2018年高考备考+均值不等式和柯西不等式+含历年高考真题
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1、(2008江苏)设a ,b ,c
为正实数,求证:
333111a b c
+++abc ≥
2、(2010辽宁理数)已知均为正数,证明:,并确定为何值时,等号成立。
3、(2012江苏理数)已知实数x ,y 满足:11|||2|36x y x y +<
-<,,求证:5||18
y <.
4、(2013新课标Ⅱ)设均为正数,且,证明: (Ⅰ); (Ⅱ).
5、(2012福建)已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].
(1)求m 的值; (2)若a ,b ,c ∈R,且1a +12b +13c
=m ,求证:a +2b +3c ≥9
c b a ,,36)111(2222≥+++++c
b a
c b a c b a ,,
6、(2011浙江)设正数z y x ,,满足122=++z y x .
(1)求zx yz xy ++3的最大值;(2)证明:
26
125111113≥+++++xz yz xy
7.(2017全国新课标II 卷)已知33
0,0,2a b a b >>+=。证明:
(1)55()()4a b a b ++≥;(2)2a b +≤。
8.(2017天津)若,,则的最小值为___________. 9.【2015高考新课标2,理24】设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+,证明:
(Ⅰ)若ab cd >>
>
+是a b c d -<-的充要条件.
10.【2015高考福建,理21】选修4-5:不等式选讲
已知0,0,0a b c >>>,函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4.
(Ⅰ)求a b c ++的值;(Ⅱ)求
2221149a b c ++的最小值.
11.【2015高考陕西,理24】(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<.
(I )求实数a ,b 的值;(II +的最大值.
【均值不等式】
例题1:已知y x ,均为正数,且y x >,求证:3221222+≥+-+
y y xy x x .
例题2:已知z y x ,,均为正数.求证:
z y x xy z zx y yz x 111++≥++.
变式:设z y x ,,为正数,证明:()()()()y x z z x y z y x z
y x +++++≥++2
223332.
【柯西不等式】
例题1:若正数c b a ,,满足1=++c b a ,求
121121121+++++c b a 的最小值.
变式:若21,32x ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭
例题2:已知z y x ,,是正数.
()1若1=+y x ,求y y x x +++2222的最小值;()2若1222=+++++z z y y x x ,求证:1222222≥+++++z
z y y x x .
变式1:设0,,>c b a ,1=++c b a ,求证:
53222≥-+-+-c c b b a a .
变式2:已知正数y x ,满足xyz z y x =++,求
zx yz xy 211++的最大值.
【能力提升】
1、 设c b a ,,均为正实数,求证:
b a
c a c b c b a +++++≥++111212121.