平面直角坐标系下图形变换

平面直角坐标系下的图形变换

王建华

图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力，一般难度较大。

在平面直角坐标系中，探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的关系，是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势，这类试题设计灵活

横坐标不变，纵坐标改变横坐标改变，纵坐标不变横坐标不变，

纵坐标改变横坐标不变，纵坐标不变横坐标、纵坐标都互为相

反数

旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状

旋转角旋转半径弧长公式L=n n R/180

一、平移

例1，如图1,已知△ ABC的位置，画出将ABC向右平移5个单位长度后所得的ABC，并写出三角形各顶点的坐标，平移后与平移前对应点的坐标有什么变化？

解析：△ ABC的三个顶点的坐标是：A(-2, 5)、B(-4，3)、C(-1，2).

向右平移5个单位长度后，得到的△ A 'B 'C对应的顶点的坐标是：A，5,、B '，3)、C'，2).

比较对应顶点的坐标可以得到：沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有变化，而横坐标都增加了5个单位长度.

友情提示：如果将△ ABC沿y轴向下平移5个单位，三角形各顶点的横坐标都不变，而纵坐标都减少5个单位.(请你画画看).

例2.如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点

图1 图2

析解：由图可知点A移动到A，可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位, ••• B(3,3)经过相同的平移后可得B Z(7,4)

反思：①根据平移的坐标变化规律：

★左右平移时：向左平移h个单位(a,b) (a h,b)

向右平移h个单位(a,b) (a h,b)

★上下平移时：向上平移h个单位(a,b) (a,b h)

向下平移h个单位(a,b) (a,b h)

二、旋转

例3.如图2,已知△ ABC，画出△ ABC关于坐标原点0旋转180°后所得△ A'B'C', 并写出三角形各顶点的坐标，旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化？

解析：△ ABC三个顶点的坐标分别是：

A(-2, 4)，B(-4, 2)，C(-1, 1).

△ A B 'C ‘三个顶点的坐标分别是：

A' ,-4), B ' (,-2), C' , -1).

比较对应点的坐标可以发现：将厶ABC沿坐标原点

旋转180。后，各顶点的坐标分别是原三角形各顶点坐

标的相反数.

例3如图，在直角坐标系中，△ ABO的顶点A、B、

O的坐标分别为(1, 0)、(0, 1)、(0, 0) •点列P1、

P2、P3、…中的相邻两点都关

平移：上下平移

左右平移

对称：关于x轴对称关于y轴对称关于中

心对称B'的坐标是

__________________

图2

于厶ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B 对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，….对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是(1，1)，试求出点P2、P7、P100的坐标•

分析：本题是一道和对称有关的探索题，是在中心对称和点的坐标知识基础上的拓宽

题，由于是规律循环的对称，所以解决问题的关键是找出循环规律•如图，

标出P i到P7各点，可以发现点P7和点P l重合，继续下去可以发现点P8和点P2循环,所以6个点循环一次，这样可以求出各点的坐标•

解：如图P2(1,-1)，P7(1,1),因为100除以6余4,所以点P100和点P4的坐标

相同，所以P100的坐标为(1,-3).

三、对称

例4•如图3，已知△ ABC，画出△ ABC关于x轴对称的△ A'B 'C',并写出各顶点的坐标•关于x轴对称的两个三角形对应顶点的坐标有什么关系？

解析：△ ABC三个顶点的坐标分别是：

A(1, 4)，B(3, 1)，C(-2, 2).

△ A ,,'三个顶点的坐标分别是：

A' ,1-4), B，,-1), C'-2, -2).

观察各对应顶点的坐标可以发现：关于x轴对称两个三角形的对应顶点的横坐

标不变，纵坐标互为相反数.

友情提示：关于y轴对成的两个图形，对称点的纵坐标不变，横坐标互为相反数.在直角坐标系中，△ ABC的三个顶点的位置如图3所示.

(1)请画出△ ABC关于y轴对称的△ ABC (其中A , B , C分别是A, B, C的对应

点，不写画法)；

(2)直接写出A , B , C三点的坐标：

A ( ____ ),

B ( _____ ),

C ( _____ ).

图3 图4

析解：如图4,根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1,故可得(2) A(2,3) , B (31) , C( 1, 2)

反思：★关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，即纵坐标乘以1

★关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1

★关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以1

四、位似

例4 如图4,已知△ ABC,画出△ ABC以坐标原点0为位似中心的位似△ A , 'C', 使厶A'B'C在第三象限，与△ ABC的位似比为-，写出三角形各顶点的坐标，位似

2

变换后对应顶点发生什么变化？

解析：△ ABC三个顶点的坐标分别是：

A(2, 2), B(6, 4), C(4, 6).

△ A B 'C '三个顶点的坐标分别是：

A'-( -1), B'-3, -2), C'-2, -3).

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图3