常见函数的泰勒级数展开
常用十个泰勒展开公式
常用十个泰勒绽开公式常用bai泰勒绽开公式如下：1、due^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……zhi+x^n/n!+……2、daoln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。
(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π- ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ……(|x|<1)11、arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)扩展资料：数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其四周取值的公式。
假如函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的状况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。
8个常用泰勒展开式
8个常用泰勒展开式
1.正弦泰勒展开式：将正弦函数展开为无限级数形式，可以用于解决周期性振动问题。
2. 余弦泰勒展开式：类似于正弦泰勒展开式，将余弦函数展开为无限级数形式，也可用于周期性振动问题。
3. 指数函数泰勒展开式：将指数函数展开为无限级数形式，可用于求解微积分学和常微分方程等问题。
4. 自然对数函数泰勒展开式：将自然对数函数展开为无限级数形式，常常用于求解复杂的微积分问题。
5. 三角函数反函数泰勒展开式：将三角函数的反函数展开为无限级数形式，可用于求解三角函数的反函数值。
6. 阶乘函数泰勒展开式：将阶乘函数展开为无限级数形式，可以用于解决组合学和离散数学等问题。
7. 多项式函数泰勒展开式：将多项式函数展开为无限级数形式，可用于求解各种数学问题。
8. 分段函数泰勒展开式：将分段函数展开为无限级数形式，可用于求解分段函数在不同区间的表达式。
- 1 -。
8个常用泰勒级数展开
8个常用泰勒级数展开常用泰勒级数是数学中的一个重要概念，它可以用来近似计算各种函数的值。
在本文中，我们将介绍8个常用泰勒级数，并讨论它们的应用。
1. 正弦函数的泰勒级数正弦函数的泰勒级数是一个无限级数，它可以用来近似计算正弦函数在某个点的值。
这个级数的形式非常简单，只需要将正弦函数在0点处展开即可。
正弦函数的泰勒级数在物理学和工程学中有广泛的应用。
2. 余弦函数的泰勒级数余弦函数的泰勒级数与正弦函数的泰勒级数非常相似，只是系数有所不同。
余弦函数的泰勒级数也可以用来近似计算余弦函数在某个点的值。
3. 指数函数的泰勒级数指数函数的泰勒级数是一个无限级数，它可以用来近似计算指数函数在某个点的值。
这个级数的形式非常简单，只需要将指数函数在0点处展开即可。
指数函数的泰勒级数在金融学和经济学中有广泛的应用。
4. 对数函数的泰勒级数对数函数的泰勒级数是一个无限级数，它可以用来近似计算对数函数在某个点的值。
这个级数的形式比较复杂，但是可以通过一些技巧来简化计算。
对数函数的泰勒级数在统计学和计算机科学中有广泛的应用。
5. 正切函数的泰勒级数正切函数的泰勒级数是一个无限级数，它可以用来近似计算正切函数在某个点的值。
这个级数的形式比较复杂，但是可以通过一些技巧来简化计算。
正切函数的泰勒级数在物理学和工程学中有广泛的应用。
6. 反正弦函数的泰勒级数反正弦函数的泰勒级数是一个无限级数，它可以用来近似计算反正弦函数在某个点的值。
这个级数的形式比较复杂，但是可以通过一些技巧来简化计算。
反正弦函数的泰勒级数在统计学和计算机科学中有广泛的应用。
7. 反余弦函数的泰勒级数反余弦函数的泰勒级数是一个无限级数，它可以用来近似计算反余弦函数在某个点的值。
这个级数的形式比较复杂，但是可以通过一些技巧来简化计算。
反余弦函数的泰勒级数在统计学和计算机科学中有广泛的应用。
8. 反正切函数的泰勒级数反正切函数的泰勒级数是一个无限级数，它可以用来近似计算反正切函数在某个点的值。
常见泰勒级数
常见泰勒级数一、概述泰勒级数是数学中的一个重要概念，用来近似表示函数。
通过泰勒级数可以把一个函数表示成无穷级数的形式，从而可以更好地理解函数的性质和行为。
常见的泰勒级数包括正弦级数、余弦级数和指数级数等。
二、正弦级数正弦级数是指将一个任意的函数表示成无穷级数形式的一种表示方法。
对于一个可导的函数f(x)，正弦级数的形式为：f(x)=a0+a1sin(x)+a2sin(2x)+⋯+a n sin(nx)+⋯其中，a n是f(x)的傅里叶系数，具体计算公式为：a n=1π∫fπ−π(x)sin(nx)dx三、余弦级数余弦级数是将函数表示成无穷级数形式的另一种表示方法。
对于一个可导的函数f(x)，余弦级数的形式为：f(x)=a0+a1cos(x)+a2cos(2x)+⋯+a n cos(nx)+⋯余弦级数的傅里叶系数的计算公式为：a n=1π∫fπ−π(x)cos(nx)dx四、指数级数指数级数是将一个函数表示成无穷级数形式的一种重要方法。
