函数的最大小值与导数公开课
【教学设计】公开课 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、【教学目标】重点: 求函数最值的方法.难点：函数存在最值的的条件；求函数最值的方法.知识点：理解函数最值的特点；掌握函数存在最值的的条件及用导数求函数最值的方法.能力点：通过引导学生观察、归纳,培养学生的观察能力和归纳能力.教育点：通过以学生为主体的教学方法,让学生自己探究函数最值的求法,发展体验获取知识的感受.自主探究点：通过“会观察”,“敢归纳”,“善建构”,培养学生自主学习,勇于创新的精神.考试点：求函数最值的方法.易错易混点：极值和最值的区别与联系.拓展点：通过函数的最大（小）值与导数教学,建立概念间的多元联系,培养同学们多角度审视问题的习惯.二、【复习回顾】【师生活动】（1）师:好美的图片啊,这里的山高低起伏，层峦叠嶂，你能用两句诗形容这里的山吗?生:横看成岭侧成峰,远近高低各不同.（2）师:我们从图片上提炼出来一段图象,观察闭区间],[b a 上函数)(x f y 的图象,找出它的极大值点,极小值点.生:极大值点：642,,x x x 极小值点：531,,x x x 【设计意图】利用课件的生动性激发学生的学习兴趣.师:我们在图象上取一个闭区间],[d c ，以这一段为例，你能说出极大值的定义吗?这里的极大值也是最大值，那你能再说一下最值的定义吗? 【设计意图】温故而知新,通过学生回答,为本节课的学习作铺垫.教师总结：极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益,常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效益最大等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数在什么条件下一定有最大、最小值?它们与函数极值关系如何?这就是我们这一节课的主要内容----函数的最大（小）值与导数. 【设计意图】 通过教师总结,引出最值及本节课的课题. 三、【探究新知】探究一：函数在区间],[d c 上有最大值、最小值吗?如果有，分别在什么位置取最值?探究二：函数在区间]c上有最大值、最小值吗?如果有，分别在什么位[d,置取最值?探究三：函数在区间]c上还有最大值、最小值吗?如果有，分别又在什,[d么位置取最值?四、【理解新知】师：通过三个探究，我们来思考总结下面两个问题：思考1：你能从自变量的范围和图象的角度说明函数在什么情况下有最值吗?（学生分组讨论，完成总结）学生回答，教师板书：最值存在性定理：一般地，如果在区间]f(xy 的图象是一条连续不断的曲,a上函数)[b线，那么它必有最大值和最小值。
函数的最大(小)值与导数 课件
f(－2)．
而f(2)－f(－2)＝16－4a2<0，f(x)max＝f(－2)＝－8＋4a＋ 2a2＋m，
又∵f(x)≤1在[－2,2]上恒成立，
∴－8＋4a＋2a2＋m≤1，
即m≤9－4a－2a2，在a∈[3,6]上恒成立，
∵9－4a－2a2的最小值为－87，∴m≤－87.
[点评] 1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区 间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时， 需注意是否分类讨论．
2．求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤： (1)求f(x)在开区间(a，b)内的 极值 ； (2)计算函数f(x)在各 极值点 和 端点 处的函数值f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
3．函数f(x)＝x4－8x2＋2在[－1,3]上的最大值与最小值分 别为________．
[答案] 11 －14
[解析] f ′(x)＝4x3－16x＝4x(x－2)(x＋2)． 令f ′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝2. 其中x2＝0，x3＝2在[－1,3]内，计算得 f(0)＝2，f(2)＝－14，f(－1)＝－5，f(3)＝11， 故f(x)在[－1,3]上的最大值是11，最小值是－14.
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1 (－1,0) 0 (0，43)
4 3
(43，2) 2
f ′(x)
＋ 0－
0
＋
f(x) －2
1
↘ －257
1
故f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.
