函数的连续性与函数的导数
函数连续性、导数及其应用
§1 函数的连续性定义：设函数y =f (x )在点x 0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数f (x )在点x 0连续.)()(lim 00x f x f xx =→一、连续函数的概念函数连续要满足三个条件(1) 在x =x 0有定义；(2)存在；(3))(lim 0x f x x →)()(lim 00x f x f xx =→例1.2sin 21,0(),0axx e x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(-∞，+ ∞)上连续，求的值a 解：定义：若函数ƒ(x)在开区间(a , b)内的每一点都连续, 则称函数ƒ(x)在开区间(a , b)内连续;定义：若函数ƒ(x)在开区间(a , b)内连续, 且在左端点a右连续, 在右端点b 左连续, 则称函数ƒ(x) 在闭区间[a , b]内连续.一个函数在定义域上连续，从图像上看是连续不断的，“一笔”可以画出来的。
二、函数的间断点极其类型(1)在x =x 0没有定义；(2)虽在x = x 0有定义，但不存在；(3)虽在x = x 0有定义，且存在,但则函数f (x )在点x 0为不连续，而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.)(lim 0x f xx →)(lim 0x f x x →)()(lim 00x f x f x x ≠→x 1A 2A 0x 0x 1A 2A 0x Ax 1A 2A 0x 1A 0x间断点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧振荡间断点极限为无穷的间断点无穷间断点第二类间断点存在，但不相等）跳跃间断点（左右极限相等）可去间断点（左右极限第一类间断点)(例2.解：例3.解：三、利用零点定理讨论方程的根.,)(轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧x x x f y =几何解释:a b 3ξ2ξ1ξxyo)(x f y =123()0,()0,()0f f f ξξξ===定理3(零点定理) 设函数)(x f 在闭区间 []b a ,上连续，且)(a f 与)(b f 异号(即0)()(<⋅b f a f ),那末在开区间()b a ,内至少有函数)(x f 的一个零点,即至少有一点ξ)(b a <ξ<，使0)(=ξf .§2 导数的概念一、导数概念的引例例1变速直线运动的速度?)(0=t v )(t s s =0s-)(0t t s ∆+tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00时，0→∆t ()000000()()lim lim limt t t s t t s t sv t v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆)(0t v v →)(0t s -例2平面曲线的切线斜率x xxo y)(x f y =C 如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0→∠→NMT MN ).,(),,(00y x N y x M 设的斜率为割线MN 00tan x x y y --=ϕ,)()(00xx x f x f --=,,0x x M N C→−−−→−沿曲线的斜率为切线MT 000()()tan lim .x x f x f x k x x α→-==-αTϕN M二、导数的定义,)()(0);()()(00000000x x y x x f y x x f y x x y x f x x f y y x x x x x x x f y ='==→∆∆∆-∆+=∆∆+∆=记为处的导数,在点并称这个极限为函数处可导,在点则称函数时的极限存在,比当之与如果增量取得相应地函数仍在该邻域内)时,点(处取得增量在当自变量内有定义,的某个邻域在点设函数定义x x dxdy =,)(0x x dxx df =或xx f x x f x yy x x x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆=)()(limlim 00000即其它形式.)()(lim )(0000x x x f x f x f x x --='→.)()(lim )(0000hx f h x f x f h -+='→例3.0000()()()lim =x f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆已知在处可导，则？000()()2lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆解：'02()f x =例4.