项式定理知识点和各种题型归纳带答案
二项式定理知识点及题型归纳总结
二项式定理知识点及题型归纳总结知识点精讲一、二项式定理()nn n r r n r n n n n n nb a C b a C b a C b a C b a 01100+⋯++⋯++=+--()*Nn ∈.展开式具有以下特点： （1）项数：共1+n 项.（2）二项式系数：依次为组合数nn n n n C C C C ，⋯,,,21.（3）每一项的次数是一样的，都为n 次，展开式依a 的降幂、b 的升幂排列展开.特别地，()nn n n n n x C x C x C x +⋯+++=+22111.二、二项式展开式的通项（第1+r 项）二项式展开的通项为r r n r n r b a C T -+=1().,,3,2,1,0n r ⋯=.其中rn C 的二项式系数.令变量（常用x ）取1，可得1+r T 的系数.注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点： ①分清r rn rn b aC -是第1+r 项，而不是第r 项；②在通项公式r r n r n r b a C T -+=1中，含n r b a C T rn r ,,,,,1+这6个参数，只有n r b a ,,,是独立的，在未知n r ,的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n 和r . 三、二项式展开式中的系数 （1）二项式系数与项的系数二项式系数仅指nn n n n C C C C ，⋯,,,21而言，不包括字母b a ,所表示的式子中的系数.例如：()nx +2的展开式中，含有r x 的项应该是n r n r n r x C T -+=21，其中r n C 叫做该项的二项式系数，而rx 的系数应该是r n r n C -2（即含r x 项的系数）.（2）二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即22110,,--===n n n n n n n n n C C C C C C ，…，r n n r n C C -=.②二项展开式中间项的二项式系数最大.如果二项式的幂指数n 是偶数，中间项是第12+n 项，其二项式系数n n C 2最大；如果二项式的幂指数n是奇数，中间项有两项，即为第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数21-n n C 和21+n n C 相等并且最大. （3）二项式系数和与系数和 ①二项式系数和011+12n nnn n n C C C ++⋯+==（） .奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋯=+++⋯=即 .②系数和求所有项系数和，令1x =；求变号系数和，令1x =-；求常数项，令0x =。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式定理知识点及典型题型总结
二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n nn 2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式 （2）项数：二项展开式中共有1+n 项（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C rn=叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数 （4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T rr n r nr ==-+ 3、展开式的特点（1）系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C nn ,…,C nn(2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。
②b 的指数由0 n （升幂）。
③a 和b 的指数和为n 。
(3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。
4、二项式系数的性质： （1）对称性:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n nC当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n nC =21+n nC（3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即mn n m n C C -=nn n k n n n n C C C C C 2210=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++∴0213n-1n n n n C +C +=C +C +=2二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(xx +的展开式；a2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(xx -的展开式；3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn n n n n n 3)1( (279313)21-++-+-；二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素例4．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为2．确定二项展开式的常数项 例5．103)1(xx -展开式中的常数项是3．求单一二项式指定幂的系数 例6． 92)21(xx -展开式中9x 的系数是三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，2x 的系数等于例8．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是四、利用二项式定理的性质解题 1． 求中间项 例9．求（103)1xx -的展开式的中间项；。
二项式定理经典题型及详细答案
二项式定理经典考点例析考点1：二项式系数与项的系数1、在28(2x -的展开式中，求： （1）第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）2x 的系数.2.若1()nx x+展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为___________.3.已知二项式102)3x求 （1）第四项（2）展开式第四项的二项式系数（3）展开式第四项的系数考点2：二项式定理逆用1、5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-=_____________2、5432)12()12(5)12(10)12(10)12(51+-+++-+++-x x x x x =_____________考点3：求二项式展开式中的特定项、某一项【例题】 1、二项式3522()x x-的展开式中5x 的系数___________；2. 二项式43(1)(1x -的展开式中2x 的系数是___________.3.若4(1a +=+（,a b 为有理数），则a b +=___________.4.二项式8(2-展开式中不含4x 项的系数的和为___________.5、二项式53)31()21(x x -+的展开式中4x 的系数___________.【练习】1.二项式4(1)x +的展开式中2x 的系数为___________..2.二项式210(1)x -的展开式中，4x 的系数为___________.3.二项式6展开式中含2x 项的系数为___________. 4.二项式533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数___________.、常数项和有理项【例题】 1. 二项式61(2)2x x-的展开式的常数项是___________.2、二项式100的展开式中x 的系数为有理数的项的个数___________.3. 二项式261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为___________.4.二项式5)12(++xx 的展开式中常数项是___________. 【练习】1.8(2x -的展开式中的常数项___________. 2.在261()x x+的展开式中，常数项是___________.3.二项式5)44(++xx 的展开式中常数项是___________. 4.二项式54)31()21(xx -+的展开式中常数项是___________. 考点4：求展开式中的各项系数之和的问题1、已知7270127(12)...x a a x a x a x -=++++.求：（1）0a ； （2）763210a a a a a a ++++++ ；（3）763210a a a a a a -++-+-（4）6420a a a a +++；（5）7531a a a a +++；（6）2753126420)()(a a a a a a a a +++-+++. （7）||||||||||||763210a a a a a a ++++++ .（8）7766321022842a a a a a a ++++++ ；（9）7766321022842a a a a a a ++++++； 2.在二项式9(23)x y -的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和；（4）所有项的系数的绝对值之和.3.利用二项式nn n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 432210)1(展开式nn n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 32842)4(2)3(0)1()2(2)1(3210153142032103210=+++++=+++=+++=-++-+-=+++++-考点5：多项式的展开式最大项问题【例题】1、二项式9)21(x +展开式中，(1)二项式系数的最大项 (2)系数的最大项 2、二项式12)21(x -展开式中（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.（2）求展开式中系数最大的项.（3）求展开式中系数最小的项.3、已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值．4、n xx )1(4+展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为__________．【练习】1、2102()x x+的展开式中系数最大的项； 2、求7(12)x -展开式中系数最大的项．3、设x =50(1)x +展开式中第几项最大？4、已知()nx x 2323+展开式中各项系数的和比各项的二项式系数的和大992，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.