数学建模第二章非线性规划
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数学建模第二讲简单的优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型数学建模是利用数学方法对实际问题进行建模、分析和求解的过程。
在实际问题中，常常需要针对一些指标进行优化，以达到最优的效果。
本讲将介绍一些简单的优化模型。
一、线性规划模型线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
其数学模型可以表示为：\begin{aligned}&\text{max} \quad c^Tx \\&\text{s.t.} \quad Ax \leq b, \quad x \geq 0\end{aligned}\]其中，$x$为决策变量，$c$为目标函数系数，$A$为约束条件系数矩阵，$b$为约束条件右端向量。
线性规划模型指的是目标函数和约束条件都是线性的情况。
通过线性规划模型，可以求解出使得目标函数取得最大（或最小）值时的决策变量取值。
二、非线性规划模型非线性规划模型指的是目标函数或约束条件中存在非线性部分的情况。
非线性规划模型相对于线性规划模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
对于非线性规划问题，通常采用数值优化方法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步靠近最优解。
三、整数规划模型整数规划模型是指决策变量必须为整数的规划模型。
整数规划在实际问题中应用广泛，如物流配送问题、工程调度问题等。
整数规划模型通常难以求解，因为整数规划问题是一个NP难问题。
针对整数规划问题，常用的求解方法有枚举法、分支定界法、遗传算法等。
四、动态规划模型动态规划模型是指将问题划分为子问题，并通过求解子问题最优解来求解原问题最优解的方法。
动态规划通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划模型具有递推性质，通过递归或迭代的方式求解子问题的最优解，并保存中间结果，以提高求解效率。
五、模拟退火模型模拟退火是一种用来求解组合优化问题的随机优化算法。
模拟退火算法基于固体退火过程的模拟，通过温度的控制和随机跳出来避免陷入局部最优解。
非线性规划和多目标规划模型数学建模
i'j(ij2 )(m o d2 )
进一步考虑到角度的周期性，不碰撞的约束条件可写成：
ij i'jij 2ij
第5讲 非线性规划和多目标模型
最终，原非线性规划问题转化为
6
min i
iji'j 1 2 ( i ij) i2 6 1 , i ij,1i, 2,j,i,j , 61 ,2 , ,6
,
vsinyi0i'
,if
i'
3
2
,tani'
yi0 xi0
or 3
2
i'
2, tani'
yi0 Dxi0
（2）计算任意飞机在t时刻两者的距离：
d ij(i i,j j,t)2 (x i0 v tc o s (i i) x 0 j v tc o s (j j))2 (y i0 v ts in (i i) y 0 j v ts in (j j))2
s . t .
6
m in i i 1
d i j(i i,j j,t ) 8i j
i
6
目标函数也可以定义为
minmax 1i6
i
第5讲 非线性规划和多目标模型
我们来简单看一下其复杂程度
（1）区域内飞行时间：假设飞行角度为θi ’= θi + Δ θi
vDcosxi0i'
,if
0 i'
2
,
最优解 迭代法是主要求解方法: 通常从一个初始解出发，在可
行域中沿着使得目标函数降低的方向前进到下一个解。 一般求解方法：罚函数法，拉格朗日乘子法，近似规划
法等,或者采用智能算法，如：遗传算法，模拟退火算 法，蚁群算法等。
进一步考虑到角度的周期性，不碰撞的约束条件可写成：
ij i'jij 2ij
第5讲 非线性规划和多目标模型
最终，原非线性规划问题转化为
6
min i
iji'j 1 2 ( i ij) i2 6 1 , i ij,1i, 2,j,i,j , 61 ,2 , ,6
,
vsinyi0i'
,if
i'
3
2
,tani'
yi0 xi0
or 3
2
i'
2, tani'
yi0 Dxi0
（2）计算任意飞机在t时刻两者的距离：
d ij(i i,j j,t)2 (x i0 v tc o s (i i) x 0 j v tc o s (j j))2 (y i0 v ts in (i i) y 0 j v ts in (j j))2
s . t .