[点评] 要熟记用导数求最值的一般步骤：一求极值，二 求闭区间端点函数值，三比较找出最值．
函数的极值-最大值与最小值省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 鉴定每个驻点和导数不存在旳点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小旳邻域内)
f (x)旳符号, 依定理鉴定xi 是否为f(x)旳 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题旳实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 所以他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
特殊情况下旳最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限 开或闭)内可导且
有且只有一种驻点x0 则： 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上旳
可导 且
(2) 令f (x)0 得驻点x1 x1为不可导点 (3) 列表判断
x ( 1) 1 (1 1) 1 (1 )
f (x) 不可导 0
f(x) ↗
0
↘
↗
定理3 (第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处 具有二阶导数, 且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0, 则
(1)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极大值点，
例4. 求 y 2x3 3x2 12x 14 在 [3,4] 上旳最大值与最小值. 解: y 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1),
令 y 0, 得驻点 x1 2, x2 1.
因为
f (3) 23, f (2) 34, f (1) 7, f (4) 142,
所以
M max{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (4) 142,
极小值, 称 x0为f(x)旳极小值点；
5.3 5.3.2 第二课时 函数的最大[小]值公开课
![5.3 5.3.2 第二课时 函数的最大[小]值公开课](https://img.taocdn.com/s3/m/0269882882c4bb4cf7ec4afe04a1b0717fd5b3b2.png)
[跟踪训练] 已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)，求 f(x)在区间[0，2]上的最大值． 解：f′(x)＝3x2－2ax.
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝23a. ①当23a≤0，即 a≤0 时，f′(x)在[0，2]上满足 f′(x)≥0，所以 f(x)在[0，2]上单调递 增，从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a. ②当23a≥2，即 a≥3 时，f′(x)在[0，2]上满足 f′(x)≤0，所以 f(x)在[0，2]上单调递 减，从而 f(x)max＝f(0)＝0. ③当 0<23a<2，即 0<a<3 时，f(x)在0，23a上单调递减，在23a，2上单调递增，从而 f(x)max＝80－ （42a<（a<03<）a≤. 2），综上 f(x)max＝80－（4aa>（2）a≤. 2），
(2)①当1a≤1，即 a≥1 时，函数 f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以 f(x)的最小 值是 f(2)＝ln 2－2a.
②当1a≥2，即 0<a≤12时，函数 f(x)在区间[1，2]上是增函数，所以 f(x)的最小值 是 f(1)＝－a.
③当 1<1a<2，即12<a<1 时，函数 f(x)在1，1a上是增函数，在1a，2上是减函数． 又 f(2)－f(1)＝ln 2－a. 所以当12<a<ln 2 时，最小值是 f(1)＝－a. 当 ln 2≤a<1 时，最小值为 f(2)＝ln 2－2a. 综上可知，当 0<a<ln 2 时，函数 f(x)的最小值是－a； 当 a≥ln 2 时，函数 f(x)的最小值是 ln 2－2a.
－m
∴g(t)在[0，2]上有最小值 g(2)＝－3－m， 存在 t∈[0，2]，使 h(t)<－2t＋m 成立， 等价于 g(t)的最小值 g(2)<0. ∴－3－m<0，∴m>－3， ∴实数 m 的取值范围为(－3，＋∞)．
(-人教A版)函数的最大(小)值与导数课件-(共38张PPT)
[双基自测]
1．函数 y＝x4－4x＋3 在区间[－2,3]上的最小值为( )
A．72
B．36
C．12
D．0
解析：y′＝4x3－4，令 y′＝0，得 4x3－4＝0，x＝1，当 x＜1 时，y′＜0；当 x＞1 时，y′＞0，所以 y 极小值＝y|x＝1＝0，而端点的函数值 y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72， 得 ymin＝0.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0 0，23π
2π 3
23π，43π
4π 3
43π，2π 2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 0
π3＋
3 2
23π－
3 2
π
∴当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0；
当 x＝2π 时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
(2)f′(x)＝ e1x′－(ex)′＝－e1x－ex＝－1＋exe2x. 当 x∈[0，a]时，f′(x)<0 恒成立， 即 f(x)在[0，a]上是减函数． 故当 x＝a 时，f(x)有最小值 f(a)＝e－a－ea； 当 x＝0 时，f(x)有最大值 f(0)＝e－0－e0＝0. (3)f′(x)＝－ax22＋1－b2x2＝b2x2x－21a－21x－2 x2. 令 f′(x)＝0，即 b2x2－a2(1－x)2＝0， 解得 x＝a＋a b或 x＝a－a b(舍去)．
1．求下列函数的最值． (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈－π2，π2.