考点6：含参二次函数求解【例题】1.【特征项】在二项式25()a x x-的展开式中x 的系数是-10，则实数a 的值是___________.2.【常数项】若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是___________.3.【有理项】已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中的所有有理项________. 4.【特征项】在210(1)x px ++的展开式中，试求使4x 项的系数最小时p 的值.5.【系数最大】已知1(2)2nx +的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项． 【练习】1.若9()a x x-的展开式中3x 的系数是-84，则a =___________.2.已知2)n x的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中2x 的系数_____. 3.若二项式22()nx x-的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为___________ 4.已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．考点7：求解某些整除性问题或余数问题1. 求证22*389()n n n N +--∈能被64整除.2. 9291被100整除所得的余数为_________ 3. 设21(*)n k k N =-∈，则11221777...7nn n n n n n C C C ---+⋅+⋅++⋅被9除所得的余数为_________4. 求证：（1）51511-能被7整除；（2）2332437n n +-+能被64整除.5. 如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n ，经过33(275)n n +++天是星期几？考点8：计算近似值1、求60.998的近似值，使误差小于0.001. 2、求51.997精确到的近似值.考点9：有关等式与不等式的证明化简问题1、求121010101010124...2C C C ++++的值. 2、化简：1231248...(2)nnn n n n C C C C -+-++-. 3、求证：01121*(2)!...()(1)!(1)!n nn n n n n n n C C C C C C n N n n -+++=∈-+.4、证明下列等式与不等式（1）123123 (2)nn n n n n C C C nC n -++++=⋅.（2）设,,a b c 是互不相等的正数，且,,a b c 成等差数列，*n N ∈，求证2nnna cb +>. 【练习】1、=++++nn n n n n C C C C 2222210 ；2、=-++-+-nn n n n n n n C C C C C 2)1(22232210 ； 3、求证：12122-⋅=+++n n n n n n nC C C4、求证：nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++5、已知7292222210=++++nn n n n n C C C C ，求n n n n C C C +++ 21考点10：创新型题目1、对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上） 2、规定!)1()1(m m x x x C m x +--=，其中x ∈R，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．(1) 求315-C的值；(2) 设x >０，当x 为何值时，213)(xxC C 取得最小值(3) 组合数的两个性质；①m n n m n C C -=. ②mn m n m n C C C 11+-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.3、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．。
二项式定理知识点总结及例题分析-高中数学2018版
高中数学-二项式定理知识点总结及例题分析一、 基本知识点1．二项式定理(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －kn .(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为C n －12n 或C n ＋12n. (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 方法分析1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项(第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大． 2．二项展开式系数最大项的求法：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，从而解出k 来，即得．例题讲解考点一求二项展开式中的项或项的系数 1 (1)⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20(2)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x n的展开式中第4项为常数项，则常数项为( )A ．10B ．－10C ．20D ．－20解析： (1)由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y3的系数为－20.(2)由题意可知常数项为T 4＝C 3n (x )n －3⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝(－1)3C 3n x 3n －156，令3n －15＝0，可得n ＝5.故所求常数项为T 4＝(－1)3C 35＝－10，选B.答案： (1)A (2)B 变式练习1．若二项式⎝⎛⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B ．54 C ．1 D ．242.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数次幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 3.⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式中的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36 D ．384．(2014·山东卷)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．5．(2014·皖南八校联考)(x 2－4x ＋4)5的展开式中x 的系数是________． 答案1C 2.B 3.D 42 5-5120 考点二 二项式系数及项的系数问题(1)(2014·辽宁五校联考)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是A ．360B ．180C ．90D ．45(2)(2014·河北衡水中学五调)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝________.解析： (1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10，通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102rx 5－52r ，所以r ＝2时，常数项为180.(2)∵T r ＋1＝C r 7x7－r(－m )r,0≤r ≤7，r ∈Z ，∴C 37(－m )3＝－35，∴m ＝1，令x ＝1，a 0＋a 1＋…＋a 7＝(1－1)7＝0，令x ＝0，a 0＝(－1)7＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1.答案： (1)B (2)1变式练习1．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n 的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b ，若a ＋2b＝80，则n 的值为( )A ．8B ．4C ．3D ．22．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3考点三 二项式定理的应用、设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．1 1D ．12 解析： 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝522 012＋C 12 012×522 011×(－1)＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2 011＋(－1)2 012＋a 能被13整除，只需(－1)2 012＋a ＝1＋a 能被13整除即可．∵0≤a <13，∴a ＝12，故选D.答案： D。
专题10-2 二项式定理-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(解析版)
【详解】 x 2 10 的展开式中,通项公式： Tr1 C1r0 x10r 2 r ，
令 10−r=7，解得 r=3.
∴x7 的系数为 C130 2 3 = 8C170 ,
故选：C.
2.．
1 2
x
2
y
5
的展开式中
x2
y3
的系数为_____．
【答案】-20 分析：首先利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，之后令相应的幂指数与题中所给的项的
k
1 项 Tk1
Ckn
x3 nk
x3 k Ckn x3n6k
令 3n 6k 0 则 n 2k （ k Z ）
所以 n 为偶数。故选：A
【题型四】给通项求参数
【典例分析】
已知
ax
b x
6
的展开式中
x
3 2
项的系数为
160，则当
a
0
，
b
0
时，
a
b
的最小值为（
）
A．4
B． 2 2
C．2
D． 2
当 r 3 时， T4 253C53x53 y 3 40x2 y3 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 x 即可，得到 40x3 y3 ；
当 r 2 时，T3 252 C52 x52 y 2 80x3 y2 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 2 y 即可，得到 160x3 y3 ；
故选：D．
3. x 2 y 2x y 5 的展开式中的 x3 y3 系数为（
）
A． 200
B． 120
C．120
D．200
【答案】A
【分析】由题意首先确定 (2x y)5 展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定 x3 y3 的系数.