形式如下：f(x)=⋯+a−2e−2x+a−1e−x+a0+a1e x+a2e2x+⋯其中，a n是f(x)的傅里叶系数，计算公式为：a n=12π∫fπ−π(x)e−inx dx五、常见函数的泰勒级数展开1.指数函数的泰勒级数展开式为：e x=1+x+x22!+x33!+x44!+⋯2.正弦函数的泰勒级数展开式为：sin(x)=x−x33!+x55!−⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)!+⋯3.余弦函数的泰勒级数展开式为：cos(x)=1−x22!+x44!−⋯+(−1)nx2n(2n)!+⋯六、应用泰勒级数的应用非常广泛，可以用来近似计算各种复杂函数。
比如，在物理学、工程学等领域中，常常需要对复杂的曲线进行近似，这时可以使用泰勒级数来展开函数，从而得到更简洁、易于计算的表达式。
另外，泰勒级数还可以用来研究函数的性质和行为。
通过泰勒级数展开，我们可以更好地理解函数的变化规律，推导出一些重要的数学结论。
常见函数的泰勒级数展开
is often called a Maclaurin series. These series, often called power series, generally converge for all values of x
in some interval called the interval of convergence and diverge for all x outside this interval.
continuous derivatives of order n at least.
If
lim
n→∞
Rn
=
0,
the infinite
series obtained
is called the
Taylor series for f(x) about x ϭ a.
If a ϭ 0,
the series
|x|>1
−∞< x < ∞ −∞< x < ∞
22.45. 22.46. 22.47. 22.48. 22.49. 22.50. 22.51.
etan x
=1+
x
+
x2 2
+
x3 2
+
3x 4 8
+
ex sin x = x + x2 + x3 − x5 − x6 + + 2n/2 sin (nπ /4)xn +
|
<
π 2
−∞< x < ∞
−∞< x < ∞
0< |x| <π
|
x
|
泰勒展开常用公式
泰勒展开常用公式泰勒展开常用公式1. 泰勒展开的概念泰勒展开是数学中一种重要的方法，用于将函数表示为无穷级数的形式。
它基于泰勒定理，是将函数在某一点的邻域内用无穷多个项的级数进行逼近的方法。
常用于近似计算和函数的求导等领域。
2. 一阶泰勒展开公式一阶泰勒展开公式是最简单的泰勒展开形式，它将函数在某一点附近展开为一阶级数。
一阶泰勒展开公式的表达式如下：f (x )=f (a )+f′(a )(x −a )其中，f (x )为待展开的函数，f (a )为函数在点a 处的取值，f′(a )为函数在点a 处的导数。
举例说明：对于函数f (x )=sin (x )，我们希望在点a =π4处展开。
首先求出函数在该点的取值和导数：f (π4)=sin (π4)=√22f′(π4)=cos (π4)=√22将这些值带入一阶泰勒展开公式：f(x)=√22+√22(x−π4)3. 多项式泰勒展开公式多项式泰勒展开公式是将函数在某一点附近展开为多项式级数的形式。
多项式泰勒展开公式的表达式如下：f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)2!(x−a)2+f‴(a)3!(x−a)3+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n其中，f(n)(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数。
举例说明：对于函数f(x)=e x，我们希望在点a=0处展开。
首先求出函数在该点的取值和导数：f(0)=e0=1f′(0)=ddxe x|x=0=1f″(0)=d2dx2e x|x=0=1f‴(0)=d3dx3e x|x=0=1依次类推，可以得到：f(n)(0)=1将这些值带入多项式泰勒展开公式：f(x)=1+(x−0)+12!(x−0)2+13!(x−0)3+⋯+1n!(x−0)n4. 麦克劳林展开公式麦克劳林展开公式是一种特殊形式的泰勒展开公式，它将函数在原点附近展开为多项式级数。
麦克劳林展开公式的表达式如下：f(x)=f(0)+f′(0)(x−0)+f″(0)2!(x−0)2+f‴(0)3!(x−0)3+⋯+f(n)(0)n!(x−0)n其中，f(n)(0)表示函数f(x)在原点处的n阶导数。
常用十个泰勒展开公式
常用bai泰勒展开公式如下：1、due^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……zhi+x^n/n!+……2、daoln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。
