线性规划问题及其数学模型
第一章线性规划-模型和图解法
a22 am2
a1n
a2n amn
(P1,
P2 ,
, Pn )
用向量表示时，上述模型可写为：
max(min)Z CX
s.t
n j 1
Pj x j
(, )b
X 0
线性规划问题可记为矩阵和向量的形式：
max(min)Z CX
s.t
AX
X
(, )b 0
max(min)Z CX
x21 x23
x14
x23
x32
x41
xij 0(i 1, ,4;
15
x22 x31 12
x23 x32
j 1, ,4)
10 20
二。线性规划问题的数学模型 下面从数学的角度来归纳上述三个例子的共同点。 ①每一个问题都有一组变量---称为决策变量，一般记为
x1, x2 , , xn. 对决策变量每一组值：(x1(0) , x2(0) , xn(0) )T 代表了
表1-3
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
表1-4
单位；元/100m2
1个月 2个月 3个月 4个月
2800 4500 6000 7300
表1-2
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
max(min) Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
s.t
a21x1
a22 x2
a2n xn
(, )b2
am1x1 am2 x2 amnxn (, )bm
线性规划
• 4.2 两阶段法
• 两阶段法是处理人工变量的另一种方法。其具体做 法是在原约束条件中增加人工变量，构造一个新的 目标函数，其中人工变量的系数为-1，其余变量的 系数为0，这样就产生了如下的最优解有三种情形。 （1）这说明在辅助问题的最优解中，还有人工变量是基变量， 且取值不为0，此时原问题无可行解。 （2）且最优解中人工变量均为非基变量，则把它们划去后就得 到了原问题的一个基本可行解。 （3）但最优解中还有人工变量是基变量，其取值为0。这时， 只要选某个不是人工变量的非基变量进基，把在基中的人工 变量替换出来，则情形同（2）。 第二阶段：对于第一阶段的后两种情形，在第一阶段的最优单 纯形表中划去人工变量所在的列，并把检验数行换成原问题 目标函数（消去基变量以后）的系数，从而得到原问题的初 始单纯形表，再继续迭代求解。
2014-6-19 3
例2（运输问题）
• 设有某种物资要从A1，A2，A3三个仓库运往四个 销售点B1，B2，B3，B4。各发点（仓库）的发货 量、各收点（销售点）的收货量以及 到 的单位运 费如表1-2。问如何组织运输才能使总运费最少？
例3（配料问题）
• 在现代化的大型畜牧业中，经常使用工业生产的饲料。 设某种饲料由四种原料B1，B2，B3 ，B4混合而成，要 求它含有三种成份（如维生素、抗菌素等）A1，A2， A3的數量分別不少于25、36、40个单位（这些单位可 以互不相同），各种原料的每百公斤中含三种成份的数 量及各种原料的单价如表1-3.
1.2 线性规划的数学模型
一、一般形式 上述各例具有下列共同特征： 1．存在一组变量 ，称为决策变量，表示某一方案。通 常要求这些变量的取值是非负的。 2．存在若干个约束条件，可以用一组线性等式或线性 不等式来描述。 3．存在一个线性目标函数，按实际问题求最大值或最 小值。
第1章 线性规划
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划
该公司想达到的目标为：投资 风险最小，每年红利至少为6.5万 元，最低平均增长率为12%，最低 平均信用度为7。请用线性规划方 法求解该问题。
1.1 线性规划问题及其数学模型
解：
（1）决策变量
线性规划
本问题的决策变量是在每种投资项目上的投 资 额 。 设 xi 为 项 目 i 的 投 资 额 （ 万 元 ） （ i=1,2,,6）
（2）目标函数
本问题的目标为总投资风险最小，即
Min z 0.18x1 0.06x2 0.10x3 0.04x4 0.12x5 0.08x6
线性规划
运筹学
线性规划
线性规划
本章内容要点
线性规划问题及其数学模型；
线性规划的电子表格建模； 线性规划的多解分析。
线性规划
本章内容
1.1 线性规划问题及其数学模型
1.2 线性规划问题的图解法
1.3 用Excel“规划求解”功能求解线性规划问题
1.4 线性规划问题求解的几种可能结果
本章主要内容框架图
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解 无穷多解 无解 可行域无界（目标值不收敛）
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解
线性规划问题具有 唯一解是指该规划 问题有且仅有一个 既在可行域内、又 使目标值达到最优 的解。例1.1就是一 个具有唯一解的规 划问题
(1-1)
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型引言线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种方法，用于解决一类特殊的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为一个线性的目标函数和一系列线性约束条件。
本文将介绍线性规划的数学模型及其应用。