6
m in i i 1
d i j(i i,j j,t ) 8i j
i
6
目标函数也可以定义为
minmax 1i6
i
第5讲 非线性规划和多目标模型
我们来简单看一下其复杂程度
（1）区域内飞行时间：假设飞行角度为θi ’= θi + Δ θi
vDcosxi0i'
,if
0 i'
2
,
最优解 迭代法是主要求解方法: 通常从一个初始解出发，在可
行域中沿着使得目标函数降低的方向前进到下一个解。 一般求解方法：罚函数法，拉格朗日乘子法，近似规划
法等,或者采用智能算法，如：遗传算法，模拟退火算 法，蚁群算法等。
非线性规划ppt课件
g3(x) x1 x2 x3 0
;
20
一维搜索方法
目标函数为单变量的非线性
规划问题称为一维搜索问题
min t0 (0ttmax )
其中 t R 。
(t)
➢精确一维搜索方法 0.618法 Newton法
➢非精确一维搜索方法 Goldstein法 Armijo法
;
21
0.618法（近似黄金分割法）
定义 4.1.2 对于非线性规划(MP)，若 x* X ，并且存在 x* 的一个
领域 N ( x* ) x Rn x x* ( 0, R) ，使
f (x* ) f (x), x N (x* ) X ，
则称 x* 是(MP)的局部最优解或局部极小点，称 f ( x* ) 是(MP)的局部
函数(t) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个 t * [a, b] ，使得(t) 在[a, t * ]上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为(t) 的单 谷区间。
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ;
第 2 步 计算最初两个探索点
t1 a 0.382(b a) b 0.618(b a)
;
22
0.618法例题
• 例4.3.1 用0.618法求解
min(t) t3 2t 1 t0
(t) 的单谷区间为[0,3]， 0.5
解答
例4.3.1解答 • 迭换换代tbtb 过程0311..62..∧✓18可0036145436481由-00下101.2.∧...0✓871110650431表48611 给0-0100.2.∨...0✓1470出2064308168821 --000100...∨...00✓4178376340791868681 01..7140486 a2112a
数学建摸优秀讲座之非线性规划
D X | gi X 0,hj X 0,X En
问题(1)可简记为 min f X ． X D
定义2 对于问题(1)，设 X * D，若存在 0 ,使得对一切
X D，且 X X * ，都有 f X * f X ，则称X*是f(X)在D上的
局部极小值点（局部最优解）．特别地当 X X*时，若 f X * f X ，
函数，简记：
f : E n E l ,gi : E n E l ,hj : E n E l
其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零 的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
定义1 把满足问题（1）中条件的解 X ( En )称为可行解（或可行
点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即
则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最优解）．
定义3 对于问题(1),设 X * D ,对任意的X D ,都有 f X * f X
则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地当
X X* 时，若f X * f X ，则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值点
(1) x=fmincon(@fun,X0,A,b) (2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,lb,ub)
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
.hgji((XX
) )
0 0
i j
1,2,...,m; 1,2,...,l.
数学建模非线性规划
其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点
法．
5
SUTM外点法
对一般的非线性规划： min f X
s.t.hgji
X X
0 0
i 1,2,..., m; j 1,2,..., l.
(1)
m
l
可设：TX , M f X M min0, gi X 2 M hj X 2 (2)
z
(
x1,
x2
)
1 1
-21
x1 x2
2 6
T
x1 x2
2、 输入命令：
s.t.
1 1
21
x1 x2
2 2
0 0
x1 x2
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
性约束条件．因为线性近似通常只在展开点附近近似程度较
高，故需要对变量的取值范围加以限制，所增加的约束条件是：
xj
x
k j
k j
j 1,, n
求解该线性规划问题，得到最优解X k1 ；
(4) 检验X k1 点对原约束是否可行。若X k1 对原约束可行，
则转步骤(5)；否则，缩小步长限制，令
k j
k j
7. [x,fval,exitflag]=quaprog(...);
8. [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);
17
例1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22
非线性规划模型
进行分配，因而存在部分 DVD 的两次被租赁，但因为是处理 同一份订单，因而不存在会员的第二次租赁.
基于这个假设，为了最小化购买量，我们在允许当 前某些会员无法被满足租赁要求，让其等待，利用部分 会员还回的 DVD 对其进行租赁.