(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π- ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ……(|x|<1)11、arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)扩展资料：数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。
泰勒公式展开常用
泰勒公式展开常用泰勒公式是一种将函数展开成无穷级数的方法，可以用来近似计算函数的值。
它是数学分析中的重要工具，在物理学、工程学等领域也有广泛的应用。
本文将介绍泰勒公式的基本概念和常用的展开形式。
一、泰勒公式的基本概念泰勒公式是由英国数学家布鲁克·泰勒于18世纪提出的。
它的基本思想是将一个函数在某一点的附近用多项式来逼近，从而得到函数的近似值。
泰勒公式的一般形式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)是要近似计算的函数，a是展开的中心点，f'(x)、f''(x)、f'''(x)等表示函数的导数。
二、常用的泰勒展开形式1. 麦克劳林级数展开当中心点a为0时，泰勒公式简化为麦克劳林级数展开。
麦克劳林级数展开是泰勒公式的一种特殊形式，它将函数展开成以0为中心的无穷级数。
麦克劳林级数展开的公式如下：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ...麦克劳林级数展开在计算机科学中有广泛的应用，例如在数值计算、图像处理等领域。
2. 泰勒展开的应用泰勒展开在物理学、工程学等领域有着重要的应用。
例如，在力学中，可以利用泰勒展开来近似计算物体的运动轨迹；在电路分析中，可以利用泰勒展开来近似计算电路中的电流、电压等参数。
3. 泰勒展开的误差估计泰勒展开是一种近似计算方法，展开的级数项数越多，计算结果越接近真实值。
误差估计是判断泰勒展开逼近的精度的重要方法。
常用的误差估计方法有拉格朗日余项和佩亚诺余项。
拉格朗日余项的公式如下：Rn(x) = f(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!其中，Rn(x)为泰勒展开的余项，f(n+1)(c)为函数f(x)在a和x之间某一点c的(n+1)阶导数。
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+ ⋅⋅⋅⎫⎬⎪ ⎭⎪
ln
x
=
⎛ ⎝⎜
x
− 1⎞ x ⎠⎟
+
1 2
⎛x ⎝⎜
− 1⎞ 2 x ⎠⎟
+
1 3
⎛ ⎝⎜
x
− 1⎞ 3 x ⎠⎟
+
⋅⋅⋅
Ϫ∞ < x < ∞ Ϫ∞ < x < ∞ Ϫ1 < x Ϲ 1 Ϫ1 < x < 1 x>0 xм1
2
Series for Trigonometric Functions
Some
series
contain
the
Bernoulli
numbers
B n
and
the
Euler
numbers
E n
defined
in
Chapter
23,
pages
142Ϫ143.
Binomial Series
22.4.
(a
+
x)n
=
an
+
nan−1x
+
n(n − 1) 2!
an−2 x2
+
n(n
−
−
22n−1(22n − 1)Bn x 2n n(2n)!
+
ln | tan x
|
=
ln |
x
|+
x2 3
+
7x4 90
+
62 x 6 2835
+
+
22n (22n−1 − 1)Bn x 2n n(2n)!
+
ln(1 + x) 1+ x
=
x
−
(1 +
1 2
)
x
2
+
(1 +
1 2
+
1 3
)x
3
−
|
x
ecos x
=
e ⎛⎝⎜1 −
x2 2
+
x4 6
−
31x 6 720
+
⎞ ⎠⎟
− ∞< x < ∞
− ∞< x < ∞
|
x
|
<
π 2
0< |x| <π
|
x
|
<
π 2
0< |x| <π
|x| <1 ⎡ + if x м 1 ⎤ ⎣⎢− if x Ϲ − 1⎦⎥ ⎡+ if cosh−1 x > 0, x м 1⎤ ⎣⎢− if cosh−1 x < 0, x м 1⎦⎥ |x|<1
3 4
i i
5x7 6i7
⎨ ⎪± ⎩⎪
⎛ ⎝⎜ln
|
2x
|
+
1 2 i 2x2
−
1i3 2 i 4 i 4x4
+ +
2
1i3i5 i 4 i 6 i 6x6
−
⎞ ⎠⎟
22.40. 22.41. 22.42.
cosh−1 x
=
±
⎧⎨⎪ln(2x) ⎩⎪
−
⎛ ⎝⎜
2
i
1 2
x
2
+
2
1i 3 i 4 i 4x4
tanh x
=
x
−
x3 3
+
2x5 15
−
17x 7 315
+
(−1)n−1 22n (22n − 1)Bn x 2n−1 (2n)!