数学模型线性规划的数学模型可以用以下形式表示：最大化：$$ \\max_{x_1,x_2,...,x_n} Z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n $$约束条件：$$ \\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n&\\leq b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &\\leq b_2 \\\\ &\\vdots \\\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n&\\leq b_m \\\\ x_1,x_2,...,x_n &\\geq 0 \\end{align*} $$其中，Z为目标函数的值，Z1,Z2,...,Z Z为目标函数的系数，Z1,Z2,...,Z Z为决策变量，Z ZZ为约束条件的系数，Z1,Z2,...,Z Z为约束条件的右侧常数。
线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，其应用领域包括但不限于以下几个方面：生产计划线性规划在生产计划中的应用是最为常见的。
通过建立适当的数学模型，可以最大化生产线的产能，同时满足客户需求和资源限制。
例如，一个工厂需要决定每个月生产的产品数量，以最大化利润。
这个问题可以通过线性规划来解决。
运输问题线性规划在运输问题中的应用也非常广泛。
运输问题涉及到将特定产品从供应地点运送到需求地点，以满足需求并尽量降低运输成本。
线性规划可以用来决定每个供应地点到每个需求地点的运输量，以最小化总运输成本。
资源分配在资源有限的情况下，线性规划可以用于优化资源的分配。
线性规划问题及其数学模型
第一章线性规划问题及其数学模型一、问题旳提出在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。
例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。
表1-1该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。
由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为：x1+2x2≤8同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式4x1≤164x2≤12该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。
若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。
综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤84x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。
已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。
假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。
又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。
问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。
按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33231343221242114144x x x x x x x x x x 。
，，，25201510==== 又每个季度生产旳用于当季度和后来各季度旳冰旳数量不也许超过该季度旳生产能力，故又有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33232213121143424144x x x x x x x x x x 。
第1章-线性规划模型-宋
第一章 线性规划模型线性规划（Linear Programming ）是数学规划的一个重要组成部分，是最优化与运筹学理论中的一个重要分支和常用的方法，是最优化理论的基础性内容。
第一节 线性规划问题及其数学模型一、问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。
例1 生产计划问题某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ的两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时，A 、B 两种原材料的消耗以及每件产品可获得的利润如下表所示。
问应如何安排生产计划使该工厂获利最多？解：设12,x x 分别表示在计划期内生产产品Ⅰ、Ⅱ的产量。
由于资源的限制，所以有：机器设备的限制条件: 1228x x +≤原材料A 的限制条件： 1416x ≤（称为资源约束条件） 原材料B 的限制条件： 2412x ≤同时，产品Ⅰ、Ⅱ的产量不能是负数，所以有120,0x x ≥≥（称为变量的非负约束）。
显然，在满足上述约束条件下的变量取值，均能构成可行方案，且有许许多多。
而工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量12,x x 以得到最大的利润，即使目标函数1223z x x =+的值达到最大。
综上所述，该生产计划安排问题可用以下数学模型表示：例2 运输问题某公司经销某种产品，三个产地和四个销地的产量、销量、单位运价如下表所示。
问在保证产销平衡的条解:（1）决策变量：设(1,2,3;1,2,3,4)ij x i j ==为从产地i 运到销地j 的运量（2）目标函数：总运费最小3411min ij iji j z c x===∑∑（3）约束条件： 产量约束 销量约束 非负约束 模型为：二、线性规划问题的模型上述几例所提出的问题，可归结为在变量满足线性约束条件下，求使线性目标函数值最大或最小的问题。
它们具有以下共同的特征。
（1）每个问题都可用一组决策变量12(,,,)n x x x 表示某一方案，其具体的值就代表一个具体方案。
线性规划-讲义-12章
