数学建模线性规划

线性规划
1.简介：
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.
线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.规划问题。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

(x)都是线性函数，则该模型称为在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的g
i
线性规划。

2.线性规划的3个基本要素
（1）决策变量
（2）目标函数f(x)
(x)≤0称为约束条件）
（3）约束条件（g
i
3.建立线性规划的模型
（1）找出待定的未知变量（决策变量），并用袋鼠符号表示他们。

（2）找出问题中所有的限制或者约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式。

（3）找到模型的目标或判据，写成决策变量的线性函数，以便求出其最大值或最小值。

以下题为例，来了解一下如何将线性规划用与实际的解题与生活中。

生产计划问题
某工厂生产甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表
试拟订生产计划，使该厂获得利润最大
解答：根据解题的三个基本步骤
（1）找出未知变量，用符号表示：
设甲乙两种产品的生产量分别为x
1与x
2
吨，利润为z万元。

（2）确定约束条件：
在这道题目当中约束条件都分别为：钢材，电力，工作日以及生产量不能为负的限制
钢材：9x
1+5 x
2
≤360，
电力：4x
1+5 x
2
≤200，
工作日：3x
1+10 x
2
≤300，
x 1≥0 ，x
2
≥0，
（3）确定目标函数：
Z=7x
1+12 x
2
所以综合上面这三步可知，这个生产组合问题的线性规划的数学模型为：
max Z=7x 1+12 x 2
s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0
0300103200543605921
212121x x x x x x x x
4.使用MATLAB 解决线性规划问题
依旧是以上题为例，将其用MATLAB 来表示出来
1.将目标函数用矩阵的乘法来表示
max Z=(7 12)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛21x x
2.将约束条件也用矩阵的乘法表示
s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121003002003601035459x x x x
编写MATLAB 的程序如下：
c=[-7 -12]; (由于是max 函数，因此将目标函数的系数全部变为负数)
A=[9,5;4,5;3,10];
b=[360;200;300];
Aeq=[];
beq=[];
vlb=[0;0];
vub=[];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
其运行结果显示如下：
x =
20.0000
24.0000
fval =
-428.0000
5.MATLAB求解线性规划的语句
(1)c=[ ] 表示目标函数的各个决策变量的系数
(2)A=[ ] 表示约束条件中≥或≤的式子中的各个决策变量的系数。

（若系数构成了两行以上的矩阵那么则由“；”来分割不同的两行）(3)b=[ ] 表示≥或≤右边的数字
(4)Aeq=[ ] 表示约束条件中=的式子中各个决策变量的系数。

(5)beq=[ ] 表示=右边的数字
(6)vlb=[ ] 表示决策变量的定义域[ ]中为≥的数字
(7)vub=[ ] 表示决策变量的定义域[ ]中为≤的数字
(8)[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 调用了linprog 函数，以此来求解出决策变量的值
6.课后习题
1.某鸡场有1000只鸡，用动物饲料和谷物混合喂养。

每天每只鸡平均食混合饲料0.5KG ，其中动物饲料所占比例不能少于20%。

动物饲料每千克0.30元，谷物饲料每千克0.18元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料6000KG ，问饲料怎样混合，才能使成本最低？ 解：设动物饲料与谷物饲料分别为1x 与2x 千克，总成本为Z 。

min Z=0.31x +0.182x
s.t.⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤⨯≥≤+60000%20350035002121x x x x
MATLAB 程序：
c=[0.3 0.18];
A=[1,1];
b=[3500];
Aeq=[];
beq=[];
vlb=[700;0];
vub=[6000];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
运算结果：
x =
700.0000
0.0000
fval =
210.0000
5.某工厂生产1A、2A两种型号的产品都必须经过零件装配和检验两道工序，如果每天可用于零件装配的工时只有100h，可用于检验的工时只有120h，各型号产品每件需占用各工序时数和可获得的利润如下表所示：
（1）试写出此问题的数学模型，并求出最优化生产方案；
（2）对产品1A 的利润进行灵敏度分析；
（3）对装配工序的工时进行灵敏度分析；
（4）如果工厂试制了3A 型产品，每件3A 产品需装配工时4h ，检验工时2h ，可获利润5
元，那么该产品是否应投入生产？
问题分析：
原问题即是线性规划问题。

1、2、3小问也即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的分析Cj 的变化范围、分析bi 变化范围、增加一个约束条件的分析。

于是，上诉问题都可通过灵敏度分析的步骤运用单纯形表法得以解决。

第一小问，建立线性规划模型，用单纯形表法求最优解，同时可为第二、三小问做准备。

第二小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的Cj 的变化范围分析。

将A1的利润变为()6+λ元，以λ的取值范围进行分析。

第三小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的bi 变化范围分析。

将装配工序工时变为()100+λh ，按公式1：
算出*
∆b ，将其加到基变量列的数字上，然后由于其对偶问题仍为可行解，故只需检查原问题是否仍为可行解。

第四小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的增加一个约束条件的分析。

只需加入约束条件建立新的线性规划模型。

模型的建立和求解：
建立模型
（1）
Z 表示总的利润，x1、x2分别表示两种型号生产数量。

通过MATLAB 程序计算得到的最优解为x2=x1=20，即最优方案为A1、A2两种型号各生产20件。

得最大利润200元。

（2）将A1的单件利润改为()6+λ元，得如下新的线性规划问题，通过λ变化分析原问题的灵敏度。

解的最优条件是：
由此推得当325/88≤≤-λ时满足上述要求。

由此推得 8040≤≤-λ
加放产品A3，建立新的线性规划问题：
通过MATLAB 最终得出的结果为：X1=23，X2=2，X3=12。

即最优方案为：A1、A2、A3分别生产23、2、12件。

数学建模
线性规划
1322303 倪瑜卿
1322304 丁佳蓓
1322321 季宗扬
1322323 黄蒙捷。