根据问题一，我们认为，一个月中每张 DVD 有 0.6 的概率被租赁两次，0.4 的概率被租赁一次。即在二次 租赁的情况下，每张 DVD 相当于发挥了0.6 2 0.4 1.6张 DVD 的作用.
hi
第i种油的每单位的存储费用
ti
第i种油的每单位的存储空间
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
min
f
(x1, x2 )
a1b1 x1
h1x1 2
a2b2 x2
h2 x2 2
s.t. g(x1, x2 ) t1x1 t2x2 T
且提供数据如表5所示：
表5 数据表
石油的
例 8．（生产计划问题）某厂生产三种布料 A1, A2, A3， 该厂两班生产，每周生产时间为 80h，能耗不得超过 160t 标准煤，其它数据如下表：
布料 生产数量（ m/ h ） 利润（ 元 / m）
A1
400
0.15
A2
510
0.13
A3
360
0.20
最大销售量（ m / 周） 40000 51000 30000
种类
ai
bi
hi
ti
1
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )
非线性规划和多目标规划模型数学建模
30
1200
690 720
170
520
88
70
S6
110 62
A15
500
1100
202
S1
42
20
12
420
462 S5 10
70
A13
10
220
210
A12
A14
195
31
306
480
A9
A10 300
A11
S1~S7 钢管厂
680
1150
5
10
201 A8
铁路
450
3 104
A1
600 80
2 750
第5讲 非线性规划和多目标模型 飞行管理视频1.wmv
第5讲 非线性规划和多目标模型
模型建立与求解
模型一：设第 i 架飞机在调整时的 方向角为θi ,调
整角度为Δ θi （ i ＝1，2，…，6）。任意两架飞机在区 域内的t时刻最短距离为dij(θi , θj , t)，那么问题的非线性 规划模型为
第5讲 非线性规划和多目标规划模型
第5讲 非线性规划和多目标模型
【主要内容】 介绍非线性规划模型和多目标规划模型的 主要特点和求解。
【主要目的】 了解非线性规划问题和多目标规划问题的 建模与求解，重点在模型的建立与结果的分析
` 第5讲 非线性规划和多目标模型
非线性规划模型 (Nonlinear Programming)
最优解 迭代法是主要求解方法: 通常从一个初始解出发，在可
行域中沿着使得目标函数降低的方向前进到下一个解。 一般求解方法：罚函数法，拉格朗日乘子法，近似规划
法等,或者采用智能算法，如：遗传算法，模拟退火算 法，蚁群算法等。
非线性规划数学建模
投资组合X=(x1,x2,…,xn)的风险为:
Q(X )
1 T
T
[Rk ( X )
k 1
R( X )]2
1 T
T
[
k 1
8 j 1
x j rjk
1 TT k 1源自8 j 1x j rjk ]2
1 T 8
2
T
k 1
xj
j 1
rjk rj
组合投资
引例
双目标: 最大化利润,最小化风险
2.函数fmincon的具体用法
约束非线性规划情形 调用格式: [x,fval]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@con) 标准模型:
Min f(X) s.t. G1(X) ≤0, G2(X)=0 (非线性约束)
AX ≤b, Aeq.X=beq, (线性约束) lb ≤X ≤ub
G=(x(1)-1)^2 - x(2); 问题的分析:设投资的期限是一年，不妨设投资总数为1个单位，用于第i项投资的资金比例为xi , X=(x1,x2,…,xn)称为投资组合向量.
(9x919–71; )f投2va-l x=资21.≤0总额为ai万元，收益总额为ci万元。
每个投资项目的收益率可以看成一个随机变量,其均值可以用样本均值(历史均值)来近似. A=[ones(1,6),zeros(1,6);zeros(1,6),ones(1,6)]; b=[20;20];
半无限极小化
linprog
线性规划
quadprog
二次规划
MATLAB软件求解
1.函数fminunc、 fminsearch的具体用法
无约束非线性规划情形 标准形式 : Min F(X) MATLAB求解步骤 ① 首先建立一个函数M文件，如fun.m ② 调用格式： ③ [X, fval] = fminunc(‘fun’, X0, options) 或 [X, fval] = fminsearch(‘fun’, X0, options)
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数学建模
第三章 非线性规划
数学建模
3.1 非线性规划 3.1.1 非线性规划的实例与定义
如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规 划问题为非线性规划问题。，非线性规划目前还没有适于各 种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式
例1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资， 并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金 A 元，投资于第i ( i = 1,….,n) 个项目需花资金 ai元，并预 计可收益 bi元。试选择最佳投资方案。
LB≤ x≤UB 其中 f (x ) 是标量函数， Beq , Aeq, B, A 是相应维数的矩 阵和向量， C (x), Ceq ( x )是非线性向量函数。 Matlab 中的命令是 X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OP TIONS)
数学建模
就可以求得当x1=0.5522, x2=1.2033, x3=0.9478 时，最小 值 y = 10.6511 。
3.2 Matlab 求无约束极值问题 3.2.2 无约束极值问题的数值解
在Matlab 工具箱中，用于求解无约束极值问题的函数有 fminunc 和fminsearch，用法介绍如下。
数学建模
上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数 的最大值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数， 这类问题称之为非线性规划问题。
