数学建模(线性规划)

x1 2 x2 3x3 2 x4 200 7 x1 9 x2 8 x3 x4 300 3x1 x3 7 x4 400, x j 0, j 1, 2,3, 4
显然，上述问题是一个非线性规划问题。在实际 经济活动中，产量规模对价格的影响常常是一个不 开忽略的重要因素：上述模型由于适当地考虑了价 格的可变部分对总收益的影响，而相应的线性规划 模型，总收益函数只能在假定某不变价格的情况下 由产量x1、x2、x3和x4线性确定，故较之线性模型更 能真实地反映问题的实质。
式(1.1)中，目标函数z f ( x1 , x2 )是x1和x2的线性函数， 而约束条件是x1和x2的线性不等式，因此称式(1.1) 为线性规划模型。
线性规划模型的解法 • 两个变量的线性规划模型的图解法 • 单纯形法 • 数学软件，如Lindo软件、Lingo软件、 Matlab等
例1.2 投资方案的确定
c.三个货舱的空间限制 480 x11 650 x21 580 x31 390 x41 6800, 480 x12 650 x22 580 x32 390 x42 8700, 480 x13 650 x23 580 x33 390 x43 5300; d .三个货舱装入重量的平衡约束，即 x11 x21 x31 x41 x12 x22 x32 x42 10 16 x13 x23 x33 x43 . 8
例2.1 设用甲、乙、丙三种有限资源生产A,B,C,D四 种产品，产品的资源消耗定额及资源的有限供应量 如表2.1所示
表2.1 产品的消耗定额与资源供应量
消耗定额 资源 甲 乙 丙
产品 A 1 7 3 B 2 9 0 C 3 8 1 D 1 7
资源可供 应量 200 300 400
假定A,B,C,D四种产品价格随产量的扩大而递减， 其需求函数分别为p1=11-0.01x1,p2=12-0.02x2,p3=130.03x3,p4=14-0.04x4,试确定四种产品的产量，以便使 总收益最大。
单位产品的利润/(万元/t)
现有 原料 总量 360 200 300
试拟订生产计划，使该厂获得利润最大
解 设甲、乙两种产品计划生产量分别为x1和x2吨，利润为z万元 则 z 7 x1 12 x2， 我们的任务是求z的最大值，且x1，x2受到钢材的限制、电力的限制 工作日的限制、非负条件的限制等，可得线性规划的数学模型 max s.t. z 7 x1 12 x2 , 9 x1 5 x2 360, 4 x1 5 x2 200, 3 x1 10 x2 300, x1 0, x2 0， （1.1）
②目标函数：墙壁面积为2(x1x2+x2x3)，造价为 8(x1x2+x2x3)；屋顶与地面面积为x1x3，造价为18 x1x3 ， 则目标函数为z= 8(x1x2+x2x3)+ 18 x1x3
③约束条件。容积限制x1x2x3-1500=0,比例限制
x1-2x2=0，及非负限制x1,x2,x3≥0
某部门要进行投资，现有四个投资项目。
项目A：从第一年到第四年的每年年初需要投资，并 于次年年末回收本利115﹪；项目B：从第三年年初需 要投资，到第五年年末回收本利125%，但规定最大 投资额不超过40万元；项目C：第二年初需要投资， 到第五年末才能回收本利140%，但规定最大投资额 部超过30万元；项目D：五年内每年的年初可买公债， 于当年年末归还，并可获得6%的利息。
x41+x44=106%x34+115%x21, x54=106%x44+115%x31.
c.由于投资的限制，因此还有x32 40, x2 30. 由此得投资问题的数学模型为 max z 1.15 x41 1.25 x32 1.40 x23 1.06 x54 , s.t. x11 x14 100 x21 x23 x24 1.06 x14 , x31 x32 x34 1.06 x24 1.15 x11 , x41 x44 1.06 x34 1.15 x21 , x54 1.06 x44 1.15 x31 , x32 40, x23 30, xij 0, i 1, ,5; j 1, 4
2）模型求解。用Lindo软件求解，求得 投资方案的最优解为 x11=71.698112万元， x14=28.301888万元， x23=30万元，
x32=40万元，
x34=42.452831万元，
x41=45万元，
其余决策变量均为零，最优值z=143.75万元。
例1.3 货机装运。
某货机有三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱 所能装载的货物的最大重量和体积都要限制，如表 1.3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中 实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
2 2 2 (0.01x12 0.02 x2 0.03x3 0.04 x4 )
其中，第一项是不变价格下的总收益，第二项是需要扣除的 因价格变动造成的收益值，注意到资源的约束，上述问题可表为
max s.t.