二项式定理知识点及常考题型
二项式定理知识点及常考题型一、 两项展开式的特定项1． 展开式：011222()n n n n k n k k n nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++；等号右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，展开式中一共有1n +项．2． 通项公式：1k n k kk n T C a b -+=；3．指数运算：①a mn ＝√a m n (a ＞0，m ，n ∈N ∗，且n ＞1) ②a−mn ＝1a m n(a ＞0，m ，n ∈N ∗，③a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q)； ④(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q)； ⑤(ab)r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．例1．（2022·山东济宁·一模）612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为___________．（用数字作答） 【答案】160- 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为零，求出r ，从而可求出常数项 【详解】二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为66621661(2)(1)2rr r r rr r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，令620r -=，得3r =，所以612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为33636(1)2160C --⋅=-，故答案为：160-变式1－1．（2022·浙江·模拟预测）设,a b ∈R ，若二项式()3ax by +的展开式中第二项的系数是1，则二项式()6ax by +的展开式中第三项的系数是（ ） A ．13B ．1C ．53D ．5【答案】C【解析】 【分析】由二项展开式的公式展开可得二项式()3ax by +的展开式中第二项的系数231a b =，再由二项式()6ax by +的展开式中第三项的系数为4215a b ，代入即可得解． 【详解】由二项式()3ax by +的展开式中第二项122223()3T C ax by a bx y ==，所以231a b =，二项式()6ax by +的展开式中第三项242424236()()15T C ax by a b x y ==，所以422151515()33a b ==．故选：C变式1－2．（2022·山东临沂·一模）二项式612x x ⎫+⎪⎭的展开式中系数为无理数的项数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】 【分析】2 【详解】展开式通项公式为666221661(2)()2rrrrr r r T C x C x x---+==，0,1,2,3,4,5,6r =， 当0,2,4,6r =时，62r -是整数，1,3,5r =时，62r-是不是整数，系数是无理数，共有3项． 故选：B ．作业1．（2022·四川·成都七中高三开学考试（理））在12332x x 的二项展开式中，第______项为常数项． 【答案】7 【解析】 【分析】直接利用二项式的通项公式，令x 的指数为0，求出r 即可． 【详解】解：12332x x 的二项展开式的通项为12212311231231()(22rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭，令12203r-=，解得6r =，即6r =时，二项展开式为常数项，即第7项是常数项． 故答案为：7．二、三项展开式的特定项方法一：将其中两项看作一个整体进行展开，再层层剥开； 方法二：利用排列组合，根据所求进行不同的组合形式，再相加。
二项式定理归类(解析版)
专题28二项式定理归类目录【题型一】二项式通项公式.............................................................................................................1【题型二】积型求某项.....................................................................................................................3【题型三】展开式二项式系数和...................................................................................................4【题型四】展开式各项系数和.........................................................................................................5【题型五】赋值法求部分项系数和.................................................................................................7【题型六】换元型赋值求系数与系数和.........................................................................................8【题型七】求系数最大项...............................................................................................................10【题型八】杨辉三角形应用...........................................................................................................11【题型九】三项展开式...................................................................................................................13培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................15培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................17培优第三阶——培优拔尖练.. (19)【题型一】二项式通项公式【典例分析】二项式5的展开式中常数项为（）A ．80B ．80-C ．40-D ．40【答案】B【分析】求出展开式的通项，再令x 的指数等于0，即可得出答案.【详解】解：二项式5的展开式的通项为()15556155C 2C kkkk kkk T x --+⎛=⋅-=- ⎝，令15506k-=，则3k =，所以常数项为()3352C 80-=-.故选：B.1.将二项式8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（）A ．37A B ．6366A A C ．6367A A D ．7377A A 【答案】C【分析】先利用二项式定理判断其展开式中有理式的项数，再利用插空法进行排列即可.【详解】根据题意，得816324418811C C C 22k k kk k kkk k k T x x x ----+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为08k ≤≤且*N k ∈，当0k =时，16344k-=，即1T 为有理式；当4k =时，16314k-=，即5T 为有理式；当8k =时，16324k-=-，即9T 为有理式；当{}1,2,3,5,6,7k ∈时，163Z 4k-∉，即k T 为无理式；所以8展开式一共有9个项，有3个有理式，6个无理式，先对6个无理式进行排列，共有66A 种方法；再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理式中，共有37A 种方法；利用分步乘法计数原理可得，一共有6367A A 种方法.故选：C.2.在72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x 的系数是（）A ．35B ．35-C ．560D ．560-【答案】C【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中1x的系数.【详解】二项式72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()7727722rr rr r r C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令7214r r -=-⇒=，所以72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数为()44721635560C -⋅=⨯=.故选：C3.．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第四项为（）A ．160B ．160-C ．3160x D ．3160x -【答案】D【分析】直接根据二项展开式的通项求第四项即可.【详解】在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第四项为()()333323334662C 2C 160T x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故选：D.【题型二】积型求某项【典例分析】已知()511a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数为10，则实数a 的值为（）A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B【分析】因为()555111111a x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合二项展开的通项公式运算求解.【详解】511x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为515511C 1C rrr r r r T x x -+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4,5r =，∵()555111111a x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴3455C C 10510a a +=+=，解得12a =，故选：B.