证明：三、可导和连续的关系及应用1.可导和连续的关系定理凡可导函数都是连续函数，反之不一定.证明：设函数f (x )在点x 0处可导()()0000lim ()x x f x f x f x x x →-'=-则()()0000lim[]()lim()x x x x f x f x f x x x →→'-=-()()0lim x x f x f x →=即.连续在点函数0)(x x f ∴从图像上看，可导函数除了要求像连续函数那样“一笔”画完外还要求曲线是光滑的！2.左右导数（单侧导数）右导数:左导数:0000000()()()()()lim lim ;x x x f x f x f x x f x f x x x x ---→∆→-+∆-'==-∆0000000()()()()()lim lim ;x x x f x f x f x x f x f x x x x+++→∆→-+∆-'==-∆函数)(x f 在点0x 处可导⇔左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都存在且相等. ★3.利用函数可导或连续解题例5.解：连续可导§3 函数微分的概念一、微分的定义定理：y =f(x )在可微的充分必要条件是f (x )在处可导，且当f (x )在点可微时，其微分一定是0x 0x 0x xx f dy ∆'=)(0(1) 必要性,)(0可微在点x x f ),(x o x A y ∆+∆⋅=∆∴,)(x x o A xy ∆∆+=∆∆∴xx o A x yx x ∆∆+=∆∆→∆→∆)(lim lim 00则.A =).(,)(00x f A x x f '=且可导在点即函数证明),()(0x x x f y ∆⋅α+∆⋅'=∆从而,)(0α+'=∆∆x f xy 即,)(0可导在点函数x x f ),(lim00x f xyx '=∆∆∴→∆),0(0→∆→αx ),()(0x o x x f ∆+∆⋅'=.)(,)(00A x f x x f ='且可微在点函数 ).(.0x f A '=⇔∴可微可导(2) 充分性()()dy d x x x x'==∆=∆?y x dy ==已知函数，求例1处的微分和在求函数312===x x x y 解：处的微分在函数12==x x y 1()2;x dy x x x ='=∆=∆处的微分在3=x xx x dy x ∆=∆'==6)(32例2解：由例2我们把微分常记为0()x x dyf x dx='=()dy f x dx'=二、可微与可导的关系两者是等价的三、微分的几何意义.,,MN MP M x 可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当∆xyo)(x f y =0x MT）αN xx ∆+0y∆x ∆PQ0()dy f x x '=∆tan x α=∆PQ=dy)(x o ∆§4 导数的计算(1) (C)'=0,(2) (xμ)'=μxμ-1,(3) (sin x)'=cos x,(4) (cos x)'=-sin x,(5) (tan x)'=sec2x,(6) (cot x)'=-csc2x,(7) (sec x)'=sec x⋅tan x,(8) (csc x)'=-csc x⋅cot x,(9) (a x)'=a x ln a,(10) (e x)'=e x,(11)axx aln1)(log=',(12)xx1)(ln=',(13)211)(arcsinxx-=',(14)211)(arccosxx--=',(15)211)(arctanxx+=',(16)211)cotarc(xx+-='.一、基本初等函数的导数公式211(17)()x x'=-1(18)()2xx'=二、反函数求导法则)(1])([1y f x f '='-.1(),()x f y y f x -==设函数其反函数为定理则.log 的导数求x y a =,0ln )(≠='a a a yy 且)(1)(log '='y a a x a a y ln 1=.ln 1a x = 是y a x =的反函数x y alog =.的导数求xa y =,0ln 1)(log ≠='ay y a 且)(log 1)('='y a a x ay ln 11=.ln a a x= y 是a x log =的反函数xa y =arctan y x =求的导数tan arctan x y y x ==是的反函数2(tan )sec 0,y x '=≠且1(arctan )(tan )x y '='21sec y =21sec (arctan )x =tan(arctan )x x=22sec (arctan )1tan (arctan )x x =+21x =+21(arctan )1x x'=+三、函数求导的四则运算法则及复合函数求导这部分知识都是我们高中时学过的内容，这里不再介绍，我们通过几个典型的例题加以复习巩固例1解：例2解：四、隐函数的求导1. 函数的表示法直接表示:解析式y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化.一般地,如果变量x 和y 满足一个方程F (x ,y )=0,在一定条件下当x 取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在,那么就说方程F (x ,y )=0在该区间内确定了一个隐函数2. 隐函数定义极其求解有的隐函数可以化成显函数去求导数，但是并不是所有的隐函数都可以显化的，如：sin 0xy xy +=虽然不可以显化，但是求导函数是可以的，方法就是方程两边同时关于x （或y ）求导，一般来说，导函数往往是含有x 和y 的解析式。
