向前差分,中心差分,龙贝格求积公式,梯形公式,Gauss求积公式共59页
Gauss型求积公式
Gauss型求积公式 一、Gauss型求积公式 定义： 个节点的具有2 定义 ： 把具有 n＋1 个节点的具有 2 n+1 次代 数精确度的插值型求积公式
∫
b
a
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ) k
k=0
n
称为Gauss型求积公式， 称为Gauss型求积公式，其求积节点 xk k=0， Gauss型求积公式 （ =0， 称为高斯点 高斯点， 高斯系数。 1，……n）称为高斯点，系数 A 称为高斯系数 k称为高斯系数 Remark：构造Gauss Gauss型求积公式的关键在于确定高斯 Remark：构造Gauss型求积公式的关键在于确定高斯 个高斯点构造基函数， 点，再由n＋1个高斯点构造基函数，从而得到高斯 系数。 系数。
f (x) = P x) n+1(x) ( ω 的次数不超过2n+1。
故有
∫ω
a
b
n+1
( x )P( x )dx = ∑A ωn+1( xk )P( xk ) = 0 k
k=0
n
充分性 ： 设 ∫ ωn+1(x)P(x)dx = 0 对于任意次数不超过 a ω 2n+1的多项式 f (x),设 n+1(x)除f(x)的商为p(x),余 项为q(x)。
Ak 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837 0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834
6
7 4 0.3478548451 0.6521451549
7-5Gauss型求积公式
参阅表 7-4.
其截断误差为
2 2n 1 (n! ) 4 ( 2n ) R( f ) f ( ) 3 (2n 1)(2n)!
(1,1)
任意区间上的Gauss-Legendre 公式
对积分
b
a
f ( x )dx
ba ba x t 做变换 利用 Gauss－Legendre 求积公式的求积节 2 2 ，
（7-51）
2．可以证明：若 f ( x) C a, b，Gauss 型求积公式当 n 时收敛于 定积分值。
3.Gauss型求积公式是数值稳定的。
3.Gauss 型求积公式是数值稳定的。
记 f * ( xk ) 为 f ( xk ) 的近似值，
∵
Ak ( x)lk ( x)dx 0 且 a
b
Gauss型求积公式的误差 设求积公式 ( x ) f ( x )dx A
b n a k 1
k
f ( x k ) 是 Gauss 型求
积公式，H ( x ) 为以
b n
n x Gauss 点 k k 1 为节点的 f ( x ) 的 2n 1 次
Hermite 插值多项式，则有
例
试确定求积公式： 1 f ( x)dx af 0.6 bf (0) cf 0.6 中 待定参数 a , b 和 c ，使其代数精确度尽量高，并指出公式具有 几次代数精确度,判断是否为 Gauss 型求积公式。
1
解：记 I ( f ) 1 f ( x )dx
1
f af 0.6 bf (0) cf I
n n ( x) Al l k ( xl ) Ak a ( x)lk ( x)dx a ( x) ( x xk ) n ( xk ) dx l 1 b b
龙贝格求积公式
2
f( ) 2
T3 , 1 T3 , 2
T3 , 3
T4 , 1 T5 , 1
M
T4 , 2 T5 , 2
M
T4, 3 T5 , 3
M
T4 , 4 T5 , 4
M
用龙贝格方法计算积分的步骤为：
（1）：准备初值，先用梯形公式计算积分近
似 （值 2）：：T1按 变b 2步a[长f (a梯) 形f (公b)]式计算积分近似值：
4 0.918741799 0.916327874 0.916297224 0.916294351
5 0.916905342 0.916293190 0.916290077 0.916290776
T5 , 4 0.916290776
例3：取=0.00001,用龙贝格方法计算积分
1
I
4
dx
01 x2
解：由题意
f(x)=4/(1+x2) a=0 b=1 f(0)=4 f(1)=2 由梯形公式得
T1=1/2[f(0)+f(1)]=3 计算f(1/2)=16/5 用变步长梯形公式得
T2=1/2[T1+f(1/2)]=3.1 由加速公式得
S1=1/3(4T2-T1)=3.133333333
求出f(1/4) f(3/4) 进而求得 T4=1/2{T2+1/2[f(1/4)+f(3/4)]}
Simpson加速公式： Cn
42 S2n Sn 42 1
I
C2n
1 43 1(C2n
Cn )
43C2n Cn 43 1
Cotes加速公式：Rn
43C2n Cn 43 1
Romberg 值序列
计算方法-4.6-4.7龙贝格、高斯求积公式
4 1 T1 ( k 1) T0 ( k ) T0 ( k 1) 3 3 16 1 T2 ( k 1) T1 ( k ) T1 ( k 1) 15 15 64 1 T3 ( k 1) T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63
k 1, 2 ,
引入 T1 (k 1),令
S n S 2 k 1
即
Sn S2 k 1 T1 ( k 1)
S 2 n T1 ( k )
--------(6)
当然
2016/8/14
10
因此由复合Simpson公式的余项
I S2 n 1 ( S2 n Sn ) 15
Cn
可得 令 即
1次,3次和5次
复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为
2阶、4阶和6阶 无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的 有没有办法改善梯形公式呢?