【变式训练】1.．()()8x y x y -+的展开式中36x y 的系数为（）A ．28B ．28-C ．56D ．56-【答案】B【分析】由二项式定理将8()x y +展开，然后得出8()()x y x y -+，即可求出36x y 的系数.【详解】由二项式定理：8()()x y x y -+080171808888()(C C C )x y x y x y x y =-+++080171808080171808888888(C C C )(C C C )x x y x y x y y x y x y x y =+++-+++090181818081172809888888(C C C )(C C C )x y x y x y x y x y x y =+++-+++观察可知36x y 的系数为6523888887876C C C C 2821321⨯⨯⨯-=-==-⨯⨯⨯.故选：B.2.在()()2311x x +-展开式中，含4x 项的系数是（）A ．5-B ．5C ．1-D ．1【答案】D【分析】由题意可得()()()()233211121x x x x x +-=++-，再对()31x -借助于二项展开式分析运算.【详解】∵()()()()233211121x x x x x +-=++-，且()31x -的展开式的通项为()()3133C 11C ,0,1,2,3rrr r r rr T x x r -+=⨯⨯-=-=，则含4x 项的系数是()()32323321C 11C 1⨯-+⨯-=.故选：D.3.()412x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．2B ．6C ．8D ．12【答案】D【分析】先将()412x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开，再求，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项，即可求出答案.【详解】()4442=11+12x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：4421441C C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当420r -=即2r =时，242C =12⋅，所以()412x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为12.故选：D.【题型三】展开式二项式系数和【典例分析】．()101x -的展开式中所有奇数项的二项式系数和为（）．A ．128B ．256C ．512D ．1024【答案】C【分析】根据奇数项的二项式系数和为22n计算可得；【详解】解：()101x -的展开式中所有奇数项的二项式系数和为1025122=，故选：C ．【变式训练】1.已知2(n x的展开式中，各二项式系数和为64，则x 7的系数为（）A ．15B ．20C ．60D ．80【答案】C【分析】由二项式系数和求得n ，再利用通项可得x 7的系数.【详解】由二项式系数和为264n =，解得6n =，通项为()512622166C C 2rr rr r r r T x x --+==，令51272-=r ，得2r =，则x 7的系数为226260C =.故选：C.2.已知()2*2nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中3x 的系数为（）A ．240-B ．240C ．160-D ．160【答案】C【分析】由二项式系数的性质求出n ，写出二项展开式的通项公式，令x 的指数为3，即可得出答案.【详解】由展开式中各项的二项式系数之和为64，得264n =，得6n =．∵622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()()621231662C 1C ·2·1rrrr r r rr r T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1233r -=，则3r =，所以其展开式中3x 的系数为()3336C 21160⨯⨯-=-．故选：C.3.已知二项式212mx x ⎛⎫+ ⎝⎭的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x 3项的系数是（）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】D【分析】由二项式系数的和的公式解得m 的值，运用二项展开式的通项公式解出r 的值，进而可得3x 项的系数.【详解】由题意知，264m =，解得：6m =，所以621()2x x +的二项展开式的通项公式为663166211C C 22rr r r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，令6－3r ＝3，得r ＝1，故含3x 项的系数为161132C =.故选：D.【题型四】展开式各项系数和【典例分析】在3nx⎛⎝的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（）A ．15B ．45C ．135D ．405【答案】C【分析】令1x =可得展开式各项系数和，再由二项式系数和为2n ，即可得到方程，求出n ，再写出二项式展开式的通项，令x 的指数为0，即可求出r ，再代入计算可得；【详解】解：对于3nx ⎛ ⎝，令1x =，可得各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以6426422nn n ===，解得6n =，所以63x ⎛+ ⎝展开式的通项为()36662166C 3C 3rr r r r r r T x x ---+=⋅=⋅，令3602r -=，解得4r =，所以42056C 3135T x =⋅=；故选：C1.．0x ∀≠，101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可以写成关于221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的多项式，则该多项式各项系数之和为（）.A ．240B ．241C ．242D ．243【答案】D【分析】利用换元法，将101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为()52t +，从而利用赋值法即可求得该多项式各项系数之和.【详解】因为222112x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，令221t x x =+，则()5105221122x x t x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令1t =，则()5523243t +==，所以该多项式各项系数之和为243.故选：D.2.已知二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（）A ．405-B ．405C ．81-D ．81【答案】A【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.【详解】令1x =，可得所有项的系数之和为2325n n =⇔=，则11(5)(52)5522155(1)3C (1)3C r r r r rr rr rr r Tx xx------+=-=-，由题意5312r-=，即1r =，所以展开式中含x 项的系数为4153C 405-=-．故选：A ．3.已知5312a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为4，则该展开式中的常数项为（）A ．200B ．280C ．200-D ．280-【答案】D【分析】根据题意将1x =代入，由各项系数的和为4可求得a 的值，再根据二次项展开式求出512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项()5521512C rr r rr T x --+=-，分别与x 和33x相乘得到常数项，可求出r 的值，再合并即可得到结果.【详解】由题意，令1x =，得到展开式的各项系数和为1a +，所以14a +=，解得3a =.所以55553331311312222a x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=-+- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()5521512C r r r rr T x --+=-，令521r -=-，解得3r =；令523-=r ，解得1r =，所以展开式中的常数项为()()35335115512C 312C 280---⨯+⨯-⨯=-.选项D 正确，故选D.【题型五】赋值法求部分项系数和【典例分析】若()6652460126x y a y a xy a x y a x +=+++⋅⋅⋅+，则()()220246135a a a a a a a +++-++的值为（）A ．0B ．32C ．64D ．128【答案】A【分析】先利用赋值法求得0123456a a a a a a a -+-+-+和0123456a a a a a a a ++++++的值，进而求得()()220246135a a a a a a a +++-++的值.【详解】1x =，1y =-时，01234560a a a a a a a =-+-+-+1x =，1y =时，012345664a a a a a a a =++++++()()220246135a a a a a a a +++-++()()012345601234560640a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+++++++=⨯=，故选：A.【变式训练】1.已知()727012752x a a x a x a x -=++++，则0127a a a a ++++=（）A ．128B ．2187C ．78125D ．823543【答案】D【分析】由展开式通项公式可得系数0246a a a a 、、、小于0，系数1357a a a a 、、、大于0，由赋值法令=1x -，所求值即为()7-5-1-2⨯⎡⎤⎣⎦.【详解】()752x -的展开式中第1k +项为()()()77771777C 52C 52=kkkk k kk k k k T x x a x ----+-=-=-，故系数()777C 52kk kk a --=-，即当k 为奇数时，系数0246a a a a 、、、小于0，当k 为偶数时，系数1357a a a a 、、、大于0.()7012701234567-823543----5-1-2a a a a a a a a a a a a ++++=++++=⨯=⎡⎤⎣⎦.