函数展开为泰勒级数
解析函数展为泰勒级数与洛朗级数的区别
解析函数展为泰勒级数与洛朗级数的区别作者：李明泉来源：《商情》2020年第41期【摘要】泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的重要工具，它们都是借助于简单的幂函数去研究一個复杂的函数，因此把一个解析函数展为泰勒级数和洛朗级数就显得特别重要，但一些初学者容易把两种方法搞混淆，笔者就两种展开的方法的区别作了一个详细的总结。
【关键词】泰勒级数; 洛朗级数; 区别前言：泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的重要工具，它们都是借助于简单的幂函数去研究一个复杂的函数，因此把一个解析函数展为泰勒级数和洛朗级数就显得特别重要，但一些初学者容易把两种方法搞混淆，下面就两种展开的方法的区别作了一个详细的总结。
一、两种展开的方法的区别解析函数展开为泰勒级数是根据泰勒展开定理来展开的：设f（z）在区域D内解析，z0为D内的一点，d为z0 到D的边界上各点的最短距离，那么当|z-z0|<d 时，f（z）=cn（z-z0）n （1）成立，其中cn=，n=0，1，2，3，…（1）式称为f（z）在z0的泰勒展开式，（1）式右端的级数称为f（z）在z0的泰勒级数，泰勒展开定理告诉我们：在一个圆域内解析的函数可展为泰勒级数，泰勒级数是在圆域内展开的。
但在实际展开中这个圆域往往要我们自己去找，其找的方法是这样的：设f（z）在z0处解析，且有若干奇点，比如z1，z2，z3等，则f（z）在z0处的泰勒展开式成立的圆域半径R=z0到最近奇点的距离，即f（z）在圆域|z-z0|<R内解析，由泰勒展开定理f（z）在圆域|z-z0|<R内能展为泰勒级数。
解析函数展开为洛朗级数是根据洛朗展开定理来展开的：设f（z）在圆环域R1<|z-z0|<R2内处处解析，那么当R1<|z-z0|<R2时，f（z）=cn（z-z0）n （2）成立，其中cn=dζ，n=0，±1，±2，±3，…，C为在圆环域R1<|z-z0|<R2内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。
21.Taylor级数展开的唯一性
则 f ( z ) 是 z z0 R内的解析函数, 且在收敛圆
z z n 0 2 3
2
n 1 )n , fz (3 z ) c( ( z z n1) 0 n
n
z
z 1 .
例5
z 将函数 f ( z ) 在 z0 1 处展开 z 1
1 z
n 0
逐项求导，得
1 2 n n 1 2 z 3 z ( 1) ( n 1) z 2 (1 z )
z 1 .
例3
将 f (z)
1 z
2
1
2
展开为z的幂级数.
根据例2，MATLAB语句. 解 运行下面的
>> syms 1 z;
n 2n 2 4 >> syms z; ( 1) z z z n z n 2 n z z , 则在 cos z e z1 ( 1) , z 半径分别为 R (2n )! 1 z R1 和 z . 2 4! 2! n (2n)! n 0 n 0 n ! 2! >> ! f=sin(z);g=cos(z);
n 0 n 2 n 1 n
n 0
n 0
1 点邻域内 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 (1 z ) 的Taylor级数.