解析：(1)f(x)＝2x3－12x， ∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)， 令 f′(x)＝0 解得 x＝－ 2或 x＝ 2.
高中数学《函数的最大(小)值与导数》课件
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
课堂互动探究
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
探究 1 求已知函数的最值 例 1 已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)． (1)若 f′(1)＝3，求 a 的值及曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值．
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
探究 2 由函数的最值确定参数的值 例 2 已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2) x，其中 a<0. (1)当 a＝－4 时，求 f(x)的单调递增区间； (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8，求 a 的值．
[解] (1)当 a＝－4 时，由 f′(x)＝25x－2xx－2＝0 得 x＝25或 x＝2，由 f′(x)>0 得 x∈0，25或 x∈(2，＋∞)，故函数 f(x)的单调递增区间为0，52和 (2，＋∞)．
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
拓展提升 (1)当 f(x)的图象连续不断且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端 点处取得． (2)当图象连续不断的函数 f(x)在(a，b)内只有一个极大(或极小)值，则可 以断定 f(x)在该点处取到最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是无穷区间．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
(2)f′(x)＝12＋cosx，令 f′(x)＝0，解得 x＝23π或 x＝43π. 因为 f(0)＝0，f23π＝π3＋ 23，f43π＝23π－ 23，f(2π)＝π， 所以函数 f(x)在[0,2π]上的最大值是 π，最小值是 0.
函数的最大(小)值与导数 课件
引申探究 若本例中条件不变，“把(2)中对x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2恒成立”改为 “若存在x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2成立”，结果如何？ 解 由典例解析知当 x＝1 时，f(1)＝c－32为极小值， 又 f(－1)＝12＋c>c－32，所以 f(1)＝c－32为最小值. 因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2成立，
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2恒成立，求实数c的取值范围. 解 由(1)知，f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1,2]， 当 x＝－23时，f －23＝2227＋c 为极大值，
因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值. 要使f(x)<c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2>f(2)＝2＋c， 解得c<－1或c>2. 故实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
所以只需 c2>f(1)＝c－32，即 2c2－2c＋3>0， 解得c∈R.故实数c的取值范围为R.
函数的最大(小)值与导数
知识点 用导数求函数f(x)最值的基本方法
(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)； (2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点； (3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与 f(x)随x变化的一览表； (4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值； (6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其 定义域内的最大值和最小值.
类型一 由极值与最值关系求在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值
范围是
函数的最值与导数教案-公开课
1.3.3函数的最大 (小)值与导数 教学目标1.理解函数最值的特点。
2. 掌握函数存在最值的的条件及用导数求函数最值的方法。
教学重点：求函数最值的方法。
教学难点：函数存在最值的的条件；求函数最值的方法。
教学方法：探究式教学讲练结合法教学过程:一•复旧知新：问题一：函数极值概念 问题二：一般地，求函数 y=f(x) 的极值的方法是什么？二•讲授新课观察区间［a,b ］上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值，极小值吗？你能 找出它的最大值和最小值吗?最值特点:(1) 函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整体概念；(2) 从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有一个最大值或最小值；(3)最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。
探究问题1:开区间上的最值问题如图，观察(a, b )上的函数y=f(X)的图像，它们在(a, b )上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别在什么位置取到？点处取得。
探究问题2:闭区间上的最值问题如图，观察［a, b］上的函数y=f(x)的图像，它们在［a, b］上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？结论：一般地，如果在闭区间［a, b］上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。
特别地，若函数y=f(x)在区间［a，b］上是单调函数, 则最值则在端点处取得。
一般地，求函数y=f(x)在区间［a, b］上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值；⑵计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函数y=f(x)的各极值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
1. 典例精讲例2求函数f(x)=48x-x3在区间［-3, 5］上的最值。
2 2解：f '(x)=48-3x = -3(x -16)= -3(x-4)(x+4)令f '(x)=0，得x=4 或x= -4 (舍)当-3< x < 4时，f '(x) >0,函数单调递增；当4< x <5时，f '(x)<0，函数单调递减;所以当x=4时，函数取得极大值，且极大值 f (4)=128;又f (-3)= -117, f (5)=115所以函数f(x)=48x-x3在区间［-3, 5］上最大值为128,最小值为-117. 练习：求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间［-2, 1］上的最值。
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学以致用
1．下列说法正确的是( D )
( A)函数的极大值就是函数的 最大值 ( B)函数的极小值就是函数的 最小值 ( C)函数的最值一定是极值 ( D)若函数的最值在区间内部取 得,则一定是极值.
