分形几何学

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分形几何学的基本概念

本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。

2.1自相似性与分形几何学

无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。

自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。这就是分形几何学产生的基础。

1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。

科赫曲线（Koch Curve）是分形几何学基本形体中的一个典型实例，它是由这样一种规律逐次形成的：用一根线段做为操作对象，对其三等分，把中间一段向侧面旋转60度，并增加另一段与之长度相同的线段把原来的三条线段连接为一体，这四条线段组成的形状就是第一代的科赫曲线；分别对它的每一条线段重复上述的操作，将形成第二代科赫曲线；再对其每一条线段进行上述操作，可得第三代，等等；如此迭代下去（图版2-1图4）。显然，对每一代的构成元素的同样操作决定了自相似性的代代传递，使形成的科赫曲线已经明确地具有了自然的特征。如果再进一步在操作中增加一点随机成分的话，那么所得的随机科赫曲线的自然性就更强列了。[回本章页首]

2.2维数计算：分形几何学的数学量度

既然分形几何学是一种严格的数学，那么它一定有自身的数学量度。分形几何学的数学量度是分形几何形体的维数。如前所述，分形几何形体的维数不是整数而是分数，它的计算是分形几何的创立者们在总结归纳的基础上产生的。

分形几何体的维数计算的数学推导是复杂的，也不是我们所关心的内容。但维数计算所代表的形象意义却值得我们关注。如前所述，分形几何形体的本质属性是自相似性，而这一自相似性一定是在同一形体的不同层次之间（不论是对自然形体的不同程度的放大，还是对人工形体迭代操作所得到的不同代）得以体现的。因而，分形几何形的维数正是在形状的不同层次的比较之间所反映出来的规律。这一规律所代表的是分形几何形状在空间中的扩张趋势。维数越大，就表明它在空间的扩张趋势越强，形状本身的变化可能性也越丰富。

既然分形几何的维数针对的是在分形几何形体的不同层次之间所反映出来的规律，它的计算就一定要以某种方法揭示出分形几何形体的不同层次的存在。为此，对于不同类型的分形几何形体，分形几何学定义了三种不同的维数计算方法：自相似维数、量度维数和格数维数。自相似维数针对的是人工操作所形成的分形几何形体，它的层次体现在相邻的父代（即操作起始）和子代（即操作结果）之间，由于每个父代和子代之间执行的都是同样的人工定义的规律，因而自相似维数在不同的层次之间、或说在形体不同的代数之间保持的是稳定的常数。量度维数、格数维数针对的则是完全自然的形体，它们要把自然形体的层次揭示出来，就必须依据某种分析手段。在这方面，量度维数靠的是把自然线条简化成分辩率不同的折线，格数维数依靠的是把自然形体简化成分辩率不同的位图，它们都在不同的分辩率下形成不同的简化结果，并以之展现出形体本身原有的层次，再通过对这些结果的比较计算出维数的数值。由于在自然形体的不同层次之间不存在一个一成不变的操作规律，所以维数的数值也不是常数。量度维数和格数维数实际上都是一系列存在微小差异的变数，其趋势能反映出自然形体的构成规律。

自相似维数适用于人工迭代操作所形成的分形几何形体，它的数值与是每一代的单位线段数量和单位线段长度的缩减倍数有关。如图版2-2图1所示，科赫曲线的自相似维数是1.26，明科夫斯基曲线（Minkowski Curve）的自相似维数是1.50，后者在平面空间中的占有趋势显然比前者大。

量度维数适用于类似河流或海岸线这样的线性自然形体。因为这类形体的长度不可能完全准确地被测量，只能通过尽量小的单位线段累加来逼近，所以量度维数的计算与就与用来度量的单位长度和逼近出的总长度有关。理论上讲，量度维数的数值加1就等于自相似维数。如图版2-2图2所示，在分别以100英里和25英里为单位长度来逼近英国海岸线的长度时，并以其结果的对比来计算量度维数时，英国海岸线的量度维数是0.281, 其自相似维数是1.281。

格数维数适用于一般的自然形状。它用不同密度的格网来覆盖形状，计算形状所占据的格子数，并通过比较不同密度下格子数的不同来判断形状的维数。在理论上，格数维数的数值等于自相似

维数。如图版2-2图3所示，在分别以200英尺和100英尺为单位长度画格网的情况下，美国加州兰奇地区（Sea Ranch）海岸形状的格数维数为1.336。

不难看出，在上面的三种维数计算方法中，与建筑学的形态分析关系最密切的应当是格数维数。[回本章页首]

2.3计算机迭代运算下的分形几何：模拟有机体的生成

我们不仅可以借助分形几何学去认识自然的形体，还可以借助它去生成自然的形体。如前所述，自相似性的展现需要大量重复的迭代操作，迭代操作的次数越多，生成的形状所处的“代”数也就越大，它对生成规律的自相似性表现得也就越充分。