分形艺术赏析
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何几何不仅仅是数学中的一个概念，它也是艺术中的一种灵感源泉。
而分形几何则将几何之美发挥到了极致，成为了一种兼具科学和艺术特质的美学形式。
在分形几何的世界里，数学的精密和艺术的想象交织在一起，勾勒出了独特的美丽景观。
本文将带领读者一起探索几何里的艺术家——分形几何。
1. 分形几何的起源分形几何一词最早由法国数学家贝诺瓦·曼德博特在1975年提出。
分形一词源于拉丁文“fractus”，意为碎片、断裂。
在数学上，分形是指一种具有自相似性的几何形态，即整体的部分在不同尺度上都与整体类似。
这种自相似性使得分形几何成为了一种富有美感和艺术感的数学形式。
分形几何得到了诸多科学和艺术领域的关注，成为了一种跨学科的研究领域。
2. 分形几何和艺术在艺术领域，分形几何为艺术家们带来了无限的灵感。
通过计算机技术和数学算法，艺术家们可以创造出种种奇妙的分形图像，这些图像既具有科学的精密性，又富有艺术的想象力。
分形艺术作品常常展现出几何的美感和图案的丰富多样性，在细节的赏析上更是令人叹为观止。
分形艺术作品已经成为了一种独特的艺术风格，吸引了众多艺术家和观众的关注。
3. 分形几何的应用除了在艺术领域中发挥重要作用之外，分形几何在科学领域中也有着广泛的应用。
在物理、生物、地质等领域，分形几何被用来研究复杂系统的形态和特性。
分形几何的自相似性和分形维度等特性，为科学家们提供了一种独特的研究方法，帮助他们理解和解释自然界中的复杂现象。
分形几何的应用范围正在不断拓展，有望成为解决复杂问题的重要工具。
4. 分形几何与人类文化分形几何不仅仅是一种数学形式，它还深刻地影响着人类文化的发展。
在建筑、绘画、音乐等领域，分形几何都留下了深远的痕迹。
建筑设计师们常常运用分形几何的原理来设计出富有美感和结构稳定性的建筑物；绘画艺术家们则通过分形几何的图案来展现出作品的纷繁多样；音乐创作家们也借助分形几何的节奏和和谐结构来创作富有艺术感的音乐作品。
分形艺术欣赏
于是，如何审视这个世界、欣赏这个世界、与世界和谐 共处, 融入世界，才能焕发出生命朝气…… 。
主要内容
一、关于美与艺术及其欣赏 二、分形图形艺术及欣赏 三、分形学的创立 四、分形的度量 五、分形的结构 六、分形几何构形 七、分形计算机生成算法
出生于维也纳近郊的一个教师家庭。由于家境贫寒，年仅十一岁 的舒伯特进入了当时一个供给食宿的教会儿童合唱团。在那“地 狱”(舒伯特语)般的生活里，舒伯特历经了艰难和困苦。然而， 凭着个人的努力和对音乐的强烈热爱，他却掌握了许多音乐技能 和理论，同时，还接触到了许多著名的音乐家，特别是维也纳古 典派音乐家的作品及演奏。其中最使他敬仰和崇拜的是贝多芬。
二、分形图形艺术及欣赏
1）分形图1 2）分形图2 3）Sierpinsky
2.分形图例
三、分形学的创立
1. 分形学创立的科学基础 1) 关于复杂性探索问题 科学史上至今尚未完全解决的两个基本问题是: (1) 有序和无序关系问题; (2)可逆性和不可逆性关系问题 著名热力学的熵增加原理
2) 当今世界面临的三大重要课题: (1) 寻求和探索新的资源; (2) 了解人类自身所处的环境; (3) 与大自然建立较少破坏性的和谐关系。
1813年，舒伯特到父亲所在的学校里担任了教师，但他并不 喜欢这个职业。1818年，二十一岁的舒伯特终于辞掉了教师的职 务，开始专心从事作曲。他一生从未任过公职，也没有得到过王 公贵族的帮助。他只是通过自己的作品在艺术家中结交了许多患 难与共的朋友。舒伯特一生贫困，没有结婚。1828年11月19日， 年仅三十一岁的舒伯特，由于贫病交加，在维也纳的哥哥家中与 世长辞。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何分形几何是指生物学家、数学家Mandelbrot于20世纪60年代提出的一种新的几何方法。
它主要是以图形展示自然界里颇多的自相似性和重复性，我们在自然界中可以看到很多地方都能体现出分形几何的形态。
目前，分形几何的研究成果已经被广泛运用在计算机图形学、自然科学、金融、物理学等方面，并在各个领域都取得了很好的应用效果。
分形几何不同于常规的几何学，它将几何形态转换为数学符号来分析形态的特征。
分形几何的美感与特性分形几何的美在于它具有迷人的自相似性和重复性，这个特性使得分形几何的形态无论在大小还是在宏观与微观的层次上表现出了一致性。