可概括为一般形式
其中x =[x1….. xn ] T 称为模型的决策变量，f 称为目标函数， g i ( i =1,….P ) 和) hj (j =1,…..q ) 称为约束函数。另外， 0 ) g i(x )=0 ( i =1,….P )称为等式约束， hj(x) ≤0 (j =1,…..q )称 为不等式的约束。
数学建模
线性规划与非线性规划的区别
如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行 域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线 性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的 任意一点达到。
3.1.2 非线性规划的Matlab 解法 Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式
数学建模
数学建模
当FUN 有两个返回值时，它的第二个返回值是f （x）的梯
度向量；当FUN 有三个返回值时，它的第三个返回值是 f (x) 的二阶导数阵（Hessian 阵）。X0 是向量x 的初始值， OPTIONS 是优化参数，可以使用缺省参数。P1，P2 是可 以传递给FUN 的一些参数。
例3.5
解：编写M 文件fun2.m 如下： function [f,g]=fun2(x); f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2; g=[-400*x(1)*(x(2)-x(1)^2)-2*(1-x(1));200*(x(2)-x(1)^2)];
它的返回值是向量x ，其中FUN 是用M 文件定义的函数 f (x ) ；X0 是x 的初始值；A,B,Aeq,Beq 定义了线性约束 A * X ≤ B , Aeq * X = Beq ，如果没有线性约束，则 A=[], B=[], Aeq=[], Beq=[]；LB 和UB 是变量x 的下界和 上界，如果上界和下界没有约束，则LB=[]，UB=[]，如果x 无下界，则LB 的各分量都为-inf，如果x 无上界，则UB的 各分量都为inf；NONLCON 是用M 文件定义的非线性向量函 数 C(x), C eq ( x ) ；OPTIONS定义了优化参数，可以使 用Matlab 缺省的参数设置。
例2 求下列非线性规划
数学建模
数学建模
解 （i）%编写M 文件fun1.m 定义目标函数
function f=fun1(x); f=sum(x.^2)+8;
（ii）编写M文件fun2.m定义非线性约束条件
function [g,h]=fun2(x); G=-x(1)^2+x(2)-x(3)^2 x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20; %非线性不等式约束
编写主函数文件example6.m如下： options = optimset('GradObj','on'); [x,y]=fminunc('fun2',rand(1,2),options) 即可求得函数的极小值。
数学建模
方法2： 在求极值时，也可以利用二阶导数，编写M 文件 fun3.m 如下： function [f,df,d2f]=fun3(x); f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2; df=[-400*x(1)*(x(2)-x(1)^2)-2*(1-x(1));200*(x(2)-x(1)^2)]; d2f=[-400*x(2)+1200*x(1)^2+2,-400*x(1) -400*x(1),200];
h=[-x(1)-x(2)^2+2 x(2)+2*x(3)^2-3; %非线性等式约束
数学建模
（iii）编写主程序文件example2.m 如下： options=optimset('largescale','off'); [x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[], ... 'fun2', options)
求函数的极小值
数学建模
其中x 可以为标量或向量。
Matlab 中fminunc 的基本命令是
[X,FVAL]=FMINUNC(FUN,X0,OPTIONS,P1,P2, ...) 其中的返回值X 是所求得的极小点，FVAL 是函数的极小值， 其它返回值的含义参见相关的帮助。FUN 是一个M 文件， 当FUN 只有一个返回值时，它的返回值是函数 f (x ) ；
解 设投资决策变量为
数学建模
则投资总额为
，投资总收益为
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金 额不能超过总资金A ，故有限制条件
由于) xi (i = 1,…. , n 只取值0 或1，所以还有
数学建模
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案， 所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量 （取0 或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。 因此，其数学模型为：
第三章 非线性规划
数学建模
3.1 非线性规划 3.1.1 非线性规划的实例与定义
如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规 划问题为非线性规划问题。，非线性规划目前还没有适于各 种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式
例1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资， 并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金 A 元，投资于第i ( i = 1,….,n) 个项目需花资金 ai元，并预 计可收益 bi元。试选择最佳投资方案。
LB≤ x≤UB 其中 f (x ) 是标量函数， Beq , Aeq, B, A 是相应维数的矩 阵和向量， C (x), Ceq ( x )是非线性向量函数。 Matlab 中的命令是 X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OP TIONS)
