江苏省盐城市2015-2016学年度第二学期高一年级期终考试数学试卷

第1页盐城市2015/2016学年度第二学期高一年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径，l 为母线长；柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．直线3y x =-的倾斜角为 ▲ ． 2．函数2sin 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是 ▲ ． 3．已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为 ▲ ． 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为24n S n n =-+，则其公差d = ▲ ．5．若向量()=2,a m，(=b ，且+a b 与a b - 垂直，则实数m 的值为 ▲ ．6．如图，三棱柱111ABC A B C -的体积为1V ，四棱锥111A BCC B -的体积为2V ，则12=VV ▲ ．7．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴， 终边过点(1,3)P -，则cos 2α的值为 ▲ ．8．设{}n a 是等比数列，若1237a a a ++=，23414a a a ++=， 则456a a a ++= ▲ ．9．设,,l m n 是空间三条不同的直线，,αβ是空间两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若l 与m 异面，m ∥n ，则l 与n 异面； ②若l ∥α，α∥β，则l ∥β； ③若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l m ⊥； ④若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α. 其中正确命题的序号有 ▲ ．（请将你认为正确命题的序号都填上）第6题图ACA 1B 1C 1第2页101cos 20-=︒▲ ．11．在ABC ∆中，设角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos 2A A +=，3a =，512C π=，则b = ▲ ．12．已知点()2,4A ，()6,4B -，点P 在直线3430x y -+=上，若满足22PA PB λ+=的点P 有且仅有1个，则实数λ的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()22:345C x y -+-=，,A B 是圆C 上的两个动点，2AB =，则OA OB ⋅的取值范围为 ▲ ．14．在数列{}n a 中，设2m i a =（*i ∈N ，3231m i m -<+≤，m *∈N ），36912i i i i i i S a a a a a ++++=++++，则满足[]1000,3000i S ∈的i 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设函数()sin()f x A x ωφ=+（,,A ωφ为常数，且0,0,0A ωφπ>><<）的部分图象如图所示.（1）求,,A ωφ的值； （2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围.第15题图第3页如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，CA CB =，,,D E F 分别为11,,AB A D AC 的中点，点G 在1AA 上，且1A D EG ⊥. （1）求证：CD //平面EFG ； （2）求证：1A D ⊥平面EFG .17．（本小题满分14分）如图，在四边形ABCD 中，ABC ∆是边长为6的正三角形，设=BD xBA yBC +（,x y R ∈）.（1）若1x y ==，求||BD；（2）若36BD BC ⋅= ，54BD BA ⋅= ，求,x y .18．（本小题满分16分）如图所示，PAQ ∠是村里一个小湖的一角，其中60PAQ ∠=︒. 为了给村民营造丰富的休闲环境，村委会决定在直线湖岸AP 与AQ 上分别建观光长廊AB 与AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米；AC 是窄长廊，造价是400元/米；两段长廊的总造价预算为12万元（恰好都用完）；同时，在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个表演舞台，并建水上通道AD （表演舞台的大小忽略不计），水上通道的造价是600元/米.（1）若规划宽长廊AB 与窄长廊AC 的长度相等，则水上通道AD 的总造价需多少万元？（2）如何设计才能使得水上通道AD 的总造价最低？最低总造价是多少万元？ABCDE第18题图PQ · 第17题图 CFEDA 1B 1BAC 1G第16题图第4页已知圆M 的圆心为()1,2M -，直线4y x =+被圆M截得的弦长为，点P 在直线:1l y x =-上.（1）求圆M 的标准方程；（2）设点Q 在圆M 上，且满足4MP QM =，求点P 的坐标；（3）设半径为5的圆N 与圆M 相离，过点P 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为,A B ，若对任意的点P ，都有PA PB =成立，求圆心N 的坐标.20．（本小题满分16分）设{}n a 是公比为正整数的等比数列，{}n b 是等差数列，且12364a a a =，12342b b b ++=-，1133620a b a b +=+=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设, =21,,, =2,,n n n a n k k N p b n k k N **⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩数列{}n p 的前n 项和为n S . ①试求最小的正整数0n ，使得当0n n ≥时，都有20n S >成立；②是否存在正整数,m n ()m n < ，使得m n S S =成立？