解 z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点, 且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1. 在 例题 中，用z替换-z, 则
1 n 1 z z 2 ( 1)n z z 1 , 1 n z z 1 . 1 z
>> f=log(1+z);
10个最常见的泰勒级数展开
10个最常见的泰勒级数展开泰勒级数展开是一种重要的数学工具，广泛应用于多个科学领域。
泰勒级数展开可以将一个函数表示为无限级数的形式，并且可以通过截取有限项来近似计算函数的值。
在实际应用中，有一些函数的泰勒级数展开具有特殊的形式，它们更易于计算和应用。
下面将介绍10个最常见的泰勒级数展开。
1. 正弦函数的泰勒级数展开正弦函数的泰勒级数展开公式为：$$\sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots $$利用这个展开式，我们可以计算任意角度的正弦值。
2. 余弦函数的泰勒级数展开余弦函数的泰勒级数展开公式为：$$\cos(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+\cdots$$利用这个展开式，我们可以计算任意角度的余弦值。
3. 指数函数的泰勒级数展开指数函数的泰勒级数展开公式为：$$e^x =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$$指数函数的泰勒级数展开具有简洁的形式，被广泛应用于概率论、统计学和物理学等领域。
4. 自然对数函数的泰勒级数展开自然对数函数的泰勒级数展开公式为：$$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots$$这个展开式在概率论、统计学和计算机科学等领域中有广泛应用。
5. 正切函数的泰勒级数展开正切函数的泰勒级数展开公式为：$$\tan(x) =x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\cdots+\frac{2^nB_ {2n}}{(2n)!}x^{2n-1}+\cdots$$其中，$B_{2n}$是伯努利数。
函数的泰勒级数展开
函数的泰勒级数展开
函数的泰勒级数展开也称为泰勒展开式，它是用来近似表示给定函数的一种方法。
假设有一个函数f(x)，我们希望找到它在某点a处的泰勒展开式。
我们定义函数的一阶导数f'(x)、二阶导数f''(x)、以及任意阶导数f^(n)(x)（其中n为正整数）。
然后，我们定义一个变量h，并令h = x - a。
接下来，我们可以使用泰勒展开式的公式：
f(x) ≈ f(a) + f'(a) * h + f''(a) * h^2 / 2! + f'''(a) * h^3 / 3! + ... + f^(n)(a) * h^n / n!
f(a)代表函数在点a处的值，f'(a)代表函数在点a处的一阶导数的值，f''(a)代表函数在点a处的二阶导数的值，依此类推，f^(n)(a)代表函数在点a处的n阶导数的值。
这个公式可以用来近似计算函数f(x)在点a处的值，只需要知道函数在此点的导数值。
通过增加计算直到满足所需的精度即可获得更准确的近似值。
需要注意的是，泰勒展开式只在点a的某个邻域内有效，如果距离点a太远，近似结
果就会出现较大误差。
当选择点a时，需要考虑函数在该点附近的行为。
以上是函数的泰勒级数展开的描述，它可以用来近似表示各种函数，从而在数值计算
和数学分析中具有广泛的应用。
10个最常见的泰勒级数展开公式commontaylorseries
10个最常见的泰勒级数展开公式commontaylorseries 泰勒级数展开公式是数学中常用的一种方法，用于将一个函数表示为无限项的多项式。
它在微积分、数值计算和物理学等领域中都有广泛的应用。
下面将介绍10个最常见的泰勒级数展开公式。
1.正弦函数的泰勒级数展开公式：\[ \sin(x) = x - \frac{{x^3}}{{3!}} + \frac{{x^5}}{{5!}} - \frac{{x^7}}{{7!}} + \cdots \]2.余弦函数的泰勒级数展开公式：\[ \cos(x) = 1 - \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^4}}{{4!}} - \frac{{x^6}}{{6!}} + \cdots \]3.指数函数的泰勒级数展开公式：\[ \exp(x) = 1 + x + \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^3}}{{3!}} + \cdots \]4.自然对数函数的泰勒级数展开公式：\[ \ln(1+x) = x - \frac{{x^2}}{{2}} + \frac{{x^3}}{{3}} -\frac{{x^4}}{{4}} + \cdots \]5.正切函数的泰勒级数展开公式：\[ \tan(x) = x + \frac{{x^3}}{{3}} + \frac{{2x^5}}{{15}} + \frac{{17x^7}}{{315}} + \cdots \]6.反正弦函数的泰勒级数展开公式：\[ \arcsin(x) = x + \frac{{x^3}}{{6}} + \frac{{3x^5}}{{40}} + \frac{{5x^7}}{{112}} + \cdots \]7.反余弦函数的泰勒级数展开公式：\[ \arccos(x) = \frac{{\pi}}{{2}} - \arcsin(x) =\frac{{\pi}}{{2}} - \left( x + \frac{{x^3}}{{6}} +\frac{{3x^5}}{{40}} + \frac{{5x^7}}{{112}} + \cdots \right) \]8.反正切函数的泰勒级数展开公式：\[ \arctan(x) = x - \frac{{x^3}}{{3}} + \frac{{x^5}}{{5}} - \frac{{x^7}}{{7}} + \cdots \]9.双曲正弦函数的泰勒级数展开公式：\[ \sinh(x) = x + \frac{{x^3}}{{3!}} + \frac{{x^5}}{{5!}} + \frac{{x^7}}{{7!}} + \cdots \]10.双曲余弦函数的泰勒级数展开公式：\[ \cosh(x) = 1 + \frac{{x^2}}{{2!}} + \frac{{x^4}}{{4!}} + \frac{{x^6}}{{6!}} + \cdots \]这些是最常见的泰勒级数展开公式，它们在数学和科学领域中都有广泛的应用。
泰勒Taylor级数展开
zk f ( z ) e ak ( z z 0 ) k 0 k 0 k!
