量子力学试卷

量子力学试卷

05级2学分A

一、回答下列问题（每题5分，共30分）

1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？

2 什么是束缚态？什么是定态？

3 试述电子具有自旋的实验证据。

4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。

5 表示力学量的厄米算符有哪些特性？

6一维空间两粒子体系的归一化波函数为),(2

1

x x ψ，写出下列概率：

发现粒子1的位置介于x 和dx x +之间（不对粒子2进行观测）

二、本题满分10分

设单粒子定态波函数为 )(1)(ikr ikr

k

be e r

r +=-ψ，试利用薛定谔方程确定其势场。 三、本题满分12分

利用厄米多项式的递推关系和求导公式： ()()()0221

1

=+--+x nH x xH x H n n

n ，()()x nH x H n n 1

2-='

证明：一维谐振子波函数满足下列关系：

)](21

)(2[1)(1

1x n x n x x n n n

+-++=ψψα

ψ

η/)],(2

1

)(2[)(11ωαψψαψm x n x n dx x d n n n =+-=+-

已知一维谐振子的波函数为：()()2

121

2

!2,

2

2

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==-

n N x H e

N x n n n x

n

n

πααψα

四、本题满分12分

一粒子在一维无限深势阱⎪⎩

⎪

⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,,

0,0,0,)（ 中运动，求粒子的能

级和相应的归一化波函数。

五、本题满分12分

已知氢原

子的电子

波函数为

)(),()(4

1

),,,(2/11131z z nlmm s Y r R s r s

χϕθϕθψ=

)(),()(4

3

2/12032z s Y r R -+χϕθ。

求在ψ态中测量氢原子能量E 、2L 、z L 、2s 、z

s 的可能值和这些力学量的平均值。

六、本题满分14分

一维运动的粒子处于状态⎪⎩⎪⎨

⎧<≥=-0

,

00)(,

x x Axe x x λψ 之中, 其中0>λ,

A 为待求的归一化常数, 求：

(1) 归一化常数;

(2) 粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值; (3) 粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。 七、本题满分10分

附：氢原子能量本征值：222024

132n

e E n ηεπμ-=

定积分：0!

1

0>=

+-∞

⎰αα

αn x n n dx e x ，n 为正整数

球坐标系中：ϕ

θθθθθ2

2

2

22222

sin 1)(sin sin 1)(1∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r r r r r r 05级2学分B

一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？

2 （1）德布罗意关系式是仅适用于基本粒子如电子、中子，

还是同样适用于具有内部结构的复合体系？ （2）粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度更大？二者之间是否有必然联系？

3量子力学中角动量是如何定义的？地球自转是否与量子力学中的自旋概念相对应？

4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符有什么特征？球谐函数),(ϕθlm

Y 是哪两个算符的共同本征函数？

5具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？

6 什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？ 二、本题满分14分

设氢原子处于状态1212102

3

2

1),,(--

=ψψϕθψr nlm ,求氢原子能量、角动

量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。 三、本题满分15分

证明：)

x 3x 2(e

3)x (33x 2

1

22ααπ

αψα-=-是一维线性谐振子的波函数，

并求此波函数对应的能量。已知η

μω

α=。

四、本题满分8分

证明在z

l 的本征态下，0

=x

l

。

五、本题满分15分

设粒子限制在矩形匣子中运动，即

0(,,){V x y z ∞=，0

其余区域，求粒子的能量本征值和本征波函数。

六、本题满分10分

求下列算符对易关系式：

1) ?ˆˆˆˆ=-x x x x L P P L 2) ?ˆˆˆˆ=-y x x y L P P L

七、本题满分8分定义Pauli 算符σˆϖ

与自旋角动量算符S ˆϖ的关系为σˆ2

ˆϖη

ϖ=S ，证明： i z y x =σσσˆˆˆ 附：氢原子能量本征值：222024

132n

e E n ηεπμ-=