第七章 傅里叶变换.

第七章 傅里叶变换1．求下列函数的傅氏变换：(1)1,10,()1,01,0,;t f t t --<<⎧⎪=<<⎨⎪⎩其它 (2) ,0,()0,0;t e t f t t ⎧≤=⎨>⎩解: (1)[()]()j t F f t f t e dt ω+∞--∞=⎰1101101122sin cos |2(1cos ).j tj t j t j t edt e dte dt e dtji tdt t jωωωωωωωωω-----=-+=-+=-==--⎰⎰⎰⎰⎰(2) ()()j t F f t e dt ωω+∞--∞=⎰0(1)(1)011|.11t j t j t j t e e dt e dte j j ωωωωω---∞-∞--∞====--⎰⎰ 6．求下列函数的傅氏变换(1) 1,0,sgn 1,0;t t t -<⎧=⎨>⎩ (2) ()sin(5).3f t t π=+解: (1)已知 1[()](),[1]2(),F u t F j πδωπδωω=+=由sgn 2()1t u t =-有 12[sgn ]2(())2().F t j j πδωπδωωω=+-= (2) 由于1()sin(5)sin 5cos5,322f t t t t π=+=+故[()][(5)(5)](5)(5)].2j F f t πδωδωδωδω=+--++- 7．已知00()[()()]F ωπδωωδωω=++-为函数()f t 的傅氏变换，求().f t解: 1()[()]f t F F ω-=00000001(()())211()()2211||22cos .j t j tj t j t j t e d e d e d e e t ωωωωωωωωωπδωωδωωωπδωωωδωωωω+∞-∞+∞+∞-∞-∞=-==++-=++-=+=⎰⎰⎰ 8．求函数1()[()()()()]222a af t t a t a t t δδδδ=++-+++-的傅氏积分变换.解: ()[()]F F f t ω=221[()()()()]222[||||]/2cos cos .2j t j t j t j t j t t a t a a a t t a at a t a t t e dt e e e e aa ωωωωωδδδδωω+∞--∞----=-==-==++-+++-=+++=+⎰9．设120,0,0,0,()()1,0,,0,tt t f t f t t e t -<<⎧⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩ 求12()*().f t f t 解: 1212()*()()()f t f t f f t d τττ+∞-∞=-⎰g当0t ≤时，12()*()0;f t f t =当0t >时，()120()*()tt f t f t e d ττ--=⎰0|1.t t t e e e τ--==- 故121,()*()0,0.t e t f t f t t -⎧->=⎨≤⎩ 10．求下列函数的傅氏变换.(1) 0()sin ();f t t u t ω=⋅ (2) 0()()j t f t e tu t ω= 解: 已知1[()](),F u t j πδωω=+又0001()sin ()(()()).2j tj t f t t u t e u t e u t jωωω-=⋅=- 由位移性质有 [()]F u t 0000111(()())2()()j j j πδωωπδωωωωωω=-+-+--- 000220[()()].2jωπδωωδωωωω=--+--(2)由微分性质有2111[()]()(),F tu t j j j πδωπδωωω'⎛⎫'=+=- ⎪-⎝⎭ 又位移性质有0201[()]().()F tu t j πδωωωω'=---第九章 拉普拉斯变换1．求下列函数的拉氏变换(1)3,02,()124,0,4;t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪>⎩，(2)2()5();t f t e t δ=+ 解: (1) 0()[()]()st F s f t f t e dt ϕ+∞-==⎰24023stst e dt e dt --=-⎰⎰24022431||1(34).st st t s e e s se e s----=-+=-+(3)20[()][5()]t st f t e t e dt ϕδ∞-=+⎰(2)005()15|(Re 2)215.2s t st st t e dt t e dte s s s δ∞∞---==+=+>-=+-⎰⎰ 2．求下列函数的拉氏变换(1)232;t t ++ (2)1;t te -- (3)5sin 23cos2t t -;(1)解: 由1!()m m m t s ϕ+=及1[1]s ϕ=有232232[32].t t s s s ϕ++=++ (2)解: 已知21[],t s ϕ=由位移性质有21[],(1)t te s ϕ-=+ 211[1].(1)t te s s ϕ--=-+ (3)解: 22221[sin ],[cos ],t t s s ωϕωϕωωω==++ 2222[5sin 23cos 2]5344103.4st t s s s s ϕ-=-++-=+3．利用拉氏变换性质，计算[()].f t ϕ (1) 3()sin 2;t f t te t -= 解: (1) 322222[sin 2]|.(3)(3)4t te t s s ωωϕω-===++++ 3222222[sin 2][](3)42[2(3)][(3)4]4(3).