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数，是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
它在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍导数的定义与性质，以帮助读者更好地理解和运用导数。
一、导数的定义导数，通常用符号"f'(x)"或"dy/dx"表示，表示函数f(x)在某一点x处的变化率。
具体地说，导数定义为以下极限：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗其中，h为自变量x的增量。
这个极限表示当h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率的极限值。
二、导数的几何意义导数可以给出函数图像的切线斜率。
在函数图像上任意一点x处，函数的导数等于切线的斜率。
这是因为在极小的增量h内，函数值的变化就近似于切线的斜率。
三、导数的计算1. 基本导数公式：可以通过基本导数公式计算导数，例如：常数函数（f(x)=c）的导数为0；幂函数（f(x)=x^n）的导数为f'(x)=nx^(n-1)；指数函数（f(x)=a^x，其中a>0）的导数为f'(x)=a^x * ln(a)；对数函数（f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1）的导数为f'(x)=1/(x *ln(a))；三角函数的导数为f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)等。
2. 导数运算法则：导数具有一系列运算法则，包括常数倍数法则、加减法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则等。
通过运用这些法则，可以计算复杂函数的导数。
四、导数的性质导数具有许多重要的性质，如下所示：1. 导数存在性：如果函数在某一点处可导，则该点处一定存在导数。
但是反过来并不一定成立，存在函数在某点的导数不存在的情况。
2. 函数连续性与可导性：如果函数在某一点可导，则该点处函数一定连续。
但是反过来也不一定成立，存在函数在某点连续但导数不存在的情况。
函数可导的充分条件
函数可导的充分条件
首先是连续性。
根据导数的定义，如果在某点某处的导数存在，则函数在该点必须是连续的。
换句话说，如果函数在某点处不连续，则该点一定不可导。
其次是极限存在和极限唯一性。
导数的定义是通过极限来表述的，因此，若导数存在，则必须要求对应的极限存在。
在实数域上，如果在一点某处的左右极限存在且相等，则该点处的导数存在。
接下来是函数导数存在和可加性。
如果函数在某点导数存在，则函数在该点可导。
而如果函数在某点均可导，则函数在该点的和、差、积、商函数也可导。
也就是说，可导函数的四则运算仍然是可导的。
另外，还有Rolle定理和Lagrange中值定理。
Rolle定理表述了若函数在[a, b]区间连续，并且在(a, b)内可导，在[a, b]的两个端点处函数值相等，则存在c属于(a，b)，使得函数在c处的导数为零。
而Lagrange中值定理表述了若函数在[a, b]区间连续，并且在(a, b)内可导，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数在c处的导数等于函数在[a, b]上的平均变化率。
需要注意的是，函数在某点处的可导并不意味着函数在该点可导。
可导性是函数在某点局部的性质，而函数在某点可导则涉及到函数在该点以及附近的性质。
总之，函数可导的充分条件包括连续性、极限存在和极限唯一性、函数导数存在和可加性、Rolle定理和Lagrange中值定理等。
这些条件一起确保了函数的光滑性和可导性。
函数可导可微连续之间的关系
函数可导可微连续之间的关系函数可导可微连续之间的关系函数可导性•函数可导是指在某点的导数存在，即函数在该点附近有切线•如果函数在某点的导数存在，那么函数在该点是连续的•可导不一定连续，但连续一定可导函数连续性•函数连续是指在某点的极限存在且等于函数在该点的值•如果函数在某点连续，那么函数在该点有无切线或斜率都无关紧要•连续不一定可导，但可导一定连续函数可导可微的关系•如果函数在某点可导，那么函数在该点必定连续•如果函数在某点可微，那么函数在该点必定可导解释说明函数可导性和函数连续性是微积分中的两个重要概念。
