机械工程控制基础教案

机械工程控制基础教案

第二章线性系统的数学模型

学习要求：

1、掌握建立数学模型的一般原理，传递函数的概念，对于不很复杂的系统能够写出传函；

2、掌握方框图及信号流图化简原则，利用方框图或信号流图求传函；

3、掌握几种典型环节的传递函数及其动态的响应；

4、了解开环传递函数、闭环传递函数、在给定和扰动作用下的闭环传递函数及由给定和扰动引起的误差传递函数。

（内容介绍：微分方程、传递函数、结构图、信号流图）

2-1 控制系统的微分方程

一、数学模型的概念：工程的最终目的是构建实际的物理系统，以完成某些规定的任务。如一个实际的调速系统，温控系统等。

采用的方法可分为经验法和解析法去完成设计任务。

经验法中，依靠丰富的经验，加之试凑方法。对比较简单系统，可得到满意结果，对复杂系统，往往采用解析法。解析法的采用其前题是应先建立其数学模型，即先建立描述这一系统运动规律的数学表达式。

对一个复杂系统，建立数学模型一般较困难。通常的办法是作一些简化系统的假设，将系统理想化，一个理想化的物理模型。

物理模型的数学描述称作数学模型。

建模：通常指建立物理模型的数学模型

经常遇到的一个问题是准确分析出哪些物理变量和相互关系是可以忽略的，哪些对模型准确度有决定性影响。如：线性化问题：

实际物理系统一般均为非线性系统，只是非线性程度有所不同而已，许多系统在一定条件下可被近似视作线性系统，使问题得到简化。

工程中一般的做法是将模型简化为线性模型，以线性模型为基础，求得系统的近似特性，必要时，再采用较复杂模型进一步研究。

数学模型的描述方法可分为微分方程（一般系统），传递函数（研究输入-输出关系，线性定常系统）及图示方法（结构图、信号图）

建立数学模型方法分为 :机理法（介绍机理法建立和步骤）

: 实验辩识法

二、线性系统的微分方程（微分方程是描述自动控制系统动态特性的最基本方法。一个完整的控制系统通常是由若干元器件或环节以一定方式连接而成的，系统可以是由一个环节组成的小系统，也可以是由多个环节组成的大系统。对系统中每个具体的元器件或环节按照其运动规律可以比较容易地列出其微分方程，然后将这些微分方程联立起来，以求出整个系统的微分方程。）经典理论（自动控制原理）中着重研究系统的输入与输出的关系。因此采用系统的输入-输出描述或称为外部描述，其目的在于通过该数学模型确定被检测量与给定量或扰动量之间的关系。设：给定量或扰动量为系统的输入量 r , n

被控制量称为系统输出量 y , c

系统的输出量在系统输入量作用下的变动过程称作系统的响应。

考查：输入量、输出量之间微分方程描述的数学模型。

获取微分方程的步骤：

1．了解系统的工作原理，列出输入量、输出量

2．列写原始方程

3．消去中间变量

4．写出描述输入-输出关系微分方程

微分方程是线性方程时，且各项系数均为常数则描述的系统为线性定常系统。

建立数学模型的目的之一是为了用数学方法定量地对系统进行分析。当系统微分方程列出后，只要给定输入量的初始条件，便可以对微分方程求解。

例1．电机在 Ua作用下带动负载转矩为ML物体以w角速度旋转。

电枢控制式的直流电动机：

解：

1．输入量：Ua、ML

输出量：w

2．列写原始方程

电枢回路方程：3．消去中间变量ia , Ea ,

Mm

从方程可看：输入、输出及各阶导数之间无乘积关系

可见：方程线性

输入、输出及各阶导数为常数

可见：方程为线性定常系统。

当ML =0（空载），ML =常数（固定负载），

时，方程均有变化

La =0时，且ML =常数用图示：

例2．直流电机的调速设La=0输入量Ur 、ML ，输出w

列原始方程：

消去中间变量：

可见：系统为线性定常一阶系统

负载ML可视为特殊输入量，=0时

一般考虑线性定常系统（单输入-单输出系统）表达式

其中假定：

ai(i=0,1,...n)

bj(j=0,1,...m)

均为常数，且n3m

可见：微分方程是在时间域内描述系统动态性能的数学模型。

第二节线性化

非线性程度不严重或在一定范围内可近似为线性系统的非线性系统可化为线性系统处理。

线性系统具有齐次性、叠加性。对非线性系统的线性化处理可使系统的设计和分析简化。

就线性系统而言：分析和设计方法较简单，成熟。

本课就是介绍线性系统分析与设计方法。

线性化方法有三类：

1.忽略次要因素

2.弦近似（以弧代曲）

3.切近似

常用切近似方法对非线性系统线性化。

具体作法：在工作点附近进行泰勒级数展开。

设y=f(x),a为某工作点，a(x0,y0)

y=f(x)

忽略二次以上高阶项可以在a附近用直线代替了非线性特性

第三节传递函数

前已叙述，可用微分方程描述系统运动状态，

求解微分方程可得到系统的响应，方法直观。

对一类特定的线性定常微分方程，可用拉氏变换方法分析、求解，引出传递函数概念。

一．复习拉普拉斯变换：

拉普拉斯变换及其反变换的定义：

一个定义在[0，∞]，即（0≤t<∞）区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F（s）的定义为

式中s=σ+jω为复数。F（s）称为f(t)的象函数，f(t)称为F（s）的原函数。拉普拉斯变换简称为拉氏变换，F（s）又称为f(t)的拉氏变换式。记为。拉氏变换是线性变换，满足叠加性和齐次性。

如果F（s）已知，要求出它所对应的原函数f(t)，则由F（s）到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，为书写简便起见，通常可用记号"L[ ]"表示对方括号里的函数作拉氏变换，即用记号"L-1[ ]"

表示对方括号里的函数作拉氏反变换，即

用拉氏变换法求解线性电路的时域响应时，要求把响应的拉氏变换式反变换为时间函数，这就是拉氏反变换。

常见的L变换：

原函数f(t)象函数F(s)

d(t) 1

1(t) 1/S

t n

e-a t 1/s+a

sinwt w /w2+s2

coswt s / w2+s2

t n e- a t n!/(s+a) n+1

拉氏变换的基本性质