《数值分析》杨大地答案(第八章)

n+1,
f(x) ，当积
分公式代入求积节点
x 的计算结果与定积分的计算结果一致，继续代入求积节点 n 次的代数精度。
，若计算结果
与对应的定积分计算结果不一致时，求积公式拥有最高 （ 1）
???? ??
?? ( ?? ) ???? ≈ ?? ???? + ?? ?? ?? + ?? ?? ( ???? ) ?? ?? ??
∴该求积公式至少具有
令 f(x)= x ，代入求积公式有：
4
4
1 3
- 1
1
4
+ 0+
1 3 1 5
1 1
4
=
5
2 3 5 2 5
∵函数 f(x) = x 的定积分结果为： ∴该求积公式的最高代数精度为
x 4 dx = -1
— - 1
=
，与求积公式计算值不相等，
3 次代数精度。
（ 5）
?? ??
?? ( ?? ) ???? ≈ ???? ?? + ???? ??
3
=
1 6
h
5
，与 f(x)= x 的定积分计算值
5
1 5
h
5
不相
等，所以，此求积公式的最高代数精度为
3 次代数精度。
8.2 确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。 解题思路：按照 P149 中 8.3 式进行求解，根据求积公式中未知量
n
n 的数量决定代入多少 X
2
1 + 1 + ah 2 0 - 0 = h
1 2 1 3
0 + h + ah2 1 - 1 = 0+ h
2
h2 h
3
// 注： x 的导数 =1
+ ah 0 - 2h =
2
解之得， a=1/12 ，此时求积公式至少具有 ∴ 积分公式为：
3
2 次代数精度。 +
h
2
h 0
f(x)dx ≈ f 0 + f h 2
h 2
h
12
f
2
′
0 - f (h)
1 4 4 h ， 与 f(x)= x 的定积分计算值
4
′
令 f(x)= x 带入求积公式有： 所以，此求积公式至少具有 令 f(x)= x 带入求积公式有，
4
0+ h
3
+
h2 12
0 - 3h
=
1 4
h
4
相等，
3 次代数精度。
h 2
0+ h
4
+
h2 12
0 - 4h
4
4
hh 4 + 3
2h 0
1
h 2h 3
1 5
4
=
20 3 5
h5
32 5
x 4 dx =
2h
- 05 =
h 5 ，与求积公式计算值不相等，
3 次代数精度。
（ 2）
?? -??
?? ( ?? ) ???? ≈ ????-?? + ???? ?? ( ?? ) ?? + ???? ??
2
解：令 f(x)=1,x,x 代入有 , 【 注：本例中需求解 A1+ 2+ 3 = 2 A - 1 + 2x 1 + 3x 2 = 0 A - 1
= 0.11764706
1 2 1 2 1 2
T2 = U2 = T4 =
T1 + U1 = 0.10882353 // 见 P155 f
1 4
+ f( ) = 0.11296096
4
3
T2 + U 2 = 0.11089224
1 4
U4 == T8 =
1 2
f
1 8
+ f( 8 ) + f( 8 ) + f( 8) = 0.11191244
?? ??
?? ?? ?? + ??
n=2 ,则直接用对应的公式从
k
T1、 U1 开始计算， 8.7
然后按照 T2n、 T4n 的公式利用前面计算的数据进行计算，若
n≠ 2k，在直接利用梯形求积公式
， ??= ?? ????
??
?? ?? + ??
