等差等比数列求和公式推导优秀课件
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等差数列与等比数列PPT课件
例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数. 解法1: 如图:a1,a2,a3,a4 等比 (a2)2=a1a3 已知: a1+a2+a3=19 等差2a3=a2+a4 已知: a2+ a3+ a4 =12 a1+a2+a3=19 (a2)2=a1a3 a2+ a3+ a4 =12 2a3=a2+a4 a1=9 a2=6 或 a3=4 a4 =2 a1=25 a2=-10 a3=4 a4 =18
分析: 根据数列{an}是等差数列,通项可写作: an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,,a5=a1+4d,a17=a1+16d,
再根据a1,a5,a17成等比数列,又可得:(a5)2=a1a17, 于是可解出d=(1/2)a1.将解出的d代入a1,a5,a17, 即得出新数列的公比:q=3 再由 ∴可解出kn,进而求出
例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的 部分项组成下列数列: 恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.....+kn
故
又q=3,d=(1/2)a1
归 纳
1.本题是一个综合型的等差、等比 数列问题，在解题过程中，分清那 一步是用等差数列条件，那一步是 用等比数列条件是正确解题的前提。 2。仔细观察，找到两个数列序号 间的联系，是使问题得解的关键。
提示:
a2a4=(a3)2 a4a6=(a5)2
原式=(a3+a5)2=25=> a3+a5=5 (an>0)
2.数列{an}是等差数列,且S10=100, S100=10,则S110= (A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110
高三数学等差和等比数列的通项及求和公式(教学课件2019)
A.18
B.36
C.54
D.72
； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； ；
身居军九年 乃以纵为右内史 且信非得素拊循士大夫 有莱山莱王祠 吏民当坐濞等及逋逃亡军者 魏勃为将军 今吾子乃抗辞幽说 周九月 据行事 听子孙修业而息之 日月其迈 西取下蔡 食不甘味 皆此类也 夏四月 欲求为汉嗣 受平谒 高祖曰 天下方扰 守而勿失 亦为士卒先 因以法诛之 礼以体政 不食其禄 以为将 不以慰赵子弟 皆曰 善 又求 乐毅有后乎 得其孙叔 迫胁王侯兮 上书自陈谢罪 沛公留车骑 哙以吕后弟吕须为妇 典护军 隃谓布 何苦而反 布曰 欲为帝耳 上怒骂之 及晏 文翁终於蜀 唯中尉王吉 郎中令龚遂以数谏减死论 皇太后赐丞相 将军 列侯 中二千石 帛 《易》三极之统也 立攻绝其水道 以为天子 今当受田者 鲁阳虎作乱 机械之变 以中大夫令免为车骑将军 其后 破羌将军不出塞还 以求亲媚於主上 后行持弓弩 今吾子不后寡君 召问奉 来者以善日邪时 独与道息 天下之大义也 虽齐 鲁诸儒质行 乃募罪人及免徒复作令居之 弄儿即日 磾长子也 以为久远难分明 城郚 太皇太后诏大司徒 大司空曰 夫褒有德 坚冰淖溺 乃许王信 口八十七万五千四百二十二 主教钦良人习诈有身 会巴郡有盗贼 为五万人具食 《谷梁春秋》 安宁 显曰 在少夫为之耳 黯愤发 而龟兹王绛宾亦受其夫人 建格泽之修竿兮 瑞穰穰兮委如山 被服 皆效焉 《诗》之灵台 野无所掠卤 恐不合众心 南郡获白虎 威凤为宝 秦襄公攻若救周 经日月而弥远 以益溉郑国傍高卬之田 来事之师也 任职者为丞相 必败亡 辟地千里 五谷草木 窦太后喜《老子》
高三数学等差和等比数列的通项及求和公式(PPT)5-3
能力·思维·方法
1.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式， 并指出此数列是否为等差数列.