整数规划
第五章 动态规划
第六章 图论与问题及其数学模型 1.1.1 线性规划问题的数学模型
例1、生产计划问题 I 1 3 0 40 II 2 2 2 50
原材料A 原材料B 台时 利润
例6 max S=2x1+ 4x2 2x1+x2 8
x2
8
-2x1+ x2=2
-2x1+x2 2
x1 , x2 0 无界解(无最优解) 无界解=>可行域无界 <=
6
4
2
0
4
x1
2x1+ x2=8
例7 max S=3x1+2x2 -x1 -x2 1
x1 , x2 0 有解 无可行解 唯一解 无穷多解 无有限最优解 无可行解
(3) 变量 若xj 0, 令 xj = -xjˊ, 其中: xjˊ 0 若xj是无限制变量. 令 xj = xjˊ- xj〞, 其中: xjˊ、 xj〞 0
例 3x1+2x2 8
x1 –4x2 14
x2 0 令x1= x1'- x1 " 3 x1' –3x1 " +2x2 8 x1' - x1 " – 4x2 14 x1' , x1" ,x2 0
2x3 +2x4+ x5=100 3x1+ x2+2x3 +3x5=100
xi 0 (i =1,…,5)，且为整数
最优方案是：按方案I-30根, II-10根；III-50根 即只要90根原料--制造100套
运输问题
1.1 72线性规划问题及其数学模型
4 3 2
最优解
8 0 3 4
x1
无穷多最优解(多重最优解)
即可行域的范围延伸到无 例： max z=x1+x2
穷远，目标函数值可以无 穷大或无穷小。 ≤4 s.t. -2x1+ x2 一般来说，这说明模型有 x1 - x2 ≤2 错，忽略了一些必要的约 束条件。 ≥0, x2≥0 x1 x2
无穷 多个最优解
2.可行域为非封闭的无界区域
x2 x2 x2
z
z
x1 x1
Z
x1
唯一最优解
无穷多个最优解
无界解
3、可行域为空集
x2
空集 x1
无可行解
两个变量的LP问题的解的启示：
(1)可行域非空时，它是有界或无界凸多边形 （凸集） ，顶点个数只有有限个。 (2)求解LP问题时，解的情况有： 唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解。 (3)若可行域非空且有界则必有最优解， 若可行域无界，则可能有最优解，也可能无最优解。 (4)若最优解存在，则最优解或最优解之一一定是 可行域的凸集的某个顶点。 (5)若在两个顶点上同时取到最优解，则这两点的 连线上 任一点都是最优解
由图解法得到的结论：
求解线性规划问题最优解的方法：
确定可行域 = 凸集(凸多边形) 确定可行域顶点 = 求基可行解 寻找最优解， 如果最优解存在，则必在可行域的某一顶点 = 在基可行解中寻找
图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。
图解法缺点：
只能解决低维问题，对高维无能为力。
1.3 线性规划问题的标准型式
m i nZ
C
j 1
n j1
n
j
Xj
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1.2 图解法
例1是二维空间（平面）线性规划问题， 可用作图法直观地来表述它的求解。 因存在 x1 , x2 0 必须在直角坐标的第1象限内作图， 求解。
图1-2
m ax z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 2 4x 16 1 4 x2 12 x1 , x2 0
xk
(3) 若存在取值无约束的变量xk,可令, ' " ' " 其中 。 x x x ,x 0
k k
k k
例4 将下述线性规划问题化为标准型
m in z x1 2 x2 3x3 x1 x2 x3 7 x x x 3 1 2 3 3 x x x 5 1 2 3 x1 , x2 0; x3为无约束
处理的步骤：
(1) 用x4-x5替换x3，其中x4，x5≥0； (2) 在第一个约束不等式≤号的左端加入松 弛变量x6； (3) 在第二个约束不等式≥号的左端减去剩 余变量x7； (4) 令z′= -z，把求min z 改为求max z′，即 可得到该问题的标准型
例4的标准型
max z ' x1 2 x2 3( x4 x5 ) 0 x6 0 x7 7 x1 x2 ( x4 x5 ) x6 x7 2 x1 x2 ( x4 x5 ) 5 3 x1 x2 2( x4 x) x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0
运筹学
（第二版）
刁在筠等 编
第1章 线性规划与 单纯形法
第1节 线性规划问题 及其数学模型
高等教育出版社
二. 线性规划与目标规划
第1章 线性规划与单纯形法 第2章 对偶理论与灵敏度分析 第3章 运输问题 第4章 目标规划
第1章 线性规划与单纯形法
第1节 第2节 第3节 第4节 第5节 第6节 线性规划问题及其数学模型 线性规划问题的几何意义 单纯形法 单纯形法的计算步骤 单纯形法的进一步讨论 应用举例
建模型之前的分析和计算
设： 第一化工厂每天处理工业污水量为x1万立方米， 第二化工厂每天处理工业污水量为x2万立方米
( 2 x1 ) 2 经第2工厂前的水质要求： 500 1000 经第2工厂后的水质要求： [ 0.8( 2 x1 ) ( 1.4 x2 )] 2 700 1000
1.1 问题的提出 从一个简化的生产计划安排问题开始
例1
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种 产品，已知生产单位产品所需的设备台时 及 A 、 B 两种原材料的消耗，如表 1-1 所示。
资源 产品
设
备
原材料 A 原材料 B
Ⅰ 1 4 0
Ⅱ 2 0 4
拥有量
8台时 16 kg 12 kg
续例1
该工厂 • 每生产一件产品Ⅰ可获利2元， • 每生产一件产品Ⅱ可获利3元， • 问应如何安排计划使该工厂获利 最多?