[(3)4]t d te t ds s s s s s ϕ-=-++-+=+++=++ 4．利用拉氏变换性质，计算1[()]F s ϕ-. (1)11();11F s s s =-+- (2)222();(1)s F s s =- 解: (1) 1111[()][]11F s s s ϕϕ--=-+- 2.t t e e sht -=-=-(2)由像函数的积分性质22221()(1)1sss F s ds ds s s ∞∞==--⎰⎰111()2111()(),2t t s s f t e e t ϕϕ-=--+-⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦故()().2t t tf t e e tsht -=--=5．利用像函数的积分性质，计算[()]f t ϕ(1) 30sin 2.t te tdt t-⎰ 解: 322[sin 2],(3)4t e t s ϕ-=++ 3302sin 21sin 2[][]12(3)413(arctan ).22t t ts e t e t dt t s tds s s s s ϕϕπ--∞==+++=-⎰⎰ 6．求下列积分的值 (1)20;t te e dt t--+∞-⎰(2)20.t te dt +∞-⎰解: (1) 令2(),t t f t e e --=-则200()t te e dt F s ds t--+∞∞-=⎰⎰0(ln(1)ln(2))|1ln |ln 2.2s s s s +∞+∞=+-++⎛⎫== ⎪+⎝⎭(2)2222011[]||.4t s s te dt t s ϕ+∞-=====⎰ 7．求下列像函数()F s 的拉氏逆变换.(1)221;s a + (2);()()s s a s b -- (3)221;s e s -+解: (1)12211[]sin .at s a aϕ-=+ 解: (2)1(),()()s a bs a s b a b s a s b=------11[]().()()at bt s e a e b s a s b a bϕ-=----解: (3)22111222211s se e s s s s ϕϕϕ-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2)(2)2(1),2,,0 2.t t u t t t t t =+--->⎧=⎨≤<⎩ 8．求下列函数区间[0,]+∞上的卷积. (1)1();u t *解: (1) 01()().ttu t u t d d t τττ*=-==⎰⎰9．利用卷积定理证明下面不等式.(1)1222sin (0).()2st at a s a a ϕ-⎡⎤=≠⎢⎥+⎣⎦ 解: 22222221(),()s s F s s a s a s a==⋅+++由 11222211cos ,sin ,s at at s a s a aϕϕ--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦有10020021()[()]cos sin 1sin cos ()1[sin sin(2)]2sin 1sin (2)(2)24sin 1[cos (2)]|24sin 2tt t t f t F s at at aa a t d a at a at d at at a t da t a a t at a t a a t at aϕττττττττ-==*=⋅-=+-=+--=+--=⎰⎰⎰10．解下列微分方程.(1)2,(0)(0)0;t y y y e y y ''''-+=== (2)33cos ,(0)0,(0)1;y y y t y y ''''++=== (3)32(1),(0)0,(0)1;y y y u t y y ''''++=-==解: (1)令()[()]Y s y t ϕ=,在方程两边取拉氏变换,并用初始条件得21()2()(),1s Y s sY s Y s s -+=-31(),(1)Y s s =- 故121311()[()]Re ,1()|.(1)2!2!st st ts e y t Y s s e t e s ϕ--⎡⎤''====⎢⎥-⎣⎦ 解: (2)在两边取拉氏变换,并利用初始条件得223()(0)(0)3()3(0)(),1ss Y s sy y sY s y Y s s '--+-+=+即 22231(31)()1,(),11s s s Y s Y s s s ++=+=++ 故1()[()]sin .y t Y s t ϕ-==解: (3)如上述方法2()(0)(0)3()3(0)2()[(1)],s Y s sy y sY s y Y s u t ϕ'--+-+=-(1)(2)()[(1)]11,1(),(1)(2)(1)(2)sse s s Y s u t s e Y s s s s s s ϕ--++=-+=+=+++++ 11222(1)(1)2[()](1)(2)(1)(1)11(1),22st t t tt t t t e Y s e e s s s u t g t e e u t e e e e ϕϕ-------------⎡⎤=+-⎢⎥++⎣⎦=--+-⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦其中11(),(1)(2)g t s s s ϕ-⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦0212()|||(1)(2)(1)(2)11.22st st sts s s t t e e e g t s s s s s s e e ==-=---=++++++=+-。