连续函数性质

§ 连续函数的性质

♦ 连续函数的局部性质

若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值0()f x 。从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在0()U x 的性态。

定理1（局部有界性） 若函数f 在点0x 连续，，则f 在某0()U x 内有界。

定理2（局部保号性） 若函数f 在点0x 连续，且0()0f x >（或0<），则对任何正数0()r f x <

（或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切

0()x U x ∈有()f x r >（或()f x r <-）。

注： 在具体应用局部保号性时，常取01

()2

r f x =，

则当0()0f x >时，存在某0()U x ，使在其内有01

()()2

f x f x >

。 定理3（四则运算） 若函数f 和g 在点0x 连续，则,,

f f

g f g g

±⋅（这里0()0g x ≠）也都在点0x 连续。

关于复合函数的连续性，有如下定理:

定理4 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合

函数g

f

在点0x 连续。

证明：由于g 在点0u 连续，10,0εδ∀>∃>，使得当01||u u δ-<时有

0|()()|g u g u ε-<。

（1）

又由00()u f x =及()u f x =f 在点0x 连续，故对上述1δ，存在0δ>，

使得当0||x x δ-<时有001|||()()|u u f x f x δ-=-<，联系（1）式得:对任

给的0ε>，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有 0|(())(())|g f x g f x ε

-<。

这就证明了g

f

在点0x 连续。

注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为

0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→==

定理 5 ()x f x

x 0

lim →存在的充要条件是()()

0lim 00

0+=+→x f x f x x 与

()()0lim 00

0-=-→x f x f x x 存在并且相等．

证明：必要性显然，仅须证充分性．设()A x f x x =+→0

0lim ()x f x x 00

lim -→=，从

而对任给的0>ε，存在01>δ和02

>δ，当 100δ<-

()ε<-A x f ①

当 －002

<-

取{}0,m in 21>=δδδ

时，当δ<-<00x x 时，则

δ

<-<00x x 和

00<-<-x x δ 二者必居其一，从而满足①或②，所以

()ε<-A x f ．

定理 6 函数()x f 在0x 点连续的充要条件是()x f 左连续且右连续．

证明：()x f 在0x 点连续即为()()00

lim x f x f x

x =→．注意左连续即为()()000x f x f =-，右连续即为()()000x f x f =+，用定理5即可证．

此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题．

定理7 海涅（Heine ）定理：()x f x

x 0

lim →存在的充分必要条件是对任给的序列{}n x ，若满足0lim x x n n =∞

→（0x x n

≠），则有()n n x f ∞

→lim 存在．

分析：必要性的证明是显然．充分性的证明我们用反证法． 证明：必要性。设()A x f x

x =→0

lim ，则对任给的0>ε，存在0>δ，当δ<-<00x x 时， ()ε<-A x f

①

设0lim x x n n =∞

→（0x x n

≠），则存在N ，当N n >时，δ

<-<00x x n ，

从而满足 ①，即()ε<-A x f n ，亦即()A x f n n =∞

→lim ． 充分性。 （１） 先证若0

lim x x n n =∞

→（0x x n ≠），()00,lim x y x y n n n ≠=∞

→，

则 ()=∞→n n x f lim ()n n y f ∞

→lim ． 取⎩⎨⎧=+==,

2,12k n y k n x z k k

n 则()00,lim x z x z n n n ≠=∞→，从而()n n z f ∞

→lim 存在且

()=∞

→n n z f lim ()=-∞

→12lim n n z f ()=∞

→n n x f lim ()=∞

→n n z f 2lim ()n n y f ∞

→lim ．

于是对任给的序列{}n x ，若0lim x x n n =∞

→（0x x n

≠），则()n n x f ∞

→lim 存

在且极限值与{}n x 的选取无关，记为A ．

(2) 证明()A x f x x =→0

lim （反证法），若()A x f x

x ≠→0

lim ，则有00

>ε，

对任给的0>δ，总有x '满足δ<-'<00x x 且使得()0ε≥-'A x f ．

取1=δ，则有1x 满足δ<-<010x x ，使得

()01ε≥-A x f

取21=

δ

，则有2x 满足⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-<-<0102,21min 0x x x x ，使得 ()02ε≥-A x f ，