15-第1讲义5讲微分中值定理

柯西中值定理
泰勒中值定理
导数与差商
函数导数的定义为
f(x)lim f(xx)f(x)
x 0
x
即函数在点 x 处的导数等于 x 0时, 函数
在点 x 处的差商 f(xx)f(x) 的极限值.
x
我们常常需要从函数的导数所给出 的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的 或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.
在(a, b)内至少有.一根
分析 2 x ( f( b ) f( a ) ( ) b 2 a 2 ) f ( x ) 0
( x 2 ( f ( b ) f ( a ) ( ) b 2 a 2 ) f ( x ) ) 0 a 2 (f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 )f( a )
f(x)必在 [a, b]上取到它的最大
最小值至少各一次. 又 f(a ) f(b ),
故 f(x )不能 x a 和 同 x b 处 时 分 M 在 和 m .别
即至少存 (在 a, b)一 , 使点 得
f() M 或 f() m . 由费马定理可知： f() 0 ( a ,b ).
b 2 (f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 )f( b ) a2f(b)b2f(a)
例2 设 f(x )C (a ,[b ],) 在 (a ,b )内,证 可明 导 2 x ( f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 ) f( x )
f(x ) f(x 0 ) x U ˆ(x 0 ),
则f称 (x0)为 f(x)的极,大 x0为函 值 数的极大.点
f(x ) f(x 0 ) x U ˆ(x 0 ),
则f称 (x0)为 f(x)的极,小 x0为函 值 数的极小.点
一. 费马定理
定理 设 f(x )在I区 内间 有 ,且 I定 内 在 义 某
则至少存在一点 ( a ,b ),使 f() 得 0 .
y yf(x)
A
B
O a
wk.baidu.com
bx
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
证 f( x ) C ( a ,[ b ])
f(x)必在 [a, b]上取到它的最大
最小值至少各一次.
令 M m f( x a ),x m m f( x i )n
例1 设 a ,b ,c ,d 皆为 ,a b c 实 d , 数 f ( x ) ( x a ) x b ( ) x ( c ) x ( d ) ,
证明 f(x 方 )0仅 程有三 ,并个 指实 出根 .根
证 f ( x ) C ( [ a ,b ] [ b ,, c ] [ c ,, d ] ) ,
x [ a ,b ]
x [ a ,b ]
(1)若 Mm
m f ( x ) M x [ a , b ]
f(x ) mx [ a ,b ]
故 ( a ,b ) ,均 f () 有 0 .
( 2 )若 m M ( 即 M m ) f( x ) C ( a ,[ b ])
这些中值定理的创建要归功于费马、 拉格朗日、柯西等数学家.
首先, 从直观上来看看 “函数的差商与函数的导数间的基本关系式” 是怎么一回事.
导数与差商
y yf(x)可微 点P 处切线的斜率：
k f (x0)
PB
相等！
割线 AB 的斜率：
A
k f (x2 ) f (x1) x2 x1
O x1
处取极.大 若 f（ ()存 小 ,在 则 ）必 值有
f()0.
可微函数在区间内部取极值的必要条件是 函数在该点的导数值为零.
费马定理的几何解释
y
如
P
何 证
yf(x)
明
？
aO
bx
证 设 f(x)在区 I内 间有,定 且义 x在 处
取极大f(值 ), 则有 f(x)C是特殊情况
f(x )f() x U ˆ() 如何保证函
又 f ( a ) f ( b ) f ( c ) f ( d ) 0 ,
f(x)是四次 ,在 (多 , ) 内 项可 ,式微 在[a, b],[b, c],[c, d]上运用罗尔 ,得 中值
f (1 ) f (2 ) f (3 ) 0 .
其中, 1 ( a ,b ) ,2 ( b ,c ) ,3 ( c ,d ) .
若 f()存,则 在
数在区间内 部取极值？
f () lx i0 fm ( x x ) f() 0 ,
f () lx i0 fm ( x x ) f() 0 ,
于是
f()0. （极小值类似可证）
f(x ) C (a [ ,b ])可保 f(x ) 证 在[a, b]内取到它的最大最 . 小值
y
但是…… yf(x)
Oa
bx
f(x ) C (a [,b ]) f(x)在 (a,b)存在
可保证在内部一点取到极值
y
yf(x)
f(a)f(b)
P
f()0
水平的
aO
bx
二. 罗尔中值定理
定理 设 ( 1 )f(x ) C (a ,[b ];) (2) f(x)在 (a,b)内可 ; 导 (3 )f(a ) f(b ),
即f(x)0至少有三.个实根
f(x)是四次, 多项式 f(x)是三次多 , 项式
f(x)0至多有三个. 实根
综上所述, f(x)0仅有三个, 实根 分 ( a ,别 b )( b ,,c )在 ( c ,,d ) 中 .
例2 设 f(x )C (a ,[b ],) 在 (a ,b )内,证 可明 导 2 x ( f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 ) f( x )
15-第15讲微分中值定理
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作业
• 习题3-1（教材125页） • 1；2；3； 4; 5; 6 ;
第三章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理
一. 费马定理 二. 罗尔中值定理 三. 拉格朗日中值定理 四. 柯西中值定理
费马定理
微 分
罗尔中值定理
中 值
拉格朗日中值定理
定 理
x0 x2 x
将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置：
在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.
也就是说, 至少存在一点 (x1,x2),使得
f()f(x2)f(x1)
x2x1 该命题就是微分中值定理.
极值的定义
设 f(x)在 U (x0)内有 ,若 定义