分形几何学
分形几何学的基本概念与应用
分形几何学的基本概念与应用分形几何学是一门研究复杂、自相似结构的几何学科。
它的研究对象包括自然界中的许多现象和图形，如云朵、山脉、植物的分枝结构等。
分形几何学的出现和发展，为我们认识自然界的复杂性提供了新的视角。
本文将介绍分形几何学的基本概念，并重点探讨其在科学研究和实际应用中的价值。
一、分形几何学的基本概念分形几何学最核心的概念是“分形”。
分形是指具有自相似性质或统计尺度不变性的几何图形或物体。
它具备以下特点：1. 自相似性：分形的一部分与整体的形状非常相似，即具有自我重复的特性。
无论从整体还是局部的角度观察，其形状和结构都保持不变。
2. 统计尺度不变性：无论在什么尺度上观察分形，都能发现相似的图形和结构。
分形具有无标度的特性，不受空间尺度的限制。
3. 复杂性和碎形维度：分形体现了自然界中复杂系统的普遍性和多样性。
通过碎形维度的衡量，我们可以描述分形的几何形态。
二、分形几何学的应用领域分形几何学的研究成果，对科学研究和实际应用有着广泛的影响和应用价值。
1. 自然科学领域在物理学、化学、天文学等自然科学领域，分形几何学的应用已经取得了许多重要的突破。
例如，在物质表面的研究中，分形维度可以帮助我们更好地理解物质的分布和表面形态；在流体力学领域，分形几何学可以用来描述复杂流体的运动和传输现象。
2. 生命科学领域分形几何学在生物学、医学和生态学等领域的应用也日益增多。
在生物进化研究中，利用分形模型可以揭示物种的分支进化和形态演化；在生物医学图像处理领域，分形分析可以用于肿瘤和病变的诊断。
3. 技术工程领域在工程学、计算机科学和通信领域，分形几何学为我们提供了一些创新的解决方案。
例如，在图像压缩和数据传输中，可以利用分形编码来提高传输效率和图像质量；在通信网络设计中，采用分形结构可以提高网络的可靠性和稳定性。
4. 艺术与设计领域分形几何学的美学价值也不可忽视。
许多艺术家和设计师利用分形几何学的原理和方法创作出具有独特美感的艺术作品和设计。
分形几何学
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分形几何图形
自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线 等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如Koch曲线、 weierstrass函数等。它们共同的特点是①处处连续但处处不可 微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节在里面；②具有自 相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似 的，不可区分的；③刻划它们的维数不是整数，而是分数。这是 因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用1维的直线来测量它， 其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维 数又不能等于2，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维 数必定在1和2之间。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把 研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的 世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图 形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则 提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法。
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普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维 的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是现实生活中象弯弯曲曲的 海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几何学的整数维描述或者说测量了。要描 述这一大类复杂无规的几何对象，就引入了分形理论，把维数视为分数维数。这 是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
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一、什么是分形几何学