z (11x1 12 x2 13 x3 14 x4 )
2 2 2 (0.01x12 0.02 x2 0.03 x3 0.04 x4 ),
• • • •
线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划
1.线性规划模型
例1.1生产计划问题。 某工厂制造甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表1.1
表1.1 生产计划问题的数据
单位消耗 原料
产品
甲产 品/t 9 4 3 7
乙产 品/t 5 5 10 12
钢材/t 电力/(kw.h) 工作日/个
空间/(m3/t) 480 650 580 390
利润(元/t) 3100 3800 3500 2850
应如何安排装运，使该货机本次飞行利润最大？
1）模型假设。问题中没有对货物装运提出其他要 求，我们可做如下假设：
①每种货物可以分割到任意小； ②每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； ③多种货物可以混装，并保证不留空隙。 2）模型建立。 ①决策变量：用xij表示第i种货物装入第j个货舱的重 量（吨），货舱j=1,2,3分别表示前舱、中舱、后舱。
非线性规划模型求解
非线性规划模型的求解具有一定的难度，并且 求解非线性规划问题的方法是多种多样的，解某 些问题的有效方法，对另外的问题却未必有效。 我们可以用一些数学软件来求解。
例2.2 工程造价问题
假定要建造容积为1500m3的长方形仓库，已知每平 方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元、12元， 基于美学考虑，要求宽度应为高度的2倍，试建立使造 价最省的数学模型。 1）模型建立。 ①决策变量：设仓库的宽、高、长分别为x1,x2,x3(m)
a为了获得最大的投资收益，每年年初应将手头的全 部资金投出去，因此第一年的投资总额应是100万元， 即x11+x14=100 b第二年的投资总额应是第一年年底回收的各项投资 的本利，即 x21+x23+x24=106%x14
同理，第三、四、五年的投资额应是上一年年底回收 的各项投资本利，即 x31+x32+x34=106%x24+115%x11,
解 设A, B, C , D四种产品的产量分别为x1 ,x2 ,x3和x4，则问题的 目标函数（总收益函数） z ( x1 , x2 , x3 , x4 ) p1 x1 p2 x2 p3 x3 p4 x4 x1 (11 0.01x1 ) x2 (12 0.02 x2 ) x3 (13 0.03x3 ) x4 (14 0.04 x4 ) (11x1 12 x2 13x3 14 x4 )
②目标函数：决策目标是最大化总利润，即目标函数为
z 3100( x11 x12 x13 ) 3800( x21 x22 x23 ) 3500( x31 x32 x33 ) 2850( x41 x42 x43 ).
③约束条件：约束条件包括以下4个方面：
数学规划模型
数学规划模型是在实际问题的数学建模中应用 最广泛的模型之一，也是运筹学的一个重要分支。 在生产实践中，经常要制定使问题的某一项指标 “最优”的方案，这里的最优包括“最大”、“最 小”、“最多”、“最少”等。如：如何合理地分 配、使用有限的资源（人力、物力及资金等）以获 得“最大收益”等诸如此类的问题，就是所谓数学 规划问题，数学规划又分为线性规划、非线性规划 、整数规划、动态规划等。
表1.3 三个货舱装载货物的最大容许量和体积
前舱 重量限制/t 10
中舱 16
后舱 8
体积限制/m3
6800
8700
5300
现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息 如表1.4，最后一列指装运后获得的利润。
表1.4 四类装运货物的信息
货物1 货物2 货物3 货物4
质量/t 18 15 23 12
a.供装载的四种货物的总重量约束，即 x11 x12 x13 18, x21 x22 x23 15, x31 x32 x33 23, x41 x42 x43 12; b.三个货舱的重量限制，即 x11 x21 x31 x41 10, x12 x22 x32 x42 16, x13 x23 x33 x43 8;
由此得到数学模型
min z 8 x2 ( x1 x3 ) 18 x1 x3 , s.t. x1 x2 x3 1500 0, x1 2 x2 0, x1 , x2 , x3 0 此为一非线性等式约束规划模型。
2）模型求解。用Lingo软件求解。
例2.3 经营计划问题
某公司经营两种设备，假设每种设备的单位售价以及 售出单位设备所需的营业时间及该公司在某段时间内 的总营业时间见表2.2（表中x1,x2为两种设备的售出 数量），建立营业额最大的营业营业计划模型。 表2.2 经营计划的数据 设备