故选：D2.()4234012341x a a x a x a x a x +=++++，则01234a a a a a -+-+=（）A ．1B ．3C ．0D ．3-【答案】C【分析】根据展开式，利用赋值法取=1x -即得.【详解】因为()4234012341x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，可得()401234110a a a a a -+-+=-=.故选：C.3.已知()()4529012912x x a a x a x a x -+=++++，则2468a a a a +++=（）A ．40B ．8C ．16-D ．24-【答案】D【分析】设45()(1)(2)f x x x =-+，根据二项式展开式可得0(0)a f =、02468(1)(1)2f f a a a a a -+++++=，即可求解.【详解】设45()(1)(2)f x x x =-+，则50(0)232a f ===，0129(1)0a a a a f ++++==4012349(1)216a a a a a a f -+-+--=-==，所以02468(1)(1)82f f a a a a a -+++++==，所以246883224a a a a +++=-=-.故选：D.【题型六】换元型赋值求系数与系数和【典例分析】已知()()()()20232202301220232111x a a x a x a x -=+++++++，则0122023a a a a ++++=（）A ．40462B ．1C ．20232D ．0【答案】A【分析】首先利用换元，转化为()20232202301220233t a a t a t a t -=++++，再去绝对值后，赋值求和.【详解】令1t x =+，可得1x t =-，则()()20232023220230122023213t t a a t a t a t --=-=++++⎡⎤⎣⎦，二项式()20233t -的展开式通项为()202312023C 3rr rr T t -+=⋅⋅-，则()20232023C 31(02023rr rr a r -=⋅⋅-≤≤且N)r ∈．当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，因此，()2023404601220210122023312a a a a a a a a ++++=-+--=+=．故选：A ．1.已知10111012C C n n =，设()()()()201223111n nn x a a x a x a x -=+-+-++-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a ++++=，④展开式中所有项的二项式系数和为1.其中正确的个数有（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据组合数的性质求得n ，根据二项式展开式的通项公式、赋值法、二项式系数和的知识求得正确答案.【详解】101110122023n =+=，①对.()20232202301220232023(23)(1)(1)(1211)x a a x a x a x x -=+-+-+=--⎡⎤⎦+-⎣，所以02023202320232023C 22n a a =⋅==，②错.令2x =得0121n a a a a ++++=，③对.展开式中所有项的二项式系数和为20232，④错.所以正确的说法有2个.故选：C2.已知36C C n n =，设()()()()201223111n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则12n a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】利用组合数的性质可求得n 的值，再利用赋值法可求得0a 和012n a a a a +++⋅⋅⋅+的值，作差可得出所求代数式的值.【详解】因为36C C n n =，所以由组合数的性质得369n =+=，所以()()()()929012923111x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，令2x =，得()90129223a a a a ⨯-=+++⋅⋅⋅+，即01291a a a a +++⋅⋅⋅+=.令1x =，得()902131a ⨯-==-，所以()()12901290112a a a a a a a a +++=+⋅⋅⋅⋅++⋅=⋅+---=，故选：D.3.．已知(1)n x -的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若()2012(1)1(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+++++⋯++，则1a 等于（）A ．192B ．448C ．192-D ．448-【答案】B【分析】根据奇数项二项式系数和公式求出n ，再利用展开式求1a .【详解】(1)n x -的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，1264n -∴=，即7n =；则77(1)[(1)2]x x -=+-的通项公式为717C (1)(2)k k kk T x -+=+-，令71k -=，则6k =，所以6617C (2)448a =⨯-=.故选：B【题型七】求系数最大项【典例分析】已知22nx ⎫+⎪⎭的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116，则展开式中二项式系数最大的项为第（）项.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】先求出二项式展开的通项公式，分别求出第3项的系数与倒数第3项的系数，由题意得到关于n 的方程，即可确定其展开式二项式系数最大项.【详解】22nx ⎫⎪⎭的展开式通项公式为52122C C 2rn r n r r r rr n n T x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，则第3项的系数为22C 2n ⋅，倒数第3项的系数为22C 2n n n --⋅，因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116，所以22422C 212C 216n n n n ---⋅==⋅，所以2226C 2C 2n n n n --⋅=⋅，解得8n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，故选：C 【变式训练】1.已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（）A ．448-B ．1024-C ．1792-D ．5376-【答案】C【分析】先根据二项式系数的性质可得=8n ，再结合二项展开式的通项求各项系数()82C r rr a =-，分析列式求系数最小项时r 的值，代入求系数的最小值.【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则=8n∴展开式的通项为()83821882C 2C ,0,1,...,8rr rr rr r T x r x --+⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭则该展开式中各项系数()82C ,0,1,...,8r rr a r =-=若求系数的最小值，则r 为奇数且+2200r r r r a a a a --≤-≤⎧⎨⎩，即()()()()+2+28822882C 2C 02C 2C 0r r r r r r r r -----≤---≤⎧⎪⎨⎪⎩，解得=5r ∴系数的最小值为()55582C 1792a =-=-故选：C.2.已知m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，且137a b =，则m 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】根据二项式系数的性质确定,a b ，由关系137a b =列方程求m 的值.【详解】由题意可知221C ,C m mm m a b +==,137a b =,22113C 7C m mm m +∴=,即()()()2!21!137!!!1!m m m m m m +=⋅⋅+,211371m m +∴=⨯+，解得6m =．故选：C ．3.已知()*(1),n mx n m +∈∈N R 的展开式只有第5项的二项式系数最大，设2012(1)n n n mx a a x a x a x +=++++，若18a =，则23n a a a +++=（）A ．63B ．64C ．247D ．255【答案】C【分析】根据二项式系数的性质求出n ，根据18a =求出m ，再由赋值法求解即可.【详解】因为展开式只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以8n =，718C 8a m =⋅=，∴1m =，∴8280128(1)x a a x a x a x +=++++，令1x =，得8012382256a a a a a +++++==，令0x =，得01a =，∴2325681247n a a a +++=--=．故选：C ．【题型八】杨辉三角形应用【典例分析】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A ．222234510C C C C 165+++⋅⋅⋅+=B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【答案】C【分析】A 选项由11C C C m m m n n n -++=及22222322234510334510C C C C C C C C C 1++++=+++++-即可判断；B 选项由二项式系数的增减性即可判断；C 选项由11C C C m m m n n n -++=及6767C C =即可判断；D 选项直接计算比值即可判断.【详解】由11C C C m m m n n n -++=可得22222322234510334510C C C C C C C C C 1++++=+++++-32223445101111109C C C C 1C 11164321⨯⨯=++++-=-=-=⨯⨯，故A 错误；第2022行中第1011个数为1010101120222022C C <，故B 错误；666766767678778889C C C C C C C C C ++=++=+=，故C 正确；第34行中第15个数与第16个数之比为14153434343321343320C :C :15:203:4141311514131⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故D 错误.故选：C.【变式训练】1.