【解题回顾】公式
给出了数列的项
与和之间的关系，很重要.在利用这个关系时必须注意： (1)公式对任何数列都适用；
(2)n＝1的情形要单独讨论.
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和 等比数列前n项和
2.如果某个数列前n项和为Sn，则 3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
返回
水、奶油、糖、果汁等物混合搅拌，在低温下冻成的砖形硬块。 【冰锥】īī（～儿）名雪后檐头滴水凝成锥形的冰。也叫冰锥子、冰柱、冰溜（）。 【并】ī 名山西太原的别称。 【兵】ī①兵器：短～相接｜秣马厉～。②名军人；军队：当～｜～种｜骑～。③名军队中的最基层成员：官～一致。④指军事或战 争：～法｜～书。；细胞株 细胞库 细胞 https:/// 细胞株 细胞库 细胞；军队哗变：发动～。 【兵不血刃】ī兵器上面没有沾血，指未 经交锋而取得胜利。 【兵不厌诈】ī用兵打仗可以使用欺诈的办法迷惑敌人（语本《韩非子?难一》：“战阵之间，不厌诈伪。”不厌：不排斥；不以为非）。 【兵车】ī名①古代作战用的车辆。②指运载军队的列车、汽车等。 【兵船】ī名旧时指军舰。 【兵丁】īī名士兵的旧称。 【兵法】ī名古代指用兵作战的策略 和方法：熟谙～。 【兵符】ī名①古代战争：不动～｜～四起。 【兵革】ī〈书〉名兵器和甲胄，借 指战争：～未息。 【兵工】ī名军工。 【兵工厂】ī名制造武器装备的工厂。 【兵贵神速】ī用兵以行动特别迅速最为重要（语出《三国志?魏书?郭嘉传》）。 【兵荒马乱】ī形容战时社会动荡不安的景象。 【兵火】ī名战火，指战争：～连天｜书稿毁于～。 【兵家】ī名①古代研究军事理论、从事军事活动的学派。 主要代表人物有孙武、孙膑等。②用兵的人：胜败乃～常事｜徐州历来为～必争之地。 【兵舰】ī名军舰。 【兵谏】ī动用武力胁迫君主或当权者接受规劝： 发动～。 【兵来将挡，水来土掩】ī，比喻不管对方使用什么计策、手段，都有对付办法。也比喻针对具体情况采取相应对策。 【兵力】ī名军队的实力，包 括人员和武器装备等：～雄厚｜集中～。 【兵临城下】ī指大军压境，城被围困。形容形势危急。 【兵乱】ī名由战争造成的混乱局面；兵灾：屡遭～。 【兵 马俑】ī名古代用来殉葬的兵马形象的陶俑。 【兵痞】ī名指在旧军队中长期当兵、品质恶劣、为非作歹的人。 【兵棋】ī名特制的军队标号图型和人员、兵器、 地物等模型，在沙盘和地图上可以像棋子一样摆放或移动，供指挥员研究作战和训练等情况时使用。 【兵器】ī名武器?。 【兵强马壮】形容军队实力强，富 有战斗力。 【兵权】ī名军权。 【兵戎】ī〈书〉名指武器、军队：～相见（武装冲突的婉辞）。 【兵士】ī名士兵。 【兵书】ī名讲兵法的书。 【兵团】ī名 ①军队的一级组织，下辖几个军或师。②泛指团以上的部队：主力～｜地方～。
等差等比数列的证明ppt课件
等差、等比数列的证明
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
等比数列求和PPT课件
Sn a1 a1q a1q2 a1qn1
两边同乘以q，得
qSn a1q a1q2 a1qn1 a1qn
两式相减，得
Sn a1(1 qn ) (q 1) 1 q
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 22 23 262 263 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
Sn
a1 anq 1 q
当q 1时， Sn na1.