T
决策变量向量： X x1 , x2 , , xn
如何变换为标准型：
(1) 若要求目标函数实现最小化，即min z=CX。这 时只需将目标函数最小化变换求目标函数最大化， 即令z′= -z，于是得到max z′= -CX。这就同标准 型的目标函数的形式一致了。 (2) 约束方程为不等式。这里有两种情况：一种是 约束方程为“≤”不等式，则可在“≤”不等式的 左端加入非负松弛变量，把原“ ≤ ”不等式变为 等式；另一种是约束方程为“ ≥ ”不等式，则可 在“≥”不等式的左端减去一个非负剩余变量 (也 可称松弛变量 ) ，把不等式约束条件变为等式约 束条件。下面举例说明。
第1节 线性规划问题及其数学模型
• • • • 1.1 1.2 1.3 1.4 问题的提出 图解法 线性规划问题的标准形式 线性规划问题的解的概念
第1节 线性规划问题及其数学模型
线性规划是运筹学的一个重要分支。线性规划在理论 上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。特别是 在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的 线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。 从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交 通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发 挥作用。它已是现代科学管理的重要手段之一。解线性 规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法 。
它们的对应关系可用表格表示：
决策变量
活
1 2
x1 a11 a21
x2 a12 a22
xn a1n a2 n
资源
b1 b2 bm
动 m
价值系数
am1 am 2 amn c1 c2 cn
线性规划的一般模型形式
目标函数 m ax(m in)z c1 x1 c2 x2 cn xn 约束条件 a11 x1 a12 x2 a1n xn ( , ) b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( , ) b2 ( 1.2 ) ( 1.3 ) am1 x1 am 2 x2 am xn ( , ) bm x1 , x2 , , xn 0 ( 1.1 )
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14
目标函数
max z 2 x1 3x2
2 z x2 x1 3 3 表示一簇平行线
可能出现的种情况
（1）无穷多最优解(多重最优解)，见图1-4 （2）无界解，见图1-5-1 （3）无可行解，见图1-5-2
图1-4
无穷多最优解(多重最优解)
满足约束条件(1-5)，(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T， 称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到 最大值的可行解称为最优解。
B 0 B是系数矩阵A中的m m阶非奇异子矩阵
称B为线性规划问题的基。 a11 a12 a1m a21 a22 a2 m B P , P , P 1 2 m a a a mm m1 m 2 Pj( j 1,2 , m )为基向量， x j( j 1,2 , m )为基变量。
(2)要有各种资源和使用有关资源的技术数据 ，创造新价值的数据；
aij ; c j ( i 1,m; j 1,n )
共同的特征（继续）
(3) 存在可以量化的约束条件，这些约束条 件可以用一组线性等式或线性不等式来表 示; (4) 要有一个达到目标的要求，它可用决策 变量的线性函数(称为目标函数)来表示。 按问题的不同，要求目标函数实现最大化 或最小化。
例3 将例1的数学模型化为标准型。
例1的数学模型,加松驰变量后 m ax z 2 x1 3x2 m ax z 2 x1 3x2 x3 x4 x5
8 x1 2 x2 x3 x1 2 x2 8 4x 4 x x4 16 16 1 1 4 x x 12 4 x 12 2 5 2 x , x 0 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 , x 0
图1-1
续例2
• 第一 化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污 水 2 万立方米，第二化工厂每天排放这种工业污水 1.4 万立方米。从第一化工厂排出的工业污水流到 第二化工厂以前，有 20% 可自然净化。根据环保要 求，河流中工业污水的含量应不大于 0.2%。这两个 工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处 理工业污水的成本是1000元/万立方米。 • 第二 化工厂处理工业污水的成本是 800 元 / 万立方 米。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应 处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污 水费用最小。
该问题的可行域为空集，即无可行解，
图1-5-2 不存在可行域
x1 1.5x2 8
增加的约束条件
1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数： max z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 约束条件： a x a x a x b m1 1 m2 2 mn n n x1 , x2 , , xn 0
目标函数 max z=2x1+4x2
图1-5-1 无界解
m ax z x1 x2 2 x1 x 4 x1 x2 2 x ,x o 1 2
无可行解
当存在矛盾的约束条件时，为无可行域。 如果在例1的数学模型中增加一个约束条件:
x1 1.5x2 8
如何安排生产，使利润 最大,这是目标。
数学模型
目标函数 m ax z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4x 16 1 约束条件 : 4 x 12 2 x1 , x2 0
例2. 简化的环境保护问题 靠近某河流有两个化工厂(见 图1-1)，流经第一化工厂的河流 流量为每天500万立方米，在两 个工厂之间有一条流量为每天 200万立方米的支流。
用矩阵表示为：
'' M1 :目标函数： m ax z CX
AX b 约束条件： X 0 a11 系数矩阵： A a m1 P 1 ,P 2 , P n ; 0 b1 零向量： 0 ；资源向量： b 0 b m a1n amn
如何用数学关系式描述这问题， 必须考虑
设 x1 , x2分别表示计划生产 I, II产品的数量， 称它们为决策变量。
生产x1 , x2的数量多少，受资源拥 有量的限制, 这是约束条件。即 x1 2 x2 8;4 x1 16;4 x2 12
生产的产品不能是负值 ,即x1 , x2 0