解：由题，设 ?? ( ?? ) =
1 ）用复化梯形公式求解有
3 次代数精度。
8.3 分别用复化梯形公式，复化 解题要点：复化梯形公式【
Simpson 公式，复化 Cotes 公式计算下列积分：
Tn， Un】 -P154\P155 ，复化 Simpson 公式【 Sn】 -P155\P156 ，复化 Cotes
公式【 Cn】 -P156。若在积分范围内划分的小区间数 直接计算 Tn 和 Un，再利用 Tn、 Un 求解 Sn、 Cn。 （ 1）
2
A、X1、X2 共 3 个未知量， 故需 3 个相异求积节点 求解得
f(x)】
+ 2x 1 2 + 3x 2 2 = A= 1 3
1 3
13 -
- 1
3
=
2 3
， x 1 = 0.6899 ， x 2 = - 0.1260 ，或 A =
1 3
， x 1 = - 0.2899 ， x 2 = 0.5266
∵该求积公式对
3 个相异节点 1,x,x 均有余项 E f = 0 ， // 注：参见 P149 定理 8.1 2 次代数精度。
3 3
2
∴该求积公式至少具有
令 f(x)= x ，代入求积公式有： ∵函数 f(x) = x 的积分结果为： ∴该求积公式具有
4 4
3
12 0
3 3
+
1 4
1+
3 3
=
1 4
n
，最高不超过
（ 2）梯形公式有 （ 3）求积公式
8.1,8.3】
f(x)dx ≈
h 2
f 0 + f h
+ ah 2 f ′ 0 - f ′ (h) 中的参数 a= 1/12 时，才能保证该求积 3 。
公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 解：令 f(x)=1,x,x 带入有，
h 2 h 2 h 2
3
3
4
hh 3
3
+
1
h 2h 3 x 3 dx =
3
= 4h 2h
4
∵函数 f(x) = x 的定积分结果为： ∴该求积公式具有 3 次代数精度。
2h 0
1 4
4
4 = 4h ，与求积公式计算值相等，
令 f(x)= x4，代入求积公式有： ∵函数 f(x) = x 的定积分结果为 ∴该求积公式的最高代数精度为
∴该求积公式至少具有
令 f(x)= x 代入求积公式 令 f(x)= x 代入求积公式
3 3
3
1 有： 2 有：
1 3 1 3
- 1 - 1
1
3
+ 2 0.6899
3
+ 3 - 0.1260
3
3
= - 0.2245 = - 0.2928
3
+ 2 - 0.2899
1 4
+ 3 0.5266
4
3
∵函数 f(x) = x 的定积分结果为： ∴该求积公式的最高代数精度为
2 1 3 1 2 3 1 -
A1、A2 、A3 共 3 个未知量， 故需 3 个相异求积节点
2
f(x)】
11 3 3 1
- 1
1 2
= 2
2
+ A3 + A3
=
1 1 3
- 1
= 0 求解得 A 1 =
3
1 2
， A 2 = 0 ， A3 =
3 2
，
+ A2 -
1 2
=
1 3
3
- 1
1
=
2 3
∴求积公式为：
2 — 0
4
4
= 4
x 3 dx =
2 4 — 0 4 = 4 ，与求积公式计算值相等，
3 次代数精度。 12 0 3 3 4
令 f(x)= x ，代入求积公式有： ∵函数 f(x) = x 的积分结果为： ∴该求积公式的最高代数精度为
4
+
1 5
1+
3 3
4
=6.2222
x 4 dx =
2 5 — 0 5 = 6.4 ，与求积公式的计算结果不相等，
数值分析第 8 章数值积分与数值微分
8.1 填空题 （ 1） n+1 个点的插值型数值积分公式 2n+1 。 【注：第 1 空，见定理 8.1】 1 次代数精度， Simpson 公司有 3 次代数精度。 【注：分别见定理
h 0 b a n j=0
f(x)dx ≈
A j f(x j ) 的代数精度至少是
f(x)dx ≈ f - 1 + 1 2
f( ) 2 3
∵该求积公式对
3 个相异节点 1,x,x2 均有余项 E f = 0 ， // 注：参见 P149 定理 8.1 2 次代数精度。
1 3 3 1 4
∴该求积公式至少具有
令 f(x)= x ，代入求积公式有：
3
3
Hale Waihona Puke Baidu
1 2
- 1
1
3
+
3 2
= - 0.4444 1
4
∵函数 f(x) = x 的定积分结果为：
x 3 dx = -1
— - 1
4
= 0 ，与求积公式计算值不相等，
∴该求积公式的最高代数精度为
2 次代数精度。
（ 4）
?? -??
?? ( ?? ) ???? ≈ ?? ?? ?? ???? + ?? ?? ( ?? ) ?? ?? + ?? ?? ??