+
22.36.
coth
x
=
1 x
+
x 3
−
x3 45
+
2x5 945
+
(−1)n−1 22n Bn x 2n−1 (2n)!
+
22.37.
sech
x
=1−
x2 2
+
5x4 24
(1 + x)1/2
=1 +
1 2
x
−
1 2i4
x2
+
1i3 2i4i6
x3
− ⋅⋅⋅
(1 +
x )−1/ 3
=1
−
1 3
x+
1i 4 3i6
x2
−
1i 4 i 7 3i6i9
x3
+ ⋅⋅⋅
(1 +
x )1/ 3
=1
+
1 3x
−
2 3i6
x2
+
2i5 3i6i9
x3
− ⋅⋅⋅
Ϫ1 < x Ϲ 1 Ϫ1 < x Ϲ 1 Ϫ1 < x Ϲ 1 Ϫ1 < x Ϲ 1
|x|>1
−∞< x < ∞ −∞< x < ∞
22.45. 22.46. 22.47. 22.48. 22.49. 22.50. 22.51.
etan x
=1+
x
+
x2 2
+
x3 2
+
3x 4 8
+
ex sin x = x + x2 + x3 − x5 − x6 + + 2n/2 sin (nπ /4)xn +
− 1)(n − 3!
2)
an−3 x 3
+ ⋅⋅⋅
=
an
+
⎛n⎞ ⎝⎜1⎠⎟
a n−1 x
+
⎛n⎞ ⎝⎜2⎠⎟
an−2 x2
+
⎛n⎞ ⎝⎜ 3⎠⎟
an−3 x 3
+
⋅⋅⋅
Special cases are
22.5. (a + x)2 = a2 + 2ax + x2
22.6. (a + x)3 = a3 + 3a2 x + 3ax2 + x3
is often called a Maclaurin series. These series, often called power series, generally converge for all values of x
in some interval called the interval of convergence and diverge for all x outside this interval.
22.2.
Lagrange’s form:
Rn
=
f (n) (ξ)(x − a)n n!
22.3.
Cauchy’s form:
Rn
=
f (n) (ξ)(x − ξ)n−1(x − a) (n − 1)!
The value x, which may be different in the two forms, lies between a and x. The result holds if f(x) has
Ϫ1 < x < 1
22.10. (1 + x)−3 = 1 − 3x + 6x2 − 10x3 + 15x4 − ⋅ ⋅ ⋅
Ϫ1 < x < 1
22.11. 22.12. 22.13. 22.14.
(1 +
x )−1/ 2
=
1−
1 2
x
+
1i 2i
3 4
x2
−
1i 2i
3i5 4i6
x3
+
⋅⋅⋅
Series for Exponential and Logarithmic Functions
22.15. 22.16. 22.17. 22.18. 22.19. 22.20.
ex
=1 +x
+
x2 2!
+
x3 3!
+ ⋅⋅⋅
ax
=
ex ln a
=1+
x ln a +
(x ln a)2 2!
+
(x ln a)3 3!
|
x
|<
π 2
0< |x| <π
|
x
|
<
π 2
0< |x| <π
|x|<1
|x|<1
22.29. 22.30.
tan−1
x
=
⎧ ⎪x
−
⎨ ⎪±
π
x3 + x5 − 35 −1+ 1
x7 7 −
+ 1
+
⎩ 2 x 3x3 5x5
cot −1
x
=
π 2
−
tan−1
x
=
⎧π
⎪⎪ ⎨
2
−
⎛ ⎝⎜x
−
x3 3
+
x5 5
−
⎩⎪⎪pπ
+
1 x
−
1 3x3
+
1 5x5
⎞ ⎠⎟
−
22.31. 22.32.
sec−1
x
=
cos−1(1/x)
=
π 2
−
⎛1 ⎝⎜ x
+
2
1 i 3x3