将三项式展开，得到下列等式：20(1)1a a ++=212(1)1a a a a ++=++22432(1)2321a a a a a a ++=++++2365432(1)367631a a a a a a a a ++=++++++⋯观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数(不足3个数时，缺少的数以0计)之和，第k 行共有21k +个数．则关于x 的多项式()2253(1)a ax x x +-++的展开式中，8x 项的系数（）A ．()2151a a +-B ．()2151a a ++C ．()21523a a ++D ．()21523a a +-【答案】D【分析】直接利用广义杨辉三角和数据的组合的应用求出结果．【详解】根据广义杨辉三角的定义：()5210987654321151530455145301551a a a a a a a a a a a a ++=++++++++++；故()5210987654321151530455145301551x x x x x x x x x x x x ++=++++++++++；关于x 的多项式()()52231a ax x x +-++的展开式中8x 项的系数为()()22315301523aa a a -⨯+⨯=+-.故选：D ．2.当N n ∈时，将三项式()21nx x ++展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 的系数为75，则实数a 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据广义杨辉三角形可得出()521x x ++的展开式，可得出()()5211ax x x +++的展开式中8x 的系数，即可求得a 的值.【详解】由广义杨辉三角形可得()521098765432151530455145301551xx x x x x x x x x x x ++=++++++++++，故()()5211ax x x +++的展开式中，8x 的系数为153075a +=，解得2a =.故选：C.3.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，若第n 行中从左至右第14与第15个数的比为2:3，则n 的值为___________.【答案】34【分析】根据杨辉三角形中数据的规律可以写出第n 行中从左至右第14与第15个数的表达式，根据比例结果可计算得n 的值.【详解】由题意可知，根据数字规律可以看出第n 行中从左至右第m 个数为1C m n -所以，第n 行中从左至右第14与第15个数分别是13C n 和14C n ；即1314C 2C 3nn =，由组合数计算公式!C !()!m nn m n m =-可得142133n =-，计算的34n =；故答案为：34.【题型九】三项展开式【典例分析】下列各式中，不是()422a a b +-的展开式中的项是（）A ．78aB ．426a bC ．332a b -D ．3224a b -【答案】D【分析】根据题意多项式展开式中，有一个因式选2a ，有2个因式选b -，其余的2个因式选2a ，有1个因式选b -，剩下的3个因式选2a ，分别计算所得项，即可得到结果.【详解】()422a a b +-表示4个因式22a a b +-的乘积，在这4个因式中，有一个因式选2a ，其余的3个因式选2a ，所得的项为()3132743C 2C 8a aa ⨯⨯=，所以78a 是()422a a b +-的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选b -，其余的2个因式选2a ，所得的项为()()222224242C C 6b a a b ⨯-⨯⨯=，所以426a b 是()422a a b +-的展开式中的项，在这4个因式中，有1个因式选b -，剩下的3个因式选2a ，所得的项为()()313343C C 232b a a b ⨯-⨯=-，所以332a b -是()422a a b +-的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选b -，其余的2个因式中有一个选2a ，剩下的一个因式选2a ，所得的项为()()2212132421C C C 224b a a a b ⨯-⨯⨯⨯⨯=，所以3224a b -不是()422a a b +-的展开式中的项.故选:D.三项展开式的通项公式：1.411()x y x y+--的展开式的常数项为A ．36B ．36-C ．48D ．48-【答案】A【分析】先对多项式进行变行转化成441()1x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出22x y 项，第2个括号出221x y 项.【详解】∵4444111()1x y x y x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴411x y x y ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为22244222(C (C 361))x y x y ⨯=.故选：A.2.在()621x x +-的展开式中，含3x 项的系数为（）A ．30-B ．10-C ．30D ．50【答案】B【分析】把()621x x +-看成6个()21x x +-相乘，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，即可得到结果.【详解】()621x x +-是6个()21x x +-相乘，需要依次从每个()21x x +-的三项（1，x ，2x -）中选出一项后相乘，就可得到展开式中的一项.得到3x 项的方法有两类：第一类是，6个()21x x +-的1个()21x x +-里选出x ，1个()21x x +-里选出2x -，其余()21x x +-里选出1，相乘得3x -，这类方法，共可得到114654CC C 30⨯⨯=个3x -，合并同类项后即得到330x -；第二类是，6个()21x x +-的3个()21x x +-里选出x ，其余()21x x +-里选出1，相乘得3x ，这类方法，共可得到3363C C 20⨯=个3x ，合并同类项后即得到320x .再将上述两项合并，得333302010x x x -+=-，因此3x 项的系数为10-.故选：B.3.()823x y z ++的展开式中，共有多少项？（）A ．45B ．36C ．28D ．21【答案】A【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数.【详解】解：当()823x y z ++展开式的项只含有1个字母时，有3项，当()823x y z ++展开式的项只含有2个字母时，有2137C C 21=项,当()823x y z ++展开式的项含有3个字母时，有27C 21=项,所以()823x y z ++的展开式共有45项；故选：A.培优第一阶——基础过关练1．()()412x x --的展开式中，3x 项的系数为（）A ．2B ．14C ．48D ．2-【答案】B 【分析】3x 项由()41x -的2x 项与x 的积和()41x -的3x 项和2-的积组成，再结合二项式定理得出系数.【详解】()41x -展开式的通项为()441C rr rx--，在()()412x x --中，3x 项由()41x -的2x 项与x 的积和()41x -的3x 项和2-的积组成，故可得3x 的系数为()()()2121441C 11C 214-⨯+-⨯-=．故选：B ．2．6⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（）A ．160-B ．64-C ．64D ．160【答案】C【分析】在二项展开式的通项公式中令x 的幂指数为3，求出r 的值，即可求得3x 的系数.【详解】6的展开式的通项公式为663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==⋅-⋅，令33r -=，则0r =，故展开式中3x 的系数为0606C 2(1)64⋅-=.故选：C.3．已知1021001210(1)-=++++x a a x a x a x ,则()01210+++=a a a a （）A ．10-B ．10C ．1D ．1-【答案】D【分析】赋值法分别求0a 和1210a a a +++即可.【详解】令0x =可得01a =,令1x =可得012100a a a a ++++=即121001a a a a +++=-=-,所以()012101a a a a +++=-.故选:D.4．在4(1)(12)()a x y a ++∈N 的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，若()()0,11,06f f +=，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用二项式定理展开公式求解.【详解】()01140,1C C 2,a f =⋅()1041,0C C ,a f =⋅所以()()0,11,0246f f a +=+=解得1a =，故选：B.5．()61x a y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含14x y -项的系数为15-，则=a （）A ．1B ．1-C ．1±D ．2±【答案】C【分析】先求出()6a y +的通项公式，然后整理出14x y -项的系数，根据系数相等可得答案.【详解】()6a y +的展开式的通项公式为66C rrr ay -，令4r =，可得6246C 15r r ra y a y -=；所以含14x y -项的系数为215a -，即21515a -=-，解得1a =±.故选：C.6．511(12)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A ．9-B ．10-C ．9D ．10【答案】A【分析】由二项式定理的通项公式计算可得结果.【详解】∵555111(12)(12)(12)x x x x x ⎛⎫+--=+- ⎪⎝⎭，5(12)x -第1r +项为：155C (2)C (2)r r r r r r T x x +=-=-，(0,1,,5)r =，51(12)x x -的第1k +项为：11551C (2)C (2)k k kk k k T x x x-+=-=-，(0,1,,5)k =∴展开式中的常数项()()001155C 2C 21109T =-+-=-=-.故选：A.7．已知()na b +的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n =（）A ．11B ．10C ．12D ．13【答案】C【分析】当n 为偶数时，展开式中第12n+项二项式系数最大，当n 为奇数时，展开式中第12n +和32n +项二项式系数最大.【详解】∵只有第7项的二项式系数最大，∴172n+=，∴12n =．故选：C8．