数学建模
就可以求得当x1=0.5522, x2=1.2033, x3=0.9478 时，最小 值 y = 10.6511 。
3.2 Matlab 求无约束极值问题 3.2.2 无约束极值问题的数值解
在Matlab 工具箱中，用于求解无约束极值问题的函数有 fminunc 和fminsearch，用法介绍如下。
数学建模
上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数 的最大值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数， 这类问题称之为非线性规划问题。
可概括为一般形式
其中x =[x1….. xn ] T 称为模型的决策变量，f 称为目标函数， g i ( i =1,….P ) 和) hj (j =1,…..q ) 称为约束函数。另外， 0 ) g i(x )=0 ( i =1,….P )称为等式约束， hj(x) ≤0 (j =1,…..q )称 为不等式的约束。
数学建模
线性规划与非线性规划的区别
如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行 域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线 性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的 任意一点达到。
3.1.2 非线性规划的Matlab 解法 Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式
数学建模
数学建模
当FUN 有两个返回值时，它的第二个返回值是f （x）的梯
度向量；当FUN 有三个返回值时，它的第三个返回值是 f (x) 的二阶导数阵（Hessian 阵）。X0 是向量x 的初始值， OPTIONS 是优化参数，可以使用缺省参数。P1，P2 是可 以传递给FUN 的一些参数。
例3.5
解：编写M 文件fun2.m 如下： function [f,g]=fun2(x); f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2; g=[-400*x(1)*(x(2)-x(1)^2)-2*(1-x(1));200*(x(2)-x(1)^2)];
它的返回值是向量x ，其中FUN 是用M 文件定义的函数 f (x ) ；X0 是x 的初始值；A,B,Aeq,Beq 定义了线性约束 A * X ≤ B , Aeq * X = Beq ，如果没有线性约束，则 A=[], B=[], Aeq=[], Beq=[]；LB 和UB 是变量x 的下界和 上界，如果上界和下界没有约束，则LB=[]，UB=[]，如果x 无下界，则LB 的各分量都为-inf，如果x 无上界，则UB的 各分量都为inf；NONLCON 是用M 文件定义的非线性向量函 数 C(x), C eq ( x ) ；OPTIONS定义了优化参数，可以使 用Matlab 缺省的参数设置。
例2 求下列非线性规划
数学建模
数学建模
解 （i）%编写M 文件fun1.m 定义目标函数
function f=fun1(x); f=sum(x.^2)+8;
（ii）编写M文件fun2.m定义非线性约束条件
function [g,h]=fun2(x); G=-x(1)^2+x(2)-x(3)^2 x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20; %非线性不等式约束
编写主函数文件example6.m如下： options = optimset('GradObj','on'); [x,y]=fminunc('fun2',rand(1,2),options) 即可求得函数的极小值。
数学建模
方法2： 在求极值时，也可以利用二阶导数，编写M 文件 fun3.m 如下： function [f,df,d2f]=fun3(x); f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2; df=[-400*x(1)*(x(2)-x(1)^2)-2*(1-x(1));200*(x(2)-x(1)^2)]; d2f=[-400*x(2)+1200*x(1)^2+2,-400*x(1) -400*x(1),200];
h=[-x(1)-x(2)^2+2 x(2)+2*x(3)^2-3; %非线性等式约束
数学建模
（iii）编写主程序文件example2.m 如下： options=optimset('largescale','off'); [x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[], ... 'fun2', options)
求函数的极小值
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其中x 可以为标量或向量。
Matlab 中fminunc 的基本命令是
[X,FVAL]=FMINUNC(FUN,X0,OPTIONS,P1,P2, ...) 其中的返回值X 是所求得的极小点，FVAL 是函数的极小值， 其它返回值的含义参见相关的帮助。FUN 是一个M 文件， 当FUN 只有一个返回值时，它的返回值是函数 f (x ) ；
解 设投资决策变量为
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则投资总额为
，投资总收益为
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金 额不能超过总资金A ，故有限制条件
由于) xi (i = 1,…. , n 只取值0 或1，所以还有
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最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案， 所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量 （取0 或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。 因此，其数学模型为：