这种自相似性不但具有几何形态的美感，并且在自然界的很多生物和物体中都可以看到它的存在。
譬如火花、雨滴和云朵都具有分形几何的形态，对此我们可以用数学符号和计算机程序来表达和描述这些自然现象。
在分形几何中，出现的大多数形态都是基于数学方程式的操作得到，这些数学方程式需要通过反复的迭代运算才能得到最终的形态，几何学家调用的工具主要是数学符号和计算机程序。
因此，分形几何不仅展示了具有美感的自相似性和重复性，还向我们展示了无穷的变幻和生命力，在人类的审美中表现出了多姿多彩的美，可以说是几何美学中的一种绚丽多彩的表现形式。
分形几何的计算机图形学应用分形几何在计算机图形学中的应用很广泛，计算机图像能够更加真实地表现物体的特性和微观结构，分形几何的技术能够很好地表现出物体的自相似性和重复性，因此在图像处理和计算机图形学中应用颇多。
其中一个应用场景是在动画电影中，我们常常看到很多自然界中的生物，譬如花朵、藤蔓和蘑菇等生物，它们都具有分形结构，设计师用计算机图形学的方法可以让这些生物呈现出美妙的自然形态。
另外，分形几何还被广泛运用在生成式艺术中，生成式艺术是一种基于数学或人工智能算法的艺术形式，使用分形几何的技术可以生成独特的图案和模型，比如拓扑结构和有机体结构等。
分形几何中的自相似性和重复性不仅提供了美感和独特的艺术表现形式，还为我们提供了一种模拟生命活动的方式，是数学艺术范畴中一个多功能的形式。
平面设计中分形艺术的魅力体现
平面设计中分形艺术的魅力体现从古希腊的毕达哥拉斯到亚里斯多德,到现代俄国的形式主义学派,都认为形式因是艺术品之所以为艺术的根本原因之所在。
正如“黄金分割点”会给人带来和谐感、“透视法”可以给人真实感、“意象”可以给人图像感一样,分形艺术的魅力即在于其以奇异的线条美和色彩美在无序中蕴涵着有序、在复杂中蕴涵着简单、在变化中蕴涵着统一,将人类的想象力带到变化无穷、玄妙莫测的世界中。
所谓的技术支持,在今天更不成为可以否定分形艺术的理由。
在当代社会,计算机在艺术创作中已成为重要的媒介和手段,必然在技术发展中得以正名。
不仅如此,其依赖计算机技术实现的形式美还将以不同的方式给人们带来独特的审美体验。
一分形几何的思维特点分形理论之所以独特并在各领域都产生了重要影响,其重要原因无疑是它带来了一种全新的思维方式。
分形理论的提出者曼德布罗特对分形的重要属性进行了明确界定,即分形几何具有自相似性、递归迭代性和维数的非整性。
所谓的自相似性,即在分形中每一组成部分都在特征上和整体相似,仅仅是变小了而已;递归迭代性则是指分形图形包含着精细的层层嵌套体系,整体的形状特点可以进行细分再细分,仍不会改变;维数的非整性则是指一般情况下,分形的某种定义下的维数大于其拓扑维数。
分形是无规则可言的,它们在各种尺度上都有同样程度的不规则性。
分形具有无穷相嵌的功能,分形形态都有更小的形态集合组成,这样无限的细致性是分形的一个典型特性。
分形理论作为一种新的理念,为我们的视野拓展了新的空间。
它完全打破了我们对形象的一般认识规律,将我们对事物的描述由传统的抽象引向了具象;在把握其宏观特征的同时,又能关注到它们的细节特点;同时,无穷的递归迭代又将我们的视角领入了无限玄妙的空间。
尤其这种理论是在现代数字化时代的背景下产生的,计算机技术的使用必然给分形理论带来广阔的发展空间和生成可能,其在计算机图形学上的视觉表现由传统中的连续、群化、重复、聚散等构成形式,转变为分形图形中的分叉、缠绕、不规整的边缘和丰富的变换。
分形艺术欣赏
Cn 1之间只在精细的细节上不同； 康托三分集是指由所有 C n的公共点构成的集，即
n
n充分大时，C
与
C
C C n ， n 0 实际上是集序列 Cn 当 n 趋于无穷时的极限。
由维数与测量尺度的密切关系而得的启示
当我们测量几何图形的长度、面积和体积时， 分别用单位长线段、单位面积正方形和单位体积 正方体来度量。若用单位长线段来测量面积，而 用单位面积正方形来测量体积，其结果皆为无穷， 说明所用的尺度太“细”；反之，若用单位面积 正方形来测量长度，用单位体积正方体来测量面 积，则所得的结果皆为 0，说明所用的尺度太 “粗”。因此，选取的尺度必须与所测对象相匹 配。
德尔布罗曼特的创新思维
将 m0 ( F ) ， 1 ( F )， 2 ( F ) ， 3 ( F ) 中的 0，1，2， m m m 3 用分数甚至无理数 来代替，使得
0 m ( F ) , 从而用 m (F ) 来表示 F 的度量！