通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相 似图形和结构的几何学。
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层 次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方 面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁 铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去， 每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次 结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
《分形几何简介》课件
分形的类型
自相似分形
自相似分形是指在不同尺度下具有相似结构的 图形，如科赫曲线和谢尔宾斯基三角形。
原子分形
原子分形是由单一基本元素重复形成的图案， 类似于雪花和花纹图案。
组分形
组分形是由多个不同形状的图形组合而成，例 如分形树和分形花朵。
拓扑分形
拓扑分形通过改变图形的拓扑结构，如将平面 断开或折叠，创建具有分形性质的图像。
分形的应用
分形图像的生成
分形几何的特性使其成为生成艺 术和图像的强大工具。许多美丽 的分形艺术作品都是通过数学算 法生成的。
分形在自然界中的应用
分形在工程领杂结构和形态，如树叶的纹理、 山脉的形状和云朵的分布。
分形几何的优势在于能够设计更 高效的结构和表面，如天线、电 路板和隔音材料的优化设计。
分形几何的未来
• 分形几何将继续发展，为我们提供对自然界和复杂系统的更深入理解和建模能力。 • 在科学和工程领域，分形几何将继续发挥重要作用，帮助解决复杂问题。 • 分形几何的应用将在未来社会的许多领域中持续拓展，包括建筑设计、艺术创作和生物医学等。
结束语
分形几何的意义远超出了几何学的范畴，它让我们对世界的复杂性有了更深入的认识，启发着我们的思维和创 造力。未来，分形几何将为科学、艺术和工程等领域带来更多的突破和创新。
《分形几何简介》
通过探索分形几何的奇妙世界，我们将带您踏上一段迥异于传统几何学的旅 程。了解分形几何的基本概念和其在科学和工程等领域的应用。
什么是分形几何
分形几何是一门研究非整数维度空间中的几何形状和模式的学科。不同于传 统几何学，分形几何更加接近自然界中的复杂结构和形态。
几何图形与分形
传统的几何图形基于欧氏几何学，具有整数维度，并且具有平滑的结构。分形的定义则更加灵活和重复，能够 描述自相似和具有复杂结构的图形。
数学中的分形几何学研究
数学中的分形几何学研究数学是一门广泛而深奥的学科，其中一个引人注目的领域是分形几何学。
分形几何学研究的是那些具有自相似性质的几何对象。
这些对象通常具有复杂的形态，不同于我们熟悉的欧几里得几何中的简单形状。
本文将介绍分形几何学的基本概念、发展历程以及其在科学和艺术领域中的应用。
一、分形几何学的基本概念在数学中，分形是指具有自相似性质的几何对象。
简单来说，自相似性是指一个对象的局部部分与整体具有相似的结构。
这种自我重复的特点使得分形对象在不同的尺度上都呈现出相似的形状，无论是放大还是缩小都能看到相似的结构。
分形几何学的概念由波兰数学家Mandelbrot于20世纪70年代提出。
他提出了分形维度的概念，用来描述分形对象的复杂程度。
与传统的欧几里得几何中的整数维度不同，分形维度可以是小数或甚至是复数。
这种非整数维度反映了分形对象的复杂性和内在的奇特性。
二、分形几何学的发展历程分形几何学的发展历程可以追溯到20世纪初。
法国数学家Julia和Fatou在复变函数论中研究了分形形态的变化规律。
在20世纪60年代，英国数学家Mandelbrot通过计算机模拟实验研究了分形对象的特性，并提出了“分形”这一概念。
在之后的几十年里，分形几何学得到了广泛的关注和研究。
人们发现分形几何学的理论可以应用于自然科学、社会科学、经济学以及艺术领域中。
世界各地的研究者都对分形几何学的应用进行了深入的探索和研究。
三、分形几何学在科学领域的应用分形几何学在科学领域中有着广泛的应用，特别是在自然科学中。
例如，分形结构在物理学中的应用包括描述分形雪花的形态、研究分形线圈的导电性以及模拟分形粗糙表面的特性。
在地质学中，分形几何学被用于研究岩石的纹理和断层的分布规律。
生物学中，分形理论被应用于研究动脉树和神经网络的分形结构。
分形几何学也在计算机科学领域中得到了广泛的应用。
例如，分形算法可以用于图像压缩和图像合成，同时也在计算机图形学中被用于生成逼真的自然景观和人物造型。
分形几何学
2分形几何学的基本概念本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。
2.1自相似性与分形几何学无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。
欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。
自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。
它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。
一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。
这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。
显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。
这就是分形几何学产生的基础。
1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。
分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。
这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。
什么是分形几何？
什么是分形几何？什么是分形几何？1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。
例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。
上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。
当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。
其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维？在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。
也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入了，所以存在分维。
其实，Koch曲线的维数是1.2618……。
Fractal（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。
此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere （“破碎”、“产生无规碎片”）。
此外与英文的fraction （“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。
在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。
因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何1. 引言1.1 什么是分形几何分形几何是一种数学理论，包括了自相似性、不规则性和复杂性等特点，它能够描述自然界和人造物体中所存在的复杂形态。
分形几何可以将复杂的形状分解为简单的结构单元，从而更好地解释和描述复杂系统的特征。
分形几何的研究对象可以是自然界中的云雾、山脉、植物等，也可以是人类创造的艺术作品、城市景观等。
通过分形几何的研究，人们能够更深入地理解形态的形成规律和演化过程，为科学研究和艺术创作提供了新的视角。
分形几何的特点在于其不规则性和自相似性。
不规则性指的是形状的复杂度和不规则程度，而自相似性则是指在不同尺度上体现相似性。
分形几何的特点使得人们可以用简单的数学模型来描述复杂的自然现象，从而更好地理解事物的本质及其演变规律。
分形几何是一种独特的数学理论，它不仅在科学领域有着广泛的应用，还在艺术领域中扮演着重要的角色。
通过分形几何的研究和应用，人们能够更好地理解世界的复杂性和多样性，从而为人类的进步和发展提供新的思路和方向。
1.2 分形几何的应用分形几何在应用领域有着广泛的用途，其独特的性质和特点使其在科学、工程、医学等领域发挥着重要作用。
分形几何在图像压缩和图像处理中有着重要的应用。
通过分形图像压缩技术，可以大大减少图像传输和存储时所需的数据量，从而提高图像的传输速度和保存效率。
分形图像处理技术还可以用于图像的放大和缩小，不会出现传统方法中所产生的模糊和失真现象。
在地理信息系统中，分形几何可以用来模拟地形特征，以实现更加逼真的地形图像。
分形几何在地震预测、金融市场分析、气象预测等领域也有着广泛的应用。
分形几何的应用领域十分广泛，不断地为各个领域带来新的发展和突破。
1.3 分形几何在艺术中的作用分形几何在艺术中的作用主要体现在其能够呈现出独特而美丽的几何形状和图案。
分形几何的特点使得它能够生成各种复杂、丰富并且具有自相似性的图像。
这种自相似性使得分形几何产生的图案看起来既具有整体性又具有细节性，给人以视觉上的愉悦和惊叹。