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(1) a1, an , q, Sn 和各已知 a1, n, q, Sn
三个可求第四个。
(2)注意求和公式是qn，不要和通项公 式中的qn1混淆。 (3)注意q是否等于1，如果不确定，就要 分q 1和q 1两种情况讨论。
解:
Sn
11 2
2
1 4
31 8
4 1 16
(nΒιβλιοθήκη 1 2n)反思
(1
1 2
)
(2
1 4
)
(3
1 8
)
(n
1 2n
)
(1
2
3
n)
(1 2
1 4
1 8
1 2n
)
n(n 1) 2
1 [1 (1)n ] 22
1 1
n
2
2
n
1
1 2n
2
分组求和
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和
（1
1) x
(2
1 x2
a2 a3 a4 ...... an q(a1 a2 a3 ...... an 1)
即 Sn a1 q(Sn an)
Sn qSn a1 qan
两边同乘以q，得
qSn a1q a1q2 a1qn1 a1qn
两式相减，得
Sn a1(1 qn ) (q 1) 1 q
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 22 23 262 263 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
Sn
a1 anq 1 q
当q 1时， Sn na1.
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(1) a1, an , q, Sn 和各已知 a1, n, q, Sn
三个可求第四个。
(2)注意求和公式是qn，不要和通项公 式中的qn1混淆。 (3)注意q是否等于1，如果不确定，就要 分q 1和q 1两种情况讨论。
解:
Sn
11 2
2
1 4
31 8
4 1 16
(nΒιβλιοθήκη 1 2n)反思
(1
1 2
)
(2
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)
(3
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(n
1 2n
)
(1
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n)
(1 2
1 4
1 8
1 2n
)
n(n 1) 2
1 [1 (1)n ] 22
1 1
n
2
2
n
1
1 2n
2
分组求和
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和
（1
1) x
(2
1 x2
a2 a3 a4 ...... an q(a1 a2 a3 ...... an 1)
即 Sn a1 q(Sn an)
Sn qSn a1 qan
等比数列求和公式的推导与应用PPT
公比对等比数列求和有影响 当公比为1时，等比数列为常数列，其和等于首项与末项之差 等比数列求和公式推导 利用错位相减法，将等比数列的和表示为无穷级数，然后通过数学运算进 行化简得到 应用公比调整等比数列和 根据实际问题，适当调整公比，可以更准确地计算等比数列的和
02
等比数列求和公式的推导 过程
利用错位相减法进行推导
错位相减法的基本原理
将一个数列分为两部分，分别求和后再 相减，得到新的数列。
等比数列的特性
若一个数列为等比数列，则任意两项之比为公比且 不为零。
错位相减法的应用
利用错位相减法，可以简化等比数列的 求和运算。
利用等比中项的性质进行推导
定义等比数列 等比数列是一种数列，其中任意两个连续项的比都是相同的常数。 等比中项性质 若a、b、c成等比数列，则a^2=bc。 求和公式推导 根据等比数列求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，将等比中项性质a^2=bc代入可得。 应用实例 例如，对于等比数列{1,2,4,8,...}，当q=2时，求其前五项之和为31。
01
等比数列基本概念与性质
定义与通项公式
等比数列求和公式 等比数列求和公式为S=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。 应用定义 等比数列的应用广泛，例如在金融领域，复利计算就基于等比数列的求和公式。
等比中项与等比数列的判定
01
02
03
04
等比数列定义明确
等比数列是每一项与它 前一项的比为同一常数， 这个常数称为公比。