z k
z2 z3 zk 1 z ... ... 2! 3! k!
例2：将cosz、sinz在z=0处展开 利用ez的展开式，可得
eiz e iz 1 (iz ) k (iz ) k cos(z ) 2 2 k 0 k! k ! k 0
∵离z0=1最近的支点为z=0 ∴收敛半径取R=1，收敛圆为|z-1|< 1
而
(ln z )
1 z
1 1 (1 z ) k z 1 (1 z ) k 0
(1) k ( z 1) k
k 0
(| z 1 | 1)
1 ln z dz (1) k ( z 1) k dz z k 0
奇次幂全部消去
(1) k z 2 k cos(z ) (2k )! k 0
(| z | )
e iz e iz 1 (iz ) k (iz ) k 同理 sin(z ) 2i 2i k 0 k! k ! k 0 1 i 2 k 1 z 2 k 1 i k 0 (2k 1)!
k 0
1 f ( ) d k 1 2i CR1 ( z0 ) (| z z0 | R)
k 0
f ( k ) ( z0 ) ( z z0 ) k k!
k a ( z z ) k 0 的每一项都是z的解析函数，且在
其收敛圆内任一同心闭圆上一致收敛。
z0=0点展开成泰勒级数。
1 ∵ f ( z) 2 有一个奇点z=-1 (1 z )
复变函数泰勒级数展开
n 0
f ( n ) (0) n z 称为麦克劳林 n!
【证明】 设函数 f ( z ) 在区域 D：
z z0 R 内解析，任取一点 D ，以 z0 为 中心， 为半径( R )作圆周 C:
z0 ，如图
z z0
C
R
由柯西积分公式知 1 f ( ) f ( z) d 2πi C z
1 因为 ln(1 z ) (1)n z n , ( z 1), 1 z n 0
所以
z 1 ln(1 z ) dz (1) n z n dz 0 1 z 0 n 0 z
z (1) , z 1 n 1 n 0
n
n
z 例 3.3.8 将函数 f ( z ) ，在 | z | 1 ( z 1)( z 2)
内展开成幂级数 .