函数可导表示函数在某点存在切线，也就是说函数在该点有斜率，并且函数在该点是连续的。
而函数连续则表示函数在某点的极限存在且等于该点的函数值。
在这两个概念中，可导不一定连续，但连续一定可导；连续不一定可导，但可导一定连续。
这说明了可导性和连续性之间的关系。
函数可导可微的关系比较特殊。
如果函数在某点可微，那么函数在该点必定可导。
可微表示函数在某点附近存在一个线性逼近，也就是存在一个线性函数能够很好地近似该点的函数值。
而可导表示函数在某点存在切线，即函数在该点有斜率。
因为线性逼近和切线都涉及到斜率的概念，因此可微必定可导。
综上所述，函数可导、可微和连续之间存在一定的关系。
函数可导表示函数在某点有切线，连续表示函数在某点的极限存在且等于函数值，可微表示函数在某点附近存在线性逼近。
可导不一定连续，但连续一定可导；可导必定可微。
这些概念的理解对于深入学习微积分和函数分析等数学领域非常重要。
函数可微性•函数可微是指在某点的导数存在且可导，即函数在该点附近有线性逼近•如果函数在某点可微，那么函数在该点必定连续且可导•可微不一定连续，但连续一定可微和可导解释说明函数可微性是对函数在某点的导数存在和可导性进行综合考量的概念。
可微表示函数在某点附近存在一个线性逼近，并且函数在该点存在切线，即函数在该点有斜率。
与可导性和连续性相比，可微性是更加严格的条件。
导数与函数的连续性
导数与函数的连续性函数是数学中一种重要的概念，而导数与函数的连续性是研究函数性质和变化的基本工具之一。
在本文中，我们将探讨导数和函数连续性之间的关系，并且详细说明它们在实际问题中的应用。
1. 导数的概念及其计算方法导数可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率。
对于函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，或者dy/dx，其中dx表示自变量x的微小变化量，dy表示函数值的微小变化量。
要计算一个函数在某一点的导数，我们可以使用不同的方法：- 用极限定义：通过取函数在该点附近的两个点，计算其斜率的极限值，即可得到函数在该点的导数。
- 使用导数公式：对于基本的代数函数，我们可以利用一些导数公式来直接计算导数。
2. 导数与函数的连续性导数与函数的连续性紧密相关。
从定义上看，如果一个函数在某一点的导数存在，那么这个点必然是函数的连续点。
反之亦然，如果一个函数在某一点连续，那么它在该点必然存在导数。
这是因为导数的存在要求函数在某一点处具有足够的光滑性和连续性。
在导数的定义中，要使极限存在，函数值必须在该点左右两侧都能逐渐接近。
而函数的连续性则要求函数在某一点附近的值都趋近于该点，这两个条件是相互关联的。
3. 导数与函数的连续性的应用导数与函数的连续性有着广泛的应用，下面我们将介绍其中的两个重要方面。
3.1 函数的可导性导数的存在与函数的可导性密切相关。
一个函数在某一点处可导，意味着它在该点的导数存在，也就是说函数在该点处的瞬时变化率是有定义的。
这在实际问题中具有重要意义。
举例来说，对于物理中的速度与位移关系，我们可以利用导数的概念来定义瞬时速度，而速度函数的导数则表示加速度。
这使得我们能够在任意时刻计算出物体的瞬时速度和加速度，进而研究其运动规律。
3.2 连续函数的导数性质连续函数的导数性质是研究函数变化过程中的重要工具。
对于一个连续函数，其导数在整个定义域上都是有定义的，这使得我们能够揭示函数在各个点上的变化趋势。
可导和导函数连续的关系
可导和导函数连续的关系在微积分中，可导和导函数连续是两个重要的概念。
它们描述了函数在某一点的平滑性和连续性，对于理解函数的性质和求解问题非常有帮助。
我们来看可导性的定义。
如果函数f(x)在某一点x=a处可导，意味着该点的导数存在。
导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
如果一个函数在某一点的导数存在，那么它在该点是可导的。
可导性和导函数的连续性有着密切的关系。
根据微积分的基本理论，如果一个函数在某一点可导，那么它在该点也是连续的。
这意味着函数在该点处的极限存在且等于函数在该点的函数值。
换句话说，如果函数在某一点可导，那么它在该点的函数值和导数的极限是相等的。
反过来，如果函数在某一点连续，未必就可导。
连续性只是函数在某一点的性质，而可导性要求函数在该点的切线斜率存在。
举个例子来说，函数f(x) = |x|在x=0处是连续的，但在该点不可导。
因为在x=0处，函数的左导数和右导数分别为-1和1，不存在唯一的导数。
然而，连续函数的可导性在大多数情况下是成立的。
如果一个函数在某一区间内是连续的，并且在该区间内每一个点都可导，那么该函数在该区间内是可导的。