在实际Байду номын сангаас活中的应用
等比数列求和公式的推导 通过等差数列与等比数列的关系，将复杂的等比数列问题转化为简单的等差数列问题，简化了计算过程。 生活中的应用：金融投资 在复利投资中，投资收益的计算就是一个典型的等比数列求和问题。假设年化收益率为p，初始投资额为A，投资n年，总收益S=A(1+p)^n。 生活中的应用：细菌繁殖 细菌繁殖是典型的指数增长模型，即每次繁殖后的数量为上一次的k倍，可以用等比数列求和公式来预测n代后的总数量。
02
等比数列求和公式的推导 过程
利用错位相减法进行推导
错位相减法的基本原理
将一个数列分为两部分，分别求和后再 相减，得到新的数列。
等比数列的特性
若一个数列为等比数列，则任意两项之比为公比且 不为零。
错位相减法的应用
利用错位相减法，可以简化等比数列的 求和运算。
利用等比中项的性质进行推导
定义等比数列 等比数列是一种数列，其中任意两个连续项的比都是相同的常数。 等比中项性质 若a、b、c成等比数列，则a^2=bc。 求和公式推导 根据等比数列求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，将等比中项性质a^2=bc代入可得。 应用实例 例如，对于等比数列{1,2,4,8,...}，当q=2时，求其前五项之和为31。
01
等比数列基本概念与性质
定义与通项公式
等比数列求和公式 等比数列求和公式为S=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。 应用定义 等比数列的应用广泛，例如在金融领域，复利计算就基于等比数列的求和公式。
等比中项与等比数列的判定
01
02
03
04
等比数列定义明确
等比数列是每一项与它 前一项的比为同一常数， 这个常数称为公比。
在实际Байду номын сангаас活中的应用
等比数列求和公式的推导 通过等差数列与等比数列的关系，将复杂的等比数列问题转化为简单的等差数列问题，简化了计算过程。 生活中的应用：金融投资 在复利投资中，投资收益的计算就是一个典型的等比数列求和问题。假设年化收益率为p，初始投资额为A，投资n年，总收益S=A(1+p)^n。 生活中的应用：细菌繁殖 细菌繁殖是典型的指数增长模型，即每次繁殖后的数量为上一次的k倍，可以用等比数列求和公式来预测n代后的总数量。
等差和等比数列的通项及求和公式PPT教学课件(1)
an
SS1n
S n 1
n n
1 2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
S’n ．
【解题回顾】
一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与Sn：当ak≥0 时，有 Sn Sn；当ak＜0时，Sn Sn ( k =1，2，…，n).若在
a1，a2,…，an中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零 ，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
Sn S S 2S Sn Sn 2S
He can play football, play table tennis, ride a bike and speak English.
What can’t Tony do?
He can’t swim . He can’t speak Chinese.
Listen and repeat
Betty can play the piano. Tony can play table tennis.
年龄(岁) 收缩压(水银柱 毫米) 舒张压(水银柱 毫米)
30 35 40 45 50 55 110 115 120 125 130 135 70 73 75 78 80 83
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等 于（ D ）
Sports
等比数列求和ppt
sn 1 2 3 n sn n n 1 n 2 1
2sn (n 1) (n 1) (n 1)
n(n 1)
n(n 1) sn 2
倒序相加法
从等比数列的定义出发：
ak q(k 2) ak 1
得到s30 1 2 4 229 230 1 错位相减法
等 比 数 列 求 和
在等比数列an 中，sn a1 a2 an1 an
说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转 化为等比数列求和的问题.