若存在，请求出所有满足条件的,m n ；若不存在，请说明理由.第5页答案一、填空题： 1．4π 2．2 3．3π 4．2- 5．0 6．32 7．45-8．56 9．③ 10．4 1112．58 13．[]8,48 14．16,17,18 二、解答题：15．解：（1）由图像有A , ……………2分最小正周期74123T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，22T πω∴==， ……………4分())f x x φ∴+，由712f π⎛⎫= ⎪⎝⎭722122k ππφπ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈， 523k πφπ∴=-+，k Z ∈，0φπ<< ，3πφ∴=. ……………8分（2）())3f x x π=+，[0,]2x π∈ ，42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦， ……………10分sin 23x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ……………12分所以()f x的取值范围为32⎡-⎢⎣. ……………14分16．证明：（1）,E F 分别为11,A D AC 的中点，EF ∴//CD ， …………… 2分 又CD ⊂/ 平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，CD ∴//平面EFG . …………… 6分（2）AC BC = ，D 为AB 的中点，CD AB ∴⊥，又CD ⊂ 平面ABC ,平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A 平面ABC AB =， CD ∴⊥平面11ABB A ， ……………10分 又1A D ⊂ 平面11ABB A ，CD ∴⊥1A D ，而EF //CD ，EF ∴⊥1A D ， ……………12分 又1A D EG ⊥ ，EF EG E = ，EF ⊂平面EFG ,EG ⊂平面EFG ，1A D ∴⊥平面EFG . ……………14分17．解：（1）法一：若1x y ==，则=BD BA BC +，所以()22=BD BA BC + ……………2分222BA BC BA BC =++⋅ 136362661082=++⨯⨯⨯=， ……………6分第6页BD ∴……………7分法二：坐标法，略.法三：由三角形法则或平行四边形法则作图，略.（2）法一：由=BD xBA yBC +，得 ()(),,BD BC xBA yBC BC xBA BC yBC BC BD BA xBA yBC BA xBA BA yBC BA ⎧⋅=+⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=+⋅=⋅+⋅⎪⎩……………10分 即361836,543618,x y x y =+⎧⎨=+⎩……………13分解得41,33x y ==. ……………14分法二：以B 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()6,0A -，()0,0B，(C -，()6,0BA =-，(BC =- ，由=BD xBA yBC +，得()(()=6,03,363,3BD x y x y -+-=-- ， ……………10分 则())363183636BD BC x y x y ⋅=---+=+=，()663361854BD BA x y x y ⋅=---=+=， ……………13分解得41,33x y ==. ……………14分18．解：（1）设AB AC x ==（单位：百米），则宽长廊AB 造价为8x 万元，窄长廊AC 造价为4x 万元，故两段长廊的总造价为12x 万元，所以1212x =，得1x =， 又60PAQ ∠=︒，ABC ∴∆是边长为1的正三角形， 又点D 为线段BC 上靠近点B 的三等分点，所以13BD =, ……………3分 在△ABD 中，由余弦定理得222221172cos 12cos60339AD BA BD BA BD ABD ⎛⎫=+-⨯∠=+-⨯⨯︒= ⎪⎝⎭，AD ∴= ……………6分又水上通道的造价是6万元/百米，所以水上通道的总造价为. ……………8分 （2）法一：设,AB x AC y ==（单位：百米），则两段长廊的总造价为8412x y +=， 即23x y +=，在△ABC 中，由余弦定理得22222222cos 2cos60BC AB AC AB AC BAC x y xy x y xy =+-⨯∠=+-︒=+-，……10分第7页在△ABC 与△ABD 中，由余弦定理及cos cos ABC ABD ∠=∠，得22222222BA BC AC BA BD AD AB BC AB BD +-+-=⨯⨯， ……………12分又3BC BD =，得()()222222412412423232199999993AD x y xy x x x x x x =++=+-+-=-+2433944x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当且仅当34x =时，AD故总造价有最小值32y =， ……………15分即当宽长廊AB 为34百米（75米）、窄长廊AC 为32百米（150米）时，水上通道AD 有最低总造价为. ……………16分法二：由2133AD AB AC =+ ，平方得222412999AD x y xy =++，以下略.法三：以A 为原点，AP 为x 轴建立平面直角坐标系，求出D 的坐标得222412999AD x y xy =++，以下略.19．