2016/8/14
2
一、复合梯形公式的递推化
将定积分I f ( x)dx 的积分区间 [a , b]分割为n等份 a ba x a jh , j 0 , 1 , , n 各节点为 h j n 复合梯形(Trapz)公式为
n 1 ba Tn [ f ( a) 2 f ( x j ) f (b)] 2n j 1
b
--------(1)
如果将 [a, b]分割为2n等份，而h (b a) /n不变, 则
n 1 n 1 ba T2 n [ f ( a ) 2 f ( x j ) 2 f ( x 1 ) f (b)] j 4n j 1 j 0 2 --------(2)
外推 加速 公式
龙贝格算法
龙贝格积分1. 算法原理采用复化求积公式计算时，为使截断误差不超过ε，需要估计被积函数高阶导数的最大值，从而确定把积分区间[]b a ,分成等长子区间的个数n 。
首先在整个区间[]b a ,上应用梯形公式，算出积分近似值T1；然后将[]b a ,分半，对 应用复化梯形公式算出T2；再将每个小区间分半，一般地，每次总是在前一次的基础上再将小区间分半，然后利用递推公式进行计算，直至相邻两个值之差小于允许误差为止。
实际计算中，常用ε≤-n n T T 2作为判别计算终止的条件。
若满足，则取n T f I 2][≈；否则将区间再分半进行计算，知道满足精度要求为止。
又经过推导可知，∑=-++=ni i i n n x x f h T T 112)2(221，在实际计算中，取kn 2=，则k a b h 2-=，112)1*2(2++--+=+k i i ab i a x x 。
所以，上式可以写为∑=++--+-+=+kk i k k ab i a f a b T T 211122)2)12((2211k开始计算时，取())()(21b f a f ab T +-=龙贝格算法是由递推算法得来的。
由梯形公式得出辛普森公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式。
根据梯形法的误差公式，积分值n T 的截断误差大致与2h 成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一，即有21114n n T T -≈-将上式移项整理，知2211()3n n n T T T -≈-由此可见，只要二分前后两个积分值n T 和2n T 相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果2n T 的误差很小，这种直接用计算结果来估计误差的方法称作误差的事后估计法。
按上式，积分值2n T 的误差大致等于21()3n n T T -，如果用这个误差值作为2n T 的一种补偿，可以期望，所得的()222141333n n n n n T T T T T T =+-=-应当是更好的结果。
romberg求积公式
romberg求积公式Romberg求积公式是一种广泛应用于数值积分方面的定积分计算方法，它在概数学天才Tobias D. Romberg发明，经常被称为Romberg 积分或Romberg积分法。
Romberg积分法是基于把定积分表达为Riemann积分和Simpson积分序列之和的结果，以及构建出一个更加精确的方程来求积。
Romberg求积公式通过把更大的积分划分成更小的积分去求解定积分，并且不断的将每一个小积分的计算值相加，从而不断的提高准确性和精确度。
这也是Romberg求积公式的关键特征，而它的优点是可以更精确地求解定积分，比其他求积方法更快。
Romberg求积公式的基本步骤是，在求解积分过程中，首先将求解的积分区间分成两个子区间，然后对每个子区间求Simpson积分，用每个子区间的计算结果来求出一个总结果，之后不断分割每个子区间，直到每个子区间的计算结果满足用户指定的精确度要求为止。
Romberg求积公式使用抽样去确定每一个子区间内函数值的大小，其中，抽样点的位置不是固定的，而是从左端到右端按一定的步长去抽样，比如，如果步长为2，则说明抽样的点位于积分区间的左端、中点以及右端。
每次抽样后，都会得到一个比较准确的定积分值，从而使得Romberg求积公式效率高且精确度高。
