数学建模案例之线性规划设计

每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 时间是与各自产量无关的常数
可 加
xi对目标函数的“贡 献”与xj取值无关
性 xi对约束条件的“贡
献”与xj取值无关
A1,A2每公斤的获利是与相 互产量无关的常数
每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 时间是与相互产量无关的常数
连续性
xi取值连续
加工A1,A2的牛奶桶数是实数
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目 标制订产品生产计划
车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本 为目标制订生产批量计划
时间层次
若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计 划，否则应制订多阶段生产计划
问题分析
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
Step 2. 确定决策变量 第一来源：Step 1的结果，用变量固定需要回答的决策 第二来源：由决策导出的变量（具有派生结构） 其它来源：辅助变量（联合完成更清楚的回答）
Step 3. 确定优化目标 用决策变量表示的利润、成本等。
Step 4. 寻找约束条件 决策变量之间、决策变量与常量之间的联系。 第一来源：需求； 第二来源：供给； 其它来源：辅助以及常识。
模型构成
数学模型：
max z 72 x1 64 x2
s.t
.
x1 x2 50 12x1 8 x2 480
3x1 100
x1 0, x2 0
LP 模型
线性规划模型具有的三条性质
xi对目标函数的“贡
比 献”与xi取值成正比
例 性
xi对约束条件的“贡 献”与xi取值成正比
A1,A2每公斤的获利是与各 自产量无关的常数
到需求点的运量和路线，使运输总费用最低； 投资者要选择一些股票,债券下注,使收益最大,而风险最小 …………
引言
一般地，优化模型可以表述如下：
min z f ( x) s.t. gi ( x) 0，i= 1,2,L ,m
这是一个多元函数的条件极值问题，其中 x = [ x 1 , x 2 , … , x n ]。 许多实际问题归结出的这种优化模型，但是其决策变量个数 n 和约束条 件个数 m 一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不 能简单地用微分法求解，数学规划就是解决这类问题的有效方法。
并使目标函数 z 取c得j x最j 大（或最小)值，其中 j1
aij,bi,cj为已知量。
LP问题的一般概念
2.标准形式
min z cT x,
s.t
.
Ax b
,
x0.
其中
A (aij )mn , x ( x1, x2 , ..., xn )T , c (c1, c2 , ..., cn )T , b (b1, b2 , ..., bm )T , 且 b 0 , rank( A) m n .
并进一步讨论以下三个附加问题： 1）若用35元可以买到一桶牛奶，应否作这项投资？若投
资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的
工资最多是每小时多少元？ 3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否
问题分析
企业内部的生产计划有各种不同的情况。
空间层次
标准形式
min z1 4 x1 5 x2 7 x3 x4
s.t
.
2
x1 x1
6
x2 x2
2 x3 3 x3
x4 x5 1 x4 x6 3
x1 4 x2 3 x3 2 x4 5
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
LP问题的一般概念
4.单纯形法 G.B.Dantzig的单纯形法（Simplex method）是一个顶点
LP问题的一般概念
1. LP模型的一般形式
求一组决策变量x1,x2,…,xn的值，使其满足约束条件：
n
(I ) aij x j bi , i 1, 2, ..., l; j 1
n
(II ) aij x j bi , i l 1, ..., t; j1
n
(III ) aij x j bi , i t 1, ..., m. j 1 n
LP问题的一般概念
基本理论参见任何一本运筹学教材上的相关内容，下面仅以 一个例子说明单纯形法的步骤。
利用单纯形法求解下述LP问题。
max w 1000x1 1500x2
s.t
.
9 x1 5 x2 350 4 x1 5 x2 200
2 x1 5 x2 150
x1 , x2 0
LP问题的一般概念
例1：加工奶制品的生产计划
一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，一桶牛奶可 以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时 加工且成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1、A2全部能够售出， 每公得斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能够 到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并 且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限 制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大?
引言
建立数学规划模型的步骤:
当你打算用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定寻 求的决策是什么，优化的目标是什么，决策受到那些条件的限制（如果 有限制的话），然后用数学工具（变量、常数、函数等）表示它们，最 后用合适的方法求解它们并对结果作出一些定性、定量的分析和必要的 检验。
引言
Step 1. 寻求决策，即回答什么？必须清楚，无歧义。 阅读完题目的第一步不是寻找答案或者解法，而是……
LP问题的一般概念
3.将一般线性规划模型转化为标准形 例题：将下述LP模型转化成标准形式
max z 4 x1 5 x2 7 x3 x4
s.t .
x1 x2 2 x3 x4 1 2 x1 6 x2 3 x3 x4 3
x1 4 x2 3 x3 2 x4 5
x1 , x2 , x3 , x4 0
迭代算法，即从一个顶点出发，沿着凸多面体的棱迭代到另一个 顶点，使目标函数值下降（至少不升），由顶点个数的有限性， 可以证明经过有限次迭代一定可以求得最优解或者判定该问题无 最优解，这就是单纯形法的基本思想。而几何上一个的顶点对应 在代数上的一个基可行解，因此，单纯形法求解线性规划问题只 需要关心基可行解。
简介
线性规划是最简单、应用最广泛的一种数学规划方法，也是 应用最早的一种最优化方法；
线性规划的数学模型是目标函数和全部约束式都是变量的线 性函数；
线性规划是学习运筹学的首要课程之一； 1947年，丹茨格（Dantzig）提出了单纯形法，使线性规划的 算法趋于成熟； 在数学上讲，线性规划问题就是研究一类条件极值问题，即 在一组线性约束条件（包括等式及不等式约束）下，找出一个线 性函数的最大值或最小值。
数学建模案例之线性规划 奶制品的生产与销售
引言
优化问题及其一般模型：
优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中 最常遇到的问题之一。例如： 设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸， 使
结构总重量最轻； 公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获
利润最高； 调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
每 天
50桶牛奶
时间480小时
至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大
• 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划?
模型构成
Step 5. 构成数学模型 将目标以及约束放在一起，写成数学表达式。
内容： 如何建立线性规划模型举例 线性规划模型的求解方法
要求： 掌握线性规划模型的建立方法 掌握利用数学软件 LINDO 、Matlab等求解线性规
划模型的方法 理解单纯形法的计算步骤
重点、难点： 重点：线性规划模型的建立与软件求解 难点：线性规划问题的理论求解方法—单纯形法
自由变量 （无）
LP问题的一般概念
化成标准型为：
max z 4 x1 5 x2 7 x3 x4
s.t .
x1 x2 2 x3 x4 1 2 x1 6 x2 3 x3 x4 3
x1 4 x2 3 x3 2 x4 5
x1 , x2 , x3 , x4 0
原始形式
0
x3
9
5
1
0
0
350
0
x4
4
5
0
1
0
200
0
x5
2
5
0
0
1
150
检验数rj
-1000 -1500
0
0
0
0
检验数中 r1<0，r2<0，上面的结果x(0)不是最优解。
LP问题的一般概念
Step4. 确定进基向量 计算 min { rj | rj < 0 }= rk，则 xk 进基；
cj→
-1000 -1500
Step1. 将一般的 LP 问题划成标准形式
引入松弛变量x3，x4，x5 将原问题化成标准形式
min z (1000x1 1500x2 )
s.t .
9 x1 5 x2 x3 4 x1 5 x2 x4
350 200
2 x1 5 x2
x5 150
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
引入决策变量
x1 桶牛奶生产 A1， x2 桶牛奶生产 A2 （每天）
目标函数（每天获利）
生产 A1 获利： 24×3x1 生产 A2 获利： 16×4 x2 每天获利总额：z=72x1+64x2