解：
z 1 2 f ( z) ( z 1)( z 2) z 1 z 2
1 1 z n ( z / 2) n 1 z 1 z / 2 n 0 n 0 1 n (1 n ) z 2 n 0
' 解： 函数 f1 ( z) sin z 的前四阶导数分别为 f1 ( z) cos z
f1'' ( z) sin z f1(3) ( z) cos z
f1(4) ( z) sin z
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
'' f f (0) 1 且在 z0 0 有 1 (0) 0
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
f ( z ) an ( z z0 ) n
泰勒函数展开公式
泰勒函数展开公式泰勒函数展开是一个用于将函数在一些点附近进行近似的方法。
它基于泰勒级数，由苏格兰数学家詹姆斯·格雷戈里·泰勒在18世纪提出。
泰勒函数展开可以将一个光滑的函数在一些点处展开成一系列的无穷项幂级数，从而可以近似表示该函数在该点附近的性质。
首先，我们假设函数f(x)在x=a处可导，并且有定义。
那么，泰勒级数展开给出了一个函数f(x)在x=a处的无穷阶导数所确定的多项式序列的和。
泰勒级数展开可以使用下面的泰勒公式来表示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...在这个公式中，f(a)表示函数在x=a处的函数值，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，以此类推。
公式的右侧的后续项表示函数在x=a处的高阶导数在差值(x-a)的幂的影响。
泰勒函数展开的目的是通过使用较低阶的近似项来近似表示函数f(x)在一些点a附近的行为。
一般来说，通过增加级数中的项数，我们可以得到更精确的近似。
然而，在实际应用中，通常只需要使用前几项来获得足够准确的近似。
接下来，我们将通过一个具体的例子来说明泰勒函数展开的应用。
假设我们要近似计算函数f(x) = sin(x)在x=0附近的行为。
我们首先计算f(x)在x=0处的函数值和导数值。
在x=0处，sin(x)的函数值为0，一阶导数为cos(0)=1，二阶导数为-din(0)=-1，三阶导数为-sin(0)=0，以此类推。
根据泰勒公式，我们可以得到近似展开：sin(x) = sin(0) + cos(0)(x-0)/1! + (-sin(0))(x-0)²/2! + 0(x-0)³/3! + ...将具体的数值代入公式，我们可以得到简化形式的泰勒展开函数：sin(x) ≈ x - x³/3!这个近似展开函数表示了在x=0附近的sin(x)的近似行为。
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函数展开为泰勒级数
设函数00()()n
n n f x a x x ∞==−∑，0x x R −<，已知右端求左端，
这是幂级数求和，已知左端求右端，这是求函数的幂级数展开式，除按定义之外，它们的方法是相同的。
一、 泰勒级数与迈克劳林级数：
设函数
()f x 在点的某一临域内具有任意阶导数，则级
数： 0x ()000
20000()30000()()!()()()()()1!2!
()()()()3!!n n n n n f x x x n f x f x f x x x x x f x f x x x x x n ∞
=−′′′=+−+−′′′+−+⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅∑0 称为函数()f x 在点的泰勒（Taylor ）级数。
0x 特别的，如果，上式变成迈克劳林(Maclaurin)级数: 00x =2()3()0
(0)(0)(0)()()1!2!
(0)(0)()()3(!
0)()!!n n n n n f f f f x x f f x x n n x ∞=′′′=++′′′++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ 此时，这个级数的敛散性不明确。
二、 函数展开称幂级数的条件：
定理1：
设函数()f x 在点0x 的某一临域内具有各阶导数，则函数0()U x ()f x 在该邻域内能展开称泰勒级数的充分必要条件是函数()f x 的泰勒公式的余项()n x R 当n 时的极限为0.即： →∞
()0lim n n R x →∞=三、 直接法把函数展开成幂级数的步骤：
第一.步： 求出 ()f x 的各阶导数()f x ′，()f x ′′，……()()n f x …… 如果在X=0处导数不存在，就停止进行。
第二.步： 求出函数及其各阶导数在X=0处的值，即： (0)f ′，，…………
(0)f ′′()(0)n f 第三.步： 写出幂级数: 2()3(0)(0)(0)()()1!2!(0)(0)()()3!!
n n f f f x x f f x x n ′′′++′′′++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ 并求出 收敛半径R 。
第四.步： 考察当X 在区间（-R,+R ）内时，余项()n x R 的极限：
(1)1()()lim (1)!lim n n n n n f R x x n ξ++→∞→∞=+ ξ
在0与X 之间。
如果极限为0，则函数()f x 在区间（-R,+R ）内的幂级数展
开式为：2()3(0)(0)()(0)()()1!2!
(0)(0)()()3!!
n n f f f x f x x f f x x n ′′′=++′′′++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ 四、 间接法把函数展开称泰勒级数
例1：把cos x 展开成X 的幂级数 sin cos x x ′=
35211sin (1)3!5!(21)!
n n x x x x x n −−=−++⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅− 则
242cos 1(1)2!4!2!n
n x x x x n =−++⋅⋅⋅−
五、 补充知识
()sin
sin()2n x x n π=+⋅。