若()()()()()42201223222nn x x x a a x a x a x -+=+-+-++-，则564a a a +=（）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】D【分析】将23x x +中含有x 的项都写成2x -的形式，即可得解.【详解】()()()()()442223222107x x x x x x ⎡⎤+⎣⎦-+=---+()()()654272102x x x =-+-+-，所以6541,7,10a a a ===，所以56445a a a +=.故选：D.培优第二阶——能力提升练1．8x ⎛⎝的展开式中，以下为有理项的是（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】AC【分析】根据给定二项式求出其展开式的通项，再求出通项中x 的幂指数为整数的所对项数即可.【详解】8x ⎛⎝的展开式的二项式通项为138822188C C ,0,1,2,3,4,5,6,7,8r r r rr r T xx x r ---+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令823r -为整数，求得0r =，2，4，6，8，所以对应第1,3,5,7,9项为有理项，故选：AC2．在62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的是（）A ．常数项为160B ．第3项二项式系数最大C ．所有项的二项式系数和为62D ．所有项的系数和为63【答案】ACD【分析】先求62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式可得选项A 的正误，利用n 的值可得选项B 、C 的正误，所有项的系数和可以利用赋值法求解【详解】62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为66261662C 2C rr r r r r r T x xx ---+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，由260r -=，得3r =，所以常数项为3362C 160=，A 正确；二项式展开式中共有7项，所以第4项二项式系数最大，B 错误；由6n =及二项式系数和的性质知，所有项的二项式系数和为62，C 正确；令1x =，得()660126213a a a a +++⋯+=+=，所有项的系数和为63，D 正确；故选：ACD.3．若2022220220122022(1)x a a x a x a x -=++++，则（）A ．01a =B ．12022a =C ．1220221a a a +++=-D ．012320221a a a a a -+-++=【答案】AC【分析】对ACD ，由赋值法可判断；对B ，由二项式展开项通项公式可求.【详解】对A ，令0x =得01a =，A 对；对B ，由二项式展开项通项公式可得第2项为()1120212202211C 120222022T x x a x a =-=-=⇒=-，B 错对C ，令1x =得0122022122022001a a a a a a a a +++=++=-+⇒=-+，C 对；对D ，令=1x -得0123220222022a a a a a -+-++=，D 错.故选：AC.4．下列说法中正确的有（）A ．2799C C =B ．233445C C C +=C ．123C C C C 2n n n n n n ++++=D ．()41x +展开式中二项式系数最大的项为第三项【答案】ABD【分析】根据组合数的性质即可判断AB ；根据二项式之和即可判断C ；对于D ，先求出展开式的通项，不妨设第1k +项的系数最大，则有144144C C C C kk k k -+⎧≥⎨≥⎩，从而可得出答案.【详解】对于A ，由组合数的性质可得2799C C =，故A 正确；对于B ，由组合数的性质可得233445C C C +=，故B 正确；对于C ，因为0123C C C C C 2n n n n n n n +++++=，所以1231C C C C 2n n n n n n ++++=-，故C 错误；对于D ，()41x +展开式的通项为14C kkk T x +=，不妨设第1k +项的二项式系数最大，则144144C C C C kk k k -+⎧≥⎨≥⎩，解得2k =，所以()41x +展开式中二项式系数最大的项为第三项，故D 正确.故选：ABD.5．()521x y ++展开式中24x y 的系数为________（用数字作答）.【答案】30【分析】求出()521⎡⎤++⎣⎦x y 的通项令2r =时得()3245C 1+x y ，再求出()31x +展开式中2x 的系数可得答案.【详解】()521⎡⎤++⎣⎦x y 展开式通项为()55211C -+=+rr r r T x y ，{}0,1,2,3,4,5r Î，当2r =时()32425C 1=+T x y ，由()301223333331C +C +C +C +=x x x x 得2x 的系数为3，故24x y 的系数为25C 330⨯=.故答案为：30.6．已知()01311(1)22nn n x a a x a x ⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭，写出满足条件①②的一个n 的值__________.①*3,n n ≥∈N ；②3,0,1,2,,i a a i n ≥=.【答案】8,9,10或11.（答案不唯一）【分析】令1x t +=，得到1C ,0,1,2,,2ii i na i n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，再由3,0,1,2,,i a a i n ≥=求解.【详解】解：令1x t +=，得01112nn n t a a t a t ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭，1C ,0,1,2,,2ii i n a i n ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，由条件②知32323234343411C C ,,22811,11C C ,22n n n n a a n a a ⎧⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪⎪ ⎪ ⎪≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒⇒≤≤⎨⎨≥⎛⎫⎛⎫⎪⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩.又*,n n ∈∴N 的值可以为8,9,10或11.（答案不唯一）故答案为：8,9,10或11.（答案不唯一）7．若()()542345321x a bx cx dx ex fx x -=+++++++，其中a ，b ，c ，d ，e ，f 为常数，那么b c d f +++=______.【答案】109【分析】利用赋值法求a b c d e f +++++和a ，利用二项式展开式通项公式求e ，由此可得结果.【详解】因为()()542345321x a bx cx dx ex fx x -=+++++++，令1x =，得316a b c d e f -=++++++，整理得：19a b c d e f +++++=-，令0x =，得961a -=+，97a =-，因为()52x -的展开式的通项公式为()515C 2rr rr T x -+=⋅-，所以()532x -的展开式中含4x 项的系数为()153C 2⋅-，又()41x +的展开式中含4x 项的系数为44C ，所以()153C 21e ⋅-=+，31e =-，将a 、e 代入即可求得109b c d f +++=.故答案为：109.8．0x ∀≠，101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可以写成关于221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的多项式，则该多项式各项系数之和为_________.【答案】243【分析】利用换元法，将101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为()52t +，从而利用赋值法即可求得该多项式各项系数之和.【详解】因为222112x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，令221t x x =+，则()5105221122x x t x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令1t =，则()5523243t +==，所以该多项式各项系数之和为243.故答案为：243培优第三阶——培优拔尖练1．已知集合{}2019,12,6,10,5,1,0,1,8,15H =---，记集合H 的非空子集为1M 、2M 、L 、1023M ，且记每个子集中各元素的乘积依次为1m 、2m 、L 、1023m ，则121023m m m +++的值为___________.【答案】1-【分析】构造函数()()()()()()()()()()201912610511815f x x x x x x x x x x x =+++---+++，设该函数展开式中所有项系数之和为T ，则1210231m m m T +++=-，利用赋值法可求得结果.【详解】设集合H 的十个元素分别为1a 、2a 、L 、10a .1210121391012389101210121023m a a a a a a a a a a a a a a a a m m a a =+++++++++++++++.设函数()()()()()()()()()()201912610511815f x x x x x x x x x x x =+++---+++展开式中所有项系数之和为T ，则1210231m m m T +++=-，因为()10T f ==，所以11T -=-．故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：本题主要考查的集合子集的判定，构造函数求解，属于难题．本题的关键是根据二项定理的推导过程构造出函数()()()()()()()()()()201912610511815f x x x x x x x x x x x =+++---+++，这种转化思想是本题的难点．2．设0i a i =（，1，2，…，2022）是常数，对于∀x ∈R ，都有()()()()()20220122022112122022x a a x a x x a x x x =+-+--++---（），则012345202120222!3!4!2020!2021!a a a a a a a a -+-+-+-+-=________.【答案】2021【分析】先令1x =，求得0a 的值，再将给定的恒等式两边求关于x 的导数，然后令1x =，从而可得所求的值.