Romberg求积公式可以在多种情况下使用，比如，在以下四个情况下，Romberg求积公式可以工作的更好：1. 积分区间的计算结果的增加率很小时，Romberg求积公式可以有效的减少计算次数，从而提高效率；2. 积分函数在积分区间内是非常精确的时候，Romberg求积公式可以快速的求得准确的计算结果；3. 积分函数在积分区间上有某些间断点和断点时，Romberg求积公式可以通过分段求解，较好地解决求积问题；4. 积分函数运行速度比较快、且积分区间较大时，Romberg求积公式可以利用自我调整机制，来调整步长，以减少计算次数，以及解决积分平滑度问题。
龙贝格求 积分---精品管理资料
龙贝格(Romberg ）求积法1。
算法理论Romberg 求积方法是以复化梯形公式为基础，应用Richardson 外推法导出的数值求积方法.由复化梯形公式 )]()(2)([2222b f h a f a f h T +++=可以化为)]()]()([2[212112h a f h b f a f hT +++=＝)]([21211h a f h T ++一般地，把区间［a,b]逐次分半k －1次，（k ＝1，2，……,n)区间长度（步长）为kk m a b h -=，其中mk ＝2k －1。
记k T ＝)1(k T 由)1(k T ＝]))12(([21211)1(1∑=---++km j k k k h j a f h T 从而⎰badxx f )(＝)1(kT－)(''122k f h a b ξ- (1)按Richardson 外推思想，可将（1）看成关于k h ,误差为)(2k h O 的一个近似公式,因而,复化梯形公式的误差公式为⎰badxx f )(－)1(k T ＝......4221++k k h K h K ＝∑∞=12i i k i h K （2）取1+k h ＝k h 21有 ⎰ba dx x f )(－)1(1+k T ＝∑∞=+121221i ik ii hK （3）误差为)(2jh O 的误差公式 )(j kT＝)1(-j kT＋141)1(1)1(------j j k j k T T2.误差及收敛性分析(1)误差，对复化梯形公式误差估计时，是估计出每个子区间上的误差，然后将n 个子区间上的误差相加作为整个积分区间上的误差。
(2）收敛性，记h x i =∆,由于∑=++=ni i i n x f x f h f T 01))]()([2)(＝))()((21101∑∑-==∆+∆n i ni i i i i x x f x x f上面两个累加式都是积分和，由于)(x f 在区间],[b a 上可积可知,只要],[b a 的分划的最大子区间的长度0→λ时，也即∞→n 时,它们的极限都等于积分值)(f I 。
龙贝格积分公式
龙贝格积分公式
龙贝格积分公式，是数学中常见的一种积分方法。
它通过分割区间，将被积函数转化为$Polynomial$（多项式）的形式，并通过加权平均的方式求出积分值。
这种方法被广泛应用于科学计算领域，如物理、化学等。
龙贝格积分公式是从重复使用$Simpson$和$Mid-point$公式推导而来的。
该公式基于分治思想，将整个区间分成若干个子区间，并对每个子区间进行逐层递推，最终得出整个区间的积分值。
在推导龙贝格积分公式时，需要利用“函数逼近”的思想，即将被积函数转化为多项式的形式。
这样可以大大简化计算，减小误差，并提高计算精度。
公式的具体计算过程如下：
假设被积函数为$f(x)$，积分区间为$[a,b]$，将积分区间均分成$2^n$个小区间，在每个小区间上做$Simpson$公式近似积分，得到$S_{2^n}$，即：
$$S_{2^n}=\frac{4^nS_{2^{n-1}}-S_{2^{n-1}}}{4^n-1}$$
其中，$S_{2^n}$为$n$级逼近值，$S_{2^{n-1}}$为$n-1$级逼近值。
根据上式，可得$S_{2^1}$，然后再计算$S_{2^2}$，$S_{2^3}$，以此类推，递归地计算$n$级逼近值，直到计算所得值与精确值的差别小于预先设定的精度要求为止。
龙贝格积分公式没有强制要求$f(x)$连续可微，又由于是基于函数逼近的方式进行积分，精度高且计算速度快，因此被广泛应用。
总之，龙贝格积分公式是一种有效的求解复杂积分问题的方法，在处理高维积分时，具有更大的优势。