这个结论被称为连续函数的可导定理，它是微积分中的一个重要结论，为我们求解函数的导数提供了便利。
不仅如此，导函数的连续性也与可导性密切相关。
根据微积分的基本理论，如果一个函数在某一点可导，那么它的导函数在该点也是连续的。
导函数表示了原函数的变化率，它是原函数在每个点的导数。
如果原函数在某一点的导数存在，那么它的导函数在该点也是连续的。
这一性质被称为可导函数的导函数连续定理。
可导函数和导函数的连续性为我们解决各种数学问题提供了有力的工具。
通过求解导函数的连续性，我们可以确定函数的可导性，并求解函数在某一点的导数。
这对于求解最值问题、优化问题、曲线的切线问题等都非常有帮助。
同时，可导函数和导函数的连续性也为我们研究函数的性质和行为提供了基础，例如函数的单调性、凸凹性、拐点等。
可导与连续的关系及四则运算法则
可导的定义
函数在某点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。如果一个 函数在某点可导，那么该点的 切线斜率存在。
可导性要求函数在该点的左右 极限相等，即函数在该点具有 极限。
可导性是函数局部性质，只要 求函数在某一点可导，并不要 求在整个定义域上可导。
可导的定义
函数在某点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。如果一个 函数在某点可导，那么该点的 切线斜率存在。
导数的计算方法
导数可以通过极限定义进行计算，即函数在某一点的导数等于该点的切线斜率。此外，还可以利用链 式法则、乘积法则、商的导数法则等计算复杂函数的导数。
导数的几何意义
导数表示函数图像上某一点的切线斜率。当导数大于零时，函数在该区间内单调递增；当导数小于零 时，函数在该区间内单调递减。
思考导数的物理意义和实际应用
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v - uv'}{v^2}$
复合函数的导数
链式法则
$(uv)' = u'v + uv'$
指数法则
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$
对数法则
$(ln u)' = frac{u'}{u}$
复合函数的导数
链式法则
$(uv)' = u'v + uv'$
指数法则
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$
一元函数可导、可微、连续的关系
一元函数可导、可微、连续的关系一元函数是指只有一个自变量的函数，例如f(x)。
可导性是指函数在某一点处存在导数，也就是函数的变化率。
可微性是指函数在某一点处存在微分，也就是函数的线性近似。
连续性是指函数在定义域内的每一点处都存在有限的极限，也就是函数的无间断性。
我们来讨论可导性。
函数在某一点处可导的条件是函数在该点处的导数存在且有限。
导数表示了函数在该点处的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
例如，对于函数f(x) = x^2，它在任意一点处的导数为2x，表示了函数在该点处的变化率是2倍的x。
可导性在微积分中是非常重要的概念，它使我们能够研究函数的变化规律。
接下来，我们来讨论可微性。
函数在某一点处可微的条件是函数在该点处的微分存在且有限。
微分是函数在某一点处的线性近似，可以用来描述函数在该点附近的变化情况。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，它在任意一点处的微分为cos(x)，表示了函数在该点处的变化情况可以用cos(x)来近似。
可微性在微积分中也是非常重要的概念，它使我们能够用简单的线性近似来研究函数的性质。
我们来讨论连续性。
函数在某一点处连续的条件是函数在该点处的极限存在且有限。
连续性表示了函数在定义域内的每一点处都没有突变或断裂，函数曲线是一条连续的曲线。
例如，对于函数f(x) =1/x，它在定义域内的每一点处都存在有限的极限，表示了函数曲线没有突变或断裂。
连续性在微积分中也是非常重要的概念，它使我们能够研究函数的整体性质。
通过以上的讨论，我们可以看出一元函数的可导性、可微性和连续性之间存在着紧密的关系。
可导性是可微性的充分条件，也就是说，如果函数在某一点处可导，则它在该点处可微。
可微性是连续性的充分条件，也就是说，如果函数在某一点处可微，则它在该点处连续。
但是反过来并不成立，也就是说，函数在某一点处连续并不意味着它在该点处可微，函数在某一点处可微并不意味着它在该点处可导。
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函数的连续性与函数的导数函数的连续性是函数的重要性质。
常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数以及由它们经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数都是连续函数。