T16，进而得先求出
15
U8
∵ U8 = ∴ ∴
f(x i+1/2 ) =
+ f( 16 ) + f( 16 ) + f( 16 ) + f( 16 ) + f( 16 ) + f( 16 ) + f( 16 ) = 0.11165540
T16 = S8 =
1 2
T8 + U 8 = 0.11152888 = 0.11157106
2 3
解：令 f(x)=1,x,x ,x 代入有 ,【注：本例中需求解 A 1 + A2 + A 3 = 2 A 1 x 1 + 0 + A3 = 0 A1 x 1 + 0 + A 3 1 A1 x 1 + 0 + A3 1 ∴求积公式为：
1 3 2 2 3
A1、 A2、 A3、 X1 共 4 个未知量，故需
T32，进而得知需先求
13 32 15 32 17 32
U16。
19 32
U16 =
25
1 16
f(x i+1/2 ) =
求解得 A 0 =
1
h ， A1 = 3
4 3
h， A 2 =
1 3
h，
=
2h 0
2h
f(x)dx ≈ hf 0 + 3
2
1
4
hf h + 3
1 3
hf(2h)
3 个相异节点 1,x,x 均有余项 E f = 0 ， // 注：参见 P149 定理 8.1 2 次代数精度。
∴该求积公式至少具有
令 f(x)= x ，代入求积公式有：
x 3 dx = -1
1
4
— - 1
= 0 ，与求积公式计算值均不相等，
2 次代数精度。
（ 3）
?? ( ?? ) ???? ≈ ?? ?? -?? + ?? ???? ?? -??
2
??
?? ??
+ ?? ?( ?) ??
?? ??
解：令 f(x)=1,x,x 代入有 , 【 注：本例中需求解 A1 + A 2 + A 3 = A1 - 1 + A2 A1 - 1
4 个相异求积节点
f(x)】
=
2 求解得 3
A1 =
1 3
，A 2 =
4
， A3 = 3
1 3
， x1 = - 1
= 0
1 4
f(x)dx ≈ f - 1 + 1 3
2 3
f 0 + 3
1 3
f(1)
∵该求积公式对
4 个相异节点 1,x,x ,x 均有余项 E f = 0 ， // 注：参见 P149 定理 8.1 3 次代数精度。
// 因为 n=8=2 ，本题从 T1、 U1 开始计算，然后按照 T10
3
T2n、 T4n 的公
式利用前面计算的数据进行计算得到 ∵ T1 = U1 = f ∴ ∵ ∴ ∵ ∴
1 2 1 2
f 0 + f(1)
= 0.1 ， // 见 P154 公式 8.7， n=1 // 见 P154 Un 的计算公式， n=1 公式 8.8
∴求积公式为： 求积公式 1 ： 求积公式 1 ： ∵该求积公式对
1 -
f x dx ≈ f - 1 + 2f 0.6899 1 3 f(x)dx ≈ 3 f - 1 + 2f - 0.2899 1
2
1
+ 3f - 0.1260 + 3f 0.5266
1 -
1
3 个相异节点 1,x,x 均有余项 E f = 0 ， // 注：参见 P149 定理 8.1 2 次代数精度。
2
解：令 f(x)=1,x,x 代入有 ,【注：本例中需求解 A 0 + A 1 + A 2 = 2h A 1 h + A 2 2h = A 1 h + A 2 2h ∴求积公式为： ∵该求积公式对
2 2 1 2
A 0、 A1、 A2 共 3 个未知量，故需
3 个相异求积节点
f(x) 】
2h
1 3
2 3
3
5
7
T4 + U 4 = 0.11140235
2 ）用复化 Simpson 公式求解有： ∵ ∴ Sn = S8 =
1 8
4T 2n - T n 3 4T 16 - T 8 3
7 i=1 1 8 1 16
// 见 P155 公式 8.12 // 由此可知，要求出
f
3 5 7 9
S8，必须先求出
11 13
4T 16 - T 8 3
3 ）用复化 Cotes 公式求解有： ∵ Cn = ∴ C8 = ∵
21 23
16S 2n - Sn 15 16S 16 - S8 15
// 见 P156 公式 8.14
// 由此可知需先求出
15 i=1 1 16 1 32
S16，由复化 Simpson公式可知需先求出
3 32 5 32 7 32 9 32 11 32
2
解：令 f(x)=1,x,x 代入有 , 1+ 1= 2 x1 + x 2 = 2 求解得 8 x1 2 + x 2 2 = 3 ∴求积公式为：
2 0
x1 = 1 x2 = 1 +
3 3 或 3 3 3 3
x1 = 1 + x2 = 1 + f 1+
3 3 3 3 3 3
f(x)dx ≈ f 1 -