（牢记：启迪乃教学之本，创新为科研之魂） 按照曼德尔布罗特的思想，可以视前述 的 C，K，S 分别是一个介于 0 维与 1 维 ， 1 维与 2 维，2 维与 3 维之间的几何对象。Biblioteka 康托三分集 C 的特性
康托集 C 是自相似的，迭代过程中每步 所保留的两个部分与整体的相似比例均为 1/3 ； C 具有精细结构，即在任意小的比例尺度 内都包含整体特征； C 是无穷次迭代的结果，连续的迭代过程 可得到C之越来越好的近似 Cn ； C 难以用经典的数学语言来描述，它既不 是满足某些简单几何条件的点的轨迹，也不是 任何简单方程的解集； C 是无限不可数集，但其长度为
分形在艺术中的运用
分形在艺术中的运用
分形图形在艺术中的运用源于20世纪80 年代，并由于其自我无限的复杂结构而被广泛应用于平面设计、影像创作中。
分形图形能让艺术作品形成一种抽象效果，使得观众在沉浸其中时深刻地感知作品中所暗含的意义。
这种独特的效果也带给观众一种新鲜的视觉体验，形成艺术家与观众之间的交流。
分形图形如今也广泛应用于多媒体影像、音乐等。
除了艺术创作，分形图形也被用于受人敬重的科学领域，例如地理学、数学、统计学等。
分形地形和分形集合可以用来模拟各种复杂的现象，从而改进熟知的地理和统计数据。
因此，分形在科学上也具有重要的意义。
在日常生活中，人们也更常见到分形图形的运用，例如在照片滤镜中的味道分形，或者品牌识别的造型等。
这些都是通过分形图形来表达每个品牌独特的主题和特色，增加视觉记忆，同时也增加了观赏艺术品的乐趣性。
分形艺术图案的美学特征探析
科学与艺术
图 1 漩涡
图 2 分形艺术图案的粗糙与精细对比
图 3《圣安东尼的诱惑》（阿尔布莱特）
美感。局部与整体在视觉表现上达到了和谐统一，形成了一种新 的图案形式美 [5]。
局部与整体的均衡突破了传统的视觉特性，探索了新的审美 方式。鲁道夫 · 阿恩海姆在《艺术与视知觉》中认为人的视觉的 特性具有概括性，习惯于从整体出发观察物象而忽略局部细节， 从而形成画面各要素之间的恰当联系，各部分相互依存、互为条 件的整体感 [5]。分形艺术图案强调从局部出发，向整体演变。局 部与整体的相似突破了主次关系，使图案的各个局部呈现出并列 的关系。 2.2 简化与繁复的渐变美
分形艺术最初诞生于 20 世纪 70 年代，哈佛大学教授曼德伯 罗特发现并提出了分形（Fractal），其意为“破碎的、凌乱的”， 并正式提出了以其名字命名的曼德伯罗特集合，而后形成了分形 理论。在分形理论的研究中，先后诞生了朱利亚集合、康托集合、 科赫曲线等分形模型。如今，分形艺术在建筑、影视、雕塑等领 域都有不同程度的应用，分形艺术图案是对分形艺术在图案设计 领域的发展，其表现形式突破了传统图案的形式美感，具有独特 的美学特征。
分形艺术图案是科学与艺术相互融合而获得的，是科学与艺 术在审美上的统一，目前分形艺术图案仍然在发展的过程中。分 形艺术图案丰富了传统的形式美法则，它的视觉效果给人们带来 了全新的情感体验与审美感受，从设计层面来讲，它为图案设计 注入了全新的活力。因此，掌握分形艺术图案的美学特征，有助 于提升对图案设计审美的理解，以便于创作出更加丰富且符合大 众审美需求的图案。
中图分类号 ：J51 文献标识码 ：A 文章编码 ：1672-7053(2021)06-0030-02
Abstract ：In the era of digital media, with the increasing focus on fractal art, fractal art patterns have become the focus of pattern research. In order to deeply understand its aesthetic characteristics, the article starts from the development process, combs and analyzes its nature. Research has shown that the nature of fractal art patterns is related to its mathematical and scientific generation logic. Through the analysis of the aesthetic characteristics of fractal art patterns, it provides a new perspective for exploring fractal art. Key Words ：Fractal art; Pattern; Balanced Beauty; Gradual Beauty; Contrast Beauty