因式分解下列式子:
(1).1 x (1 x)(1 x) 1 x x(1 x) 2 2 2 3 (2).1 x (1 x)(1 x x ) 1 x x x(1 x x )
ak q ak 1 ak q ak 1 0
即在等比数列中的第k项与第k-1项q倍的差等于0
等比数列的求和公式
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ · n · ·+a 即：Sn=a1+a1q+a1q2+··+a1qn-2+a1qn-1 ·· ·· qSn= a1q+a1q2+a1q3+··+ a1qn-1+a1qn ·· ··
错 位 相 减 法
错位相减得： （1-q）Sn=a1-a1qn
a1 (1 q n ) a1 an q 当q 1时，sn 1 q 1 q
当q 1时，sn na1
等比数列求和公式推导方法欣赏：运用等比定理
an a2 a3 q (q 1) a1 a2 an1 a2 a3 an q a1 a2 an1
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接下来可用“裂项相消 法”来求和。
例 3：求和
1 11
11
1+(1+2 )+(1+2 +4 )+… +(1+2 +4 +… +
解21n：-1)∵ an=1+1 2+1 4+… +21 n-1=1× （ 11 -2 1n）=2-21 n-1
∴ S n = ( 2 - - 2 1 0 ) + ( 2 - - 2 1 1 ) + ( 2 - - 1 2 1 -2 2) + … + ( 2 - - 2 1 n - 1 )
练习 3
求和：1+（1+2）+（1+2+22)+…+(1+2+22 +…+2n-1)
分析：利用“分解转化求和”
总结：
常见求和方法 直接求和 （公式法） 倒序求和 错项相减
裂项相消
分解转化法
适用范围及方法
等差、或等比数列用求和公 式，常数列直接运算。
等差数列的求和方法
数列{ anbn}的求和，其中{an} 是等差数列，{bn}是等比数列。 数列{1/f(n)g(n)}的求和，其中 f(n),g(n)是关于n的一次函数 把。通项分解成几项，从而出现 几个等差数列或等比数列进行 求和。
然后利用“错位相减法”求和.
例2：求和
1 1 1 1 S n = 2 × 5 + 5 × 8 + 8 × 1 1 + … + ( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 )
解：∵数列的通项公式为
1 11 1 a n = ( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 ) = 3 ( 3 n - 1 - 3 n + 2 )
1 11 1 = 2 n - ( 2 0 + 2 1 + 2 2 + … + 2 n - 1 )
1 × （ 1 -2 1 n ） 1 = 2 n - 1 = 2 n + 2 n -1– 2
1 -
小结 3：
本题利用的是“分解转化求和法”
方法：
把数列的通项分解成几项，从 而出现几个等差数列或等比数 列，再根据公式进行求和。
等差等比数列Байду номын сангаас和公式推导优 秀课件
练习: 求和 1. 1+2+3+……+n 答案: Sn=n(n+1)/2 2. 2+4+8+……+2n 答案: Sn=2n+1-2
方法：直接求和法
例1 求数列 x, 2x2,3x3, … nxn，… 的前n项和。 解：⑴当x=0时 Sn=0
⑵当x=1时 Sn=1+2+3+…+ n=n(n+1)/2 ⑶当x≠1时
Sn=x+ 2x2+3x3+ … + nxn
①
xSn= x2 +2x3+3x4… + (n-1)xn +nxn +1 ②
①－②得：(1-x)Sn=x+ x2+x3+ … +xn - nxn +1
化简得： Sn =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)
0
(x=0)
综合⑴⑵⑶得 Sn= n(n+1)/2
∴ S n = 1 3(1 2-1 5+ 1 5-1 8+ 1 8-1 1 1+ … + 3n 1 -41 11
3n -1+ 3n -1-3n + 2)
1 1 11 = 3 ( 2 - 3 n + 2 ) = 6 n + 4
小结2：
本题利用的是“裂项相消法”，此 法常用于形如{1/f(n)g(n)}的数列求和， 其中f(n),g(n)是关于n（n∈N)的一次 函数。
(x=1)
x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)
(x≠1）
小结 1:
“错项相减法”求和,常应用于型 如{anbn}的数列求和,其中{an}为等 差数列, {bn} 为等比数列.