连续函数具有下面两条重要性质：1．最值定理 假设f(x)是[a ，b]上的连续函数，于是存在c ，d 属于[a ，b]，满足f(c)≤f(x)≤f(d)对于所有x∈[a，b]成立。
（也就是说f(d)是[a ，b]上的最大值，f(c)是[a ，b]上的最小值）。
2．介值定理 假设f(x)是[a ，b]上的连续函数，且f(a)<y<f(b)（或f(b)<y<f(a)），则在（a ，b ）中存在c ，满足f(c)=y 。
函数的导数也是函数的一种性质，它在求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性，凹凸性求曲线的切线等方面有着直接的应用，将导数内容与传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，给竞赛试题解法带来新的启示。
例1 在曲线y=，x ≥0上求一点P ，使该点处的切线与两坐标轴所围图形的面积为最小（其中a>0，b>0）。
解：设所求点P （x 0，y 0），在该点处切线斜率为02020|x x b x k y a y ='==-,则该点处的切线方程为：00221xx yy a b+=,图形面积为22002a b S x y =，x 0∈（0，a ）。
设A=x 0y 0，可得x 0为A 的极大点，即S 的极小点。
此时y 0。
故所求点为P 时，所围面积最小。
评注：题中所给曲线实际上是椭圆22221x y a b+=在第一象限的部分。
求圆锥曲线的切线的传统方法是利用切线与圆锥曲线只有一个交点的特点，借助于一元二次方程判别式为零来解决的。
这种方法计算量较大而且不能推广到其它曲线的切线的求法。
而利用导数求切线斜率是通法。
如果能掌握降函数求导方法将使计算变得更加简捷。
例2（Ⅰ）已知0<x<1，试求函数f(x)=(1+x 2)(2-x)的最小值； （Ⅱ）若a ，b ，c 为正数，满足a+b+c=1，求证：2221112710111a b c ++≤+++。
解：（Ⅰ）对函数f(x)=(1+x 2)(2-x)求导数，得2()2(2)1(1)(31)f x x x x x x '=---=--，由()0f x '=，得13x =. 当0<x<13时，()0f x '<，函数f(x)是递减函数；当13<x<1时，()0f x '>，函数f(x)是递增函数。
∴当x=13时，函数f(x)=(1+x 2)(2-x)取得最小值5027。
（Ⅱ）显然a ，b ，c ∈（0，1），由（Ⅰ）的结论，得(1+x 2)(2-x)5027≥， 2127(1)501x x ≤-+。
（*） 在（*）里，取x 为a ，b ，c ，得三个不等式，2127(2)501a a ≤-+，2127(2)501b b ≤-+，2127(2)501c c≤-+， 叠加，得2221112727[6()]5010111a b c a b c ++≤-++=+++。
例3 已知函数f(x)=ln(1+x)-x ，g(x)=xlnx 。
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设0<a<b ，证明0<g(a)+g(b)-2g ()2a b+<(b-a)ln2。
解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为（-1，+∞）。
1()11f x x'=-+。
令()0f x '=，解得x=0。
当-1<x<0时，f '(x)>0，当x>0时，f '(x)<0，又f(0)=0,故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值为0。
（Ⅱ）g(x)=xlnx ，g '(x)=lnx+1.设F(x)=g(a)+g(x)-2g ()2a x+, 则()()2[()]ln ln 22a x a xF x g x g x ++'''=-=-. 当0<x<a 时，F '(x)<0，因此F(x)在（0，a ）内为减函数。
当x>a 时，F '(x)>0，因此F(x)在（a ，+∞）上为增函数。
从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)。
因为F(a)=0，b>a ，所以F(b)>0，即0<g(a)+g(b)-2g ()2a b+。
设G(x)=F(x)-(x-a)ln2，则()ln lnln 2ln ln()2a xG x x x a x +'=--=-+ 当x>0时，()0C x '<。
因此G(x)在（0，+∞）上为减函数。
因为G(a)=0，b>a ，所以G(b)<0，即g(a)+g(b)-2g ()2a b+<(b-a)ln2。