分形在摄影中的运用
分形在摄影中的运用分形在摄影中的运用摄影是一门艺术，它可以记录下人们生活中的点点滴滴，记录下自然中的美景，即使是平凡无奇的事物也可以被摄影师通过他们的镜头拍摄下来，成为一幅可以感人的作品。
现如今，科技的发展已经让摄影这门艺术更加的丰富多彩，其中，分形艺术就是一种近年来被广泛应用于摄影中的技术手段。
什么是分形艺术？分形艺术最早是由数学家曼德布洛（Benoit Mandelbrot）在20世纪70年代发明的。
它通过对图像进行几何结构重复，产生出自相似的规则几何图形，这些图形就被称为“分形”，而分形艺术就是将这些分形应用到艺术中，形成的一种独特的艺术风格。
分形在摄影中的应用随着数字摄影技术的不断发展，分形艺术被广泛应用于摄影中，不仅可以让照片更加独特，还可以让人感受到它所蕴含的美学价值。
通过分形艺术，我们可以轻松地制作出形态各异、层次分明的照片。
一、纹理与图案分形艺术可以创建出独特的纹理和图案，这些图案和纹理可以在照片中营造出奇特的效果，让照片更加饱满。
在拍摄自然风景时，可以尝试通过分形处理，营造出大自然中的复杂纹理，比如树皮的纹理、植物的纹路等等。
这些纹理和图案会让图像更丰富，更加具有立体感。
二、增强比色度和清晰度在分形处理过程中，可以调整曲线和颜色等参数，进一步增强照片的对比度和饱和度。
通过这样的处理，可以让颜色更加鲜艳、图像更加清晰，让观众在欣赏照片时感受到更加强烈的视觉冲击力和观感美感。
三、创造出立体感和景深感分形艺术不仅可以带来丰富的图案和纹理，还可以派生出更加复杂的分形结构，在拍摄建筑物和城市风景时，我们可以运用分形处理的技术，让建筑物更加鲜明有力，带来强烈的立体感，让观众感受到建筑物的实际高低与远近，进而使得照片的画面更加生动有力。
四、创造出梦幻效果通过增强颜色与视觉效果，分形艺术也可营造出一种梦幻的效果。
对于拍摄人像和静物等照片，我们可以尝试使用分形处理技术，让整个画面更像是一次梦幻的旅行，给人带来一种与众不同的视觉体验。
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洛伦兹吸引子
函数图形(天鹅)是帮加莱截面映射
图形(稻草)是描述植物生长的PL规则图案
/
分形影院
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夜深人静， 灯火更明。 符号空间中， 光滑流形上， 循着奇异轨道， 攀缘魔鬼阶梯， 求索系统复杂性。 乐道安贫， 只问耕耘。 一阵康托尘埃后， 越过临界点， 数理科学迎新春。
混沌一开， 乾坤乃定。 历经无数分叉路， 柳暗花明见新村。 教育立国， 科技兴邦， 两个强劲吸引子， 交织出一幅美丽分形。 万众协同， 应变持恒。 依凭超循环作用， 借助蝴蝶效应， 向着同宿点， 奋起马蹄奔前程。
(付新楚(1961- )《混沌寄情》)
现科学之美， 探复杂之谜， 映射突变， 分形遇与混沌帝。 马蹄迭代驱寂寞， 落霞覆涟漪， 斑图指进临境， 连络廿一世纪。 (刘华杰）
谢 谢 欣 赏 ！
夏：越来越明白，越来越明了，朦胧在消退，就这样不留余 地怒放枝头，浅黄嫣紫挂一树，我行我素。
秋：艳了，红了，空气在膨胀，天晴得晃晃，黄色打底， 殷红在作秀，血犹在烧，永恒抵不过一刹。
冬：累了，要睡了，隔着一砂玻璃，最后一扇绿门已经关上， 雪花在唱得很无奈，天气好冷，我说晚安，我要睡了……
蝴蝶函数： 花函数：
分形树.gsp
与分形有关的诗
幻境风云起，人间纷扰多。 醉弄光影躯，轻舞自婀娜。 (宋爽)
分念成形窥色相，共灵显迹化虚无。 出有入无成妙道，分形露体共真源。 (摘自《慧命经· 化身图释词》)
一个分形的人， 走过分形的一英里， 歪歪斜斜地检到了一枚分形的六便士。 买了一只分形的猫， 抓到了一只分形的老鼠。 分形的人， 分形的猫， 分形的老鼠， 都挤在分形的小屋里。 （分形韵律诗）
分形艺术赏析
开 启 数 学 之 美 丽
鲁作益
（
Z n1 Z c
2 n
（
z 和 c 都是gye/tangjun/fractal/xy.htm
春：浸泡了奶油的光，涂上酣酣的花瓣，细腻而精致，芳香四溢， 空气在叮当作响，有一种色彩醒了。