解：（1）()1,2M -到直线4y x =+的距离为2d ==， ……………2分 又直线4y x =+被圆MM的半径为1r ==，∴圆M 的标准方程为()()22121x y ++-=. ……………5分（2）由4MP QM =，得44MP QM == ，所以点P 在圆()()221216x y ++-=上， ……………7分又点P 在直线1y x =-上，由()()221216,1,x y y x ⎧++-=⎪⎨=-⎪⎩ ……………9分解得12x y =-⎧⎨=-⎩或32x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2--或()3,2. ……………10分（3）设(),1P t t -，(),N a b ，则圆N 的标准方程为()()2225x a y b -+-=，()()22222211121249PA PM t t t t =-=++---=-+，()()()()2222222251252222125PB PN t a t b t a b t a b =-=-+---=-+++++-，……………12分PA PB = ，()()22222492222125t t t a b t a b ∴-+=-+++++-，即()()222221340a b t a b +---++= （*），第8页因为对任意的点P ，都有PA PB =成立，所以（*）式对任意实数t 恒成立，得()2222201340a b a b +-=⎧⎪⎨++-=⎪⎩， ……………14分 解得54a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩，又因为N 与M 相离，156MN ∴>+=，6>，∴圆心N 的坐标为()5,4-. ……………16分20．解：（1）由12364a a a =，12342b b b ++=-，得24a =，214b =-， ……………2分设{}n a 的公比为()q q N *∈，{}n b 的公差为d ，由1133620a b a b +=+=，得()2222620a b d a q b d q+-=++=， 即241408140d q q d ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩，消去d ，得248280q q +-=，解得32q =或2q =，又q N *∈ ，2q ∴=，2d =-，得2n n a =，210n b n =--. ……………4分 （2）①212214120S a b =+=-=-<，423412818220S S a b =++=-+-=-<，6456223222120S S a b =++=-+-=-<，86781212826900S S a b =++=-+-=>，……………6分设22(1)n n n t S S -=-,则212122122410n n n n n n t p p a b n ---=+=+=--， 因为()()()21121211241102410324n n n n n t t n n +---+⎡⎤-=-+----=⨯-⎣⎦13240≥⨯->， 所以数列{}n t 单调递增，则n ≥5时，952300n t t ≥=->， 即n ≥5时，22(1)n n S S ->，数列{}2n S 在n ≥4时单调递增， ……………9分而80S >，所以当n ≥4时，280n S S ≥>，综上，最小的正整数04n =. ……………10分 ②法一：112S a ==，212S =-，3231284S S a =+=-+=-，422S =-，545223210S S a =+=-+=，612S =-，76712128116S S a =+=-+=，890S =.1°当,m n 同时为偶数时，由①可知2,6m n ==； ……………11分 2°当,m n 同时为奇数时，设2121n n n r S S +-=-,则212212214102n n n n n n r p p b a n +++=+=+=--+，因为()()2321211411024102324n n n n n r r n n ++++⎡⎤-=-+-+---+=⨯-⎣⎦33240≥⨯->， 所以数列{}n r 单调递增，则当n ≥2时，522180n r r ≥=->， 即n ≥2时，2121n n S S +->，数列{}21n S -在n ≥2时单调递增， 而12S =，34S =-，510S =，第9页故当,m n 同时为奇数时，m n S S =不成立； ……………13分 3°当m 为偶数，n 为奇数时，显然6m ≤时，m n S S =不成立， 若8m ≥，则11111112m m m m m m m m S S p S a S S +++++++=-=-=-<， ∵m n <，∴1m n +≤，由2°可知1m n S S +≤，∴1m m n S S S +<≤，∴当m 为偶数，n 为奇数时，m n S S =不成立； ……………14分 4°当m 为奇数，n 为偶数时，显然5m ≤时，m n S S =不成立， 若7m ≥，则1n m ≥+，若1n m =+，则()1111112110m m m m m m m n S S p S b S m S S ++++++=-=-=--+->=⎡⎤⎣⎦， 即m n S S >，∴1n m =+时，m n S S =不成立，若1n m >+，即3n m ≥+，由①中数列{}2n S 的单调性，可知3n m S S +≥，231231232428m n m m m m m m m m m S S S S p p p b a b m ++++++++∴-≥-=++=++=--，设22428m m u m +=--， 因为()()3221241282428240m m m m m u u m m ++++⎡⎤-=-+----=->⎣⎦恒成立， 所以数列{}m u 单调递增，则当7m ≥时，972560m u u ≥=->，0n m S S ∴->，∴1n m >+时m n S S =也不成立； 综上1°2°3°4°，存在正整数2,6m n ==，使得m n S S =成立. ……………16分 法二：可以证明当3k ≥时，不等式2212221k k k k S S S S -++<<<恒成立，余下略.。