数学中的分形几何学概念
数学中的分形几何学概念分形几何学是数学中的一个重要分支，它研究的是自相似和自适应的结构以及其数学性质。
分形在描述自然界中的很多现象和物体时具有很高的适用性，如云朵、山脉、河流、植物的分型等。
这些物体在不同的尺度上都具有相似的结构，即使放大或者缩小，仍然可以看到相似的形状和图案。
分形几何学为我们提供了一种全新的视角来理解和研究这些复杂的自然现象。
首先，让我们来了解一下分形这个词是如何产生的。
分形一词最早由数学家Benoit Mandelbrot在1975年引入。
他将拉丁语中的“fractus”（意为“碎片”或“破裂”）与希腊语中的“fraktos”（意为“不规则”）相结合，形成了“fractal”一词。
分形表达了物体的不规则性、复杂性和多重性，与传统几何学中的简单和规则的形状相区别。
分形几何学的一个重要概念是自相似性。
自相似是指一个物体的一部分与整体相似，即无论放大还是缩小，都能够看到相同的结构和形状。
自相似性是分形的基本特征，它使得分形能够在不同尺度上呈现出相似的图案和形态。
例如，科赫曲线是一个经典的分形图形，它由一个边上减去中间三分之一的小边形成。
无论是整个科赫曲线还是它的一部分，都可以看到相似的形态，这就是自相似的体现。
自适应性是分形几何学的另一个重要概念。
自适应性是指物体的结构和形状可以根据环境和条件的改变而发生变化。
分形物体能够根据自身的规则和指导，适应不同的环境和条件，从而形成不同的形态和结构。
例如，植物的分型是分形的一种具体表现，不同的植物在生长过程中会适应不同的光照、水分和风向等因素，从而形成不同的分型。
这种自适应性使得植物具有更好的适应能力和生存能力。
除了自相似性和自适应性，分形几何学还有其他一些重要的概念和特性，如分形维度和分形参数。
分形维度是描述分形物体复杂程度的一个指标，它比传统几何学中的整数维度更加精确和准确。
传统的几何图形如点、线和面的维度分别为0、1和2维，而分形几何图形的维度可以是分数或者是介于整数维度之间的数值。
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分形几何学
摘要：分形几何学作为当今活跃在科学领域和风靡世界的新理论与新学科，它也是一种方法论。
分形作为一门新兴的交叉学科满足了艺术多元化的需求。
分形图案将几何美学与视觉形态融为一体。
分形几何学利用其的自相似性，可以构造出千变万化而又具有任意高分辨率结构的艺术图案，被民众广泛关注。
分形几何学作为科学与艺术交融的载体，已成为当今世界科学文化发展的一大热点。
关键词：分形几何；科学与艺术；自相似
中图分类号：g642.0 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2013）25-0133-02
一、引言
艺术是一种感悟，一如海德格尔所说的“朝向未来”，就艺术而言，无论视觉还是听觉，总包含着新的可能[1]。
法国著名文学家福楼拜早在19世纪中叶预言：“越往前走，艺术越要科学化，同时科学越要艺术化。
两者在山麓分手，回头又在山顶会合”，其实质已表明随着社会的发展和进步，科学与艺术逐步分化然后达到融合，分形艺术则是其最好的载体。
二、分形几何学
分形（fractal）理论，是由美籍数学家、哈佛大学教授曼德勃罗特（mandelbrot）1975年提出的，它是20世纪70年代同混沌理论一起发展起来的非线性科学的重要组成部分。
自然界中不规则现象普遍存在，可以充分利用分形理论描述和解释自然界中不光滑、
不规则的物体表面及形态，因此分形几何就是描述大自然的几何学。
它不同于传统的欧氏几何中以一维、二维、三维、四维对应的线、面、体和时空来描述物体的形状，分形理论用“分维”（fractal dimension）来描述大自然。
几何学中无法用语言表述的局部或整体概念由于分形的诞生从而得到了解决。
mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。
mandelbrot集合其图形边界处具有无限复杂结构，其边界可以无限放大，假如计算机精度不受限制。
无论怎样放大其局部，它总是显示出曲折而且不光滑曲线，即连续不可微。
在生活中，微积分中抽象的光滑曲线实际上是不存在的。
分形具有原有形态上分化的自相似形和立体时空分形性，分形图形来源于数学的反复迭代关系，其图形具有丰富性与多样性。
这种局部与整体的自相似性，显现出“是原形，非原形，超越原形”的性质[2]。
分形几何不仅仅在理论上具有丰富的数学逻辑内涵，在实际生活中，它也具有很高的艺术价值和广阔的应用前景，因此分形几何的诞生很快引起了纵多领域与学科的关注，比如，自然哲学、艺术学、机械工程、农业工程、计算机图形学、建筑学、信号处理、食品检测等学科领域。
三、分形几何与现代艺术的融合
分形艺术是通过计算机数值计算生成的某种具有科学内涵和审
美情趣的动画或者图形，根据非线性原理，它以特定方式向观众演示、播放、展览一种特有的视觉艺术形态[3]。