例4 （2006年土耳其国家队选拔考试）已知正数x 、y 、z 满足xy+yz+zx=1，证明：227()()()4x y y z z x +++≥≥证：设tanA=x ，tanB=y ，tanC=z ，其中，∠A、∠B、∠C∈(0,)2π，则tanA·tanB+tanB·tanC+tanC·tanA=1⇔1-tanA·tanB=tanC(tanA+tanB)⇔cotC=tan tan 1tan tan A BA B+-⋅=tan(A+B)。
∴∠A+∠B+∠C=2π。
故22()2x y z =+++=2tan 22(tan sec )A A A ++∑∑∑。
又因y=tanx 的二阶导数y ''=32sin 0cos xx>，y=secx 的二阶导数231sin 0cos x y x +''=>，所以，26(tan sec )33A B C A B C++++≥+=。
注意到227()()()4x y y z z x +++≥⇔27sec 2(tan sec )4A A A ≥+∑∑∏ ⇔278≥cos cos sin cos cos A B C A B ⋅⋅+⋅∑∑=1cos sin()cos cos 2A B C A B ⋅++⋅∑∑=21cos cos cos 2A A B +⋅∑∑=21(cos )2A ∑,又因y=cosx 在[0,]2π上为凸函数，所以，cosA+cosB+cosC 3cos3A B C ++≤=（cosA+cosB+cosC ）2274≤,因此，原不等式成立。
评注：此例证明用到函数的凸凹性。
例5 射线OA ，OB 构成的角的内部存在点P ，在OA 上寻找点X ，在OB 上寻找点Y ，使点P 在线段XY 上，并且|PX|·|PY|最小。
解：如图：以角γ为自变量,在ΔOXP 和ΔOPY 中使用正弦定理sin sin sin sin()PX OP PY OPαγβπαβγ---==和，于是 F （γ）=|PX|·|PY|=sin sin ()||()||sin sin()OP OP αβγπαβγ⋅⋅⋅--- =(csc )(csc()),0C γπαβγγπ---<<，其中C=sin αsin β|OP|2是常数。
函数F 在（0，π）连续可导，且当γ→0+，γ→π-时F （γ）→∞。
所以在（0，π）上的某点达到最小值，在该点()F γ'=0，即0=csc γcsc ()παβγ---[cot γ-cot ()παβγ---].因为在（0，π）上csc γ和csc ()παβγ---都不为0，所以当cot γ=cot ()παβγ---时达到最小值。
对于0<γ<π，0<παβγπ---<，仅当γπαβγ=---时上式成立。
于是ΔOXY 为等腰三角形；即OX=OY 。
评注：这是初等微积分的典型的最大—最小问题。
本问题并非提问是否达到最小而是提问在何处达到最小值。
技术上是应用前述的结果：如果最小值在开区间内达到，则在某一点导数为0。
于是我们必须将乘积|PX|·|PY|表示成某个单变量的函数，并求出导数为0的点。
对于每个正数x ，在OA 上存在唯一的点X ，满足x=|OX|。
而该点唯一地决定了OB 上的点Y ，使得X ，P 和Y 共线。
于是|PX|·|PY|是x 的函数。
但是找出其函数表达式很困难，因此寻求其他方法。
因此以γ为自变量构造函数。
例6 已知函数f(x)=lnx ，g(x)=12x 2+a （a 为常数），直线l 与函数f(x)、g(x)的图象都相切，且l 与函数f(x)图象的切点的横坐标为1。
（Ⅰ）求直线l 的方程及a 的值；（Ⅱ）当k∈R 时，试讨论方程f(1+x 2)-g(x)=k 的解的个数。
解：（Ⅰ）1()|x f x ='故直线l 的斜率为1，切点为（1，f(1)），即（1，0），∴直线l 的方程为：y=x+1直线l 与y=g(x)图象相切，等价于方程组2112y x y x a =-⎧⎪⎨=+⎪⎩只有一解，即方程21(1)02x x a -++=有两个相等实根。
∴Δ=1-4·12(1+a)=0，∴a=-12（Ⅱ）令y 1=f(1+x 2)-g(x)=ln(1+x 2)- 12x 2+12，y 2=k,由312222(1)(1)111x x x x x x y x x x x --+'=-==+++，令1y '=0，则x=0，-1，1。
当x 变化时，y '、y 1的变化如下表又因为y 1=ln(1+x 2)-12x 2+12为偶函数。
据此可画出y 1=ln(1+x 2)-12x 2+12的示意图如右：当k∈（ln2，+∞）时，方程无解；当k=ln2或k∈（-∞，12）时，方程有两解；当k=12时，方程有三解；当k∈（12，ln2）时，方程有四解。
例7 给定平面上一个三角形，求证在任意方向上都存在一条直线，能将三角形分成面积相等的两份。
解：设已给三角形ABC 的面积为S ，存在矩形ODEF 包含三角形ABC ，且可使其一个边与给定方向e 平行，不妨设OD ∥e ，以OD 为y 轴，OF 为x 轴建立直角坐标系O-xy 。
如图所示，以S(x)表示过x 轴而平行于y 轴的直线截取三角形ABC 所得位于直线左边区域的面积（如所论区域为空集，就记S(x)=0）。
S(x)是连续的。
因为|S(x)-S(x ')≤|x-x '|，所以S(x)连续。