X3
bx
发现图中__f(_x_1)_、__f(_x_3_) __是极小值，___f(_x_2)____是极
大值，在区间上的函数的最大值是__f_(b_)__，最小值
是__f_(_x_3)__。
思考2
问题在于如果在没有给出函 数图象的情况下，怎样才能
判断出f(x3)是最小值，而f(b) 是最大值呢？
方法总结
不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，
常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最 大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个 函数的最大值和最小值问题
函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们 与函数极值关系如何？
1知识与技能：掌握利用导数求函数最值的方法。 2.过程与方法：正确理解利用导数研究函数的最值的 具体过程。 3.情感、态度与价值观：引导学生实现自我探索的特 点，自己总结用导数研究函数最值方法和注意事项。
思考1
y
观察下列图形,
图1
找出函数的最
值连并续总结函规数律在[aa,bx1]O上x2必有x3 最值b ；x 并y 且在图极2值点或端y点处取到.图3
a O x1 x2
x1
bx
aO
x2 x3 b x
追踪练习
y
y=f(x)
观察右边一个定义在区
间[a,b]上的函数y=f(x)
的图象：
a x1 o X2
13
( D)
12
4、函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为（
C
)
(A) -4
(B) 0
(C) 16
(D) 20
能力提升
已知函数 f (x) 2x3 6x2 a 在[-2,2]上有最小值-37， （1）求实数a的值；（2）求f(x)在[-2,2]上的最大值
解:(1）f (x) 6x2 12x 令f (x) 0解得x 0或x 2 又f (2） 40 a, f (0) a, f (2) 8 a
y
f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
o a x1 x2 x3 x4 x5
y=f(x)
x6
bx
探究2
如何求出函数在[a,b]上的最值？
y
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
bx
结论:一般的如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线， 那么它必有最大值和最小值。
温故而知新
问题一、函数的极值定义
y
y
使函数取得极值的 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
设函数f(x)在点x0附近有定义，
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；
由已知得 40 a 37解得a 3
(2)由(1)知f (x)在2, 2的最大值为3.
反思：本题属于逆向探究题型： 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大
小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。
通过本堂课的学习 我学会了… …
我体会到… … 我感到困惑的是… …
求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论 问题,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的 连续函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是 函数的最值.
2.函数 y=f(x)在区 间［ a,b ］上 的最 大值 是 M，最 小值 是 m,若 M=m,则
f ( x) ( A)
(A)等于 0 (B)大于 0 (C)小于 0 (D)以上都有可能
3.函数 y= 1 x4 1 x3 1 x2 ,在［－1,1］上的最小值为(A)
432
( A)0
(B)－2 (C)－1
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)； (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.
注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一
2.最大值一定比最小值大.
想一想，记一记
温故而知新
问题三：观察下列图形,找出函数的极值
y
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
bx
函数y=f(x)的极小值：f (x1), f (x3), f (x5)
函数y=f(x)的极大值：f (x2), f (x4), f (x6)
新课讲授
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函
数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并
◆函数的极大值与极小值统称 为极值.
温故而知新
问题二;求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f’(x) （3）求方程f’(x)=0的根 （4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分 成若干个开区间，并列成表格
（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这 个 根处取极值的情况
重点：利用导数求函数的最值。 难点：准确求函数的最值。
探究1 观察下列图形,你能找出函数的最值吗？
在x 开(区a间, b内)
的连续函数 不一定有最 大值与最小 值.
y
因此：该函数没 有最大值。
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
bx
在闭区间
上x的［连a续, b函］
数必有最大 值与最小值