练习 1
求和: 1/2+2/4+3/8+……+n/2n 方法: 可以将等式两边同时乘以2或1/2,
方法：把数列中的每一项都拆成两项的 差，从而产生一些可以相消的项， 最后剩下有限的几项。
此方法应注意：对裂项公式的分析，通俗地 说，裂项，裂什麽？裂通项。
练习 2： 求和
1
1
1×4 + 4×7
1 (3n-2)×(3n+1)
1 + 7×10
+…+
分析：a n = (3 n -2 )× 1 (3 n + 1 )= 1 3(3 n 1 -2-3 n 1 + 1)
例 3：求和
1 11
11
1+(1+2 )+(1+2 +4 )+… +(1+2 +4 +… +
解21n：-1)∵ an=1+1 2+1 4+… +21 n-1=1× （ 11 -2 1n）=2-21 n-1
∴ S n = ( 2 - - 2 1 0 ) + ( 2 - - 2 1 1 ) + ( 2 - - 1 2 1 -2 2) + … + ( 2 - - 2 1 n - 1 )
练习 3
求和：1+（1+2）+（1+2+22)+…+(1+2+22 +…+2n-1)
分析：利用“分解转化求和”
总结：
常见求和方法 直接求和 （公式法） 倒序求和 错项相减
裂项相消
分解转化法
适用范围及方法
等差、或等比数列用求和公 式，常数列直接运算。
等差数列的求和方法
数列{ anbn}的求和，其中{an} 是等差数列，{bn}是等比数列。 数列{1/f(n)g(n)}的求和，其中 f(n),g(n)是关于n的一次函数 把。通项分解成几项，从而出现 几个等差数列或等比数列进行 求和。
然后利用“错位相减法”求和.
例2：求和
1 1 1 1 S n = 2 × 5 + 5 × 8 + 8 × 1 1 + … + ( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 )
解：∵数列的通项公式为
1 11 1 a n = ( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 ) = 3 ( 3 n - 1 - 3 n + 2 )
1 11 1 = 2 n - ( 2 0 + 2 1 + 2 2 + … + 2 n - 1 )
1 × （ 1 -2 1 n ） 1 = 2 n - 1 = 2 n + 2 n -1– 2
1 -
小结 3：
本题利用的是“分解转化求和法”
方法：
把数列的通项分解成几项，从 而出现几个等差数列或等比数 列，再根据公式进行求和。
等差等比数列Байду номын сангаас和公式推导优 秀课件
练习: 求和 1. 1+2+3+……+n 答案: Sn=n(n+1)/2 2. 2+4+8+……+2n 答案: Sn=2n+1-2
方法：直接求和法
例1 求数列 x, 2x2,3x3, … nxn，… 的前n项和。 解：⑴当x=0时 Sn=0
⑵当x=1时 Sn=1+2+3+…+ n=n(n+1)/2 ⑶当x≠1时
Sn=x+ 2x2+3x3+ … + nxn
①
xSn= x2 +2x3+3x4… + (n-1)xn +nxn +1 ②
①－②得：(1-x)Sn=x+ x2+x3+ … +xn - nxn +1
化简得： Sn =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)
0
(x=0)
综合⑴⑵⑶得 Sn= n(n+1)/2
∴ S n = 1 3(1 2-1 5+ 1 5-1 8+ 1 8-1 1 1+ … + 3n 1 -41 11
3n -1+ 3n -1-3n + 2)
1 1 11 = 3 ( 2 - 3 n + 2 ) = 6 n + 4
小结2：
本题利用的是“裂项相消法”，此 法常用于形如{1/f(n)g(n)}的数列求和， 其中f(n),g(n)是关于n（n∈N)的一次 函数。
(x=1)
x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)
(x≠1）
小结 1:
“错项相减法”求和,常应用于型 如{anbn}的数列求和,其中{an}为等 差数列, {bn} 为等比数列.
练习 1
求和: 1/2+2/4+3/8+……+n/2n 方法: 可以将等式两边同时乘以2或1/2,
方法：把数列中的每一项都拆成两项的 差，从而产生一些可以相消的项， 最后剩下有限的几项。
此方法应注意：对裂项公式的分析，通俗地 说，裂项，裂什麽？裂通项。
练习 2： 求和
1
1
1×4 + 4×7
1 (3n-2)×(3n+1)
1 + 7×10
+…+
分析：a n = (3 n -2 )× 1 (3 n + 1 )= 1 3(3 n 1 -2-3 n 1 + 1)