂4 的值。
通过换底公式，我们可以计算出：log₂4 = logₙ4 / logₙ2选择一个适当的底数 n（例如，n=10），我们可以计算出 log₂4 的值：log₂4 = log₁₀4 / log₁₀2 ≈ 2 / 0.301 ≈ 6.644将 log₂4 的值代入原式，可以得出：log₄3 = 1.585 / 6.644 ≈ 0.238因此，log₄3 的值约等于 0.238。
对数的换底公式及其推论(含答案)
对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。
/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知： 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
对数换底公式例题
对数换底公式例题
摘要：
1.对数换底公式的定义与意义
2.例题分析
3.解题步骤与方法
4.公式的应用场景
正文：
【1.对数换底公式的定义与意义】
对数换底公式，是数学中一种重要的公式，主要用于将对数的底数进行转换。
其公式为：loga(N) = logc(N) / logc(a)。
在这个公式中，a 和c 是两个不同的底数，N 是一个正数。
对数换底公式的应用，可以简化对数的计算过程，使计算更加方便。
【2.例题分析】
例题：如果log2(8) = 3，那么log16(8) 等于多少？
在这个例题中，我们需要用到对数换底公式，将log2(8) 转换为
log16(8)。
首先，我们知道log2(8) = 3，那么我们可以将这个对数转换为以16 为底的对数，即log16(8) = log2(8) * log16(2)。
因为log16(2) = 1/4，所以log16(8) = 3 * 1/4 = 3/4。
所以，log16(8)等于3/4。
【3.解题步骤与方法】
(1) 确定题目中给出的对数，以及需要转换的底数。
(2) 使用对数换底公式，将对数转换为新的底数。
(3) 将转换后的对数进行计算，得出结果。
【4.公式的应用场景】
对数换底公式在实际应用中非常广泛，特别是在计算机科学和工程领域。
例如，在编程中，常常需要对大数据进行处理，对数换底公式可以帮助我们更快地计算出数据的对数，从而提高计算效率。
换底公式及对数运算的应用
例2 已知 log 312 a，求 log 3 24的值.
3a 1 2
例3 设 3a 5b m ，已知 1 1 2 ,
求m 的值.
ab
15
例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （1）假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此 时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震 的震级（精确到0.1）；
2.2.1 对数与对数运算
换底公式及对数运算的应用
问题提出
1.对数运算三个法则：
（1）loga M loga N loga (M N)
（2）loga
M
loga
N
loga
M N
（3）loga M n n loga M
2.对数的性质 .
（1）loga a 1; （2） loga 1 0 ;
f (x) 2x 恒成立，求 f (x)的最小值.
作业： 《红对勾》第26课时
个人观点供参考，欢迎讨论
例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明
地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说
的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算