【详解】因为()()()()()()20220122022112122022xa a x a x x a x x x =+-+--++---，则令1x =可得01a =.又对()()()()()()20220122022112122022xa a x a x x a x x x =+-+--++---两边求导可得：()()()()()2021122022202212122022x a a x x a x x x ''=+--++---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()()()()12n f x x x x n =--⨯⨯-，则()()()()()()12+2n f x x x x n x x n ''=--⨯⨯--⨯⨯-⎡⎤⎣⎦，所以()()()()()1112111!n n f n n -'=-⨯⨯-=--，所以()()()12202120211232022202211112!12021!a a a a ⨯=+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-故123202220222!2021!a a a a =-+--，所以012345202120222!3!4!2020!2021!202212021a a a a a a a a -+-+-+-+-=-=.故答案为：2021.【点睛】本题考查函数的导数以及恒等式的系数和的求法，注意根据恒等式的特征选择合适的赋值，本题属于较难题.3．()623a b c +-的展开式中23ab c 的系数为______.【答案】-6480【分析】()()662323a b c a b c +-=+-⎡⎤⎣⎦，利用二项式定理得到()3345402T c a b =-⋅+，再展开()32a b +，计算得到答案.【详解】()()662323a b c a b c +-=+-⎡⎤⎣⎦，展开式的通项为：()()61623rrr r T C a b c -+=+-，取3r =，则()()()63333346235402T C a b c c a b -=+-=-⋅+，()32a b +的展开式的通项为：()3132mm m m T C a b -+=，取2m =，得到()22233212T C a b ab ==，故23ab c 的系数为540126480-⨯=-.故答案为：6480-.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．对任意正整数i ，设函数()414034log 2i f x i =-⋅的零点为i a ，数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，则使得n S 能被2n +整除的正整数n 的个数是________．【答案】0【分析】要求零点，应先把函数()i f x 解析式中的对数化为相同底数，再求函数的零点可得2017i x a i ==，进而写出数列{}n a 的前n 项和201720172017123n S n =++++，用二项式定理和整除思想说明2017n 不能被2n +整除即可。
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二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n nn n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n n n n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。
6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=L解：012233(16)6666n n nn n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅L 与已知的有一些差距，123211221666(666)6n n nn n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅L L 0122111(6661)[(16)1](71)666n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-L练：1231393 .n nn n n n C C C C -++++=L 解：设1231393n nn n n n n S C C C C -=++++L ，则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-L L (13)14133n n n S +--∴==题型二：利用通项公式求n x 的系数；例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知245n nC -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r r rrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得， 则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。
练：求291()2x x-展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222r r r r r r r rr r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-。
题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(x 的展开式中的常数项？ 解：5202102110101()()2r rrrr r r T C x C x --+==，令52002r -=，得8r =，所以88910145()2256T C ==练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项？ 解：666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r rr T C x C xx ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以3346(1)20T C =-=-练：若21()n x x+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C xx--==，令2120n -=，得6n =. 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项？解：12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-，令276rZ -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或， 所以当3r =时，2746r -=，334449(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736r -=，3933109(1)T C x x =-=-。
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .解：设n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n nn a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=② 将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=-有题意得，1822562n --=-=-，9n ∴=。
练：若n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
解：0242132112r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=Q L ，121024n -∴=，解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==，565451462nT C x -+==⋅，611561462T x -+=⋅题型六：最大系数，最大项；例：已知1(2)2n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：46522,21980,n n n C C C n n +=∴-+=Q 解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数，434571()270,2T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，7778141C ()234322T ∴==的系数。
练：在2()na b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即2112nn T T ++=，也就是第1n +项。
练：在(2n x 的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第5项的二项式最大，则152n+=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =例：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347T C a b =-的系数最小，43457T C a b =系数最大。
例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项？解：由01279,n n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22x x +=+Q1111212111212124444r r r r r r r rr r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤Q ，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x ==练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？解：假设1r T +项最大，1102r r rr T C x +=⋅Q111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得，化简得到6.37.3k ≤≤，又010r ≤≤Q ，7r ∴=，展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x == 题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为1445423C C x 它的系数为1445423240C C =。