分形艺术是艺术与
科学的融合，是数学与艺术审美的完美统一[4]。
分形几何学是数学中几何学的一个极为年轻的分支，以其精美绝伦的几何图案征服了无数的艺术家和设计师。
它在以一种更为精确的几何学方法描述这个世界的同时，架起了艺术与科学之间的桥梁。
分形图案的构成，在很大程度上取决于构图算法模型的建立和构图原理与创作思维的综合运用。
分形图是分形艺术最主要的表现形式，分形图形是借助计算机，通过数学模型和程序完成。
主要利用牛顿迭代算法、特效处理算法和着色算法生成分形艺术图形，其中牛顿迭代算法是核心算法，为创作分形艺术图形提供素材；着色算法也是不可缺少的，为创作分形艺术图形提供调色板，决定了生成的分形艺术图形的精美程度；特效处理算法是可选的，对分形艺术图形进行二次加工，也在一定程度上决定了分形艺术图形的精美程度[5]。
一个好的分形艺术图形软件，可以生成了大量绚丽多彩的分形艺术图形。
分形构图艺术作为一种艺术创作方式，其整体具有复杂层次结构，一种跨越不同尺度的对称。
分形图机构中蕴含着无穷的嵌套关系，这种嵌套结构极大地丰富了画面，蕴藏着无穷的创造力，欣赏者不能轻易看出其内涵。
这意味着图形分化与递归：大的图形之中套小的图形。
在越分越细的尺度上形成精微细节和不断出新的精致结构。
这类艺术品有一个共同的特征，即没有特定尺度，观察者在任何距离处都能看到某种赏心悦目的细节，当你走近它时，它的构造就
在变化，展现出新的结构元素。
因此，分形图形不论在深度还是广度上都趋于无限。
这一特性，触及到哲学和艺术的本质，蕴含着美与审美的内在规律与原理。
分形理论为人们探索自然界无限的奥秘提供了新方法，同时这种理论在难以把握的艺术领域里也大显身手。
四、分形艺术
舞蹈节目《千手观音》感动了全中国，当演员同时伸出的数十双手，展现“佛光普照”时，画面带领每个人进入心手相连、宁静和谐的世界。
美轮美奂的舞蹈给人以视觉的享受与心灵的震撼。
《千手观音》让人们领略到局部和时空整体之间的一种相似与和谐[6]。
地球上存在很多自然生成的分形图形。
例如地质构造作用形成山脉，夜空中的闪电，雪花和结霜表面的冰晶，股市中的k线图都是一幅幅精美的分形图案。
中国文化和古代文献中并不缺少分形观念。
《道德经》说：“天下万物生于有，有生于无。
道生一，一生二，二生三，三生万物。
万物负阴而抱阳，冲气以为和。
”这句话正好表达了分形思想。
在中国道教、佛教中也有部分艺术作品具有分形的思想，如《萨迦寺喜金刚铸像》、化身五五图等。
变换不定的宇宙星云、材料的损伤、密如蛛网的人体血管系统以及陶瓷和鸡蛋砸在地上形成的碎片等，从地理学、生物学到物理学、化学、社会科学，甚至人们生活息息相关的事件都普遍存在分形现象。
在国外传统分形艺术作品中，印度彩绘mehndi是非常典型的分
形例子。
这种“临时刺青”是一种民间艺术，它是用天然植物指甲花的叶或幼苗磨成的糊状颜料在手掌、手背及脚上绘图。
除平日用来打扮或作小玩意外，传统上印度人会在大节日、或在准新娘出嫁前夕绘上这种临时纹身来庆祝，把它当作节日的装饰和祝福。
分形图案的可变幻性、偶然性和其不重复性使分形艺术的应用越来越广泛。
利用分形图案设计的标志，节奏清晰、色彩斑斓，不仅冲击力强，而且个性鲜明。
分形图案的无限自相似特性使得假冒商标的难度大大增加，只要改动方程中某一个参数，设计者就能得到不相同的精美图案。
分形艺术在电影业的应用也越来越多，如科幻电影的拍摄制作；著名的电影公司利用分形创造出与众不同的景观，如《星际旅程》影片中的分形风景画，行星起源的演变序列图。
在美国mtv制作、t恤衫设计、封面设计、装饰图案设计等一些时尚元素中也大量采用分形设计图案。
五、结语
分形几何学作为当今风靡世界科学领域的新理论与新学科，它也是一种方法论。
分形图案将几何美学与视觉形态融为一体，既有科学的严谨，又有艺术的魅力。
美国物理学大师约翰·惠勒说过，今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。
著名中国学者周海中教授说，分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，拓展了人类理解大自然奥秘的方式，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。
分形几何学是科学和艺术的完美融合，它的出
现，将使人们重新审视这个世界。
参考文献：
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[5]叶家呜，蒋永花.基于牛顿迭代算法的分形艺术图形设计[j].计算机技术与发展，2008，18（4）.
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基金项目：该论文由湖北省教学研究课题（2011278）资助
作者简介：张融（1970-），女，湖北人，武昌工学院机械工程系，博士，高级工程师，研究方向：高等教育研究，机械设计理论。